边界层转捩伴随着壁面摩擦和热交换特性的急剧变化，对于飞行器[1]、燃气涡轮发动机[2]等工程设计有重要的意义。转捩过程的物理机制复杂、影响因素众多，所以边界层转捩长期以来一直是流体力学中的热门课题，至今仍有许多问题尚待解决。
边界层流动往往受到包括壁面粗糙度、自由来流湍流度、压力梯度、三维流动、壁面温度、壁面曲率、马赫数等多种因素的影响。流动条件不同，从层流到湍流转捩的机制也不甚相同。低速边界层流动的转捩可以分成2类：第1类与边界层的不稳定性相关，当环境扰动较低时，不稳定性发展放大、相互作用，并最终导致转捩；第2类转捩被称为Bypass转捩，在环境扰动(来流湍流度、壁面粗糙度)较高时，直接由外部扰动导致层流发生转捩[3]。在飞机巡航的低湍流度(0.03%~0.05%)高空大气环境下，机翼上可能出现 T-S(Tollmien-Schlichting)转捩、横流(Crossflow)转捩、Gotler转捩和接触线(Attachment-line)转捩[4]。在燃气涡轮发动机中，来流湍流度一般在5%到10%，如果叶片刚好处在上一级叶片的尾迹中时，来流湍流度可以达到15%到20%[5]，边界层转捩以Bypass转捩为主。高速可压缩流动中，除了存在低速流动中出现的不稳定性之外，声波对边界层的稳定性具有显著影响[6]。在平板或翼型的前缘，即沿程雷诺数很低的位置上，声波因边界层对其有较强的感受性而诱发出F模态与S模态。这2种模态发展到一定雷诺数的位置上后出现相速度同步。在2种模态的相互作用下，S模态迅速失稳形成Mack第二模态而F模态趋于稳定。这类失稳过程的本质是声波在声速线反弹而被困在边界层内，所以要求边界层外边界的当地马赫数大于1才会出现。
转捩的预测方法是转捩研究的重要课题，既是现代工程设计中的需求，也是转捩基础研究成果的实际应用。转捩的预测方法有稳定性理论方法、低雷诺数湍流模型法、转捩模型法等[7]。当然模拟转捩过程可以用直接数值模拟(DNS)或者大涡模拟(LES)，但是其计算量太大(相当于Re9/4)，适用于转捩机制和建模方法的研究而不适用于工程中的转捩计算[8]。稳定性理论方法基于对扰动控制方程的稳定性分析，以20世纪50年代提出来的半经验的eN方法[9, 10]为典型代表。半经验eN方法通过线性稳定性理论计算TS波增长的幅度A，当A与初始扰动的幅值之比达到eN倍时，就认为发生转捩，其中N是一个由表面粗糙度和来流条件决定的经验参数。即
该方法需要计算扰动在整条流线各个位置上的增长率[5]，这样就给工程领域中复杂流动的计算带来了不小的麻烦。不过这种方法因为出现的时间较早，并且经过实践证明对简单几何外形的绕流计算具有一定的实用性，所以直到近几年还有不少人在进行这方面的工作[11]。
湍流模型的发展和完善促使CFD技术在航空工程中扮演越来越重要的角色。诸多成熟的湍流模型，比如S-A模型[12]、k-ε模型[13]、k-ω模型[14]、雷诺应力模型[15]以及在这些模型的基础上发展出来的SST模型[16]、v2-f模型[17]等被广泛地用于可压缩/不可压缩边界层湍流、自由剪切湍流、分离流等各种湍流现象的工程计算。Rumsey & Spalart[18]对比了SA模型和SST模型对平板、二维翼型、三维机翼在亚声速/超声速条件下的计算结果之后，确认经典的高雷诺数湍流模型不具备计算转捩流动的能力。
以准确表达转捩前、中、后的流动特性、准确判断转捩开始、完成位置为目标，经过多年的尝试和改进，形成了较为完善的转捩模型。转捩模型的出现与发展极大地扩展了湍流模型计算转捩流动的能力，为工程应用中低雷诺数流动的阻力特性、热交换特性以及分离特性的评估提供了直接的帮助，为转捩控制方法的研究提供了快捷的数值实验平台。
根据构建模型的思路、方法不同，转捩模型可以分成4种类型：(1) 低雷诺数湍流模型；(2) 间歇因子模型；(3) 层流脉动模型；(4) 不稳定波模型。下面分别对这4种转捩模型具体阐述。
1 表征转捩的低雷诺数湍流模型带有转捩描述的低雷诺数湍流模型出现最早，形式也最简单。Wilcox的低雷诺数k-ω模型[19]就是这类转捩模型的代表。早在1975年，Wilcox就提出，如果合理地利用湍流模型中雷诺应力对上游信息的依赖性，则能够使湍流模型具备预测转捩的能力[20]。根据他对湍流模型的理解，湍流模型之所以具有计算湍流的能力，一方面，模型方程的构建是从精确的输运方程出发，对方程各项加以建模得到；另一方面，模型方程中的封闭系数是根据湍流的信息进行确定，比如随时间衰减的各项同性湍流、具有相似性的壁面边界层湍流等。
将k-ω模型方程的“产生项”与“耗散项”合并得到“净产生项”：
Wilcox对上述方程进行了仔细地分析后发现[19]，如果Pk<0,Pω<0，耗散项大于产生项，湍动能和耗散率都维持在很低的水平，流动保持“层流”；如果Pk>0,Pω<0，湍动能开始增长，而耗散率仍旧维持在较低的水平，流动进行“转捩”；如果Pk>0,Pω>0，湍动能和耗散率都维持在较高的水平，流动进入完全“湍流状态”。那么Pk=0与Pω=0所对应的雷诺数分别是转捩开始和转捩结束的临界雷诺数。由此，根据实验测得转捩开始和转捩结束的雷诺数，对原本的模型封闭系数进行改造，用湍流雷诺数构造渐近函数：
Patel等人使用Wilcox低雷诺数k-ω模型的经验表明，该模型对于用粗糙带进行强制转捩的流动计算效果不错，同时也注意到该模型得出的转捩区间长度太短[21]。
为计算转捩而作低雷诺数修正的还有Launder & Sharma的低雷诺数k-ε模型[22]。他们的做法是用湍流雷诺数RT修正湍流粘性系数以及耗散率方程中一个封闭系数：
Craft等人[23]的k-ε-A2模型也是对湍流粘性系数的表达式进行了低雷诺数修正。Craft的模型能够准确模拟零压力梯度平板边界层的转捩，但是对于顺压梯度或者逆压梯度时转捩的计算则明显提前，并且有时候会出现数值不稳定现象[24, 25]。
根据Savill的结论，用湍流雷诺数来判断转捩开始的效果还是不错的[26]。总的来说，表征转捩的低雷诺数修正已经是湍流模型向前迈进的一大步。
考虑到低雷诺数修正的方法与湍流模型本身的性质有着非常紧密的联系，其转捩计算结果可能仅仅是一种数值现象[27]，也可以理解是Wilcox从数学的角度证明对模型方程系数的改动可以让其具有准确计算转捩的能力。作为模拟转捩的早期成果，这种转捩模型意义重大。
国内学者在低雷诺数修正模型中做了较多的研究工作，例如徐星仲[28]、钱炜琪[29]、严明[30]、张扬[31]等或将渐进函数引入不同的湍流模型，或改进了渐进函数的表达式，使得湍流模型获得了一定程度上准确预测转捩位置的能力，提高了湍流模型在计算流场阻力的准确性。
肖志祥等人在对B-L模型和S-A模型进行修正的过程中注意到，更复杂的S-A模型能够反映流动参数的细节变化[32]，这一观点与近年来转捩模型的发展一致：对湍流模型的改进不仅仅能够准确预测转捩发生的位置，而且能够一定程度上表达转捩过程中物理量的变化，并且试图通过准确计算这些物理量的变化过程来更准确地预测复杂流动条件下的转捩位置和流动特性。
2 表征湍流发生的间歇因子模型早期的研究就注意到，转捩总是发生得很突然，并且转捩位置会前后移动[33]。Emmons[34]提出，转捩现象实际上是层流边界层内产生具有湍流特性斑点的过程。这些斑点在层流与湍流的界面上组成粗糙的动态锯齿形状，具体到每个位置上的状态可以用湍流出现的概率进行描述。Emmons关于“湍流斑”的理论，很快被Schubauer & Klebanoff的实验[35]证实。Dhawan & Narasimha[36]根据Emmons的理论，提出用“间歇因子”来定量地描述湍流的产生过程，并根据实验结果给出了转捩过程中间歇因子的表达式：
Libby[37, 38]根据湍流场边界的间歇性特点，借助条件平均方法，用带有间歇因子的输运方程来计算湍流，以解决湍流模型计算湍流区域与层流区域之间的过渡问题。此前的计算都近似认为到某一位置后流动就陡然从层流变成湍流，由此造成摩擦阻力和边界层厚度的偏差[39]。Dopazo[40]参照Libby的方法，详细推导了经过条件平均后流场输运方程的精确表达式，为湍流边界标量场的计算奠定基础。随后，Chevray & Tutu[41]通过常规测量和条件测量，对加热射流的实验数据进行分析，并以此为基础推导了动量和能量的带有间歇因子的条件平均输运方程。
沿用间歇因子概念，Cho & Chung[42]用雷诺平均方程，在k-ε模型的基础上，为间歇因子构建了输运方程，即k-ε-γ三方程湍流模型，用该湍流模型对平面射流、圆柱射流、平板尾迹和平面混合层进行了计算。尽管并没有进行边界层转捩计算，他们的方法为转捩模型的发展，尤其是在计算间歇因子空间分布上提供 了宝贵的借鉴。Steelant & Dick[43]对Navier-Stokes方程作条件平均，并构建了描述边界层转捩的间歇因子方程，耦合求解，使得转捩区间间歇因子的流向分布计算结果与Dhawan & Narasimha给出的间歇因子分布相吻合，但并没有考虑边界层法向的间歇因子分布。
Suzen & Huang[44, 45]在SST模型上增加了间歇因子的输运方程，将Steelant & Dick与Cho & Chung的间歇因子方程综合，同时考虑边界层中流向和法向的间歇因子分布，计算结果与Savill[46, 47]的T3系列边界层转捩实验结果吻合很好。在此之前没有模型能够同时准确计算一系列条件下的转捩位置和转捩区间的长度。Suzen & Huang的间歇因子方程如下：
其中，T0是为了重现Dhawan & Narasimha实验结果而加入的产生项。转捩区的计算沿用了Mayle[2]的表达式：
其中
=nυ2/U3是无量纲的湍流斑产生参数。
用参数Kt=(υ/U2t)(dU/dx)t来衡量当地流动的加速度，则湍流斑产生参数
压力梯度参数λθ=(θ2/υ)(dU/ds),
分离流动转捩位置的经验公式：
可以看到，Suzen & Huang的模型已经相当完善，对于来流湍流度、压力梯度、分离等主要影响因素的考虑已经充分地融入模型中，经验公式的加入意味着计算转捩的准确性在一定范围内得到有效的保证。当然，Suzen & Huang的间歇因子模型无论是在转捩区域还是在湍流边界层的上边界都能光滑过渡，这也是综合了前人工作成果才达到的效果。
受Van Driest[50]经验关系式的启发，Menter[51]建立了依赖经验公式的间歇因子转捩模型，提出“当地量”的转捩计算方法。此前的模型都或多或少地要对边界层进行积分。尽管当时的模型不算太完善，这种理念却影响深远。Menter & Langtry[52, 53]在SST模型的基础上附加了间歇因子和动量厚度雷诺数2个输运方程：
Menter的思路非常清晰：用动量厚度雷诺数来判断转捩的开始，用间歇因子来描述转捩的过程。动量厚度雷诺数原本需要对边界层的速度进行积分运算才能得到，这里对其进行了抽象，将其当做一个流场的当地量用输运方程进行计算，所以会看到计算结果中在相同流向位置、不同法向高度位置上的动量厚度雷诺数其实是不一样的。从方程上来看，空间中某个位置上的动量厚度雷诺数会快速增长，直至达到当地的临界动量厚度雷诺数为止，而边界层内却没有相应的源项，完全依赖扩散进入边界层：
间歇因子的产生项则是用当地的涡量雷诺数与计算出来的动量厚度雷诺数进行比较进而确定： 该模型方程通过破坏项/再层流化项把层流边界层中的间歇因子保持近乎为零并且让模型具有模拟再层流化现象的能力： 为模拟压气机和低压涡轮中常见的层流分离泡现象，增加了描述分离的间歇因子
与 Suzen & Huang的模型相比，Menter & Langtry在实现“当地变量”的计算方法中考虑得更加周到。不难发现，其实在Menter & Langtry的四方程转捩模型中，并没有 完全摒弃湍流雷诺数RT这样一种简单的、多年以前就在使用的转捩判断依据。
一方面，使用当地量对于工程应用的意义非常重大，比如并行计算、非结构网格和复杂流动问题，Menter、Langtry[54, 55, 56]也是多次强调；另一方面，基于经验公式的构建思路优势非常明显，不用做太多的修改就可以移植到其它人现有的成熟CFD代码上、与其它湍流模型进行整合、添加其它转捩机制的经验公式进入模型。Menter的成果很快得到了业界的认可与学者们的积极响应。该模型为转捩模型的二次开发者 提供了一个非常优秀的平台：Medida & Baeder[57]将γ-Reθ方程与航空工程中更常用的S-A相结合；Watanabe等人[58]和Seyfert等人[59]添加了横流转捩的经验关系式；Lin等人[60]添加了更适合发动机吊舱的经验关系式；Dassler[61]为模拟粗糙对转捩的影响而添加“粗糙放大因子”的输运方程。
Seyfert[62]对比了间歇因子转捩模型与eN方法预测转捩的结果，表明对于分离导致的转捩预测γ-Reθ模型表现得非常好，但是如果来流湍流度大于0.1%，那么边界条件的设置就比较麻烦，而对eN方法来说，来流湍流度只影响经验参数N。对于简单的流动来说γ-Reθ模型的计算更加耗时，而对于大型三维计算来说γ-Reθ模型可能会因使用当地变量的并行计算而更加有效。
国内学者对间歇因子模型也进行了一些研究，例如孙振旭等[63]在涡粘系数输运方程的基础上增加了间歇因子方程，他们的方法更接近早期间歇因子模型的理念，即用间歇因子作为层流区与湍流区、边界层与外部流动过渡的方式，而没有引入经验相关公式。张玉伦等[64]对γ-Reθ模型中来流湍流度的表达式做了改进，用一个以入口湍流度为变量的显示表达式取代当地变量的计算获得自由流动中的湍流度，好处是这样更方便与实验结果相对照而不至于引起“来流湍流度”概念的模糊，这实际上是湍流模型本身对转捩模型运算过程的影响。张晓东等[65]比较了基于SA模型和基于SST模型的γ-Reθ转捩模型之后同样注意到了这一点：SA模型对带有激波的流场计算结果准确性下降。同时他们也指出更多的方程计算同样的流场需要更多的时间，这个问题对于具有3到4个方程的转捩模型来说尤为突出。
Menter & Langtry的模型以工程应用为出发点，依靠经验公式，力求简单、实用，对转捩具体机制则不做深究，是这一类模型的典型代表。
3 表征扰动发展的层流脉动模型用模型方程来计算扰动在层流中发展的过程进而判断转捩是转捩模型的另一种思路。
Lin[66]对自由来流扰动进入边界层过程进行了深刻的理论分析，认为层流中的脉动主要是通过自由来流中的压力脉动而不是通过扩散进入边界层。他用非定常欧拉方程消去边界层方程中的压力项，并假设自由来流扰动的频率满足ωυ/δ2的关系，得到层流脉动速度u′的渐近解：
根据Lin的理论，只有当自由来流中的湍流度与流向距离无关的时候，层流脉动才不会产生雷诺应力[67]。当来流湍流度很低的时候，来流脉动在流动方向的衰减不太明显，层流中雷诺应力可以忽略不计，但是当来流湍流度较高的时候，如6%甚至更大，那么雷诺应力就不能忽略不计了。正如Dyban[68]的结果所展示的那样，层流边界层的时间平均速度型受到了明显的影响。Volino & Simon[69, 70]在实验中发现，如果来流湍流度较高，早在转捩开始以前，边界层内就会出现明显的雷诺应力。这种现象必然导致层流边界层的摩擦和热传导显著增强，因此很有必要在数值模拟中加以考虑。
Mayle[67]提出了新的转捩模型，借用Lin的方法，用非定常欧拉方程消去压力项，推导出层流动能的输运方程：
该方程与常见的湍动能方程最大的不同之处在于，“压力脉动项”为层流动能方程提供了主要的产生项，对应层流中的脉动动能与湍流中的脉动动能不同的产生机制。这样，就用一个模型方程描述了边界层扰动的感受过程和发展过程。
关于转捩的判断依据，Liepmann[71]提出，当边界层内雷诺应力与壁面剪切应力相等的时候转捩即开始。Sharma[72]给出该方法的数学表达式：
Mayle以此为基础进行了调整，并且测试了来流湍流度1%这样一个介于自然转捩和Bypass转捩之间的算例，结果表明该模型对这种条件有相当好的适应性。
继Mayle之后，Volino[73]在模型中也考虑了层流中的雷诺应力。Volino将动量方程的粘性系数分成了3个部分：分子粘性、湍流粘性系数和由自由来流引起的涡粘系数，即：
并根据Bradshaw[74]提出的Splat机制，自由来流中的脉动速度v′直接与层流边界层中的流向脉动速度u′相关，再假设v′与到壁面距离的尺度相同，进而用v′替代混合长模型中的长度尺度，即可得到层流中雷诺应力对应的旋涡粘性系数：
Volino的方法极大地改进了标准的混合长模型。由于这种将层流脉动与湍流脉动产生的涡粘系数分离的方法比较简单而易于操作，所以也可以很方便地用到其它现有的湍流模型上。
同样是考虑到分裂机制中脉动速度v′的重要意义，Lien等[75]将k-ε-v2模型[76]应用到了Bypass转捩的模拟。值得一提的是，该模型没有使用间歇因子而实现了从层流到湍流的光滑过渡。使用该模型的计算结果表明，在低湍流度下转捩位置的预测被提前了，并且低估了u′的峰值，出现这种情况的原因可能是源项f在转捩区间的能量传递需要更进一步的调整[7]。
Johnson[77]根据先前的直接数值模拟结果[78]，在构建模型的时候也尝试模拟自由来流中的脉动进入边界层的过程，发现计算中当来流湍流度较低的时候，也就是积分长度尺度与边界层厚度相近的时候，转捩的位置、转捩区长度与积分长度尺度有明显的依赖关系，而湍流度越高，这种依赖关系则越不明显。Jacob[79]的DNS结果表明，自由来流中只有低频大尺寸旋涡能够进入边界层，可能与Johnson的计算结果有一定的联系。
Walters & Leylek[80]提出了使用当地变量判断转捩的kl-kT-ε三方程模型：
该模型沿用了Mayle & Schultz关于层流动能的概念，将流动中的脉动动能分成了层流动能kL和湍流动能kT两个部分，并提出低频扰动对应的大尺寸旋涡正是在壁面限制下才出现了Splat机制，当远离壁面或者旋涡尺寸较小的时候不出现Splat机制，进而定义有效长度尺度
根据有效长度尺度，将湍动能分成了小尺度湍动能kT,s和大尺度湍动能kT,l，并且对应地将涡粘系数分成了大尺度粘性系数和小尺度粘性系数，再用大、小尺度粘性系数定义层流动能方程和湍流动能方程的产生项。脉动动能的耗散率也被分成了3个部分
方程中的ε,DT,DL，分别是远场耗散、由壁面无滑移条件对层流脉动和湍流脉动产生的耗散，在后续的文章中[81]被称为各项同性耗散与非各向同性耗散。
在能量的输运项中，使用了3个当地的雷诺数：基于湍动能的雷诺数√kT d/υ、基于剪切率的雷诺数d2S/υ和基于层流动能的雷诺数 √kL d/υ，当这些雷诺数或者其组合形式超过一个临界值:CBP,crit和CNAT,crit，模型就会激活能量传递项，让层流动能转化成湍流动能。这样的判断方法与先前Menter提出的使用当地量的间歇因子模型判断转捩的方式有类似之处。
Walters的模型[80, 81]构建之初就试图表达完整的转捩过程，尤其是转捩过程中的能量传递，很少有人会对其进行建模。目前没有看到有文章做更进一步的尝试。
当然，Walters等人将关注的重点放在了Bypass转捩之前的脉动变化而没有进一步考虑模型在计算其它流动现象时的性能，比如分离流动。为此，陈灿平等[82]引入分离敏感参数Cs修正小尺度粘性系数的表达式，增大了模型在分离区的湍流产生能力，进而改进了其在流动分离区域的计算准确性。宋博等[83]用层流动能方程对高超声速边界层的转捩进行了预测，这里的方程形式被假设与不可压缩流动中一致，但是时间尺度中增加了Mack第二模态。结果表明不可压缩流动的间歇因子经验公式并不太适用于可压缩流动。
4 表征不稳定性模态的不稳定波模型稳定性理论从波动的角度看待扰动在边界层内的发展。eN方法计算不稳定波的增长率及放大因子N就是稳定性理论的直接应用[84]。稳定性理论以数学中特征值理论为出发点，经过了大量的研究，并且通过eN方法在实践中有不少的应用。由于这类计算对条件有很苛刻的要求，复杂流场的适应性不好。对于复杂的转捩机制，如高超声速边界层的转捩预测，从Su & Zhou[85]的研究结果来看，需要对传统的eN方法进行明显的人为调整才能得到与实验相符的结果，所以这种方法本身对于工程应用来说就具有一定的难度，还有待进一步发展和完善。
如果能在转捩模型中使用稳定性理论的成果，则能够弥补eN方法在实践中的诸多不足之处。
Wilcox曾指出，k-ω模型中，单位湍动能耗散率的倒数实际上就是一种时间尺度，意味着ω可以表示某一种波动的频率。根据这种理解，Young[86]提出用不稳定波的长度尺度或频率来构造层流边界层中的涡粘系数：
在Young的模型中，使用Mitcheltree[87]的一方程湍流模型计算脉动动能，而使用Walker[88]的经验公式来计算最不稳定TS波的频率：
Warren & Hassan[89, 90, 91]沿用了Young表达不稳定波的方法，在Robinson等人[92]的k-ζ模型的基础上，分别对由TS波与横流波主 导的转捩流动进行了建模。Warren & Hassan认为k-ζ模型在模拟湍动能(k)方程与涡拟能(ζ)方程的过程中并没有刻意强调流动究竟是层流、湍流还是转捩流动，所以模型方程不需要改动而可以直接用于转捩流动的计算，仅仅需要修改涡粘系数中的时间尺度即可：
Nance[93]在该模型中加入了Mack第二模态时间尺度用以计算高速流动的转捩：
Mack第二模态：
并进行了实验验证[94]。Edwards等人[95, 96]将不稳定波的时间尺度加入到层流脉动动能的输运方程中，形成了涡粘系数的一方程转捩模型，并用Dhawan & Narasimha的间歇因子函数与S-A模型作过渡。Song & Lee[97]在他们之前工作的基础上，将Farve平均层流动能方程模型化，加入Nance的可压缩模态时间尺度用以封闭模型，同时模拟了可压缩流动中特有的压力功项、压力扩张项，结果表明该模型在计算高超声速的边界层转捩流动具有不错的效果。
对于转捩开始的判断，Warren & Hassan的模型及其扩展形式均使用湍流雷诺数RT(认为当RT≥1的时候转捩发生)，很容易让人联想到Wilcox用湍流雷诺数RT构造渐近函数的k-ω转捩模型。有文章发现这种判断方法对几何外形具有一定的依赖性[95]。
Wang & Fu[98, 99, 100, 101, 102]根据Rumsey[103]的建议(没有必要将层流脉动和湍流脉动区分并作2个输运方程来计算)，将SST模型中的k作为层流脉动动能与湍流脉动动能之和，并增加了完全使用当地变量的间歇因子输运方程：
用不稳定波的时间尺度加入到涡粘系数的表达式中以模拟不稳定波的发展过程，同时不失为一种模块化地改造转捩模型以适应不同转捩机制的形式：
第一模态
第二模态
横流模态
转捩长度尺度
不稳定波时间尺度的构造使用流场中的“当地变量”(相比之下Warren & Hassan使用的是边界层的厚度和位移厚度)，免除了边界层积分量的计算，便于在非结构复杂网格上进行计算。转捩起始的判断用了形式比较复杂的参数，并以渐近函数的形式出现在间歇因子方程的产生项中，让输运方程在迭代中自动完成间歇因子的增长。
Wang & Fu模型的构建思路用到了多年以来转捩模型研究诸多的重要成果，无论是方程的组成形式还是其计算转捩的效果来看都达到了比较完善的程度，应该具有不错的实用性。Tu等人[104]对Wang & Fu的模型做了一点改进，用剪切变形率S替换了能量的梯度|Eu|以减小存储需求。尝试计算的结果表明，该模型对从低速到超声速流动转捩都能准确地预测。同时Tu指出计算发现间歇因子γ收敛速度较慢，原因可能在于该模型中间歇因子的增长受到间歇因子方程和当地变量k的反馈限制。
到目前为止，稳定性理论成果的应用还比较浅显，毕竟2种方法区别较大，统一起来存在难度。
5 讨 论前面回顾了4个种类的转捩模型：只进行简单修正的低雷诺数湍流模型、根据经验公式判断转捩的间歇因子模型、考虑感受性机制的层流脉动模型、借助稳定性理论的不稳定波模型。不难发现，无论是模型方程的构造方法，还是转捩预测的实际效果，转捩模型已经发展进入到比较成熟的阶段。那么，现有转捩模型仍存在那些不足？是否还有进一步发展的空间？多年的发展给我们留下了哪些宝贵的经验？还需要做进一步的探讨。
首先，我们清楚地看到转捩模型的发展建立在转捩研究的基础上，而物理机制和经验公式是转捩研究的主要成果。物理机制的研究主要是探讨转捩过程中流场的详细变化及其原因；经验公式的建立则是通过分析大量的统计数据，用数学表达式将转捩起始位置、转捩区长度等工程中关心的信息与流场条件联系起来。前者复杂而严谨、后者明确而直观。在转捩模型中如何取舍这2类研究成果，是在转捩模型构造之初就必须思考的问题。
若要用模型方程表达物理过程，无外乎出于以下几点考虑：
(1) 借助对转捩的物理过程进行细致的描述，更加准确地计算转捩过程中出现的多种流动特性；
(2) 参考湍流模型的构造经验，如果转捩模型方程能够接近流动的本质，那么也许可以改进模型对于复杂流动中转捩计算的准确性；
(3) 弱化对经验公式的依赖，对转捩的判断更合理、更有说服力；
(4) 随着转捩过程物理机制的深入研究，对物理过程建立模型可能要比做大量实验以获取经验公式更快捷；
(5) 学术上的追求，大量使用经验公式这种以“简单方法解决复杂问题”为指导思想的工程型方法总看起来不够“完美”。
然而用模型表示转捩的物理过程并不简单。完整的转捩过程包括感受、发展和破碎3个阶段，其中发展阶段相对简单，感受和破碎2个阶段更加复杂，也是现今转捩物理机制研究的重点。
自由来流中的旋涡扰动进入边界层的感受过程被Bradshaw[74]称为Splat机制，简单地说就是在壁面的作用下自由来流中的法向脉动进入边界层之后变成了流向脉动，进而出现“层流脉动动能”。Jacobs & Durbin[79]发现只有相对较大尺度的脉动才会进入边界层，于是Walters & Leylek[80]在其kl-kT-ε模型中，用有效长度尺度分离出这种“长度尺度相对较大的湍流脉动”，并以“大尺度粘性系数”的形式出现在“层流脉动动能”的产生项中。如果将Splat机制中壁面对脉动的“redirection”作用理解成剪切的结果，那么这种建模非常合理，计算结果与实验结果的吻合也很好。当然，这里有个默认的假设：层流中出现雷诺应力是层流中大尺度湍流脉动的结果。这样的说法看起来比较矛盾，因为Walters & Leylek的“层流脉动动能”实际上表示的是一种特定的非各项同性脉动的能量，而“湍流脉动动能”则表示的是另一种非各项同性脉动与各项同性脉动之和的能量。这一点可以从文章中将耗散率拆分成3项看出。反观Boussinesq涡粘系数的概念，与流动方向垂直的脉动带来的动量交换才会产生旋涡粘性，所以Walters & Leylek的处理也是合情合理。
对于高超声速边界层来说，在前缘附近，快、慢速声波与F模态、S模态不稳定波的时间尺度和长度尺度基本一致，所以并不需要复杂的尺度转换机制即可进入边界层，但是声波在飞行器前缘附近可能发生散射、衍射等声学现象，从而影响前缘对声波扰动的感受性[6]，这一点似乎还没有在转捩模型的研究中有所体现。另外F模态对有旋扰动的感受性取决于沿程雷诺数的现象以及F模态与S模态相互作用而诱发Mack第二模态的过程也没有被考虑到转捩模型中。所以目前对高超声速转捩模型来说，采用Warran & Hassan的方法，将Mack第二模态简化成一个不稳定波的时间尺度带入层流粘性系数进行运算不失为一个不错的选择，这也正是McDaniel等[94]、Song & Lee[97]、Wang & Fu[98]所采用的方法。另一个问题是从雷诺平均方程到Favra平均方程所带来的变化。为了能准确计算Ma>5的层流动能方程，Song & Lee[97]增加了显式的可压缩效应相关项，并参照对于可压缩湍流的研究结果对其进行了建模，计算结果表明这样做确实改进了对转捩位置预测的准确性。
关于转捩的破碎阶段，Walters & Leylek根据Andersson的观察结果，用湍动能、有效长度尺度和分子粘性组成一个当地变量来进行判断。Walters & Leylek在文章中坦言，到目前为止，破碎开始的机制并没有研究清楚，于是只能通过流场中一些具有代表性的无量纲参数构造渐近函数。此前，Mayle的层流动能模型也出现类似的情况。这其实相当于将这些无量纲参数与破碎现象建立了某种经验公式。这种经验公式肯定在模型的计算中有不错的效果，但是并不一定与实际中的数据相符合，有可能仅仅是作为一种数学手段而被创造出来。这其实就与Wilcox的低雷诺数修正没有本质的区别，只是总体上来说，低雷诺数修正忽略的因素太多而已。
所以，在目前对转捩认识水平的基础上，想要用模型来模拟完整的物理机制基本上还是不可能的，还必须要或多或少地依赖经验公式，甚至需要用到纯粹为数值计算而构造出来的关系式。
依赖经验公式，肯定能解决不少工程问题，但是也有不足之处。
很多情况下，只需要知道转捩开始的位置，然后做出合理的过度，最后完全使用湍流模型就可以了，这也是基于经验公式的转捩模型的一贯做法。有时候，也还需要考虑其它的因素，比如转捩之前的雷诺应。其实借助经验公式也可以做到，不稳定波模型[89, 90, 91, 98, 99, 100, 101, 102]本质上就是这样的例子，只是用稳定性理论帮助建立经验公式而已。
用经验公式判断转捩，思路上简单明确，但是在程序中操作起来不是那么简单，因为经验公式(如 Abu-Ghannam & Shaw[49]的成果)多数要用到边界层的宏观量，如动量厚度这样的积分量。Menter & Langtry基于“当地变量” 的模型[51, 52, 53]革新了经验公式的使用模式，几乎彻底解决了这个困难，并且以模块化的思路设计了转捩模型。于是，如前面所述，各种新近总结出来的经验公式立刻被加入到了转捩模型中。
但是当地变量也会带来一些新的问题。基于当地化的考虑，Menter & Langtry用当地湍动能和当地速度计算湍流度，而不是自由来流的湍流度，与通常的经验关系式有显著的不同，于是不能使用现有的经验结果、需要重新建立。另外，正因为当地速度的使用，导致该模型不具有伽利略变换不变性，即临界动量厚度的计算结果随参考系选取的不同而发生变化。尽管这个缺陷对于通常的计算情况，即所有壁面都位置固定并与参考系固连时不会有任何影响，但是若有移动壁面的情况则会出现问题[7]。
另外，转捩模型的一项重要任务是评估转捩控制方法在工程中的应用效果。常见的层流控制手段，比如吸气控制，对于二维平板边界层来说，改变时间平均速度型而改变扰动的增长率，进而抑制扰动增长、延迟或消除转捩；对于三维平板边界层而言，均匀排布的孔型吸气导致边界层内出现整齐的横流涡，这些横流涡的间距决定了流场对边界层二次不稳定性的抑制情况，进而提前或延迟转捩[105, 106]。用传统的经验公式模拟前者比较容易，但是模拟后者的效果恐怕就不那么理想了，因为微观的物理机制产生了决定性的影响。至于新型的控制方法，如放置在机翼前缘的粗糙单元控制[107, 108, 109]、柔性壁控制[110, 111]等等，同样都涉及到更深入的物理机制，单凭经验公式应该是不够的，或者说还需要构建新的经验公式用于帮助解决转捩模型中遇到的问题。
事实上，即使用稳定性理论预测转捩也不能回避经验公式的使用，比如eN方法。近年来，稳定性理论的一些高级方法，比如非线性稳定方程(NPSE)被大量地使用来研究转捩破碎的机制，例如二次不稳定性的研究[112, 113]。如果考虑二次不稳定性，并借用这些方法的结果来做经验公式，用于判断破碎的开始可能会更合理、准确，Malik[112]就认为用二次不稳定性作经验公式比只考虑主模态更可靠。目前，对三维边界层转捩中二次不稳定性的产生已经有一些研究结果，不过具体如何进行是值得研究的问题。
6 结 论将转捩模型分成了4种类型，分别回顾了的其发展背景和构建思路，并在此基础上进行了讨论。经过多年的发展，转捩模型的准确性和实用性已经明显提高，普遍具有以下几个特点：
(1) 借助经验公式全面考虑环境对转捩的影响因素；
(2) 一定程度上体现转捩的物理机制；
(3) 附加方程以计算额外的转捩相关变量；
(4) 使用“当地变量”进行计算；
(5) 模块化设计、可移植性好。
转捩模型的发展当然首先应该考虑工程中的实际需求。限于对转捩机制认识的不足，目前的转捩模型仍旧不能完整地表达转捩的物理机制，进而对于涉及到这些机制的层流控制方法不能有效地模拟，所以转捩模型的发展应与转捩机制的研究同步进行。常用的经验公式都是多年以前给出的结果，与目前转捩模型发展的需求已经不太适应，需要以新的思路来研究转捩过程的参数变化。最后，转捩模型的发展还应该以更简洁、更可靠、更通用为目标，并且兼顾考虑降低对于边界层网格的依赖性、减少计算量、提高收敛速度等方面的问题，从而更好地体现在工程中的价值。
国内对转捩模型研究的起步较晚，不过也达到了较高的水平。随着我国工业水平的逐渐提高，准确预测复杂流动中转捩位置的计算模型势必会为高水平的工程设计提供有力的帮助。
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