一、问题提出

与散户投资者相比，以机构投资者为代表的信息交易者，被认为拥有更多的信息渠道和更专业的分析能力。然而，由于关注资源的稀缺性特征，即使是专业的机构投资者，也不可能收集处理来自各个渠道的所有信息，他们只能收集处理其中的部分信息(Ben-Rephael，2017)。为提高收益，信息交易者要提高关注度，付出更多的时间和精力去挖掘信息，增强对资产未来收益的预测能力(Andrei and Hasler, 2019)。由于不同的信息交易者投入的时间和精力、信息处理技术等方面的差异，导致他们具有不同的信息处理能力，信息处理能力强的信息交易者，将迅速准确地捕捉到相关信息，参与到市场交易中来，从而引起资产价格和成交量的异动。这就吸引市场上其他交易者关注该资产，更多的信息将被挖掘出来，市场透明度提高，投资该资产的风险和超额收益降低。因此，信息交易者一方面要提高关注度，获得更多的信息，提高对未来现金流的预测精度，赚取更多收益，另一方面要评估其他交易者对信息的掌握和参与交易的程度，分析市场竞争情况。信息交易者就是通过权衡关注和竞争这两种因素形成对资产未来收益的预期，以此来选择最优交易量。那么，关注和竞争是如何共同影响交易者交易行为、期望收益、价格形成和市场效率的？

由于在实际中很难找到合适代理变量去刻画不同投资者的不同关注行为，所以我们借助于理论模型进行分析。然而，在当前的关于投资者关注理论模型的研究中，有的只考虑内生性的因素，也就是从个体投资者获取信号的精确度角度定义关注度，有的只考虑竞争的因素，也就是从宏观市场中信息关注者数量或者其在市场交易者中所占比例来定义关注度。比如，Peng(2005)通过研究关注约束下代表性投资者的学习行为，发现投资者关注水平与公司的特征相关。进一步地，Peng and Xiong(2006)将信息分为宏观市场信息、行业信息和公司特定信息，揭示了有限关注会导致投资者的分类学习行为，同时还对收益的动量和反转现象的形成机制进行了理论推导。李广川等(2009)假设投资者之间同时存在过度自信和对多期私有信息关注分配的差异，以此来研究投资者结构与股价波动之间的关系。Mondria(2010)通过在两种风险资产而不是在信息类型上分配关注来刻画内生性约束，发现资产价格联动性高于基本面的联动性。Andrei and Hasler(2019)研究投资者为了使得终身效用最大化应该对

新闻投入多少关注度，研究发现，最优关注度与预期收益之间是U型关系，并且随着不确定性的增大而增大、股票收益波动性的增大而减小。这些内生性关注模型只考虑了一个代表性的投资者的关注行为，忽视了不同投资者之间的相互学习、相互作用，因而没有考虑竞争因素。在另一些相关文献中，把关注投资者划分为不同的类型，研究不同类型的信息关注者占市场中交易者数量的比例对资产价格、收益等的影响。比如，Hirshleifer(2003)将投资者分为疏忽投资者和关注投资者，来刻画不同的会计信息呈现方式对资产价格的影响。Hirshleifer et al.(2011)进一步将投资者分为不关注任何盈余信息、只关注部分盈余信息和关注所有公开盈余信息的投资者，来解释“应计异象”和“现金流异象”。彭叠峰等(2015a)在Easley and O’Hara(2004)模型中，引入投资者有限关注，来推导资产的风险溢价。然后，他们又借鉴Hirshleifer et al.(2011)的建模思路，将投资者分为关注与疏忽两类投资者，并引入注意力传染机制，来解释收益的动量和反转异象(彭叠峰等，2015b)。这些模型用市场中信息关注者占交易者总数的比例作为有限关注的代理变量，实际上是只考虑了竞争因素，并没有刻画关注的内生性特征。

针对已有模型的不足，本文借鉴Kyle(1985)与Holden and Subrahmanyam(1992)的分析框架，把交易者分为三类：多个信息交易者，每个交易者的关注度不同，得到的信号也不同；噪音交易者，盲目地、非理性地进行交易；做市商，负责记录交易量信息，以市场总交易量来制定价格。通过求解线性均衡，探讨关注和竞争对交易策略、期望收益和价格的影响机制。本文假设信息交易者是有限关注的，因而得到带噪音的不完美异质信号，这就放松了Kyle(1985)和Holden and Subrahmanyam(1992)信息交易者得到完美同质信号的假设。Kyle(1985)模型和Holden and Subrahmanyam(1992)模型可以看作本文模型的两种极端情况，前一种研究信息完全垄断的情形，属于本文中只有一个信息交易者并且关注度无穷大的特例，后一种研究完全竞争的情形，属于本文中存在无穷多个信息交易者的特例。本文引入了关注度，从而研究两种极端情形中的中间状态，不仅进一步拓展了Kyle(1985)模型及Holden and Subrahmanyam(1992)模型，而且拓展了当前的投资者关注理论，使该理论更具有一般性和广泛性，更符合实际。同时，本文的研究结论可以为现存的很多实证文献提供理论支持，比如，Da et al.(2011)、Aouadi et al.(2013)的高关注高交易量；Aboody et al.(2010)的收益反转；LI and Yu(2012)、Yuan(2015)的高关注低收益；等等。

二、模型

本文假设在一个具有唯一风险资产的金融市场中，投资者在期初进行交易，期末进行清算。风险资产的清算价值$\tilde v $服从均值为0、方差为σ_v²的正态分布，即$ \tilde{v} \sim N\left(0, \sigma_{v}^{2}\right)$。市场上存在三类交易者：①多个风险中性的信息交易者。他们具有有限的关注能力，因而不可能获得反映资产清算价值的全部信号。按照Peng and Xiong(2006)、Andrei and Hasler(2019)的思想，投资者得到的信号数量越多，他们最终综合形成的信号精确度越高。为了证明这一点，假设投资者获得n个信号，第j个信号s_j表示为：

$ {\tilde s_j} = \tilde v + {\tilde \varepsilon _j},j = 1, \ldots ,n $

(1)

其中，$ \tilde{\varepsilon}_{j}$为噪音。假设$ \tilde{\varepsilon}_{j}$与${\tilde v} $同分布，即$ {{\tilde \varepsilon }_j} \sim N\left({0, \sigma _v^2} \right)$，且$\left\{ {\tilde v, {{\tilde \varepsilon }_1}, {{\tilde \varepsilon }_2}, \ldots, {{\tilde \varepsilon }_n}} \right\} $相互独立。

通过收集、整理、分析、综合等加工过程，第i个信息交易者最终得到n个信号的总和为：

$ {\tilde s_i} = \frac{1}{n}\sum\limits_{j = 1}^n {{{\tilde s}_j}} = \tilde v + \frac{1}{n}\left( {{{\tilde \varepsilon }_1} + {{\tilde \varepsilon }_2} + \ldots + {{\tilde \varepsilon }_n}} \right) $

(2)

对噪音部分求方差得：

$ {\rm{var}} \left[ {\frac{1}{n}\left( {{{\tilde \varepsilon }_1} + {{\tilde \varepsilon }_2} + \ldots + {{\tilde \varepsilon }_n}} \right)} \right] = \frac{1}{n}\sigma _v^2 $

(3)

设n≡a，a表示交易者关注度，意味着关注度越大，交易者得到的信号越多，综合信号的精度就越高。不同的信息交易者收集和处理信息的能力不同，因而关注度也不同。因此，信息交易者最终获得的综合信号为：

$ {\tilde s_i} = \tilde v + \frac{1}{{\sqrt {{a_i}} }}{\tilde \varepsilon _i},{\tilde \varepsilon _i} \sim i.\;i.\;d.\;N\left( {0,\sigma _v^2} \right) $

(4)

其中，$ a_{i} \geq 0$，表示第i个信息交易者的关注程度。当a_i=0，表示交易者是完全疏忽者，他们没有在获取信息上付出努力，得到的信号全部是噪音；当$ 0 <a_{i} <+\infty$时，表示交易者是有限关注的，获取了有限的信息量；当$ {a_i} = + \infty $时，表示投资者是完全关注者，付出了足够多的努力关注信息，因而获取了完美信息。另外，由于随着信息披露制度的完善和信息技术的发展，一个典型的外部交易者往往通过公共的信息渠道就可以收集到需要的信息，比如互联网、电视、报纸等，而这些渠道的信息获取成本很低，所以，可以假设信息交易者获取信息的成本为零(Peng and Xiong, 2006)。

信息交易者根据自己获得的信号，对其信息含量进行评价：

$ {E_i}\left[ {v|{{\tilde s}_i}} \right] = {c_i}{\tilde s_i} $

(5)

其中：

$ {c_i} = \frac{{ cov \left( {{{\tilde s}_i},{\rm{v}}} \right)}}{{ var \left( {{{\tilde s}_i}} \right)}} = \frac{{{a_i}}}{{{a_i} + 1}} $

表示信号$ \tilde{s}_{i}$的信息含量，即信号$ \tilde{s}_{i}$中包含多少有价值的信息。

同时，每一个信息交易者还要根据自己获取的信号，对其他信息交易者获取的信号进行评价：

$ {E_{ij}}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\tilde s}_j}/{{\tilde s}_i}} \end{array}} \right] = {g_i}{\tilde s_i} $

(6)

其中：

$ {g_i} = \frac{{ cov \left( {{{\tilde s}_i},{{\tilde s}_j}} \right)}}{{ var \left( {{{\tilde s}_i}} \right)}} = \frac{{{a_i}}}{{{a_i} + 1}} = {c_i} $

表示其他信息交易者获得的信号与自己的信号关联性程度，关联性越大，说明他们之间的竞争越强，当关注度a_i无穷大时，信息交易者得到完美信息，此时g_i=1，属于Holden and Subrahmanyam(1992)模型中的完全竞争情形；当关注度a_i=0时，此时g_i=0，信息交易者得到的信号都是噪音，他们之间不存在竞争。

在交易中，信息交易者根据自己获取的私人信号选择订单量${{\tilde x}_i}, {{\tilde x}_i} = {\beta _i}{{\tilde s}_i} $，其中，β_i表示的是交易者对自己私人信号的反应强度。

② 很多噪音交易者。也就是流动性交易者，是市场流动性的主要提供者，他们不知道有关交易风险资产清算价值的信息，其交易行为受个人心理支配。他们提交的总订单量为${\tilde u} $，${\tilde u} $服从均值为0和方差为σ_u²的正态分布，即$ \tilde{u} \sim N\left(0, \sigma_{u}^{2}\right)$，$ {\tilde u}$与$ {\tilde v}$、$ {{\tilde \varepsilon }_i}$相互独立。

③ 风险中性的做市商。他们只观察总的订单量$ \tilde y = \sum_{i = 1}^N {{{\tilde x}_i}} + \tilde u$，不区分信息交易者的订单量${\tilde x} $和噪音交易者的订单量${\tilde u} $，并根据贝叶斯法则设定资产价格。他们的作用是稳定市场，使交易资产市场价格达到半强形式的有效。

在交易中，信息交易者选择交易量，使得他们的预期收益最大化；做市商之间的竞争使得他们的预期收益为0。因此，可以把市场交易的均衡条件定义为：

定义  交易博弈中的完美贝叶斯纳什均衡为：信息交易者的指令流和做市商设定的交易价格组合$ \left(\tilde{p}, \tilde{x}_{1}, \tilde{x}_{2}, \cdots, \tilde{x}_{N}\right)$满足如下条件:

① 收益最大化：每个信息交易者对于可选择的任意策略$ \tilde x_i^\prime $，均有：

$ {\tilde x_i} \in \mathop {Arg\max}\limits_{{x_i} \in R} E\left[ {\left( {\tilde v - \tilde p\left( {{x_i} + \sum\limits_{j \ne i} {{{\tilde x}_j}} + \tilde u} \right)} \right){x_i}|{s_i}} \right] $

(7)

$ {\rm{E}}\left( {{\pi _i}\left( {{{\tilde x}_i},\tilde p} \right)|{{\tilde s}_i}} \right) \ge {\rm{E}}\left( {{\pi _i}\left( {\tilde x_i^\prime ,\tilde p} \right)|{{\tilde s}_i}} \right) $

(8)

② 市场半强有效性：

$ \tilde p = {\rm{E}}(\tilde v|\tilde y) = \lambda \tilde y $

(9)

其中，λ表示流动性参数，反映了指令流对价格的冲击，Kyle(1985)将其定义为股票的流动性匮乏。所以，$\frac{1}{\lambda } $衡量的是市场深度或市场流动性，也就是价格每变动一个单位所需要的交易量大小。

三、模型的线性均衡及均衡特征

命题1  模型存在以下唯一的线性均衡：

做市商的定价策略为：

$ \tilde p = {\lambda ^*}\tilde y $

其中:

$ {\lambda ^*} = \frac{{{\sigma _v}}}{{{\sigma _u}}}\frac{1}{{1 + \sum\limits_{j = 1}^N {\frac{{{a_j}}}{{{a_j} + 2}}} }}{\left[ {\sum\limits_{j = 1}^N {\frac{{\left( {{a_j} + 1} \right){a_j}}}{{{{\left( {{a_j} + 2} \right)}^2}}}} } \right]^{\frac{1}{2}}} $

(10)

信息交易者的最优订单为：

$ {\tilde x_i} = \beta _i^*{\tilde s_i} $

其中:

$ \beta _i^* = \frac{{{\sigma _u}}}{{{\sigma _v}}}\frac{1}{{{{\left[ {\sum\limits_{j = 1}^N {\frac{{\left( {{a_j} + 1} \right){a_j}}}{{{{\left( {{a_j} + 2} \right)}^2}}}} } \right]}^{\frac{1}{2}}}}}\frac{{{a_i}}}{{{a_i} + 2}} $

(11)

$ \pi _i^* = \frac{{{\sigma _v}{\sigma _u}}}{{{{\left[ {\sum\limits_{j = 1}^N {\frac{{\left( {{a_j} + 1} \right){a_j}}}{{{{\left( {{a_j} + 2} \right)}^2}}}} } \right]}^{\frac{1}{2}}}\left[ {1 + \sum\limits_{j = 1}^N {\frac{{{a_j}}}{{{a_j} + 2}}} } \right]}}\frac{{\left( {{a_i} + 1} \right){a_i}}}{{{{\left( {{a_i} + 2} \right)}^2}}} $

(12)

证明见附录1。

由命题1可知，当所有信息交易者获得关于资产清算价值的完美信息时，即关注度无穷大时，得到Holden and Subrahmanyam(1992)的结论，即

$ {\lambda ^*} = \frac{{{\sigma _v}}}{{{\sigma _u}}}\frac{{\sqrt N }}{{1 + N}},\beta _i^* = \frac{{{\sigma _u}}}{{{\sigma _v}}}\frac{1}{{\sqrt N }},\pi _i^*(\infty ,N) = \frac{{{\sigma _v}{\sigma _u}}}{{\sqrt N (1 + N)}} $

当市场中只有一个得到完美信息的信息交易者时，则得到Kyle(1985)的结论：

$ {\lambda ^*} = \frac{1}{2}\frac{{{\sigma _v}}}{{{\sigma _u}}},\beta _i^* = \frac{{{\sigma _u}}}{{{\sigma _v}}},\pi _i^*(\infty ,1) = \frac{1}{2}{\sigma _v}{\sigma _u} $

这两个模型的假设前提是交易者得到完美信息，在Holden and Subrahmanyam(1992)模型中，信息交易者之间竞争的加剧(即N的增大)导致期望收益迅速趋于0，交易强度也随之减弱。当加入关注度后，信息交易者不再得到完美信息，交易强度和期望收益等于Kyle(1985)模型中的值乘以一个非线性函数，使得期望收益和交易强度随关注度的变化呈现非单调变化。交易强度β_i^*与资产价值的波动幅度σ_v成反比，与噪声交易的波动程度σ_u成正比，期望收益π_i^*与σ_v、σ_u成正比，同时还受到自身关注度和其他信息交易者关注度的影响，自身的关注度决定了信息交易者获取私人信息的质量，而其他信息交易者的关注度决定了市场上信息的透明程度，两者共同决定了期望收益的大小。为了考察交易强度、期望收益与关注度之间的关系，计算得到命题2.

命题2  市场均衡时，信息交易者i的交易强度β_i^*、期望收益π_i^*随着其他信息交易者关注度的增大而降低，随着自身关注度的增大而增大。

证明见附录2。

这个结论是直观的。对于某个特定的信息交易者i，当其他信息交易者的关注度提高时，他们对未来现金流预测更精确，投资该风险资产的风险下降，交易者i要求的风险溢价越小，对私人信号的反应强度也随之减弱。同样，当其他信息交易者的关注度不变，而某个信息交易者i的关注度增大时，由于该信息交易者得到更完美的信号，他会提高自己的预期收益，相应地交易也会更强烈。由于信息交易者的期望收益随着自己关注度的增大而增大，随着其他信息交易者关注度的增大而降低，因而信息交易者的总收益与关注度之间的关系是非单调变化的，命题3总结出它们之间的关系。

命题3  信息交易者总期望收益是关注度的非单调函数：

$ {\pi ^ * } = {\sigma _v}{\sigma _u}\frac{{\sqrt {\sum\limits_{j = 1}^N {\frac{{\left( {{a_j} + 1} \right){a_j}}}{{{{\left( {{a_j} + 2} \right)}^2}}}} } }}{{1 + \sum\limits_{j = 1}^N {\frac{{{a_j}}}{{{a_j} + 2}}} }} = {\sigma _v}{\sigma _u}\frac{{\sqrt {\frac{1}{8}\left( {1 + m\left( {{a_{ - i}}} \right) - 3n\left( {{a_{ - i}}} \right)} \right) + \frac{{\left( {{a_i} + 1} \right){a_i}}}{{{{\left( {{a_i} + 2} \right)}^2}}}} }}{{\frac{1}{2}\left( {1 + m\left( {{a_{ - i}}} \right) - n\left( {{a_{ - i}}} \right)} \right) + \frac{{{a_i}}}{{{a_i} + 2}}}} $

(13)

其中:

$ m\left( {{a_{ - i}}} \right) = 2 + \sum\limits_{j \ne i} {\frac{{\left( {2 - {a_j}} \right){a_j}}}{{{{\left( {{a_j} + 2} \right)}^2}}}} ,n\left( {{a_{ - i}}} \right) = 1 - \sum\limits_{j \ne i} {\frac{{\left( {3{a_j} + 2} \right){a_j}}}{{{{\left( {{a_j} + 2} \right)}^2}}}} $

当m(a_－i)≤0或者n(a_－i)≤0、m(a_－i)≥0且$a_{i} \leqslant-\frac{2 n\left(a_{-i}\right)}{m\left(a_{-i}\right)} $时，信息交易者总期望收益随第i个信息交易者关注度a_i的增大而降低；

当n(a_－i)≥0或者n(a_－i)≤0、m(a_－i)≥0且$ a_{i} \leqslant-\frac{2 n\left(a_{-i}\right)}{m\left(a_{-i}\right)}$时，信息交易者总期望收益随第i个信息交易者关注度a_i的增大而增大。

证明见附录3。

可以把命题3分为三个区间进行解释：

当m(a_－i)≤0时，意味着市场上除第i个信息交易者外的其他信息交易者关注度很大，因而市场中的噪音很低。此时，信息交易者由于得到了很完美的信息，市场透明度很高，投资该风险资产的风险很低，因而随着第i个信息交易者的关注度增大，市场效率进一步提高，总收益降低。当关注度无穷大时，信息交易者得到完美信息，得到Holden and Subrahmanyam(1992)的结论，即，激烈的竞争将导致信息交易者的期望收益趋于零。

当n(a_－i)≤0，m(a_－i)≥0时，意味着市场上除第i个信息交易者外的其他信息交易者关注度足够小但不是很小，市场上的噪音较大。此时，关注度又可分为两个区间，若信息交易者i关注度较大时，即$ {a_i} \ge - \frac{{2n\left({{a_{ - i}}} \right)}}{{m\left({{a_{ - i}}} \right)}}$，其个体期望收益随该交易者关注度增大而增大的幅度大于由于竞争加剧导致总期望收益下降的幅度，使得总期望收益随着该交易者关注度的增大而增大。当信息交易者i关注度较小时，即$ {a_i} \le - \frac{{2n\left({{a_{ - i}}} \right)}}{{m\left({{a_{ - i}}} \right)}}$，其个体期望收益随该交易者关注度增大而增大的幅度小于由于竞争加剧导致总期望收益下降的幅度，使得总期望收益随该交易者关注度的增大而降低。

当n(a_－i)≥0时，对于某个特定信息交易者i来说，其他信息交易者的关注度很小，市场上噪音很大，市场竞争很弱，使得总期望收益下降的幅度很小。当其他信息交易者的关注度小到一定程度时，就会使信息交易者i的个体期望收益随关注度增大而增大的幅度大于竞争导致总期望收益下降的幅度，因此，总期望收益随着该信息交易者关注度的增大而增大。

产生以上结论的根源在于有限关注，有限关注使得信息交易者不是得到完美信息，而是得到带噪音的不完美信号。按照Foster and Viswanathan(1996)、Back et al.(2000)的观点，信号之间的关联性越大(越小)，市场竞争越激烈(越弱)。可以说，信号的关联性决定了竞争的类型，当关联性不完全正相关时，信息交易者之间存在激烈的竞争(rat race)；当关联性完全负相关时，信息交易者之间存在等待效应(waiting game)，弱化了竞争。信号之间关联性的高低又取决于关注度的大小，为了说明它们之间的关系，假设市场中有两个信息交易者i和j，他们的信号之间的关联性为：

$ corr\left( {{{\tilde s}_i},{{\tilde s}_j}} \right) = \frac{{\sigma _v^2}}{{\sqrt {\left( {\sigma _v^2 + \frac{1}{{a_i^2}}\sigma _\varepsilon ^2} \right)\left( {\sigma _v^2 + \frac{1}{{a_j^2}}\sigma _\varepsilon ^2} \right)} }} $

(14)

容易看出，信号之间的关联性随着关注度的增大而增大，所以，在其它条件不变的情况下，关注度越大，意味着信息交易者之间的竞争越激烈。这就使关注度产生正负两个相反的效应，正效应是关注的增大使得信息交易者得到更完美的信号，期望收益提高；负效应是关注的增大使得信息交易者之间的竞争加剧，期望收益降低。

这两个相反效应的相互作用解释了命题3的结论，当市场中关注度水平很大时，负效应大于正效应，期望收益随关注度的增大而减小。当市场中关注度水平很小时，正效应大于负效应，期望收益随关注度的增大而增大。当市场中关注度水平足够小但不是很小时，市场中存在一定程度的竞争，此时，若某个信息交易者的关注度大到一定程度时，正效应占主导地位，其个体期望收益随关注度增大而增大的幅度大于竞争导致总期望收益下降的幅度，总期望收益随该交易者关注度的增大而增大；若某个信息交易者关注度低于一定程度时，负效应占主导地位，其个体期望收益随关注度增大而增大的幅度不足以抵消由于竞争导致总期望收益下降的幅度，总期望收益随该交易者关注度的增大而降低。可以说，正是关注和竞争两种力量之间的权衡支配着交易者的交易行为，权衡关注和竞争两者之间的关系对交易的影响，正是本文的创新点。本文把关注这个认知心理因素加入信息交易者的交易模型中，既考虑了客观因素——竞争对交易的影响，又考虑到了主观因素——关注对交易的影响，使得理论模型更有说服力、更符合现实。

四、同质关注

以上讨论了一般模型，实际上，在金融市场中，由于交易者往往具有相同的公共信息源，比如新闻发布、媒体报道、分析师报告等，当一个信号被释放出来后，所有的交易者都能接收到，因而信息关注者往往会接收到相同数量的新闻。同时，从现存的实证文献看，人们往往用异常交易量、极端收益、新闻报道、网络搜索数据、特定事件等显著信息作为投资者关注的代理变量，研究同质关注，有利于解释这些实证结论(张学勇、吴雨玲，2018)。另外，从上文分析可知，关注度对总期望收益的影响是非单调的，当市场关注度水平很小时，总收益随某个信息交易者关注度增大而增大；当市场关注度水平很大时，总收益随某个信息交易者关注度增大而减小，因而存在使总收益最大的市场最优平均关注度，为了找出市场最优平均关注度，也需要研究同质关注。在以上其它假设不变的情况下，本文通过假设a_i=a来研究信息交易者具有相同关注度的特殊情况，从而得到命题4。

命题4  当信息交易者具有同质关注度时，市场均衡有如下特征：

$ {\lambda ^*} = \frac{{{\sigma _v}}}{{{\sigma _u}}}\frac{{\sqrt {Na(a + 1)} }}{{Na + a + 2}} $

(15)

$ \beta _i^ * = {\beta ^*} = \frac{{{\sigma _u}}}{{{\sigma _v}}}\sqrt {\frac{a}{{N\left( {a + 1} \right)}}} $

(16)

信息交易者的个体期望收益为：

$ \pi _i^* = {\sigma _v}{\sigma _u}\frac{{\sqrt {a(a + 1)} }}{{\sqrt N (Na + a + 2)}} $

(17)

信息交易者的总期望收益为：

$ {\pi ^*} = {\sigma _v}{\sigma _u}\frac{{\sqrt {Na(a + 1)} }}{{Na + a + 2}} $

(18)

当${a_i} \to \infty $时，β_i^*、π_i^*得到Holden and Subrahmanyam(1992)的结论。交易强度随关注度的增大而增大，随信息交易者数量的增多而减弱。然而，期望收益与关注度、数量之间的关系是非单调的。为了直观理解它们之间的关系，本文参照Holden and Subrahmanyam(1992)、Foster and Viswanathan(1996)、Back et al.(2000)的设置方法，对σ_v²、σ_u²进行标准化处理，即设置σ_v²=σ_u²=1，得到图 1和图 2，从而得到数值结论，总结为命题5和命题6。

命题5  信息交易者交易强度随着其数量的增多而减弱，随着关注度的增大而增强；数量越多，交易强度随关注度增大而增强的幅度越弱。

这是因为当信息交易者数量较多时，市场竞争加剧，信息交易者预测到收益将降低，因此交易强度随之减弱。当关注度增大时，信息交易者得到的信息精度提高，对收益的预测更精确，因此对信息的反映更强。这与现存的实证文献结论相一致，比如，Da et al.(2011)、Aouadi et al.(2013)的研究结论表明，关注度越高，交易量越大。另外，当信息交易者数量增多时，市场竞争加剧，信息交易者会预测到由于关注度增大而提高的部分收益会由于市场竞争的加剧而抵消，相应地交易强度随着关注度增大而增强的幅度也减小。

命题6   ①当N≤3时，即信息交易者数量较少时，个体期望收益和总期望收益随着信息交易者关注度的增大而增大。

② 当N>3时，即信息交易者数量较多时，个体期望收益和总期望收益随着信息交易者关注度的增大起初快速增大，然后缓慢减小；当$ a^{*}=\frac{2}{N-3}$时，个体期望收益π_i^*、总期望收益π^*达到最大，分别为：

$ \pi _i^* = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\frac{{{\sigma _v}{\sigma _u}}}{{\sqrt {N(N - 1)} }} $

(19)

$ {\pi ^*} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}{\sigma _v}{\sigma _u}\sqrt {\frac{N}{{N - 1}}} $

(20)

证明见附录4。

从图 2可以看出，当N≤3时，市场中信息交易者数量较少，信息交易者相当于信息的寡头垄断者，他们之间很容易进行串谋以操纵市场，实现总期望收益最大化。他们关注度越大，掌握的私人信息越多，越容易操纵市场，获得超额收益。而当信息交易者数量较多(N>3)时，起初，由于信息交易者关注度较低，市场上的噪音含量较大，市场竞争较弱，关注度增大导致收益提高的幅度大于竞争导致的收益减小的幅度，因而期望收益随着关注度的增大而快速增大，这也与命题3结论一致，当关注度很小时，正效应占据主导地位。但是，随着关注度的增大，竞争加剧，市场的透明度和市场效率提高，负效应占据了主导地位，期望收益下降的幅度逐渐大于由于关注度增大导致的期望收益提高的幅度，使得期望收益随着关注度的增大而降低。另外，在期望收益的增长阶段，由于总期望收益表示的是市场上所有信息交易者的总期望收益，这就意味着数量越多，总期望收益越大。而在下降阶段，信息交易者数量越多，意味着竞争越激烈，因此，期望收益下降的幅度越大。

以上结论也支持了金融市场中有限关注导致收益反转的异象，比如，Aboody et al.(2011)发现尽管在公告日之前有超额收益，但在公告日后5日内超额收益为负的。同时，也支持了高关注低收益的结论，比如，Yuan(2015)用道指记录的创造新高事件和头版新闻作为市场关注的代理变量，发现高关注导致低收益，这是因为当道指创造新高或者媒体发布头版新闻时，会引起市场的广泛关注，如同我国上证指数和深证指数2007年创新高时而出现万人空巷前去开户的情景一样，属于我们模型中信息交易者数量较多并且关注度较高的情形，结果导致的是收益快速下降。LI and Yu(2012)用道指的52周高点、历史高点分别作为反应不足、反应过度的代理变量，发现股价在接近52周高点时预示着未来正收益，但接近历史高点时预示着未来负收益，反应不足相当于关注低的情形，而反应过度相当关注高的情形，这也与命题6结论一致。

另外，值得注意的是，当关注度为最优时，且信息交易者数量趋于无穷大时，总收益不是趋于0，而是接近于一个有限值$\sigma_{v} \sigma_{u} / 2 \sqrt{2} $。当关注度不是最优时，总收益随着信息交易者数量的增多趋于0。在Foster and Viswanathan(1996)、Back et al.(2000)模型中，激烈的竞争导致私人信息很快被揭示，因此总收益趋于0，信号之间的关联性越高，趋于0的速度越快。在Holden and Subrahmanyam(1992)模型中，由于信息交易者得到完美信息，激烈的竞争导致总收益迅速趋于0。参照上文的参数设置，用图 3比较了信息交易者最优关注时和得到完美信息时的总收益情况，可以看到，信息交易者得到完美信息时的总收益始终低于最优关注度时的总收益，并且下降速度很快，而最优关注时的总收益收敛于一个有限值。那么，为什么高关注不会导致高收益？为什么最优关注时的总收益不会等于0？为了解决这些问题，需要进一步分析市场效率。市场效率也叫价格效率或者信息效率，用来衡量价格能否及时、充分反映影响它的各种信息。在Kyle(1985)模型中，$Var(\tilde v|\tilde p) $表示还有多少信息没有被价格揭示出来。所以，在现存在大多数文献中，人们用基于价格的基础价值的后验精度表示市场效率(Goldstein and Yang, 2017)，即$ {\left\{ {Var(\tilde v|\tilde p)} \right\}^{ - 1}}$。经计算，得到命题7。

命题7  市场均衡时，市场效率为：

$ {I^*} = {\left\{ {Var \left( {\tilde v|\tilde p} \right)} \right\}^{ - 1}} = \frac{1}{{\sigma _v^2}}\frac{{Na + a + 2}}{{a + 2}} $

(21)

证明见附录5。

价格的信息含量随着信息交易者数量N的增大而增大，当N趋于无穷大时，价格的信息含量也趋于无穷大，这意味着信息全部反应到价格中，此时价格的信息效率最高。这解释了命题6中当信息交易者数量无穷大时，收益趋于0的结论。

由$\frac{\partial I(a, N)}{\partial a}=\frac{2 N}{\sigma_{v}^{2}}>0 $知，价格的信息含量随着关注度的增大而增大，N越大，价格的信息效率增长越快，这解释了命题6的结论，即收益随关注度的增大而降低。当关注度最优时，也就是$ a = \frac{2}{{N - 3}}$时，

$ {I^*} = {\{ Var (\tilde v|\tilde p)\} ^{ - 1}} = \frac{1}{{\sigma _v^2}}\frac{{2(N - 1)}}{{N - 2}} $

(22)

很明显，I^*随着N的增大而增大，这解释了命题5和命题6的结论，即随着信息交易者数量的增多，关注度为最优时的收益越来越低。当N趋于无穷大时，$ I^{*} \approx \frac{2}{\sigma_{v}^{2}}$，说明价格的信息含量是一个有限值，也就是说，即使当关注度最优时，信息交易者的数量再多，价格的信息效率也不会是无穷大的，因而关注度最优时的期望收益不会是0。

五、结论

有效市场认为，市场参与的投资者有足够的理性，能够迅速对所有市场信息作出充分反应。事实上，由于受到时间和精力的限制，任何人不可能收集到关于资产清算价值的全部信息，只能关注部分信息，不同的投资者由于知识、经历和偏好不同，关注的信息也不同。因此，本文放松了Kyle(1985)、Holden and Subrahmanyam(1992)模型中信息交易者得到完美信号的假设，把关注度引入信息交易者模型，假设市场上有多个不同关注度的信息交易者，他们得到不同精度的异质信号，通过权衡关注和竞争两种因素选择交易策略。通过求解线性均衡模型，结果表明：某个信息交易者的交易强度、期望收益随着其他信息交易者关注度的增大而降低，随着自身的关注度的增大而增大；当其他信息交易者关注度水平很小时，总期望收益随某个信息交易者关注度增大而增大；当市场关注度水平很大时，总收益随某个信息交易者关注度增大而减小。为了易于与实证结论比较以及得到使收益最大时的最优关注度，本文又建立了同质关注模型，并得出结论：信息交易者数量较少时，收益随关注度增大而增大；当信息交易者数量较多时，收益随关注度增大起初快速增大然后减小。

综合来看，关注和信息交易者数量共同影响了交易者对信息的反应强度和期望收益，给我们的启示是：对于个体投资者来说，只有充分的了解市场上其他交易者信息关注情况以及和他们相比自身的关注度，才能有效地获利或避免损失。对于监管部门来说，只有了解投资者关注和交易者参与市场的情况，才能改善交易质量，提高市场效率。当市场关注度较小时，必须积极促进相关信息的公开，避免少数信息垄断者操纵市场；当市场关注度较大时，必须积极引导投资者理性投资，避免盲目从众，减小损失。

附录1：

第i个交易者最大化他的期望收益：

$ \max E\left[ {{{\tilde x}_i}(\tilde v - \tilde p)|{{\tilde s}_i}} \right] = E\left\{ {{{\tilde x}_i}\left[ {\tilde v - \lambda \left( {{{\tilde x}_i} + \sum\limits_{j \ne i} {{{\tilde x}_j}} + \tilde u} \right)} \right]|{{\tilde s}_i}} \right\},i = 1, \cdots ,N $

(A1)

由于$ {\tilde u}$与$ {{\tilde s}_i}$相互独立，则

$ \max {c_i}{\tilde s_i}{\tilde x_i} - \lambda \tilde x_i^2 - \lambda {\tilde x_i}\sum\limits_{j \ne i} E \left( {{{\tilde x}_j}|{{\tilde s}_i}} \right),i = 1, \cdots ,N $

(A2)

由(A2)式一阶条件得：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{\tilde x}_i} = \frac{1}{{2\lambda }}{c_i}{{\tilde s}_i} - \frac{1}{2}\sum\limits_{j \ne i} E \left( {{{\tilde x}_j}|{{\tilde s}_i}} \right) = \frac{1}{{2\lambda }}{c_i}{{\tilde s}_i} - \frac{1}{2}\sum\limits_{j \ne i} E \left( {{\beta _j}{{\tilde s}_j}|{{\tilde s}_i}} \right)}\\ { = \frac{1}{{2\lambda }}{c_i}{{\tilde s}_i} - \frac{1}{2}\sum\limits_{j \ne i} {{c_i}} {\beta _j}{{\tilde s}_i} = {\beta _i}{{\tilde s}_i}} \end{array} $

(A3)

$ {\beta _i} = \frac{1}{{2\lambda }}{c_i} - \frac{{{c_i}}}{2}\sum\limits_{j \ne i} {{\beta _j}} = \frac{1}{{2\lambda }}\frac{{{a_i}}}{{{a_i} + 1}} - \frac{{{a_i}}}{{2\left( {{a_i} + 1} \right)}}\left( {\sum\limits_{j = 1}^N {{\beta _j}} - {\beta _i}} \right) $

(A4)

整理得：

$ {\beta _i} = \frac{{\left( {\frac{1}{\lambda } - \sum\limits_{j = 1}^N {{\beta _j}} } \right){a_i}}}{{{a_i} + 2}} $

(A5)

设:

$ c = \frac{1}{\lambda } - \sum\limits_{j = 1}^N {{\beta _j}} $

(A6)

将(A5)代入(A6)，得：

$ \frac{1}{\lambda } = c\left[ {1 + \sum\limits_{j = 1}^N {\frac{{{a_j}}}{{{a_j} + 2}}} } \right] $

(A7)

$ \lambda = \frac{{ cov (\tilde v,\tilde y)}}{{ var (\tilde y)}} = \frac{{ cov \left( {\tilde v,\sum\nolimits_{j = 1}^N {{\beta _j}} {{\tilde s}_j} + \tilde u} \right)}}{{ var \left( {\sum\nolimits_{j = 1}^N {{\beta _j}} {{\tilde s}_j} + \tilde u} \right)}} = \frac{{\sum\nolimits_{j = 1}^N {{\beta _j}} \sigma _v^2}}{{{{\left( {\sum\nolimits_{j = 1}^N {{\beta _j}} } \right)}^2}\sigma _v^2 + \left( {\sum\nolimits_{j = 1}^N {\frac{{\beta _j^2}}{{{a_j}}}} } \right)\sigma _v^2 + \sigma _u^2}} $

(A8)

因此,

$ \frac{1}{\lambda } = c\sum\limits_{j = 1}^N {\frac{{{a_j}}}{{{a_j} + 2}}} + c\frac{{\sum\limits_{j = 1}^N {\frac{{{a_j}}}{{{{\left( {{a_j} + 2} \right)}^2}}}} }}{{\sum\limits_{j = 1}^N {\frac{{{a_j}}}{{{a_j} + 2}}} }} + \frac{{\sigma _u^2}}{{\sigma _v^2}}\frac{1}{{\frac{{{a_j}}}{{{a_j} + 2}}}} $

(A9)

由(A7)和(A9)联立得:

$ c = \frac{{{\sigma _u}}}{{{\sigma _v}}}\frac{1}{{{{\left[ {\sum\limits_{j = 1}^N {\frac{{\left( {{a_j} + 1} \right){a_j}}}{{{{\left( {{a_j} + 2} \right)}^2}}}} } \right]}^{\frac{1}{2}}}}} $

(A10)

把(A10)代入(A7)得λ^*；把(A10)代入(A5)得β_i^*.

然后把(A3)代入(A2)，得:

$ \begin{array}{*{20}{l}} {{c_i}{{\tilde s}_i}{{\tilde x}_i} - \lambda \tilde x_i^2 - \lambda {{\tilde x}_i}\sum\limits_{j \ne i} E \left( {{{\tilde x}_j}|{{\tilde s}_i}} \right) = {c_i}{\beta _i}\tilde s_i^2 - \lambda \beta _i^2\tilde s_i^2 - \lambda {\beta _i}{{\tilde s}_i}\sum\limits_{j \ne i} E \left( {{\beta _j}{{\tilde s}_j}|{{\tilde s}_i}} \right)}\\ { = {c_i}{\beta _i}\tilde s_i^2 - \lambda \beta _i^2\tilde s_i^2 - \lambda {\beta _i}{{\tilde s}_i}\sum\limits_{j \ne i} {{\beta _j}} E\left( {{{\tilde s}_j}|{{\tilde s}_i}} \right)} \end{array} $

(A11)

把(5)、(6)、(10)、(11)式代入(A11)，并且求期望得π_i^*。

附录2：

$ \frac{{\partial \beta _i^*}}{{\partial {a_j}}} = - \frac{1}{2}\frac{{{\sigma _u}}}{{{\sigma _v}}}\frac{{\left( {3{a_j} + 2} \right){a_i}}}{{{{\left[ {\sum\limits_{j = 1}^N {\frac{{\left( {{a_j} + 1} \right){a_j}}}{{{{\left( {{a_j} + 2} \right)}^2}}}} } \right]}^{\frac{3}{2}}}\sum\limits_{j = 1}^N {{{\left( {{a_j} + 2} \right)}^3}} \left( {{a_i} + 2} \right)}} < 0\quad j \ne i $

(A12)

$ \frac{{\partial \beta _i^*}}{{\partial {a_i}}} = \frac{1}{2}\frac{{{\sigma _u}}}{{{\sigma _v}}}\frac{{4\left( {{a_i} + 2} \right)\sum\limits_{j \ne i} {\frac{{\left( {{a_j} + 1} \right){a_j}}}{{{{\left( {{a_j} + 2} \right)}^2}}}} + {a_i}}}{{{{\left[ {\sum\limits_{j = 1}^N {\frac{{\left( {{a_j} + 1} \right){a_j}}}{{{{\left( {{a_j} + 2} \right)}^2}}}} } \right]}^{\frac{3}{2}}}{{\left( {{a_i} + 2} \right)}^3}}} > 0 $

(A13)

$ \frac{{\partial \ln \pi _i^*}}{{\partial {a_j}}} = - \frac{1}{2}\frac{{3{a_j} + 2}}{{{{\left( {{a_j} + 2} \right)}^3}\sum\limits_{k = 1}^N {\frac{{\left( {{a_k} + 1} \right){a_k}}}{{{{\left( {{a_k} + 2} \right)}^2}}}} }} - \frac{2}{{\left[ {1 + \sum\limits_{k = 1}^N {\frac{{{a_k}}}{{{a_k} + 2}}} } \right]{{\left( {{a_j} + 2} \right)}^2}}} < 0 $

(A14)

$ \begin{array}{l} \frac{{\ln \pi _i^*}}{{\partial {a_i}}} = - \frac{1}{2}\frac{{3{a_i} + 2}}{{{{\left( {{a_i} + 2} \right)}^3}\sum\nolimits_{k = 1}^N {\frac{{\left( {{a_k} + 1} \right){a_k}}}{{{{\left( {{a_k} + 2} \right)}^2}}}} }} - \frac{2}{{\left[ {1 + \sum\nolimits_{k = 1}^N {\frac{{{a_k}}}{{{a_k} + 2}}} } \right]{{\left( {{a_i} + 2} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {{a_i} + 2} \right)}^2}}}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; + \frac{4}{{\left( {{a_i} + 2} \right){a_i}}} = \frac{{{g_i}(a)}}{{2{{\left( {{a_i} + 2} \right)}^3}\left( {{a_i} + 1} \right)\left[ {1 + \sum\limits_{k = 1}^N {\frac{{{a_k}}}{{{a_k} + 2}}} } \right]\sum\limits_{k = 1}^N {\frac{{\left( {{a_k} + 1} \right){a_k}}}{{{{\left( {{a_k} + 2} \right)}^2}}}} }} \end{array} $

$ \begin{array}{l} {g_i}(a) = - \frac{1}{2}\frac{{3{a_i} + 2}}{{{{\left( {{a_i} + 2} \right)}^3}\sum\limits_{k = 1}^N {\frac{{\left( {{a_k} + 1} \right){a_k}}}{{{{\left( {{a_k} + 2} \right)}^2}}}} }} - \frac{2}{{\left[ {1 + \sum\limits_{k = 1}^N {\frac{{{a_k}}}{{{a_k} + 2}}} } \right]{{\left( {{a_i} + 2} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {{a_i} + 2} \right)}^2}}} + \frac{4}{{\left( {{a_i} + 2} \right){a_i}}}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\; = 2{\left( {{a_i} + 1} \right)^2} + \left( {3{a_i} + 2} \right)\left( {{a_i} + 1} \right)\sum\limits_{k \ne i} {\frac{{{a_k}}}{{{a_k} + 2}}} + \frac{{8\left( {{a_i} + 2} \right){{\left( {{a_i} + 1} \right)}^2}}}{{{a_i}}}\sum\limits_{k \ne i} {\frac{{\left( {{a_k} + 1} \right){a_k}}}{{{{\left( {{a_k} + 2} \right)}^2}}}} \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\; + \frac{{2\left( {3{a_i} + 2} \right){{\left( {{a_i} + 2} \right)}^2}}}{{{a_i}}}\sum\limits_{k \ne i} {\frac{{\left( {{a_k} + 1} \right){a_k}}}{{{{\left( {{a_k} + 2} \right)}^2}}}} \sum\limits_{k \ne i} {\frac{{{a_k}}}{{{a_k} + 2}}} \end{array} $

所以,

$ \frac{{\partial \ln \pi _i^*}}{{\partial {a_i}}} > 0 $

(A15)

附录3：

由于，

$ \frac{{\partial {\pi ^*}}}{{\partial {a_i}}} = \frac{1}{2}{\sigma _v}{\sigma _u}\frac{{{a_i}m\left( {{a_{ - i}}} \right) + 2n\left( {{a_{ - i}}} \right)}}{{{{\left[ {\sum\limits_{j = 1}^N {\frac{{\left( {{a_j} + 1} \right){a_j}}}{{{{\left( {{a_j} + 2} \right)}^2}}}} } \right]}^{\frac{1}{2}}}{{\left[ {1 + \sum\limits_{j = 1}^N {\frac{{{a_j}}}{{{a_j} + 2}}} } \right]}^2}{{\left( {{a_i} + 2} \right)}^3}}} $

(A16)

$ m\left( {{a_{ - i}}} \right) - n\left( {{a_{ - i}}} \right) = 1 + \sum\limits_{j \ne i} {\frac{{2{a_j}}}{{{a_j} + 2}}} > 0 $

(A17)

则：m(a_－i)>n(a_－i)

因此，当n(a_－i)≥0或者n(a_－i)≤0、m(a_－i)≥0并且a_im(a_－i)+2n(a_－i)≥0即${a_i} \ge - \frac{{2n\left({{a_{ - i}}} \right)}}{{m\left({{a_{ - i}}} \right)}} $时，$ \frac{{\partial {\pi ^*}}}{{\partial {a_i}}} \ge 0$

附录4：

$ \frac{{\partial \pi _i^*}}{{\partial a}} = \frac{1}{2}{\sigma _v}{\sigma _u}\frac{{(3 - N)a + 2}}{{\sqrt {Na(a + 1)} {{(Na + a + 2)}^2}}} $

(A18)

设$f(a)=(3-N) a+2 $，当$ (3 - N){\rm{ }}a + 2 \ge 0$时，为增函数，当N≤3时，由于a≥0，

$\frac{2}{{N - 3}} \le 0 $，则$a = \frac{2}{{N - 3}} $恒成立。当N>3时，$a \le \frac{2}{{N - 3}} $时，f(a)为增函数；$a \ge \frac{2}{{N - 3}} $时，f(a)为减函数。把${a^*} = \frac{2}{{N - 3}} $代入π_i，可得个体收益的最大值。

同理，求得:

$ \frac{{\partial {\pi ^*}}}{{\partial a}} = \frac{1}{2}{\sigma _v}{\sigma _u}\frac{{N\left[ {(3 - N)a + 2} \right]}}{{\sqrt {Na(a + 1)} {{(Na + a + 2)}^2}}} $

(A19)

与个体收益一样，当${a^*} = \frac{2}{{N - 3}} $时，此时，π为拐点，达到最大。

附录5：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {Var(\tilde y) = Var \left( {\sum\limits_{i = 1}^N {{{\tilde x}_i}} + \tilde u} \right) = Var \left( {\sum\limits_{i = 1}^N \beta {{\tilde s}_i} + \tilde u} \right) = Var \left( {N\beta \tilde v + \sum\limits_{i = 1}^N \beta {{\tilde \varepsilon }_i} + \tilde u} \right)}\\ { = {N^2}{\beta ^2}\sigma _v^2 + \frac{{N{\beta ^2}\sigma _v^2}}{a} + \sigma _u^2 = \sigma _u^2\frac{{Na + a + 2}}{{a + 1}}} \end{array} $

(A20)

$ {\rm{cov}}(\tilde v,\tilde y) = {\rm{cov}}\left( {\tilde v,\sum\limits_{i = 1}^N {{{\tilde x}_i}} + \tilde u} \right) = {\rm{cov}}\left( {\tilde v,N\beta \tilde v + \sum\limits_{i = 1}^N \beta {{\tilde \varepsilon }_i} + \tilde u} \right) = N\beta \sigma _v^2 = {\sigma _v}{\sigma _u}\sqrt {\frac{{Na}}{{a + 1}}} $

(A21)

$ Var (\tilde v|\tilde p) = Var(\tilde v|\tilde y) = Var(\tilde v) - \frac{{{{[ cov (\tilde v,\tilde y)]}^2}}}{{ Var (\tilde y)}} = \frac{{\sigma _v^2(a + 2)}}{{Na + a + 2}} $

(A22)

求倒数得到I^*。