近年来, 外来物种入侵逐渐成为人们热议的话题, 同样也引起了许多数学家的关注, 为此他们建立了竞争模型^[1]从生物数学的角度进行了研究。随着研究的深入, 发现在有界的特定区域上建立的竞争模型具有一定的理论缺陷, 因此数学家们引入了自由边界来避开这些缺陷, 自由边界的生态背景可参考^[2]。

目前带自由边界条件的竞争模型已经有了广泛的研究。例如, 王明新和赵景服^[3-4]考虑了带Dirichlet和Neumann边界条件的一维空间反应扩散竞争模型, 证明了在强-弱、弱-强两种情形下入侵物种扩张和消失二择一性质成立, 并且给出了物种扩张时自由边界渐近扩张速度的一个估计。郭忠勝等^[5]研究了带Neumann边界条件的强-弱情形, 证明了两个物种扩张时, 存在一个临界值, 使得当其领地范围大小高于该值时, 优势竞争物种总是能够成功扩张。杜一宏等^[6]提出了具有Neumann边界条件的高维空间反应扩散竞争模型来描述入侵物种的传播, 讨论了强-弱、弱-强两种情形, 并给出了u发生扩张时扩张速度的一个粗略估计。

上述研究都是针对于Dirichlet和Neumann边界条件, 而关于Robin边界条件的研究却极少, 因为带Robin边界的竞争模型更符合某些实际情况中的物种传播过程, 具有理论意义和实际意义^[7-9], 所以本文我们主要考虑以下带Robin自由边界的Lotka-Volterra模型:

$ \begin{cases}u_{t}-d_{1} u_{x x}=u\left(a_{1}-b_{1} u-c_{1} v\right) & t>0, 0<x<h(t), \\ v_{t}-d_{2} v_{x x}=v\left(a_{2}-b_{2} u-c_{2} v\right) & t>0, 0<x<h(t), \\ u(t, 0)=b u_{x}(t, 0), v_{x}(t, 0)=0 & t \geqslant 0, x=0, \\ u=v=0, h^{\prime}(t)=-\mu u_{x} & t \geqslant 0, x=h(t), \\ h=h_{0}, u=u_{0}(x), v=v_{0}(x) & t=0, x \in\left[0, h_{0}\right]。\end{cases} $

($H_{1}$)

其中x=h(t)是待确定的移动边界, h₀, μ, d_i, a_i, b_i, c_i(i=1, 2)是给定的正常数, 初始函数u₀, v₀满足

$ \begin{cases}u_{0} \in C^{2}\left(\left[0, h_{0}\right]\right), u_{0}^{\prime}=u_{0}\left(h_{0}\right)=0, u_{0}>0, & x \in\left[0, h_{0}\right), \\ v_{0} \in C^{2}\left(\left[0, h_{0}\right]\right), v_{0}^{\prime}(0)=0, v_{0}>0, & x \in\left[0, h_{0}\right) 。\end{cases} $

($H_{2}$)

本文主要讨论了u是劣势竞争者的情形, 即

$ \frac{a_{1}}{a_{2}}<\min \left\{\frac{b_{1}}{b_{2}}, \frac{c_{1}}{c_{2}}\right\}。$

($H_{3}$)

1 初步结果

类似参考文献[6]的方法, 我们得到(H₁)解的全局存在性, 即:

引理1.1对于满足(H₂)的(u₀, v₀)和任意的α∈(0, 1), 存在一个T>0, L>0使得当u(a₁-b₁u-c₁v)≤L(u+v), v(a₂-b₂u-c₂v)≤L(u+v)时, 对任意t>0, 问题(H₁)有唯一有界解:

(u, v, h)∈C^{(1+α)/2, 1+α}(D_T)×C^{(1+α)/2, 1+α}(D_T)×C^1+α/2([0, T]);

且‖u‖_{C^{(1+α)/2, 1+α}(DT)}+‖v‖_{C^{(1+α)/2, 1+α}(DT)}+‖h‖_{C^1+α/2([0, T])}≤C,

其中D_T: ={(t, x)∈R²: t∈[0, T], x∈[0, h(t)]}, C和T只取决于h₀, α, ‖u₀‖_{C²([0, h0])}和‖v₀‖_{C²([0, h0])}。

引理1.2对于T∈(0, ∞), $\underline{h}, \bar{h} \in C^{1}([0, T]), \bar{u}, \bar{v} \in C \overline{\left(D_{T}^{* *}\right)} \cap C^{1, 2}\left(D_{T}^{* *}\right)$,

D_T^*: ={(t, x)∈R²: t∈(0, T], x∈(0, h(t))}, D_T^**: ={(t, x)∈R²: t∈(0, T], x∈(0, h(t))}

$ \left\{ \begin{array}{l} \bar{u}_{t}-d_{1} \bar{u}_{x x} \geqslant \bar{u}\left(a_{1}-b_{1} \bar{u}-c_{1} \underline{v}\right), \quad 0<t \leqslant T, 0 \leqslant x<\bar{h}(t), \\ \underline{u}_{t}-d_{1} \underline{u}_{x x} \leqslant \underline{u}\left(a_{1}-b_{1} \underline{u}-c_{1} \bar{v}\right), \quad 0<t \leqslant T, 0 \leqslant x<\underline{h}(t), \\ \bar{v}_{t}-d_{1} \bar{v}_{x x} \geqslant \bar{v}\left(a_{2}-b_{2} \underline{u}-c_{2} \bar{v}\right), \quad 0<t \leqslant T, 0 \leqslant x<\underline{h}(t) \\ \underline{v}_{t}-d_{1} \underline{v}_{x x} \leqslant \underline{v}\left(a_{2}-b_{2} \bar{u}-c_{2} \underline{v}\right), \quad 0<t \leqslant T, 0 \leqslant x<\bar{h}(t), \\ \bar{u}(t, 0) \geqslant b \bar{u}_{x}(t, 0), \underline{v}_{x}(t, 0)=0, \bar{u}(t, x)=\underline{v}(t, x)=0, \quad 0<t \leqslant T, \bar{h}(t) \leqslant x<\infty, \\ \underline{u}(t, 0) \leqslant b \underline{u}_{x}(t, 0), \bar{v}_{x}(t, 0)=0, \underline{u}(t, x)=\bar{v}(t, x)=0, \quad 0<t \leqslant T, \underline{h}(t) \leqslant x<\infty \\ \underline{h}^{\prime}(t) \leqslant-\mu \underline{u}_{x}(t, h(t)), \bar{h}^{\prime}(t) \geqslant-\mu \bar{u}_{x}(t, h(t)), \quad 0<t \leqslant T, \\ \underline{h}(0) \leqslant h_{0} \leqslant \bar{h}(0), \\ \underline{u}(0, x) \leqslant u_{0}(x) \leqslant \bar{u}(0, x), \quad 0 \leqslant x \leqslant h_{0}, \\ \underline{v}(0, x) \leqslant v_{0}(x) \leqslant \bar{v}(0, x), \quad 0 \leqslant x<\infty。\end{array} \right. $

令(u, v, h)是(H₁)的唯一有界解, 则

$ h(t) \leqslant \bar{h}(t) t \in(0, T], u(t, x) \leqslant \bar{u}(t, x), v(t, x) \geqslant \underline{v}(t, x)(t, x) \in(0, T] \times[0, \infty), \\ h(t) \geqslant \underline{h}(t) t \in(0, T], u(t, x) \geqslant \underline{u}(t, x), {v}(t, x) \leqslant \bar{v}(t, x)(t, x) \in(0, T] \times[0, \infty) 。$

利用引理1.2, 易知下列定理成立。

引理1.3  问题(H₁)有唯一的一致有界解(u, v, h), 即在t>0上都有解, 存在常数M₁和M₂使得

$ \begin{array}{ll} 0<u(t, x) \leqslant M_{1} & t \in(0, +\infty), 0 \leqslant x<h(t), \\ 0<v(t, x) \leqslant M_{2} & t \in(0, +\infty), 0 \leqslant x<h(t) 。\end{array} $

并且存在一个常数M₃使得

$ 0<h^{\prime}(t) \leqslant M_{3} \quad t \in(0, +\infty) 。$

而且(H₁)没有任何无界解。

2 解的长时间渐近行为

定理2.1 若(H₃)成立, v₀≡0, 则$\lim\limits_{t \rightarrow+\infty}(u(t, x), v(t, x))=\left(0, \frac{a_{2}}{c_{2}}\right)$在[0, ∞)的任何紧子集中一致成立。

证明: 当t>0, x∈[0, h(t)]时, 由比较原理得u(t, x)≤u^*(t), 其中

$ u^{*}=\frac{a_{1}}{b_{1}} e^{a_{1} t}\left(e^{a_{1} t}+\frac{a_{1}}{b_{1}\left\|u_{0}\right\| \infty_{\infty}}-1\right)^{-1} 。$

是问题

$ \left\{\begin{array}{l} \left(u^{*}\right)^{\prime}=u^{*}\left(a_{1}-b_{1} u^{*}\right), \quad t>0, \\ u^{*}(0)=\left\|u_{0}\right\|_{\infty}。\end{array}\right. $

(1)

的解

又因为$\lim\limits_{t \rightarrow \infty} u^{*}(t)=\frac{a_{1}}{b_{1}}$, 故对于x∈[0, ∞)一致地有$\lim\limits_{t \rightarrow+\infty} {supu}(t, x) \leqslant \frac{a_{1}}{b_{1}}$。类似地, 我们有对于x∈[0, ∞)一致地有

$ \lim\limits_{t \rightarrow+\infty} {supv}(t, x) \leqslant \frac{a_{2}}{c_{2}} 。$

(2)

因此对于$\varepsilon_{1}=\left(\frac{a_{2}}{b_{2}}-\frac{a_{1}}{b_{1}}\right) / 2$, 存在t₁>0使得当t≥t₁, x∈[0, ∞)时有$u(t, x) \leqslant \frac{a_{1}}{b_{1}}+\varepsilon_{1}$, 则v满足

$ \begin{cases}v_{t}-d_{2} v_{x x} \geqslant v\left(b_{2} \varepsilon_{1}-c_{2} v\right), & t>t_{1}, 0 \leqslant x<h(t), \\ v_{x}(t, 0)=0, v(t, h(t))=0, & t>t_{1}, \\ v\left(t_{1}, x\right)>0, & 0 \leqslant x<h(t)。\end{cases} $

(3)

令v_*是下列问题

$ \begin{cases}\left(v_{*}\right)_{t}-d_{2}\left(v_{*}\right)_{x x}=\left(v_{*}\right)\left(b_{2} \varepsilon_{1}-c_{2} v_{*}\right), & t>t_{1}, 0 \leqslant x<h(t), \\ \left(v_{*}\right)_{x}(t, 0)=0, v_{*}(t, h(t))=0, & t>t_{1}, \\ v_{*}\left(t_{1}, x\right)=v\left(t_{1}, x\right), & 0 \leqslant x<h(t)。\end{cases} $

的唯一解, 且可知$\lim\limits_{t \rightarrow \infty} v_{*}(t, x)=b_{2} \varepsilon_{1} / c_{2}$在[0, ∞)的任何有界子集中一致^[10], 因此$\forall L>0, \exists t_{L}>t_{1}$使得对于t>t_L, 0≤x≤L有

$ v(t, x) \geqslant v_{*}(t, x) \geqslant \frac{b_{2} \varepsilon_{1}}{2 c_{2}}。$

(4)

现在(u, v)满足

$ \begin{cases}u_{t}-d_{1} u_{x x}=u\left(a_{1}-b_{1} u-c_{1} v\right), & t>t_{L}, 0<x<h(t), \\ v_{t}-d_{1} v_{x x}=v\left(a_{2}-b_{2} u-c_{2} v\right), & t>t_{L}, 0<x<h(t), \\ u(t, 0)=b u_{x}(t, 0), v_{x}(t, 0)=0, & t>t_{L}, \\ u(t, x) \leqslant \frac{a_{1}}{b_{1}}+\varepsilon_{1}, v(t, x) \geqslant \frac{b_{2} \varepsilon_{1}}{2 c_{2}}, & t>t_{L}, 0 \leqslant x \leqslant L。\end{cases} $

(5)

因为当t>t_L, x≥h(t), 无论是否满足h(t)≤L, 我们总是有u≤u, v≥v,

(t, x)∈[t_L, ∞)×[0, L], 并且(u, v)满足

$ \left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{ll} \bar{u}_{t}-d_{1} \bar{u}_{x x}=\bar{u}\left(a_{1}-b_{1} \bar{u}-c_{1} \underline{v}\right), & t>t_{L}, 0<x<L, \\ \underline{v}_{t}-d_{1} \underline{v}_{x x}=\underline{v}\left(a_{2}-b_{2} \bar{u}-c_{2} \underline{v}\right), & t>t_{L}, 0<x<L, \end{array} \\ \begin{aligned} &\bar{u}(t, 0) \geqslant b\bar{u}_{x}(t, 0), \underline{v}_{x}(t, 0)=0, \quad t>t_{L}, \\ &\bar{u}(t, x)=\frac{a_{1}}{b_{1}}+\varepsilon_{1}, \underline{v}(t, x)=\frac{b_{2} \varepsilon_{1}}{2 c_{2}}, \quad t>t_{L}, x={Lort}=t_{L}, 0 \leqslant x<L。\end{aligned} \end{array} \right. $

(6)

单调动力系统(6)是拟减的, 当且仅当u₁≤u₂, v₁≥v₂时(u₁, v₁)≤_p(u₂, v₂), 其中初始值$\left(\frac{a_{1}}{b_{1}}+\varepsilon_{1}, \frac{b_{2} \varepsilon_{1}}{2 c_{2}}\right)$为上解, 根据单调动力系统理论^[11]有$\lim\limits_{t \rightarrow+\infty} \bar{u}(t, x)=\bar{u}_{L}(x), \lim\limits_{t \rightarrow+\infty} \underline{v}(t, x)=\underline{v}_{L}(x)$在[0, L]中一致, 其中$\left(\bar{u}_{L}, \underline{v}_{L}\right)$满足

$ \left\{ \begin{array}{l} -d_{1}\left(\bar{u}_{L}\right)_{x x}=\bar{u}_{L}\left(a_{1}-b_{1} \bar{u}_{L}-c_{1} \underline{v}_{L}\right), \quad 0 \leqslant x<L\\-d_{1}\left(\underline{v}_{L}\right)_{x x}=\underline{v}_{L}\left(a_{2}-b_{2} \bar{u}_{L}-c_{2} \underline{v}_{L}\right), \quad 0 \leqslant x<L, \\ \bar{u}_{L}(0) \geqslant b \frac{\partial \bar{u}_{L}}{\partial x}(0), \frac{\partial \underline{v}_{L}}{\partial x}(0)=0, \\ \bar{u}_{L}(L)=\frac{a_{1}}{b_{1}}+\varepsilon_{1}, \underline{v}_{L}(L)=\frac{b_{2} \varepsilon_{1}}{2 c_{2}} 。\end{array} \right. $

(7)

并且$\left(\frac{a_{1}}{b_{1}}+\varepsilon_{1}, \frac{b_{2} \varepsilon_{1}}{2 c_{2}}\right)$是它的最大解。

接下来我们通过比较式(6)中L=L₁和L=L₂的边界条件和初始条件得到若0 < L₁ < L₂, 则在[0, L₁]中有u_L1(x)≥u_L2(x)和v_L1(x)≤v_L2(x)。

令L→∞, 通过经典椭圆正则性理论和对角线过程, 在任何[0, ∞)的紧子集中(u_L(x), v_L(x))一致收敛到($\bar{u}_{\infty}, \underline{v}_{\infty}$)并且满足

$ \begin{cases}-d_{1}\left(\bar{u}_{\infty}\right)_{x x}=\bar{u}_{\infty}\left(a_{1}-b_{1} \bar{u}_{\infty}-c_{1} \underline{v}_{\infty}\right), & 0 \leqslant x<\infty, \\ -d_{1}\left(\underline{v}_{\infty}\right)_{x x}=\underline{v}_{\infty}\left(a_{2}-b_{2} \bar{u}_{\infty}-c_{2} \underline{v}_{\infty}\right), & 0 \leqslant x<\infty, \\ \bar{u}_{\infty}(0) \geqslant b \frac{\partial \bar{u}_{\infty}}{\partial x}(0), \frac{\partial \underline{v}_{\infty}}{\partial x}(0)=0, & \\ \bar{u}_{\infty}(x) \leqslant \frac{a_{1}}{b_{1}}+\varepsilon_{1}, \underline{v}_{\infty}(x) \geqslant \frac{b_{2} \varepsilon_{1}}{2 c_{2}}, & 0 \leqslant x<\infty 。\end{cases} $

下面证明$\bar{u}_{\infty}(x) \equiv 0 \text { 和 } \underline{v}_{\infty} \equiv \frac{a_{2}}{c_{2}}$, 为此, 考虑下列ODE系统:

$ \left\{\begin{array}{l} z_{t}=z\left(a_{1}-b_{1} z-c_{1} w\right), t>0 \\ w_{t}=w\left(a_{2}-b_{2} z-c_{2} w\right), t>0 \\ z(0)=\frac{a_{1}}{b_{1}}+\varepsilon_{1}, w(0)=\frac{b_{2} \varepsilon_{2}}{2 c_{2}} 。\end{array}\right. $

(8)

因为a₁/a₂ < min{c₁/c₂, b₁/b₂}, 则当t→∞时, $(z, w) \longrightarrow\left(0, \frac{a_{2}}{c_{2}}\right)$ ^[12]。因此下列问题的解(Z(t, x), W(t, x))

$ \begin{cases}Z_{t}-d_{1} Z_{x x}=Z\left(a_{1}-b_{1} Z-c_{1} W\right), & t>0, x \geqslant 0, \\ W_{t}-d_{1} W_{x x}=Z\left(a_{2}-b_{2} Z-c_{2} W\right), & t>0, x \geqslant 0, \\ Z(t, 0)=b Z_{x}(t, 0), W_{x}(t, 0)=0, & t>0, \\ Z(0, x)=\frac{a_{1}}{b_{1}}+\varepsilon_{1}, W(0, x)=\frac{b_{2} \varepsilon_{1}}{c_{2}}, & x \geqslant 0 。\end{cases} $

(9)

满足当t→∞时, $(Z, W) \rightarrow\left(0, \frac{a_{2}}{c_{2}}\right)$在[0, ∞)内一致, 又根据比较原理t>0时, $\bar{u}_{\infty}(x) \leqslant Z(t, x), \underline{v}_{\infty}(x) \geqslant W(t, x)$, 故可得$\bar{u}_{\infty}=0, \underline{v}_{\infty}=\frac{a_{2}}{c_{2}}$。

因此我们有$\lim\limits_{t \rightarrow+\infty} {supu}(t, x) \leqslant 0, \lim\limits_{t \rightarrow+\infty} {infv}(t, x) \geqslant \frac{a_{2}}{c_{2}}$在[0, L]中一致, 结合式(2)可得$\lim\limits_{t \rightarrow+\infty} u(t, x)=0$, $\lim\limits_{t \rightarrow+\infty} v(t, x)=\frac{a_{2}}{c_{2}}$在[0, ∞)的任何有界子集中一致。

定理2.2 假设(H₃)成立, v₀(x)≥δ>0, 0≤x < h₀, 则h_∞ < ∞, 且在[0, ∞)中一致地有$\lim\limits_{t \rightarrow+\infty} u(t, x)=0$, $\lim\limits_{t \rightarrow+\infty} v(t, x)=\frac{a_{2}}{c_{2}}$。

证明: 首先根据比较原则

$\lim\limits_{t \rightarrow+\infty} {supu}(t, x) \leqslant \frac{a_{1}}{b_{1}}$在x∈[0, ∞)中一致地成立。

$\lim\limits_{t \rightarrow+\infty} {supv}(t, x) \leqslant \frac{a_{2}}{c_{2}}$在x∈[0, ∞)中一致地成立。

因此对于$\varepsilon_{1}=\left(\frac{a_{2}}{b_{2}}-\frac{a_{1}}{b_{1}}\right) / 2$, 存在t₁>0使得$u(t, x) \leqslant \frac{a_{1}}{b_{1}}+\varepsilon_{1}, t \geqslant t_{1}, x \in[0, \infty)$。

因为当t>0, 0≤x < ∞时, $0 \leqslant u(t, x) \leqslant M_{1}:=\max \left\{\frac{a_{1}}{b_{1}}, \left\|u_{0}\right\|_{C\left(\left[0, h_{0}\right]\right)}\right\}$,

$0 \leqslant v(t, x) \leqslant M_{2}:=\max \left\{\frac{a_{2}}{c_{2}}, \left\|v_{0}\right\|_{C\left(\left[0, h_{0}\right]\right)}\right\}$, 因此v满足

$ \begin{cases}v_{t}-d_{2} v_{x x} \geqslant v\left(a_{2}-b_{2} M_{1}-c_{2} M_{2}\right), & t>0, 0 \leqslant x<h(t), \\ v_{x}(t, 0)=0, v(t, h(t))=0, & t>0, \\ v(0, x) \geqslant \delta, & 0 \leqslant x<h(t)。\end{cases} $

当t>0, 0≤x < ∞时, 有v(t, x)≥δe^{(-b₂M₁-c₂M₂)t}。

然后考虑下列问题:

$ \left\{\begin{array}{l} z_{t}=z\left(a_{1}-b_{1} z-c_{1} w\right), t>t_{1}, \\ w_{t}=w\left(a_{2}-b_{2} z-c_{2} w\right), t>t_{1}, \\ z\left(t_{1}\right)=\frac{a_{1}}{b_{1}}+\varepsilon_{1}, w\left(t_{1}\right)=\delta \mathrm{e}^{\left(-b_{2} M_{1}-c_{2} M_{2}\right) t_{1}}。\end{array}\right. $

(10)

根据比较原理u(t, x)≤z(t), v(t, x)≥w(t), t≥t₁, 0≤x≤∞。在假设条件

a₁/a₂ < min{c₁/c₂, b₁/b₂}下, 当t→∞时, 有$(z, w) \rightarrow\left(0, \frac{a_{2}}{c_{2}}\right)$, 则有$\lim\limits_{t \rightarrow+\infty} u(t, x)=0$在x∈[0, ∞)中一致地成立。接下来我们证明$\lim\limits_{t \rightarrow+\infty} v(t, x)=\frac{a_{2}}{c_{2}}$在x∈[0, ∞)中一致地成立, 因为$\lim\limits_{t \rightarrow+\infty} u(t, x)=0$在x∈[0, ∞)中一致地成立, 则$\forall \varepsilon>0, \exists T>0$使得0≤u(t, x)≤ε, t≥T, x∈[0, ∞), 又v(T, x)≥δe^{(-b₂M₁-c₂M₂)T}, 因此有

$ \begin{cases}v_{t}-d_{2} v_{x x} \geqslant v\left(a_{2}-b_{2} \varepsilon-c_{2} v\right), & t \geqslant T, 0 \leqslant x<h(t), \\ v_{x}(t, 0)=0, v(t, h(t))=0, & t>T, \\ v(T, x) \geqslant \delta \mathrm{e}^{\left(-b_{2} M_{1}-c_{2} M_{2}\right) T}, & 0 \leqslant x<h(t)。\end{cases} $

设$\tilde{v}_{t}=\tilde{v}\left(a_{2}-b_{2} \varepsilon-c_{2} \tilde{v}\right)$, t≥T, v(T)=δe^{(-b₂M₁-c₂M₂)T}

根据比较原理$\tilde{v}(t) \leqslant v(t, x), t \geqslant T, x \in[0, \infty)$, 又由于t→∞时$\tilde{v}(t) \longrightarrow \frac{a_{2}-\varepsilon b_{2}}{c_{2}}$, 我们有$\frac{a_{2}-\varepsilon b_{2}}{c_{2}} \leqslant \lim\limits_{t \rightarrow+\infty}infv(t, x)$在x∈[0, ∞)中一致地成立, 因为ε>0是任意的, 故可得$\lim\limits_{t \rightarrow+\infty} v(t, x)=\frac{a_{2}}{c_{2}}$在x∈[0, ∞)中一致地成立。

接下来证明h_∞ < ∞, 因为在[0, ∞)中一致地有$\lim\limits_{t \rightarrow+\infty} u(t, x)=0, \lim\limits_{t \rightarrow+\infty} v(t, x)=\frac{a_{2}}{c_{2}}$, 所以$\lim\limits_{t \rightarrow+\infty}\left(a_{1}-b_{1} u(t, x)-c_{1} v(t, x)\right)$=a₁-a₂c₁/c₂在[0, ∞)中一致地成立, 并且存在T^*使得(a₁-b₁u(t, x)-c₁v(t, x))≤0, t≥T^*, 0≤x < ∞。

直接计算可得

$ \begin{aligned} &\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \int_{0}^{h(t)} x u(t, x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{h(t)} x u_{t}(t, x) \mathrm{d} x \\ &=\int_{0}^{h(t)} d_{1} x u_{x x} \mathrm{~d} x+\int_{0}^{h(t)} d_{1} x u\left(a_{1}-b_{1} u-c_{1} v\right) \mathrm{d} x \\ &=-\frac{1}{\mu} h(t) h^{\prime}(t)+u(t, 0)+\int_{0}^{h(t)} d_{1} x u\left(a_{1}-b_{1} u-c_{1} v\right) \mathrm{d} x \end{aligned} $

在[T^*, t]上积分得

$ \begin{aligned} &0 \leqslant \int_{0}^{h(t)} x u(t, x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{h\left(T^{*}\right)} x u\left(T^{*}, x\right) \mathrm{d} x+\frac{d_{1}}{2 \mu} h^{2}\left(T^{*}\right)-\frac{d_{1}}{2 \mu} h^{2}(t)+\int_{T^{*}}^{t} u(s, 0) \mathrm{d} s+\int_{T^{*}}^{t} \int_{0}^{h(s)} d_{1} x u\left(a_{1}-b_{1} u-c_{1} v\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} s, \\ &t \geqslant T^{*} \end{aligned} $

因为(a₁-b₁u(t, x)-c₁v(t, x))≤0, t≥T^*, 0≤x < ∞, 我们有

$ h^{2}(t) \leqslant \frac{2 \mu}{d_{1}} \int_{0}^{h\left(T^{*}\right)} x u\left(T^{*}, x\right) \mathrm{d} x+h^{2}\left(T^{*}\right)+\frac{2 \mu}{d_{1}} \int_{T^{*}}^{t} u(s, 0) \mathrm{d} s, t \geqslant T^{*} 。$

则h_∞ < ∞。

定理2.2表明劣势竞争者不可能深入到一个建立良好的本地物种栖息地, 它在入侵的锋线到达一定的有限限制位置之前就灭绝了。

定理2.3 如果(H₃)成立, 则对于所有的μ>0有h_∞ < ∞。

证明: 无论h_∞ < ∞或者h_∞=∞都有$\lim\limits_{t \rightarrow+\infty} inf \min\limits_{0 \leqslant x \leqslant h(t)} v(t, x) \geqslant \frac{a_{2}}{c_{2}}$^[13], 又因为$\frac{a_{1}}{a_{2}}<\min \left\{\frac{b_{1}}{b_{2}}, \frac{c_{1}}{c_{2}}\right\}$, 存在T>0使得(a₁-b₁u(t, x)-c₁v(t, x)) < 0, t≥T, 0≤x < h(t), 剩下的证明与参考文献[6]类似。