2. 中国空气动力研究与发展中心低速空气动力研究所，四川绵阳 621000;
3. 中国空气动力研究与发展中心计算空气动力研究所，四川绵阳 621000;
4. 国防科技大学，湖南长沙 410073
2. Low Speed Aerodynamics Institute, China Aerodynamics Research and Development Center, Mianyang 621000, China;
3. Computational Aerodynamics Institute, China Aerodynamics Research and Development Center, Mianyang 621000, China;
4. National University of Defense Technology, Changsha 410073, China
三角翼、双三角翼或钻石翼布局在现代战斗机中广泛应用, 可以提高失速迎角, 产生更大的升力, 其气动特性主要与背风区流场的旋涡非定常运动有关, 因此对旋涡运动特性的分析、预测具有重要意义.
试验测量是旋涡运动研究中常用的方法, 为了避免对旋涡特性产生干扰, 试验须采用非接触式流场测量方法, 其中应用最广泛的区域流场测量方法是粒子图像测速(particle image velocimetry, PIV)[1].然而对于工程外形复杂非定常流动测量应用, 目前的PIV技术工作量大，测量成本高，测量范围有限[2], 因此相关工作开展较少.另一方面, 相比以往工程中常用的Reynolds平均(Reynolds-averaged Navier-Stokes, RANS)方法[3]、脱体涡模拟(detached eddy simulation, DES)[4]等湍流模拟方法使数值计算能够在一定程度上模拟工程问题中的复杂非定常流场, 其优点是能够提供丰富多样的流场数据, 便于旋涡运动等非定常特性的分析.
就非定常流动特征结构分析方法而言, 本征正交分解(proper orthogonal decomposition, POD)和动力学模态分解(dynamic mode decomposition, DMD)方法是当前普遍采用的两种分析手段. POD方法是寻找一组最佳的标准正交基并通过其线性组合来描述任意瞬时流场.最早由Lumley将POD方法引入湍流研究[5], 此方法已广泛应用于各种非定常流动的研究中. DMD方法是近年来由Schmid从Koopman分析基础上发展起来的一种低维系统分解技术[6], 并衍化出了最优化DMD[7](opt-DMD), 最优模态分解[8](OMD)和稀疏改进DMD[9] (SPDMD)等形式, 逐渐成为一种新的流体力学机理分析工具.
从相关文献来看, 目前POD与DMD的应用主要集中在台阶流动、方腔流动、机翼流动、射流、圆柱绕流等外形相对简单的流动[10], 本文则基于DES数值模拟将POD与DMD应用于接近实际复杂飞行器外形的大攻角分离流动, 分析了背风区流场的旋涡运动非定常特性, 并开展了POD与DMD的一些相关对比.
1 数值计算方法 1.1 流动控制方程积分形式的Navier-Stokes方程组可以写为如下形式
| $ \frac{\partial }{{\partial t}}\int_\mathit{\Omega } {\mathit{\boldsymbol{W}}{\rm{d}}\mathit{\Omega } + \oint_{\partial \mathit{\Omega }} {\left( {{\mathit{\boldsymbol{F}}_{\rm c}} - {\mathit{\boldsymbol{F}}_{\rm v}}} \right)} } {\rm{d}}S = 0 $ | (1) |
其中, Ω为控制体的体积, ∂Ω为控制体的表面, dS为面积微元, W为守恒变量, Fc为无黏通量, Fv为黏性通量.
1.2 湍流模型k-ω剪切应力输运两方程模型(SST)可以表述为
| $ \begin{array}{l} \frac{{\partial k}}{{\partial t}} + {u_j}\frac{{\partial k}}{{\partial {x_j}}} = \frac{1}{\rho }{P_k} - {\beta ^*}k\omega + \frac{1}{\rho }\frac{\partial }{{\partial {x_j}}}\left[ {\left( {\mu + {\sigma _k}{\mu _{\rm{t}}}} \right)\frac{{\partial k}}{{\partial {x_j}}}} \right]\\ \frac{{\partial \omega }}{{\partial t}} + {u_j}\frac{{\partial \omega }}{{\partial {x_j}}} = \frac{1}{\rho }{P_\omega } - \beta {\omega ^2} + \frac{1}{\rho }\frac{\partial }{{\partial {x_j}}}\left[ {\left( {\mu + {\sigma _\omega }{\mu _{\rm{t}}}} \right)\frac{{\partial \omega }}{{\partial {x_j}}}} \right] + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2\left( {1 - {F_1}} \right){\sigma _{\omega 2}}\frac{1}{\omega }\frac{{\partial k}}{{\partial {x_j}}}\frac{{\partial \omega }}{{\partial {x_j}}} \end{array} $ |
式中, k和ω分别为湍动能和湍流比耗散率；μ和μt分别为层流和湍流黏性系数，ρ为密度.生成源项Pk, Pω和函数F1的形式以及系数β*, β, σk, σω, σω2的取值可参考文献[11].其中k变量方程破坏项β* kω, 可改写为k3/2/lk-ω, lk-ω = k1/2/(β* ω)代表RANS长度尺度, 将其替换为IDDES长度尺度lIDDES[12], 即SST-IDDES模型
| $ \begin{align} & \frac{\partial k}{\partial t}+{{u}_{j}}\frac{\partial k}{\partial {{x}_{j}}}=\frac{1}{\rho }{{P}_{k}}-\frac{{{k}^{{3}/{2}\;}}}{{{l}_{\text{IDDES}}}}+\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial {{x}_{j}}}\left[ \left( \mu +{{\sigma }_{k}}{{\mu }_{\text{t}}} \right)\frac{\partial k}{\partial {{x}_{j}}} \right] \\ & \frac{\partial \omega }{\partial t}+{{u}_{j}}\frac{\partial \omega }{\partial {{x}_{j}}}=\frac{1}{\rho }{{P}_{\omega }}-\beta {{\omega }^{2}}+\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial {{x}_{j}}}\left[ \left( \mu +{{\sigma }_{\omega }}{{\mu }_{\text{t}}} \right)\frac{\partial \omega }{\partial {{x}_{j}}} \right]+ \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2\left( 1-{{F}_{1}} \right){{\sigma }_{\omega 2}}\frac{1}{\omega }\frac{\partial k}{\partial {{x}_{j}}}\frac{\partial \omega }{\partial {{x}_{j}}} \\ \end{align} $ |
方程(1)采用基于非结构/混合网格的2阶有限体积算法进行空间离散, 采用2阶向后Euler[13]后插方法进行时间离散.黏性项采用中心格式计算, 无黏项采用自适应耗散混合格式[14]计算, 相应的无黏通量可写为如下形式
| $ \mathit{\boldsymbol{F}} = \frac{1}{2}\left( {{\mathit{\boldsymbol{F}}_{\rm L}} + {\mathit{\boldsymbol{F}}_{\rm R}}} \right) + \sigma \left[ {\frac{1}{2}\left| {\mathit{\boldsymbol{\tilde A}}} \right|({\mathit{\boldsymbol{U}}_{\rm R}} - {\mathit{\boldsymbol{U}}_{\rm L}})} \right] $ | (2) |
其中, FL为左侧边界面插值通量；FR为右侧边界面插值通量；σ为混合权函数, 同时也是耗散调节函数. σ可取0~1, 若σ=0, 恢复中心格式.若σ=1, 恢复迎风格式.格式耗散随σ的减小而减小.关于σ更多的详细信息可参考文献[15-16].
对某个流场变量采集一组瞬态信息{u1, u2, …, uN}, 将其重新描述为
| $ {\mathit{\boldsymbol{u}}_i} = \frac{1}{N}\sum\limits_{j = 1}^N {\mathit{\boldsymbol{u}}{}_j} + {\mathit{\boldsymbol{v}}_i} $ |
其中, ui表示第i时刻瞬态流场变量, vi表示减去平均值后的脉动量. POD方法则通过一组最优正交基函数的线性组合来表示vi , 即
| $ {\mathit{\boldsymbol{v}}_i} = \sum\limits_{j = 1}^N {a{}_j} ({t_i}){\mathit{\boldsymbol{p}}_j} $ |
式中, pj表示POD模态基函数, aj(ti)表示模态pj对应于ti时刻的模态系数.定义矩阵C=VTV, 其中V={v1, v2, …, vN}, 进而求解特征值
| $ \mathit{\boldsymbol{C}}{\mathit{\boldsymbol{A}}^j} = {\lambda _j}{\mathit{\boldsymbol{A}}^j} $ |
式中, λj表示特征值, Aj表示对应特征向量矩阵, 即模态系数矩阵, Aj=[aj(t1), aj(t2), …, aj(tN)]T.将特征值按大小重新排列, 则1阶POD模态与最大特征值对应, 其余模态以此类推.进一步解出POD模态
| $ {\mathit{\boldsymbol{p}}_j} = \frac{1}{{N{\lambda _j}}}\sum\limits_{i = 1}^N {\mathit{\boldsymbol{A}}_i^j} {\mathit{\boldsymbol{v}}_i} $ |
POD可以用能量[5]来衡量各阶模态对流场的贡献, 能量定义为
| $ {E_i} = {\lambda _i}/\sum\limits_{j = 1}^N {{\lambda _j}} $ |
对于流场变量信息{u1, u2, …, uN}, 假设存在一个矩阵A使相邻时间层之间存在线性变换关系
| $ {\mathit{\boldsymbol{u}}_i}_{ + 1} = \mathit{\boldsymbol{A}}{\mathit{\boldsymbol{u}}_i} $ |
定义ψ0=[u1, u2, …, uN-1]，ψ1=[u2, u3, …, uN] , 则可以给出如下关系
| $ {\mathit{\boldsymbol{\psi }}_1} = \mathit{\boldsymbol{A}}{\mathit{\boldsymbol{\psi }}_0} = [\mathit{\boldsymbol{A}}{\mathit{\boldsymbol{u}}_1}, \mathit{\boldsymbol{A}}{\mathit{\boldsymbol{u}}_2} \ldots \mathit{\boldsymbol{A}}{\mathit{\boldsymbol{u}}_N}_{ - 1}] $ |
对于矩阵A的寻找, DMD是用一个低维优化近似矩阵
| $ {\mathit{\boldsymbol{\psi }}_0} = \mathit{\boldsymbol{U \boldsymbol{\varSigma} }}{\mathit{\boldsymbol{W}}^{\rm{H}}} $ |
式中, U为左正交矩阵, Σ为奇异值对角矩阵, W为右正交矩阵, 上标H表示复共轭转置, 进而可求出近似矩阵
| $ \mathit{\boldsymbol{\tilde A}} = {\mathit{\boldsymbol{U}}^{\rm{H}}}{\mathit{\boldsymbol{\psi }}_1}\mathit{\boldsymbol{W}}{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varSigma} }}^{ - 1}} $ |
对
| $ {\mathit{\boldsymbol{u}}_j} \approx \sum\limits_{i = 1}^N {\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}{}_i} {({\lambda _i})^{j - 1}}{\alpha _i} $ |
其中,(λi)j-1αi为模态系数.为了评估DMD对非定常流场重构的误差, 文献[9]定义如下损失函数
| $ {F_{{\rm{loss}}}}{\rm{ = }}\frac{{{{\left\| {\mathit{\boldsymbol{\psi }} - {\mathit{\boldsymbol{\psi }}_{{\rm{DMD}}}}} \right\|}_{\rm{F}}}}}{{{{\left\| \mathit{\boldsymbol{\psi }} \right\|}_{\rm{F}}}}} $ |
式中, ψDMD表示重构流场, ‖·‖F表示Frobenius范数.
3 战斗机大攻角分离流动数值模拟与分析 3.1 数值计算概况计算模型如图 1所示, 是一个类现代战斗机外形.网格如图 2所示, 由三棱柱、四面体、六面体、金字塔等单元混合组成, 单元总数约2.9×107, 网格点总数约1.25×107.计算来流条件为Ma=0.1，ReL=1.6×106(L为机身长度)；时间步长为0.002 5L/U∞(U∞为来流速度).
图 3给出了SST-IDDES计算的升力、阻力和俯仰力矩系数随攻角变化的情况, 以及与风洞试验数据(平均值)[19]的对比.考虑到试验与计算存在一些细节差异(如洞壁干扰、支架干扰等), SST-IDDES的预测值与试验值还是比较吻合的.从失速迎角附近的涡系结构(如图 4所示, 采用压力着色)来看, SST-IDDES流场具有较强的旋涡解析能力, 可以观察到螺旋形涡破裂等非定常现象, 因此本文利用SST-IDDES模拟的非定常数据进行后续的流场结构特征分析.
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| 图 1 计算模型 Fig.1 Computational model |
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| 图 2 计算网格 Fig.2 Grids used for the simulation |
由于POD和DMD的数据运算量很大, 本文仅能采集有限的空间截面区域.样本采集区域位于x/L=0.6(x为纵向坐标, L为机身长度)截面, 如图 5所示, 图中红色矩形内的区域为样本采集区域.采集区域的空间点数为2 102, 共采集了2 000个时间序列, 采样对应的模型状态为攻角α=36°.从相应计算流场的瞬时Q涡量等值面(如图 4所示)可以观察出机头涡、边条涡、机翼侧缘涡面等涡系结构, 其中背风区流场最强的涡系结构为边条涡, 它穿越了样本采集区域, 在下游处涡核开始破裂.
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| 图 3 计算与试验对比 Fig.3 Comparisons of numerical prediction with the experimental data |
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| 图 4 α=36° Q涡量等值面 Fig.4 Iso-surfaces of Q-criterion at α=36° |
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| 图 5 样本采集区域 Fig.5 Sampling area |
本文对脉动压力系数进行了POD分解, 图 6和图 7分别给出了前4阶模态系数的时间变化历程及其功率谱密度分布. mode 1与mode 2可看作一对模态, 它们的系数呈准周期性变化, 两个系数的变化大约有一个π/2的相位差, 两者频谱的主峰较为相似. mode 3与mode 4也可看作是一对模态, 它们的系数变化更复杂一些, 系数波动幅度小一些, 两者的主频都接近mode 1和mode 2主频的2倍.
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| 图 6 POD模态系数的时间历程 Fig.6 Time histories of POD coefficients |
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| 图 7 POD模态系数的功率谱 Fig.7 Power spectral densities of POD coefficients |
图 8给出了模态的能量分布, 其中mode 1占72.6%, mode 2占15.7%, mode 3占3.2%, mode 4占2.5%. 图 9给出了前4阶模态的云图, 可以发现mode 1与mode 2的极值区域大致呈交替分布, 考虑到它们的系数变化约有一个π/2的相位差, 这一对模态共同作用形成的压力扰动峰值区域会随时间旋转变化并依次经过这4个极值区域.根据重构流场(已在文献[20]给出), 前2阶模态反映了涡核的螺旋运动, 它们的能量占88.3%, 包含了流场的主要特征, 因此这一运动在此区域附近占主导.从mode 3与mode 4的值域分布以及系数变化的频谱, 可以推测这对模态的扰动幅度相对较低, 代表的是空间小尺度结构的影响.
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| 图 8 POD模态能量分布 Fig.8 Energy distributions of POD modes |
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| 图 9 POD模态 Fig.9 POD modes |
图 10给出了脉动压力系数DMD分解的模态特征值分布, 不难看出特征值是以共轭复数形式成对出现的.所有特征值几乎都位于单位圆上, 这表明这一截面区域附近的旋涡运动是中性稳定的.模态系数幅值的大小反映了模态对流动贡献的大小[21], 图 11通过增长率与幅值的关系, 进一步表明那些幅值大的模态处于临界稳定状态, 仅一些幅值小的模态有微弱增长或衰减.
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| 图 10 特征值 Fig.10 Eigenvalues |
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| 图 11 增长率与幅值关系 Fig.11 Amplitudes as a function of growth rates |
按模态系数的幅值大小进行排序, 图 12~13给出了前6对模态系数随时间变化历程及其相应功率谱密度分布.
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| 图 12 DMD模态系数的时间历程 Fig.12 Time histories of DMD coefficients |
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| 图 13 DMD模态系数的功率谱 Fig.13 Power spectral densities of DMD coefficients |
从图 12~13中可以看出, 同一模态系数的实部与虚部变化存在相位差(由于偶数阶模态系数的虚部与相应奇数阶模态系数的虚部仅存在180°相位差, 此处省略了偶数阶模态系数的虚部变化), 但幅值、频率相等.对比图 6~7中POD相应数据可以发现, 两者第1对模态的主频相等, POD的模态系数变化包含了多种频率成分, DMD的模态系数变化则非常接近单一频率的简谐运动.第1, 2, 3，5对DMD模态的主频与POD模态的主峰频段重叠, 而第4, 6对DMD模态的主频与POD模态的次峰频段重叠, 因此可以看作DMD将流场的一些主要特征运动提取为单频运动的组合, 同时也反映出涡核的螺旋运动是多频运动的耦合. 图 14通过模态频率分布与幅值的关系进一步表明幅值大的模态都为低频率模态, 而高频模态的幅值都很小.
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| 图 14 模态系数频率与幅值的关系 Fig.14 Amplitudes as a function of St |
从DMD模态数量与损失函数的关系看(见图 15), 随着模态数的增加，DMD重构流场能够逐渐接近原始流场, 但需要较多的模态才能较好地逼近原始流场, 而POD模态的能量分布则更集中在前几阶.
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| 图 15 DMD模态数量与损失函数的关系 Fig.15 Relationship between DMD modes and loss function |
图 16~17给出了前6对DMD模态的云图, 由于模态值是以共轭复数形式成对出现的, 此处省略了偶数阶模态的虚部值域分布. mode 1-2，mode 3-4，mode 5-6，mode 9-10可视为一组, 它们的实部值域形状比较相似, 而且与POD模态mode 1形状分布比较相似, 它们的虚部值域形状同样比较相似, 同时与POD模态mode 2形状分布也比较相似, 只是虚部可能还存在180°相位差.因此这几对DMD模态与第1对POD模态类似都反映了涡核螺旋运动的特征结构, 同时也表明DMD对特征运动的描述更为详细. DMD模态mode 7-8，mode 11-12也可视为一组, 但与POD模态mode 3，mode 4的相似程度差一些, 这可能与空间小尺度结构更复杂有关.
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| 图 16 DMD模态实部 Fig.16 Real part of DMD modes |
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| 图 17 DMD模态虚部 Fig.17 Imaginary part of DMD modes |
本文开展了现代战斗机模型复杂分离流动的DES数值模拟, 并应用POD和DMD方法对流场的非定常特性进行了对比分析, 基本结论如下：
(1) 飞行器背风区流场由一对边条涡的螺旋运动主导, 旋涡破裂前在横向空间截面上流场是中性稳定的, 同时主涡核的运动是多频耦合的；
(2) 虽然POD与DMD算法迥异, 模态配对的方式不同, 但DMD一些主模态的实部和虚部与POD的1阶和2阶主模态具有相似性；
(3) POD模态的频率成分较为复杂, 能量分布集中在前几阶主模态, 因此流场重构的效率较高；
(4) DMD将流场的主要特征运动提取为一些单频模态的组合, 模态的频率成分单一, 能量分布相对分散, 因此流场重构需要的模态数量较多, 但DMD对特征运动的描述更为详细, 同时能够给出模态的稳定性.
希望有后续试验数据对以上非定常特性的分析进行验证, 同时也希望CFD手段能够对复杂工程试验形成补充.
致谢 感谢国家重点研发计划(2016YFB0200701)和中国自然科学基金(No. 11532016和No. 91530325)的支持.| [1] |
刘平安, 林永峰, 陈垚峰, 等. 旋翼悬停状态桨尖涡测量方法研究[J]. 实验流体力学, 2017, 31(4): 39-44. Liu P A, Lin Y F, Chen Y F, et al. Blade tip vortex measurements of a hovering rotor[J]. Journal of Experiments in Fluid Mechanics, 2017, 31(4): 39-44. (in Chinese) |
| [2] |
曹晓东.客机座舱内空气流动特征2D-PIV实验研究[D].天津: 天津大学, 2016. Cao X D. Experimental study of the airflow characteristics in a passenger aircraft cabin mockup with 2D-PIV[D]. Tianjin: Tianjin University, 2016(in Chinese). http://cdmd.cnki.com.cn/Article/CDMD-10056-1017131375.htm |
| [3] |
Spalart P R, Allmaras S R. A one-equation turbulence model for aerodynamic flows[C]. Proceedings of the 30th Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, Aerospace Sciences Meetings, Reno: AIAA, 1992. https://www.researchgate.net/publication/236888804_A_One-Equation_Turbulence_Model_for_Aerodynamic_Flows
|
| [4] |
Spalart P R, Jou W H, Strelets M, et al. Comments on the feasibility of LES for wings and on a hybrid RANS/LES approach[C]. Proceedings of 1st AFOSR Interna-tional Conference on DNS/LES, Columbus: Greyden Press, 1997. https://www.researchgate.net/publication/236888805_Comments_on_the_Feasibility_of_LES_for_Wings_and_on_a_Hybrid_RANSLES_Approach
|
| [5] |
Lumley J L. The structure of inhomogeneous turbulent flow[C]. Atmospheric Turbulence and Radio Wave Propagation, Moscow: Nauka, 1967: 166-176.
|
| [6] |
Schmid P J. Dynamic mode decomposition of numerical and experimental data[J]. Journal of Fluid Mechanics, 2010, 656: 5-28. DOI:10.1017/S0022112010001217 |
| [7] |
Chen K K, Tu J H, Rowley C W. Variants of dynamic mode decomposition:boundary condition, Koopman, and Fourier analyses[J]. Journal of Nonlinear Science, 2012, 22(6): 887-915. DOI:10.1007/s00332-012-9130-9 |
| [8] |
Wynn A, Pearson D S, Ganapathisubramani B, et al. Optimal mode decomposition for unsteady flows[J]. Journal of Fluid Mechanics, 2013, 733: 473-503. DOI:10.1017/jfm.2013.426 |
| [9] |
Jovanović M R, Schmid P J, Nichols J W. Sparsity-promoting dynamic mode decomposition[J]. Physics of Fluids, 2014, 26(2): 024103. DOI:10.1063/1.4863670 |
| [10] |
寇家庆, 张伟伟. 动力学模态分解及其在流体力学中的应用[J]. 空气动力学学报, 2018, 36(2): 163-179. Kou J Q, Zhang W W. Dynamic mode decomposition and its applications in fluid dynamics[J]. Acta Aerodynamica Sinica, 2018, 36(2): 163-179. DOI:10.7638/kqdlxxb-2017.0134 (in Chinese) |
| [11] |
Menter F R. Zonal two equation k-ω turbulence models for aerodynamic flows[C]. Proceedings of the 23rd Fluid Dynamics, Plasmadynamics, and Lasers Conference, Fluid Dynamics and Co-located Conferences, Orlando: AIAA, 1993. https://arc.aiaa.org/doi/10.2514/6.1993-2906
|
| [12] |
Gritskevich M S, Garbaruk A V, Schütze J, et al. Development of DDES and IDDES formulations for the k-ω shear stress transport model[J]. Flow, Turbulence and Combustion, 2012, 88(3): 431-449. DOI:10.1007/s10494-011-9378-4 |
| [13] |
Zhang L P, Wang Z J. A block LU-SGS implicit dual time-stepping algorithm for hybrid dynamic meshes[J]. Computers & Fluids, 2004, 33(7): 891-916. |
| [14] |
Zhang Y, Zhang L P, He X, et al. An improved second-order finite-volume algorithm for detached-eddy simula-tion based on hybrid grids[J]. Communications in Computational Physics, 2016, 20(2): 459-485. DOI:10.4208/cicp.190915.240216a |
| [15] |
Strelets M. Detached eddy simulation of massively separated flows[C]. Proceedings of the 39th Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, Aerospace Sciences Meetings, Reno: AIAA, 2001. https://www.researchgate.net/publication/236888809_Detached_Eddy_Simulation_of_Massively_Separated_Flows
|
| [16] |
Xiao L H, Xiao Z X, Duan Z W, et al. Improved-delayed-detached-eddy simulation of cavity-induced transition in hypersonic boundary layer[C]. Proceedings of the 8th International Conference on Computational Fluid dynamics, Mianyang: China Aerodynamics Research and Develo-pment Center, 2014. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0142727X14001325
|
| [17] |
Roe P L. Approximate Riemann solvers, parameter vectors, and difference schemes[J]. Journal of Computa-tional Physics, 1981, 43(2): 357-372. |
| [18] |
Sozer E, Brehm C, Kiris C C. Gradient calculation methods on arbitrary polyhedral unstructured meshes for cell-centered CFD solvers[C]. Proceedings of the 52nd Aerospace Sciences Meeting, National Harbor: AIAA, 2014. https://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/20140011550.pdf
|
| [19] |
Liu J, Sun H S, Huang Y, et al. Numerical investigation of an advanced aircraft model during pitching motion at high incidence[J]. Science China Technological Sciences, 2016, 59(2): 276-288. DOI:10.1007/s11431-015-5957-2 |
| [20] |
Zhang Y, Zhang L P, He X, et al. Detached eddy simu-lation of complex separation flows over a modern fighter model at high angle of attack[J]. Communications in Computational Physics, 2017, 22(5): 1309-1332. DOI:10.4208/cicp.OA-2016-0132 |
| [21] |
叶坤, 叶正寅, 武洁, 等. DMD和POD对超燃冲压发动机凹腔流动的稳定性分析[J]. 气体物理, 2016, 1(5): 39-51. Ye K, Ye Z Y, Wu J, et al. Stability analysis of scramjet open cavity flow base on POD and DMD method[J]. Physics of Gases, 2016, 1(5): 39-51. (in Chinese) |