不可压缩和可压缩流体的层流向湍流的转捩过程，对许多应用来说十分重要。对于圆管内的低速轴对称流动，详细的测量研究被不断重复了100多年，文献[1]对其中一些进行了综述。
为进行超燃冲压发动机的冷却设计，多年来碳氢化合物在电加热圆管内的流动和传热引起了一些兴趣[2-3]。如图 1所示，当电流在管壁内流过时，电流和管子电阻相互作用会产生热量。处于超临界压力下的一定流量的正十烷 (n-Decane) 在管内流动时，会与内壁面发生近似恒定热流的对流传热，能够模拟碳氢燃料在一根燃烧室冷却通道内的流动和吸热。正十烷吸收热量后温度升高，导致密度ρ和粘性系数μ降低。在合适的流量、管径di和电流条件时，处于超临界压力下的正十烷在电加热圆管中建立定常流动，并且由图 2看出，流动的雷诺数Re(即ρUdi/μ，此处ρ, U和μ为截面平均值) 可以自入口的886增加至出口的15000。
|
| 图 1 电加热管内部流动示意图 Fig.1 Flow inside an electrically heated tube |
|
| 图 2 管内密度、粘性系数、热传导系数和Re的变化 Fig.2 Density, viscosity, thermal conductivity and Re inside the tube |
通过调节管子的电流来控制管壁的热流，可以使流体的温度自室温升高至800K左右的高温。流体的一些热物理性质，例如密度ρ、粘性系数μ和热传导系数k，在出口处其数值较入口处会下降较多。在图 2中，不同温度和压强下正十烷的ρ、μ和k采用一个高温碳氢化合物的物性程序计算得到。
众所周知，圆管内流体的流动在雷诺数Re约为2300时会发生转捩[4]，因此在管内可以发生完整的自然转捩过程。管内的层流是线性稳定的，即使Re很高时也需要有限振幅的扰动才能引发转捩。转捩的起始Re和结束Re与实际的流动条件相关，取决于管内流动的扰动，并且强迫转捩的起始Re和结束Re与自然转捩大不相同。
1883年雷诺在转捩流动实验中发现湍流的闪斑 (Flash)。随后在圆管内的流动转捩研究中，长期以来人们观测到2种扰动流动 (Disordered flow)，分别被称为Puff和Slug[1, 5]。在这2种扰动流动内部，既不是层流也不是完全湍流，用间歇性或者间歇因子来描述转捩流动是不够的。在很宽的雷诺数范围内，这些特殊状态的扰动流动和典型湍流之间的关系，至今不明。自1883年雷诺初始的实验至今没有确立公认的理论来解释层流向湍流的转捩过程[1, 5]，圆管内流动转捩的本质仍然是流体力学中的未解之谜。对于转捩过程中的对流传热特性也没有理论解释。
层流向湍流的转捩，很早就被看作是非平衡热力学系统的一种相变[6]。序参数 (Order parameter) 常用来描述相变 (如正常导体变为超导体)，接近相变点时序参数发生振荡。层流向湍流的转捩过程中发现了很大的振荡 (或脉动、涨落，Fluctuations)[5, 7]，但是采用非平衡相变观点来进行的讨论不多。
在圆管内的转捩流动中，速度的随机振荡具有一定的统计特性[5]。这种振荡的统计特性随着Re数增加的演变过程十分重要，即使已知转捩流动的起始Re和结束Re。本文尝试解释在电加热圆管内流动转捩的起始和终止之间振荡统计特性的发展演化，并解释这种振荡统计特性对流动和对流传热的影响。采用的方法包括3个步骤。在第一步中，先给出求解管内层流和湍流的方程，然后假定在转捩流动中沿半径方向脉动速度的数值与湍流流动一样，把转捩流动分解成层流和湍流成分，即转捩流动是相同雷诺数下成层流和湍流2种流动的合成，合成比例用来定义这种合成流动。在第二步中，对于转捩流动引入合成比例的振荡，采用最小熵产生准则给出一个方程，来描述合成比例振荡的统计特性和转捩的发展演化。在最后一步中，在给出一些层流向湍流的转捩和相变的相似性后，给出一个合成比例的振荡函数，并与传热和流动测量实验结果进行对比。
1 求解速度和温度的定常层流方程从图 2可以看出，在出口处密度ρ和热传导系数k下降至大约为入口数值的50%。在出口处粘性系数μ下降至大约为入口数值的6%。因为质量流量和管子内径di不变，造成在出口Re增加至约17倍的入口数值。
在如图 2所示的条件下，Re自入口的886连续增加至出口的15000。自然转捩起始于位置x≈0.26m，约等于180倍管子内径di(1.42mm)，在该处Re≈2300。对于对流传热 (温度) 来说，自然转捩终止于位置x≈1.05m，在该处Re≈10000[8-9]，转捩长度约等于740di。文献[5]的测量结果说明，流动 (速度) 的转捩区间 (终止雷诺数与起始雷诺数之差) 要小得多。对于本文感兴趣的情形，流动的转捩长度大约100di。在管子入口x=0之前，有比500di还长的一段管子，与图 1所示的加热部分属于同一根管子。在下文中，从转捩开始直至出口的流动，均认为在流动和传热上得到了充分发展。
对于该圆管内充分发展的轴对称流动，每个截面上的参数可以由平均速度、平均温度和边界条件 (如管壁处的热流和零速度) 来确定。本文研究的电加热圆管长度约为1000di，且管壁热流数值不是很高。当研究一个截面上的流向速度u和流体温度T分布时，可以不考虑一些物理量沿着轴向坐标x方向的变化。理由是：与u和T沿着半径r方向的变化相比，这些物理量沿着x方向的变化很小。下文中，在每一个截面位置进行求解时，u和流体物性如μ和k等均假定不随x方向变化，仅考虑T和压强p随x的变化。在每一截面，u和ρ是沿半径方向位置r的函数。整个管内的流动通过求解每一个截面位置的流动参数而确定。
实际上，在管子的入口和出口流体物性μ和k的差别很大。尽管如此，μ和k沿着x方向的变化对于u和T的解影响不大，因此在下文中没有用到μ和k对x的导数。这与管子的长径比很大并且管壁热流不很高是一致的。在求解每一个截面位置的流动参数时，采用的是与当地T和p对应的当地μ和k。
对于管内的轴对称层流，采用图 1所示轴向坐标为x和径向坐标为r的坐标系，速度u满足[4, 10]:
(1)
有传热时的热充分发展的管内定常层流流动，传热引起的温升远大于粘性摩擦引起的温升。按照文献[4]的做法，忽略粘性摩擦和轴向传热引起的温度变化，有:
(2)
对于恒定壁温的情形，可以使用变量分离法把温度表示成两部分的乘积，一部分随x变化，一部分随r变化。对于近似适用于本加热管道的恒定热流的情形，可以令:
(3)
随x变化的部分代表管壁加热引起的沿x方向的平均温升，随r变化的部分代表管壁加热引起的径向温度分布 (剖面)。(2) 式变为:
(4)
这里忽略了径向速度，根据质量平衡方程，乘积ρu不随x变化，因此 (4) 式可以分为2个可以积分求解的方程。在壁面有传热发生时，传热会引起μ、k和cp变化，因此求解速度和温度分布的方程 (1) 和 (2) 是耦合的。这种耦合是通过温度和压力影响物性 (μ、k和cp) 而发生的，属于较弱的耦合。
流体由大量分子组成，分子间不停发生碰撞。这些碰撞不会使动量或者能量产生或者消失，因此采用守恒变量时动量和能量平衡方程没有源项。但是在处于非平衡态的流体内部，与分子频繁碰撞相伴而生的是耗散过程，流体通过耗散过程来改变非平衡分布从而向平衡态靠近。因此对于处于非平衡的流体流动系统，熵的平衡方程有源项，表征着耗散过程中熵的产生。由于温度和速度梯度引起的熵产生为[6, 10-11]:
(5)
式中：σ是熵产生，下标Lam表示层流，v是速度矢量，
(6)
式中：
实际上，(2) 式忽略了粘性摩擦和轴向传热引起的温度变化，因此 (5) 式中第二项可以忽略，第一项中可以忽略沿轴向的微分，以此来与 (2) 式一致。尽管如此，下面在讨论熵产生时仍然保留这些项。将会看到这种保留不影响结论。
(5) 式第一项在柱坐标系中的表达式为:
(7)
(5) 式第二项的表达式为:
(8)
在 (7) 和 (8) 式中，下标T、X、Θ和V分别表示由对应物理量的梯度引起的熵产生，V表示速度。可以看出，熵产生包含温度和速度梯度的平方项。
流体的流动方程也称为NS方程。在所考虑的方程中，广义流 (如应力张量) 与广义力 (如张量
对于充分发展的定常轴对称湍流，同样可以忽略速度和密度沿x的变化，每个截面上ρ和u是r的函数。在每一截面上，x方向动量方程为[4]:
(9)
式中：符号上方有“-”表示物理量的时间平均值，符号上方有“~”表示物理量的瞬时脉动值 (瞬时值减去平均值)。由于径向平均速度为0，
对于热充分发展的管内定常湍流流动，有：
(10)
(9) 和 (10) 式等号右边第一项与层流流动的耗散项一致。对于充分发展湍流，求解速度和温度的方程可以改写为：
(11)
(12)
由于乘积ρu是不随x变化的，对于管内定常充分发展的湍流，求解速度和温度分布的方程之间具有由温度和压力影响物性带来的弱耦合关系。
由于u和ρ均为r的函数，在恒定热流情形下对 (12) 式可以采取类似 (3) 式的方式处理，只有随r变化的部分具有湍流脉动量，即：
(13)
(14)
下标Turb表示湍流。这里的处理方法与 (3) 和 (4) 式类同，对于层流和湍流情形，如果流量和热流相同则X和dX/dx相同。如果流量和热流反向变为相反值，对于层流情形根据 (1)、(2) 和 (4) 式，u、X和Θ的梯度就变为相反值。对于湍流应该有相同结论，
这要求流量和热流的反向不影响
由于层流和湍流均遵从NS方程，因此对于充分发展湍流，分别以瞬时温度和速度代替 (5) 式中的层流温度和速度，可以得到由于温度和速度梯度引起的熵产生的平均值为：
(15)
式中：下标Turb表示湍流，下标T和V的意义与 (7) 和 (8) 式中的相同。忽略分子和分母统计相关性的影响时，(15) 式第一项在柱坐标系中的表达式为：
(16)
其中：
(17)
(18)
(15) 式第二项在柱坐标系中表达式为：
(19)
其中：
(20)
(21)
在 (16)~(18) 式中，下标X和Θ的意义与 (7) 和 (8) 式中的相同。在 (19)~(21) 式中，下标u和v表示对应速度分量引起的熵产生。
3 在定常转捩区间求解速度和温度的方程比较层流和湍流的求解速度和温度的方程 (1)、(2)、(9) 和 (10) 式，如果认为对于层流流动，流向速度和温度的脉动量为0，则2种流动遵从形式上完全相同的方程。
在定常自然转捩区间的速度和温度方程，形式上与 (9) 和 (10) 式相同。如果在转捩区间径向脉动速度
(22)
其中，下标Tran表示转捩。对于x方向的动量有：
(23a)
(23b)
(23b) 式是层流与湍流的动量方程的结果。(23) 式中，变量上方无“-”的表示层流量，变量上方有“-”的表示湍流量。
在一个截面位置且在一个时刻仅允许一个压力梯度，因此在一个截面位置η数值相同，u和Θ以及它们对r的导数包含层流和湍流2种成分。湍流具有r方向的脉动速度
对于在转捩区间流体的温度，可以写出类似 (22) 和 (23) 式的方程。与纯粹的层流或湍流情形一样，由于乘积ρu和ρu不随x变化，在转捩区间温度和速度方程之间也具有由温度和压力影响物性带来的弱耦合关系。层流、转捩或湍流分别具有确定的u和Θ或者u和Θ以及
(24)
恒定热流情形下的温度方程为:
(25a)
(25b)
(25b) 式是层流与湍流的壁面热流相同的结果。与 (23a) 式一样，在 (25a) 式中对每一截面位置处求解时忽略η沿着x方向的变化。
在转捩区间动量方程形式上与 (9) 式相同，由于在一个截面位置η数值相同，通过 (22) 式沿着r方向积分，可以得到流向合成速度
(26a)
(26b)
其中，层流的流向脉动速度为0，这里对η不考虑振荡 (下节将考虑η的振荡)。由于在一个截面位置η数值相同且无振荡，很容易得出 (26) 和 (23a) 式是等价的。由 (26) 式可以看出，在转捩区间流动是层流和湍流的合成运动，因为
在转捩区间
尽管物性参数本身不改变变量的剖面类型或者流动/传热模式，对于管内有加热的流动，在一个站位上不同的流动模式有不同的温度分布剖面，导致cp、μ和k等物性参数的分布剖面不同。不难理解，不同的cp、μ和k分布剖面也会导致不同的速度和温度分布剖面。因此，在转捩区间的流动是层流和湍流2种流动模式的合成，层流部分u和Θ的数值与纯粹层流对应的数值不同。如果忽略这种由不同流动模式引起的物性参数差异 (即不同流动模式下物性参数的分布剖面相同)，那么在转捩区间，层流部分u和Θ的数值与纯粹层流对应的数值相同。这种分析对于转捩区间湍流部分u和Θ的数值也一样成立。
显然 (23)、(25) 和 (26) 式对于任意的η均成立，因此在转捩区间
在本节里，假定在转捩流动中径向脉动速度
要确定自然转捩如何发展演化，必须给出η的动力学方程。记转捩起始雷诺数为ReL，记转捩终止雷诺数为ReR。对流传热实验发现，对于充分发展的圆管流动，转捩在ReL≈2300时开始，在ReR≈10000时结束[8-9]。关于流速振荡的测量结果说明，流动的转捩区间要小得多[5]。转捩开始和终止的精确位置，与实际的流动条件相关。这里仅对圆管内的转捩流动在起始和终止雷诺数之间的发展演化以及这种发展演化对流动和对流传热特性的影响感兴趣。
在写出转捩区的熵产生表达式前，引入η的振荡
(27)
代入 (22) 和 (24) 式得到:
(28)
(29)
式中: 
(30)
式中:n和m均为正整数，
在一个截面位置且在一个时刻仅允许一个压力梯度，因此在一个截面位置和一个时刻η和
在转捩区间流动遵从全NS方程，因此其熵产生的方程与 (15) 式相同。(28) 和 (29) 式代入 (15) 式，应用 (30) 式整理后可得:
(31)
式中:σLam, Θ与 (7) 式中相同，σLam, V为 (8) 式，
(31) 式右边除
(32)
式中:下标c表示合成。根据Prigogine最早提出的最小熵产生准则，η的取值应使
(33)
该式的成立使得 (32) 式右边η项在ReL≤Re≤ReR时恒为0，此时
这种η的取值，对应于在转捩区间维持流体微元运动需要的最小熵产生。η与r无关，仅是Re的函数，因此 (33) 式决定了圆管内层流向湍流自然转捩的发展演化。
对于恒定壁温的情形，也可以推导出 (33) 式。在温度方程中忽略的摩擦项和轴向传热项，无论在熵产生方程中是否保留，均不影响 (33) 式的成立。
5 一个振荡函数和与实验现象的对比层流向湍流的过渡和平衡系统的连续相变 (Landau所谓的第二类相变[13])，二者宏观特性非常相似。它们均具有一个振荡剧烈的临界区间。在此区间前后，系统的行为显著不同。在此区间内系统的微观特性对其行为的影响不大，不同系统的表现大致相似。在层流向湍流的过渡这个过程中，系统的行为特性发生了显著转变，正如文献[6]中所述，这种流动转捩属于一种非平衡系统的相变。相变可以采用序参数来描述。通常认为，很多关于平衡相变的认识可以推广到非平衡情形[14]。如果用序参数来描述圆管内层流向湍流转捩这一非平衡流动系统的相变，则这里自然转捩过程的序参数应当是η或其线性函数。
对于热力学平衡系统中发生的连续相变过程，文献[13]讨论了序参数的振荡。靠近相变点时存在一个很窄的温度区间，其间热力学函数的物理本质主要来源于序参数振荡的反常增加。这个区间被称为振荡区间，序参数的振荡占据统治地位。
由于不考虑序参数的振荡，Ginzburg-Landau相变理论不适用于振荡区间[12-13]。在此区间，热力学势不能仅仅展开成序参数 (和其空间导数) 和其他热力学变量的函数。在 (31) 式中引入了η的振荡。推导 (33) 式的过程，在对待序参数的处理方式上与Ginzburg-Landau理论的精神一致，也就是说，在通过对热力学势求极值来确定序参数时把它看成是与热力学变量地位相同的独立变量[13]。
(33) 式是采用最小熵产生准则得到的结果，其中不包含任何细致的层流或时间平均湍流的剖面信息。这与相变的临界现象一致。靠近临界点时，系统的微观性质不影响系统的热力学行为，完全不同的系统可以有许多相似的性质[12]。(33) 式表明，在层流向湍流的转捩过程中，转捩的发展演化，与层流剖面和时间平均的湍流剖面均无直接关系。
对于所考察的管内流动，η仅随雷诺数变化。
(34)
此时，
(35)
转捩开始于ReL并且结束于ReR，因此对η的约束条件为:
(36)
由于η是Re的单调递增函数，在完全层流区和完全湍流区η的振荡为0，因此对η导数的约束为:
(37)
满足这些条件的解为:
(38)
并且, C= (ReR-ReL)/π。(38) 式代入 (34) 式得到
这与文献[15]由传热实验得到的结果一致。文献[15]指出，圆管内定常自然转捩区间的Nu数，形式上为相同雷诺数下层流传热Nu数和湍流传热Nu数的权重叠加，权重因子与 (38) 式一样。图 3取自文献[15]中图 12(c)的数据，其中转捩区间的Nu关系式采用了这种权重叠加规律 (NuTran= 1-ηNuLam +ηNuTurb)，并由此计算了圆管外壁温度分布。显然，相同的权重叠加规律适用于转捩区间的摩擦因子。
|
| 图 3 电加热管实验中的外壁温和Nu数对比 Fig.3 Outer wall temperature and Nu comparisons in an electrically heated tube test |
|
图 4 η、1-η和  |
这里给出的转捩区间内大的振荡，能够解释文献[7]中提到的“奇怪效应”(Strange effect)。在管道流动实验中，流速达到某个数值时，雷诺数也达到一个临界数值，压力计的读数开始剧烈震荡。这种现象在一个速度范围内一直持续，直到流速达到某个数值压力计的读数重新回到平稳状态，随后一直保持平稳。
由于在一个截面上不同点的
(39a)
(39b)
在流动实验中可以沿着中心线对它们进行测量，并与上式的预测值进行对比。
文献[5]、[16]和[17]均利用常温水为介质，在圆管中进行了大量强迫转捩和少量自然转捩实验。根据
在同一Re下，与湍流脉动值
|
| 图 5 中心线上轴向速度脉动强度的大的过冲 Fig.5 The large overshoot of I at the center line in transition region |
(40)
图 6是图 5的不同形式。在图 6中，y轴变为对数坐标且x轴进行了平移和收缩处理，使得容易与文献[5]的测量结果进行对比。图 6中曲线的形状和数值，均与文献[5]中图 3、5和10在ReL大于4000时的测量结果相接近 (实验数据难以取出与计算值进行比较)。轴向速度脉动过冲的测量，在文献[16]和[17]中也有详细报道。文献[5]还报道，这种轴向速度脉动的过冲现象，没有导致摩阻系数 (应是时间平均值) 的过冲。本文推导也能够解释这种现象。
文献[17]在第50页给出了在强迫转捩过程中圆管中心线上轴向速度及其脉动量统计平均的测量值，图 7和8是本文预测值与它们的比较。计算中未考虑完全湍流时u′ r=0/ur=0随Re的变化。从图 7可以看出，对于在转捩过程中圆管中心线上轴向速度的统计平均值，(39a) 式能够得到与实验测量一致的预测结果。从图 8可以看出，对于在转捩过程中圆管中心线上轴向脉动速度的统计平均值，(40) 式在ReL≈2120时仅能够给出与实验测量的趋势大致一致的预测结果。本文预测的脉动速度统计平均值的峰值较高，并且在转捩快要开始前或刚刚结束后的位置，本文的计算与测量的数值甚至趋势不同。从文献[5]的图10可以看出，中心线上轴向速度脉动强度的统计平均值 (见图 6) 在ReL小于3000时，其过冲幅度的测量值小于在ReL大于4000时的数值，其原因有待于进一步研究。在ReL大于4000时，文献[5]、[16]和[17]给出的所有测量结果 (包括中心线上轴向速度及其脉动量统计平均值)，均不适于取出数据与计算进行比较。在转捩开始前或结束后的较远位置，图 8中的计算与文献[5]、[16]和[17]测量的数值和趋势一致。
|
| 图 7 中心线上轴向速度统计平均值的计算与测量对比 Fig.7 The calculated and measured mean values of longitudinal velocity at the center line |
|
| 图 8 圆管中心线上轴向脉动速度统计平均值的计算与测量对比 Fig.8 The calculated and measured mean values of the fluctuations of longitudinal velocity at the center line |
(33) 式的成立使得 (32) 式为0，此时 (31) 式为：
(41)
对比 (31) 与 (41) 式 (二者的差别是 (32) 式) 可以看出，自然转捩的演化以这种方式进行，单纯合成引起的负的熵产生与η的振荡引起的正的熵产生，二者相互抵消。这使得在自然转捩过程中η能够连续变化，并且熵产生在形式上为相同雷诺数下层流和湍流熵产生的权重叠加。
在转捩区间合成流动由η描述。(34) 式确定的是在转捩区间η的振荡，由 (34) 式得到的 (38) 式确定的是具体的转捩行为。不同的 (34) 式可以得到不同的 (38) 式。从上述与实验现象的对比可以看出，转捩过程中流体的振荡统计特性和流动及传热行为，可以用运动合成、合成比例的振荡和最小熵产生准则进行解释，并且η的振荡控制着层流向湍流过渡的自然转捩行为。
最后，如果对于温度采用不同的η，可以得到相应的熵产生方程，其形式与 (31) 式相似。由于温度和速度方程之间仅仅具有弱耦合关系，并且在熵产生表达式中温度梯度的平方项和速度梯度的平方项是独立的，因此这种处理对上述讨论不会带来大的改变。对于速度和温度来说，不同的η允许相似和独立的转捩过程。
6 结论流体在电加热圆管内自然转捩过程中的振荡统计特性和流动及传热行为，可以用层流和湍流2种流动模式的运动合成、合成比例的振荡和最小熵产生准则进行解释。
(1) 在自然转捩区间流动是充分发展的层流与湍流2种模式的流动按比例的合成。合成流动由2种流动模式的合成比例描述。
(2) 在层流向湍流过渡的转捩过程中，合成比例会发生振荡，并控制层流向湍流过渡的自然转捩行为。
(3) 在电加热圆管内的流体，其速度和温度可以有相似和独立的转捩过程。
(4) 圆管内层流向湍流的转捩过程，可以与热力学平衡系统中发生的连续相变过程进行比较。描述后者的序参数和振荡区间等概念，可以在流动转捩研究中采用。
| [1] | Mullin T. Experimental studies of transition to turbulence in a pipe[J]. Annu Rev Fluid Mech, 2011, 43: 1–24. DOI:10.1146/annurev-fluid-122109-160652 |
| [2] | Linne D L, Meyer M L, Edwards T, et al. Evaluation of heat transfer and thermal stability of supercritical JP-7 fuel[R]. AIAA-97-3041, 1997. |
| [3] | Huang H, Sobel D R, Spadaccini L J. Endothermic heat-sink of hydrocarbon fuels for scramjet cooling[R]. AIAA-2002-3871, 2002. |
| [4] | Eckert E R G, Drake R M JR. Analysis of heat and mass transfer[M]. McGraw-Hill Kogakusha, Ltd, 1972. |
| [5] | Durst F, Vnsal B. Forced laminar-to-turbulent transition of pipe flows[J]. J Fluid Mech, 2006, 560: 449–464. DOI:10.1017/S0022112006000528 |
| [6] | Reichl L E. A modern course in statistical physics[M]. A Wiley-Interscience Publication, John Wiley & Sons Inc, 1998. |
| [7] | McComb W D. The physics of fluid turbulence[M]. Claredon Press, 1992. |
| [8] | Bergman T L, Lavine A S, Incropera F P, et al. Fundamentals of heat and mass transfer[M]. 7th ed. John Wiley & Sons Inc, 2011. |
| [9] | Rohsenow W M, Hartnett J P, Cho Y I. Handbook of heat transfer[M]. 3rd ed. McGraw-Hill Book Company, 1998. |
| [10] | Landau L D, Lifshitz E M. Fluid mechanics[M]. 2nd ed. Pergamon Press, 1987. |
| [11] | Lifshitz E M, Pitaevskii L P. Statistical physics[M]. Part 2, 2nd ed. Pergamon Press, 1980. |
| [12] | Cowan B. Topics in statistical mechanics[M]. Imperial College Press, 2005. |
| [13] | Landau L D, Lifshitz E M. Statistical physics[M]. Part 1, 3rd ed. Pergamon Press, 1980. |
| [14] | Henkel M, Hinrichsen H, Lübeck S. Non-equilibrium phase transitions, VolumeⅠ:Absorbing phase transitions[M]. Canopus Academic Publishing Limited, 2008. |
| [15] | Zhang L, Zhang R L, Xiao S D, et al. Experimental investigation on heat transfer correlations of n-decane under supercritical pressure[J]. International Journal of Heat and Mass Transfer, 2013, 64: 393–400. DOI:10.1016/j.ijheatmasstransfer.2013.04.058 |
| [16] | Nishi M, Vnsal B, Durst F, et al. Laminar-to-turbulent transition of pipe flows through puffs and slugs[J]. J Fluid Mech, 2008, 614: 425–446. DOI:10.1017/S0022112008003315 |
| [17] | Nishi M. Laminar to turbulent transition in pipe flow through puffs and slugs[D]. Der Technischen Fakultät der Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg, 2009. |