一、引言

1952年，Markowitz(1952)在他开创性的论文中建立了著名的均值-方差模型，奠定了现代投资组合选择理论的基石，使金融研究由定性描述走向定量分析。经典的Markowitz模型只考虑了单期静态情形，之后学者们致力于把它推广到更符合实际的多期及连续时间情形。其中Li and Ng(2000)、Zhou and Li(2000)利用嵌入法技术分别给出了多期和连续时间情形下均值-方差投资组合选择模型的解析解。随后，关于动态均值-方差投资组合选择的研究得到蓬勃发展，如傅毅等(2017)、Zhang and Chen(2016)、Chen et al.(2008)、Wei et al.(2013)。

但上述文献中均假定风险资产价格的随机过程为几何Brown运动，即随机扰动项服从正态分布。然而，大量的实证研究表明，风险资产的收益率并非是高斯分布的并且存在条件异方差(Christoffersen et al., 2009；Andersen et al., 2001)。因而一些学者提出了各种随机波动率的股价模型，如平均值回复模型(Heston，1993)，带跳的随机波动率模型(Duffie et al., 2000；Barndorff-Nielsen and Shephard, 2001)和常方差弹性模型(Bakkaloglu et al., 2017；Li et al., 2017)。

另一方面，Lévy过程作为一类广义随机过程，它能够涵盖常见的连续扩散和随机跳跃(Papapantoleon，2005)。研究表明Lévy模型对资产价格的随机过程有着卓越的刻画能力，也可以用小跳跃取代连续扩散(Carr et al., 2002；Carr and Wu, 2004)，因此不少学者展开了Lévy过程在金融保险中的应用研究。其中，吴恒煜等(2014)考虑股票收益与波动的负相关关系，建立了漂移率和波动率随条件变化的时变无穷纯跳跃Lévy过程。根据局部鞅测度变换方法，推导了条件Lévy过程的风险中性定价模型，并运用于恒生指数期权进行实证研究。De Vallière et al.(2016)在考虑交易费用的条件下研究了风险资产价格由Lévy过程驱动的最优消费投资问题。Nowak and Pawłowski(2017)考虑了基础资产价格服从Lévy过程的期权问题。Mitsui and Yoshio(2008)讨论了Lévy过程和多维Brown运动共同驱动的齐次随机系统的线性二次(linear quadratic，LQ)控制问题，并将所得结果应用于套期保值问题。

但上述关于Lévy过程在金融保险中的应用研究很少涉及到均值-方差模型的投资组合选择问题，因此本文在Zhou and Li(2000)与张伏等(2014)的基础上，将仅由Brown运动驱动的随机LQ控制问题推广至由Lévy过程和与之独立的多维Brown运动共同驱动的随机LQ控制问题，并将其应用到风险资产价格过程由Lévy过程和与之独立的多维Brown运动共同驱动的均值-方差型投资组合选择问题中。通过运用所得的随机LQ控制结果对模型进行求解，得到了模型的最优投资策略的解析式和有效前沿，最后通过数值算例分析了Lévy过程对最优投资策略和有效前沿影响。

二、模型假设 (一) 记号和准备工作

设T≥0是一个固定的数值，(Ω, f，{f_t}_t≥0, P)是完备的概率空间，流域{f_t}_t≥0是由m－维Brown运动{W(t)=(W₁(t), W₂(t), …, W_m(t))′, 0≤t≤T}和一维Lévy过程{L(t), 0≤t≤T}生成的右连续的流域。Lévy过程在ℝ上的测度ν满足∫_ℝ(1∧x²)ν(dx) < ∞。

参照张伏等(2014)，用{H_i(t), 0≤t≤T}_i=1^∞表示与Lévy过程{L(t), 0≤t≤T}相关联的Teugles鞅，H_i(t)的定义如下：

$ {H_i}\left( t \right) = {c_{i,i}}{Y^{\left( i \right)}}\left( t \right) + {c_{i,i - 1}}{Y^{\left( {i - 1} \right)}}\left( t \right) + \cdots + {c_{i,1}}{Y^{\left( 1 \right)}}\left( t \right), $

其中，对任意i≥1，Y⁽ⁱ⁾(t)=L⁽ⁱ⁾(t)－E[L⁽ⁱ⁾(t)]，L⁽ⁱ⁾(t)是所谓的幂跳过程; L⁽¹⁾(t)=L(t)，对任意i≥2，L⁽ⁱ⁾(t)=∑_{0 < s≤t}(ΔL(s))ⁱ，c_ij是多项式1, x, x², …关于测度μ(dz)=z²ν(dz)+σ²δ₀(dz)的正交化系数。关于Teugles鞅的更详细讨论，请读者参阅Nualart and Schoutens(2000)。

为了便于表述，本文引入下面的记号：

·ℝⁿ：n－维欧式空间；

·M′：矩阵M的转置；

· $\left\| M \right\| = \sqrt {\sum\nolimits_{i,j} {m_{ij}^2} } $ ：矩阵M=(m_ij)的范数；

·Sⁿ：ℝ^n×n中所有对称矩阵组成的空间；

·S₊ⁿ：由Sⁿ中所有非负定矩阵组成的子空间；

·C(0, T; X)：由[0, T]上的取值于空间X的连续函数构成的巴拿赫空间，其范数为给定希尔伯特空间X上的最大值范数；

·L_F²(0, T; X)：由满足下列条件的φ={φ(t, ω):0≤t≤T}构成的空间：φ为[0, T]上取值于空间X的F_t^t －适应过程，其范数 $\left\| {\varphi \left( \cdot \right)} \right\| = {(E\int_0^T {\left\| {\varphi \left( {t,\omega } \right)} \right\|_X^2dt} )^{\frac{1}{2}}} < \infty $ ；

在后文的表述中，我们用上述Teugles鞅{H_i(t)}_i=1^∞表示Lévy过程。

(二) 金融市场

假设市场上有m+1种连续交易的资产，其中一种为无风险资产(如银行账户)，其在t∈[0, T]时刻的价格过程P₀(t)满足如下常微分方程：

$ d{P_0}\left( t \right) = r\left( t \right){P_0}\left( t \right)dt,\;\;\;\;{P_0}\left( 0 \right) = {p_0} > 0, $

(1)

式中的r(t)>0表示无风险利率。其余m种资产为风险资产(如股票)，其在t∈[0, T]时刻的价格过程P₁(t), …, P_m(t)满足如下随机微分方程：

$ d{P_i}\left( t \right) = {P_i}\left( {{t^ - }} \right)\left[ {{b_i}\left( t \right)dt + \sum\limits_{j = 1}^m {{\sigma _{ij}}\left( t \right)d{W_j}\left( t \right)} + \sum\limits_{j = 1}^m {\sum\limits_{k = 1}^\infty {{\theta _{ijk}}\left( t \right)d{H_{jk}}\left( t \right)} } } \right],\;\;\;\;{P_i}\left( 0 \right) = {p_i} > 0 $

(2)

式中的b_i(t)表示第i种风险资产的期望收益率，且b_i(t)>r(t)；σ_ij(t)表示第j个Brown运动对第i种资产的价格所产生的波动率；θ_ijk(t)表示第j个Lévy过程的跳跃对第i种风险资产的价格所产生的影响；假设对∀t∈[0, T]，∃ε>0，使得 $\Sigma \left( t \right) = \sum\limits_{j = 1}^m {{\sigma _j}\left( t \right)\sigma {\prime _j}\left( t \right)} + $ $\sum\limits_{j = 1}^m {\sum\limits_{k = 1}^\infty {{\theta _{jk}}\left( t \right)\theta {\prime _{jk}}\left( t \right)} } = $ $\sigma \left( t \right)\sigma \prime \left( t \right) + \sum\limits_{k = 1}^\infty {{\theta _k}\left( t \right){{\theta '}_k}\left( t \right)} \ge \varepsilon {I_{m \times m}}$ ，其中σ(t)∈ℝ^m×m，θ_k(t) ∈ℝ^m×m，I_m×m为m阶单位矩阵。进一步，假设r(t)，b_i(t)，σ(t)，θ_k(t)均为可测的，关于时间t一致有界的函数。

(三) 均值—方差投资组合问题描述

考虑一个初始资产为x₀的投资者，其在t≥0时刻的资产记为x(t)。设u(t)=(u₁(t), …, u_m(t))′为投资者的一个交易策略，其中u_i(t)为t时刻投资到第i种风险资产上的资金，t时刻投资到无风险资产的资金为 $x\left( t \right) - \sum\limits_{i = 1}^m {{u_i}\left( t \right)} $ ，则有

$ \begin{array}{l} dx\left( t \right) = \left[ {x\left( t \right) - \sum\limits_{i = 1}^m {{u_i}\left( t \right)} } \right]\frac{{d{P_0}\left( t \right)}}{{{P_0}\left( t \right)}} + \sum\limits_{i = 1}^m {{u_i}\left( t \right)\frac{{d{P_i}\left( t \right)}}{{{P_i}\left( t \right)}}} \\ \;\;\;\;\;\;\;\; = \left[ {r\left( t \right)x\left( t \right) + \tilde r\left( t \right)u\left( t \right)} \right]dt + \sum\limits_{j = 1}^m {u'\left( t \right){{\sigma '}_j}\left( t \right)d{W_j}\left( t \right)} \\ \;\;\;\;\;\;\;\; + \sum\limits_{j = 1}^m {\sum\limits_{k = 1}^\infty {u'\left( t \right){\theta _{jk}}\left( t \right)d{H_{jk}}\left( t \right)} } ,\;\;\;\;x\left( 0 \right) = {x_0} > 0, \end{array} $

(3)

其中 $\tilde r\left( t \right) = ({b_1}\left( t \right) - r\left( t \right), \ldots ,{b_m}\left( t \right) - r\left( t \right))$ ，式(3)称为投资者的财富方程。假设投资者的目标是最大化终端时刻财富的均值，同时最小化终端时刻财富的方差

$ {\rm{Var}}\;x\left( T \right) \equiv E{\left[ {x\left( T \right) - Ex\left( T \right)} \right]^2} = E{x^2}\left( T \right) - {\left[ {Ex\left( T \right)} \right]^2} $

(4)

定义1策略u称为允许策略，若对∀t∈[0, T]，u(t)关于f_t－循序可测，E∫₀^T‖u(t)‖²dt < ∞，且对任意的初始资产x₀，随机微分方程(3)存在唯一解x(t)。所有允许策略组成的集合记为U。

定义2均值-方差投资组合优化问题记为

$ \begin{array}{l} \min \;\;\left( {{J_1}\left( {u\left( \cdot \right)} \right),{J_2}\left( {u\left( \cdot \right)} \right)} \right) \equiv \left( { - Ex\left( T \right),{\rm{Var}}\;x\left( T \right)} \right)\\ s.t\left\{ \begin{array}{l} u\left( \cdot \right) \in U,\\ \left( {x\left( \cdot \right),u\left( \cdot \right)} \right)满足\left( 3 \right) \end{array} \right. \end{array} $

(5)

显然，该优化问题是一个双目标优化问题。

定义3允许策略u(·)称为有效的投资组合，如果不存在投资组合u(·)使得下列两个不等式至少有一个严格成立

$ {J_1}\left( {u\left( \cdot \right)} \right) \le {J_1}\left( {\bar u\left( \cdot \right)} \right),\;\;\;\;{J_2}\left( {u\left( \cdot \right)} \right) \le {J_2}\left( {\bar u\left( \cdot \right)} \right) $

(6)

此时，称(J₁(u(·)), J₂(u(·)))∈ℝ²为有效点，有效点的全体构成了有效前沿。

根据多目标优化理论，若将多目标优化中的目标函数乘以一个权重，就可将多目标优化问题转化为一个单目标优化问题。因此，问题(5)可转化为下列的一个单目标最优化问题

$ \begin{array}{l} \min \;\;{J_1}\left( {u\left( \cdot \right)} \right) + \mu {J_2}\left( {u\left( \cdot \right)} \right) \equiv - Ex\left( T \right) + \mu {\rm{Var}}\;x\left( T \right)\\ \quad \quad s.t\left\{ \begin{array}{l} u\left( \cdot \right) \in U,\\ \left( {x\left( \cdot \right),u\left( \cdot \right)} \right)满足\left( 3 \right) \end{array} \right. \end{array} $

(7)

其中μ>0。把上述问题记为P(μ)，定义

$ {\Pi _{P\left( \mu \right)}} = \left\{ {u\left( \cdot \right)\left| {u\left( \cdot \right)\;是\;P\left( \mu \right)\;的最优控制} \right.} \right\} $

(8)

把问题P(μ)嵌入到下述辅助问题中

$ \begin{array}{l} \min \;\;J\left( {u\left( \cdot \right),\mu ,\lambda } \right) = E\left\{ {\mu {x^2}\left( T \right) - \lambda x\left( T \right)} \right\}\\ \;\;\;\;\;\;{\rm{s}}.\;\;{\rm{t}}.\left\{ \begin{array}{l} u\left( \cdot \right) \in U,\\ \left( {x\left( \cdot \right),u\left( \cdot \right)} \right)满足\left( 3 \right) \end{array} \right. \end{array} $

(9)

其中0 < λ < +∞。为表述方便，把上述问题记为A(μ, λ)，定义

$ {\Pi _{A\left( {\mu ,\lambda } \right)}} = \left\{ {u\left( \cdot \right)\left| {u\left( \cdot \right)\;是\;A\left( {\mu ,\lambda } \right)\;的最优控制} \right.} \right\} $

(10)

下述引理1给出了问题P(μ)与A(μ, λ)二者之间的关系。

引理1  对∀μ>0，若μ(·)∈Π_P(μ)， $\hat \mu \left( \cdot \right) \in {\Pi _{A(\mu ,\lambda )}}$ ，其中λ=1+2μEx(T)，x(·)为μ对应的轨道， $\hat x\left( \cdot \right)$ 为 ${\hat \mu }$ 对应的轨道，则 $\hat \mu \left( T \right) = \hat x\left( T \right)$ ，即 $\bar \mu \left( T \right) = \hat \mu \left( T \right)$ 等价。

引理1的证明类似Zhou and Li(2000)，囿于篇幅，这里不再给出详细的证明过程。

由引理1可知，通过解决A(μ, λ)可以得到P(μ)问题的最优解。

三、一般的随机LQ问题

本节讨论一般情形下由Brown运动和Lévy过程共同驱动的随机LQ问题，而A(μ, λ)问题只是其中的一种特殊情况，我们将在下一节给出详细讨论。

考虑如下的随机微分方程描述的非齐次线性系统

$ \left\{ \begin{array}{l} dx\left( t \right) = \left[ {A\left( t \right)x\left( t \right) + B\left( t \right)u\left( t \right) + f\left( t \right)} \right]dt + \sum\limits_{j = 1}^m {{D_j}\left( t \right)u\left( t \right)d{W_j}\left( t \right)} + \sum\limits_{j = 1}^m {\sum\limits_{k = 1}^\infty {{F_{jk}}\left( t \right)u\left( t \right)d{H_{jk}}\left( t \right)} } , \hfill \\ x\left( 0 \right) = {x_0} \in {\mathbb{R}^n}, \hfill \\ \end{array} \right. $

(11)

其中，x₀是系统的初始状态，W(t)≡(W₁(t), W₂(t), …, W_m(t))′为m－维Brown运动，{H_jk(t)}_k=1^∞为1维的Teugles鞅，u(t)∈L_f²(0, T; ℝ^m)是系统的控制输入。系数矩阵A(t)∈C(0, T; ℝ^n×n)，B(t), D_j(t), F_jk(t)，∈C(0, T; ℝ^n×m)，f(t)∈L_f²(0, T; ℝⁿ)。

对于每一个u(·)∈L_f²(0, T; ℝ^m)，相应的性能指标取经典的线性二次型

$ J\left( {u\left( \cdot \right)} \right) = E\int_0^T {\left\{ {\left[ {x'\left( t \right)Q\left( t \right)x\left( t \right) + u'\left( t \right)R\left( t \right)u\left( t \right)} \right]dt + x'\left( T \right)Hx\left( T \right)} \right\}} , $

(12)

式中的控制加权矩阵R(t)∈C(0, T; S^m)；状态加权矩阵Q(t)∈C(0, T; S₊ⁿ)；H∈S₊ⁿ。方程(11)的解x(·)称为控制u(·)的响应，(x(·), u(·))称为一个容许对。所谓的随机LQ问题就是在式(11)的约束下寻求最优控制u(·)，使得式(12)的J(u(·))达到最小。

现在引入如下受限的随机Riccati方程和常微分方程：

$ \left\{ \begin{array}{l} \dot P\left( t \right) = - P\left( t \right)A\left( t \right) - A'\left( t \right)P\left( t \right) - Q\left( t \right) + P\left( t \right)B\left( t \right){K^{ - 1}}\left( t \right)B'\left( t \right)P\left( t \right),\\ P\left( T \right) = H,\\ K\left( t \right) \equiv R\left( t \right) + \sum\limits_{j = 1}^m {{{D'}_j}\left( t \right)P\left( t \right){D_j}\left( t \right)} + \sum\limits_{j = 1}^m {\sum\limits_{k = 1}^\infty {{{F'}_{jk}}\left( t \right)P\left( t \right){F_{jk}}\left( t \right)} } > 0, \end{array} \right. $

(13)

$ \left\{ \begin{array}{l} \dot g\left( t \right) = - A'\left( t \right)g\left( t \right) + P\left( t \right)B\left( t \right){K^{ - 1}}\left( t \right)B'\left( t \right)g\left( t \right) - P\left( t \right)f\left( t \right),\\ g\left( T \right) = 0 \end{array} \right. $

(14)

定理1如式(13)和(14)存在解P(·)∈C(0, T; S₊ⁿ)和g(·)∈C(0, T; Sⁿ)，则随机LQ问题(11)-(12)的最优反馈控制和最优性能指标分别为

$ {u^ * }\left( {t,x} \right) = - {K^{ - 1}}\left( t \right)B'\left( t \right)\left( {P\left( t \right)x\left( t \right) + g\left( t \right)} \right), $

(15)

$ {J^ * } = \int_0^T {\left[ {2f'\left( t \right)g\left( t \right) - g'\left( t \right)B\left( t \right){K^{ - 1}}\left( t \right)B'\left( t \right)g\left( t \right)} \right]dt} + x'\left( 0 \right)P\left( 0 \right)x\left( 0 \right) + 2x'\left( 0 \right)g\left( 0 \right) $

(16)

证明：假设P(·)∈C(0, T; S₊ⁿ)和g(·)∈C(0, T; Sⁿ)分别是式(13)和(14)的解，(x(·), u(·))称为一个容许对，利用Itô公式得

$ \begin{array}{l} d\left( {x'Px + 2x'g} \right)\\ {\rm{ = }}\left\{ {x'\left( {\dot P + A'P + PA} \right)x + 2u'B'\left( {Px + g} \right) + u'\left( {\sum\limits_{j = 1}^m {{{D'}_j}P{D_j}} + \sum\limits_{j = 1}^m {\sum\limits_{k = 1}^\infty {{{F'}_{jk}}P{F_{jk}}} } } \right)u} \right.\\ \;\;\left. { + 2x'\left( {Pf + A'g} \right) + 2f'g} \right\}dt + \sum\limits_{j = 1}^m {\left\{ \cdots \right\}d{W_j}\left( t \right)} + \sum\limits_{j = 1}^m {\sum\limits_{k = 1}^\infty {\left\{ \cdots \right\}d{H_{jk}}\left( t \right)} } . \end{array} $

(17)

将式(17)从0到T上积分，并取期望得

$ \begin{array}{l} E\left[ {x'\left( T \right)P\left( T \right)x\left( T \right) + 2x'\left( T \right)g\left( T \right)} \right] - x'\left( T \right)P\left( T \right)x\left( T \right) - 2x'\left( T \right)g\left( T \right)\\ = E\int_0^T {\left\{ {x'\left( {\dot P + A'P + PA} \right)x + 2u'B'\left( {Px + g} \right) + u'\left( {\sum\limits_{j = 1}^m {{{D'}_j}P{D_j}} + \sum\limits_{j = 1}^m {\sum\limits_{k = 1}^\infty {{{F'}_{jk}}P{F_{jk}}} } } \right)u} \right.} \\ \;\;\;\;\;\left. { + 2x'\left( {Pf + A'g} \right) + 2f'g} \right\}dt. \end{array} $

(18)

将式(18)加到式(12)，并结合式(13)和(14)得

$ \begin{array}{l} J\left( {u\left( \cdot \right)} \right) = E\int_0^T {\left\{ {{{\left[ {u + {K^{ - 1}}B'Px + g} \right]}^\prime }K\left[ {u + {K^{ - 1}}B'Px + g} \right] + 2f'g - g'B{K^{ - 1}}B'g} \right\}dt} + x'\left( 0 \right)\\ P\left( 0 \right)x\left( 0 \right) + 2x'\left( 0 \right)g\left( 0 \right) \end{array} $

(19)

观察式(19)易知最优反馈控制和最优性能指标分别如式(15)和(16)所示。将最优反馈控制(15)代回式(11)得

$ \left\{ \begin{array}{l} dx\left( t \right) = \left[ {A\left( t \right)x\left( t \right) - B\left( t \right){K^{ - 1}}\left( t \right)B'\left( t \right)\left( {P\left( t \right)x\left( t \right) + g\left( t \right)} \right) + f\left( t \right)} \right]dt - \sum\limits_{j = 1}^\infty {{D_j}\left( t \right){K^{ - 1}}\left( t \right)B'\left( t \right)} \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; + \left( {P\left( t \right)x\left( t \right) + g\left( t \right)} \right)d{W_j}\left( t \right) - \sum\limits_{j = 1}^m {\sum\limits_{k = 1}^\infty {{F_{jk}}\left( t \right){K^{ - 1}}\left( t \right)B'\left( t \right)\left( {P\left( t \right)x\left( t \right) + g\left( t \right)} \right)d{H_{jk}}\left( t \right)} } ,\\ x\left( 0 \right) = {x_0}, \end{array} \right. $

(20)

式(20)是一个非齐次线性随机微分方程，由于P(t)∈C(0, T; S₊ⁿ)，g(t)∈C(0, T; Sⁿ)和K^－1(t)∈C(0, T; S₊^m)，结合随机微分方程理论知式(20)存在唯一解。证毕。

四、辅助问题的解

在本节中，我们将借助一般的随机LQ问题的结果求解A(μ, λ)问题。令γ=λ/2μ，y(t)=x(t)－γ，则A(μ, λ)等价于下述的随机LQ问题

$ \left\{ \begin{array}{l} dy\left( t \right) = \left[ {A\left( t \right)y\left( t \right) + B\left( t \right)u\left( t \right) + f\left( t \right)} \right]dt + \sum\limits_{j = 1}^m {{D_j}\left( t \right)u\left( t \right)d{W_j}\left( t \right)} + \sum\limits_{j = 1}^m {\sum\limits_{k = 1}^\infty {{F_{jk}}\left( t \right)u\left( t \right)d{H_{jk}}\left( t \right)} } , \hfill \\ y\left( 0 \right) = {x_0} - \gamma \in {\mathbb{R}^n}, \hfill \\ \end{array} \right. $

(21)

性能指标为J(u(·), μ, λ)=E{μx²(T)－λx(T)}=E{μy²(T)－μλ²}等价于minJ(u(·))=E{μy²(T)}。

写成标准二次型形式为

$ J\left( {u\left( \cdot \right)} \right) = E\left\{ {\int_0^T {\left[ {x'\left( t \right)Q\left( t \right)x\left( t \right) + u'\left( t \right)R\left( t \right)u\left( t \right)} \right]dt + x'\left( T \right)Hx\left( T \right)} } \right\} $

(22)

在式(21)和(22)中，A(t)=r(t)， $B\left( t \right) = \tilde r\left( t \right)$ ，f(t)=γr(t)，D_j(t)=σ_j(t)，F_jk(t)=θ_jk(t)，Q(t)=R(t)=0，H=μ。

注意到式(22)中，控制加权矩阵R(t)=0，这说明在随机LQ框架下，均值-方差模型是一个奇异随机LQ问题。为了书写方便，记

$ \rho \left( t \right) = B\left( t \right){\left[ {\sum\limits_{j = 1}^m {{D_j}\left( t \right){{D'}_j}\left( t \right)} + \sum\limits_{j = 1}^m {\sum\limits_{k = 1}^\infty {{{F'}_{jk}}\left( t \right){F_{jk}}\left( t \right)} } } \right]^{ - 1}}B'\left( t \right) = B\left( t \right){\Sigma ^{ - 1}}B'\left( t \right) $

(23)

则Riccati方程(13)退化为

$ \left\{ \begin{array}{l} \dot P\left( t \right) = \left( {\rho \left( t \right) - 2r\left( t \right)} \right)P\left( t \right),\\ P\left( T \right) = \mu ,\\ P\left( t \right)\Sigma \left( t \right) > 0,\;\;\;t \in \left[ {0,T} \right] \end{array} \right. $

(24)

常微分方程(14)退化为

$ \left\{ \begin{array}{l} \dot g\left( t \right) = \left( {\rho \left( t \right) - r\left( t \right)} \right)g\left( t \right) - \gamma r\left( t \right)P\left( t \right),\\ g\left( T \right) = 0,\;\;\;\;\;t \in \left[ {0,T} \right] \end{array} \right. $

(25)

最优反馈控制为

$ \bar u\left( {t,y} \right) \equiv {\left( {{{\bar u}_1}\left( {t,y} \right), \cdots ,{{\bar u}_m}\left( {t,y} \right)} \right)^\prime } = - {\Sigma ^{ - 1}}\left( t \right)B'\left( t \right)\left( {y + \frac{{g\left( t \right)}}{{P\left( t \right)}}} \right) $

(26)

令 $h\left( t \right) = \frac{{g\left( t \right)}}{{P\left( t \right)}}$ 并结合式(24)和(25)得

$ h\left( t \right) = \frac{{P\left( t \right)\dot g\left( t \right) - \dot P\left( t \right)g\left( t \right)}}{{{P^2}\left( t \right)}} = \frac{{r\left( t \right)P\left( t \right)g\left( t \right) - \gamma r\left( t \right){P^2}\left( t \right)}}{{{P^2}\left( t \right)}} = r\left( t \right)h\left( t \right) - \gamma r\left( t \right) $

(27)

由定解条件h(T)=0可得上述方程的解为

$ \frac{{g\left( t \right)}}{{P\left( t \right)}} = h\left( t \right) = \gamma \left( {1 - {e^{ - \int_t^T {r\left( s \right)ds} }}} \right) $

(28)

将式(28)代入式(26)得

$ \begin{array}{l} \bar u\left( {t,x} \right) = {\left( {{{\bar u}_1}\left( {t,x} \right), \cdots ,{{\bar u}_m}\left( {t,x} \right)} \right)^\prime } = - {\Sigma ^{ - 1}}\left( t \right)B'\left( t \right)\left[ {x - \gamma + \gamma \left( {1 - {e^{ - \int_t^T {r\left( s \right)ds} }}} \right)} \right]\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {\Sigma ^{ - 1}}\left( t \right)B'\left( t \right)\left[ {\gamma {e^{ - \int_t^T {r\left( s \right)ds} }} - x} \right] \end{array} $

(29)

五、有效前沿

建立在均值-方差基础上的投资组合选择理论，寻求的最优投资组合结果是在等方差的情况下收益的最大化, 或者在等收益的情况下方差的最小化。而这一结果可以通过均值-方差平面上的有效前沿来直观给出。因此，本节推到原均值-方差问题(5)的有效前沿。

将式(29)代回式(3)，则投资者的财富方程变为

$ \left\{ \begin{array}{l} {\rm{dx}}\left( t \right) = \left\{ {\left( {{\rm{r}}\left( {\rm{t}} \right) - {\rm{ \mathit{ ρ} }}\left( {\rm{t}} \right)} \right){\rm{x}}\left( {\rm{t}} \right) + {\rm{ \mathit{ γ} }}{{\rm{e}}^{ - \int_{\rm{t}}^{\rm{T}} {{\rm{r}}\left( {\rm{s}} \right){\rm{ds}}} }}{\rm{ \mathit{ ρ} }}\left( {\rm{t}} \right)} \right\}{\rm{dt}} + {\rm{B}}\left( {\rm{t}} \right){\mathit{\Sigma }^{ - 1}}\left( {\rm{t}} \right)\left[ {{\rm{ \mathit{ γ} }}{{\rm{e}}^{ - \int_{\rm{t}}^{\rm{T}} {{\rm{r}}\left( {\rm{s}} \right){\rm{ds}}} }} - {\rm{x}}} \right]\\ \left[ {{\rm{ \mathit{ σ} }}\left( {\rm{t}} \right){\rm{d}}W\left( {\rm{t}} \right) + \sum\limits_{{\rm{k}} = 1}^\infty {{{\rm{ \mathit{ θ} }}_{\rm{k}}}\left( {\rm{t}} \right){\rm{d}}{{\rm{H}}_{\rm{k}}}\left( {\rm{t}} \right)} } \right],\\ {\rm{x}}\left( 0 \right) = {{\rm{x}}_0} > 0 \end{array} \right. $

(30)

对x²(t)利用Itô公式，得

$ \left\{ \begin{array}{l} d{x^2}\left( t \right) = \left\{ {\left( {2r\left( t \right) - \rho \left( t \right)} \right){x^2}\left( t \right) + {\gamma ^2}{e^{ - \int_t^T {r\left( s \right)ds} }}\rho \left( t \right)} \right\}dt + 2x\left( t \right)B\left( t \right){\mathit{\Sigma }^{ - 1}}\left( t \right)\\ \left[ {\gamma {e^{ - \int_t^T {r\left( s \right)ds} }} - x} \right]\left[ {\sigma \left( t \right)dW\left( t \right) + \sum\limits_{k = 1}^\infty {{\theta _k}\left( t \right)d{H_k}\left( t \right)} } \right],\\ {x^2}\left( 0 \right) = x_0^2 > 0 \end{array} \right. $

(31)

式(30)和(31)同时取数学期望，得Ex(t)和Ex²(t)满足如下两个非齐次线性常微分方程

$ \left\{ \begin{array}{l} dEx\left( t \right) = \left\{ {\left( {r\left( t \right) - \rho \left( t \right)} \right)Ex\left( t \right) + \gamma {e^{ - \int_t^T {r\left( s \right)ds} }}\rho \left( t \right)} \right\}dt,\\ Ex\left( 0 \right) = {x_0} > 0, \end{array} \right. $

(32)

$ \left\{ \begin{array}{l} dE{x^2}\left( t \right) = \left\{ {\left( {2r\left( t \right) - \rho \left( t \right)} \right)E{x^2}\left( t \right) + {\gamma ^2}{e^{ - 2\int_t^T {r\left( s \right)ds} }}\rho \left( t \right)} \right\}dt,\\ E{x^2}\left( 0 \right) = x_0^2 > 0 \end{array} \right. $

(33)

求解上述两个方程可得

$ Ex\left( T \right) = \alpha {x_0} + \beta \gamma ,E{x^2}\left( T \right) = \delta x_0^2 + {\gamma ^2}, $

(34)

其中

$ \alpha = {e^{\int_0^T {\left( {r\left( t \right) - \rho \left( t \right)} \right)dt} }},\beta = 1 - {e^{ - \int_0^T {\rho \left( t \right)dt} }},\delta = {e^{\int_0^T {\left( {2r\left( t \right) - \rho \left( t \right)} \right)dt} }} $

(35)

由引理1知，若问题P(μ)的最优控制存在，则可以通过选择下式所示的λ来求得

$ \bar \lambda = 1 + 2\mu E\bar x\left( T \right) = 1 + 2\mu \left( {\alpha {x_0} + \beta \frac{\lambda }{{2\mu }}} \right) $

(36)

解上式得

$ \bar \lambda = \frac{{1 + 2\mu \alpha {x_0}}}{{1 - \beta }} = {e^{\int_0^T {\rho \left( t \right)dt} }} + 2\mu {x_0}{e^{\int_0^T {r\left( t \right)dt} }},\gamma = \bar \gamma = \frac{{\bar \lambda }}{{2\mu }} $

(37)

将式(37)代回式(29)可得问题P(μ)的最优投资组合

$ \bar u\left( {t,x} \right) = {\mathit{\Sigma }^{ - 1}}\left( t \right)B'\left( t \right)\left( {{x_0}{e^{\int_0^T {r\left( s \right)ds} }} - x + \frac{{{e^{\int_0^T {\rho \left( t \right)dt} - - \int_t^T {r\left( s \right)dt} }}}}{{2\mu }}} \right) $

(38)

相应地，终端财富的方差为

$ \begin{array}{l} {\rm{Var}}\;\bar x\left( T \right) = E{{\bar x}^2}\left( T \right) - \left[ {{}^E\bar x\left( T \right)} \right]2\\ = \beta \left( {1 - \beta } \right){{\bar \gamma }^2} - 2\alpha \beta {x_0}\bar \gamma + \left( {\delta - {\alpha ^2}} \right)x_0^2 = \frac{{1 - \beta }}{\beta }\left[ {{\beta ^2}{{\bar \gamma }^2} - 2\frac{{\alpha {\beta ^2}{x_0}\bar \gamma }}{{1 - \beta }} + \frac{{\beta \left( {\delta - {\alpha ^2}} \right)}}{{1 - \beta }}x_0^2} \right] \end{array} $

(39)

将式(34)中的βγ=Ex(T)－αx₀代入上式，并结合式(35)得

$ \begin{array}{l} {\rm{Var}}\;\bar x\left( T \right) = \frac{{1 - \beta }}{\beta }\left[ {{{\left( {E\bar x\left( T \right)} \right)}^2} - 2\frac{\alpha }{{1 - \beta }}{x_0}E\bar x\left( T \right) + \frac{{\beta \delta + {\alpha ^2}}}{{1 - \beta }}x_0^2} \right]\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{{1 - \beta }}{\beta }{\left[ {E\bar x\left( T \right) - {x_0}{e^{\int_0^T {r\left( t \right)dt} }}} \right]^2}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{{{e^{ - \int_0^T {\rho \left( t \right)dt} }}}}{{1 - {e^{ - \int_0^T {\rho \left( t \right)dt} }}}}{\left[ {E\bar x\left( T \right) - {x_0}{e^{\int_0^T {r\left( t \right)dt} }}} \right]^2} \end{array} $

(40)

综合上述分析，可得如下结论。

定理2  对于双目标最优投资组合选择问题(5)，如果它的有效前沿存在，则由式(40)确定。

式(40)揭示了投资者对于投资的均值(期望回报Ex(T))与其所承受的方差(风险水平varx(T))之间的关系。若记终端财富的标准差为σ_x(T)，则由式(40)可得

$ E\bar x\left( T \right) = {x_0}{e^{\int_0^T {r\left( t \right)dt} }} + \sqrt {\frac{{1 - {e^{ - \int_0^T {\rho \left( t \right)dt} }}}}{{{e^{ - \int_0^T {\rho \left( t \right)dt} }}}}} {\sigma _{\bar x}}\left( t \right) $

(41)

对于无Lévy过程情形下的均值-方差模型已在文献Zhou and Li(2000)中讨论过，对比该文可以发现，本文中所得的如式(40)所示的有效前沿与Zhou and Li(2000)中式(6.9)所得的有效前沿在形式上是一致的。在给定相同的期望回报(Ex(T))、相同的初始财富(x₀)和相同的无风险利率水平(r(t))下，varx(T)主要受到ρ(t)的影响。而本文中由于Lévy过程的引入，使得式(23)中的Σ(t)增大，从而使得ρ(t)的取值比文献Zhou and Li(2000)中式(5.6)所示的ρ(t)的取值要小，这就使得 ${e^{ - \int_0^T {\rho \left( t \right)dt} }}/(1 - {e^{ - \int_0^T {\rho \left( t \right)dt} }})$ 这一项变大(e^－x/(1－e^－x)是单调递减函数)，因而导致Var x(T)变大。

六、数值算例

本节通过数值算例对比分析有Lévy过程和无Lévy过程两种情形下投资者的最优决策，从而得出Lévy过程的引入对投资者决策的影响。为了便于比较，我们沿用Zhou and Li(2000)中所使用的例子，考虑1种风险资产，它由一个Brown运动和一个Lévy过程共同驱动，假设模型中的各参数均为常数，取值如下表 1所示。

在有Lévy过程的情形下，计算得Σ=σ²+θ²=0.0325，ρ=(b－r)²/Σ=0.1108，代入式(40)得

$ {\rm{Var}}\bar x\left( 1 \right) = \frac{{{e^{ - 0.1108}}}}{{1 - {e^{ - 0.1108}}}}{\left( {E\bar x\left( 1 \right) - {e^{0.06}}} \right)^2} $

而在无Lévy过程的情形下，投资者对于期望回报(Ex(1))与其所承受的风险水平(varx(1))之间的关系如下式所示

$ {\rm{Var}}\bar x\left( 1 \right) = \frac{{{e^{ - 0.1600}}}}{{1 - {e^{ - 0.1600}}}}{\left( {E\bar x\left( 1 \right) - {e^{0.06}}} \right)^2} $

下图 1给出了有Lévy过程和无Lévy过程两种情形下投资者的有效前沿。

从图 1可以看出，在相同的期望收益下，有Lévy过程情形下投资者承担的风险要比无Lévy过程情形下投资者承担的风险要高。出现这种情况的原因可能是，Lévy过程作为除布朗运动以外的不确定干扰，投资者已无额外的投资机会去对冲掉该风险，因而增加了投资者的投资风险。

接下来比较有Lévy过程和无Lévy过程两种情形下投资者的最优投资策略。

如Zhou and Li(2000)所示，假设投资者希望在这1年内取得20%的期望回报，即终端财富Ex(1)=1.2，将该值代入式(34)得 $\gamma = \frac{{1.2 - {e^{ - 0.0508}}}}{{1 - {e^{ - 0.1108}}}} = 2.3792$ ，因此由式(29)知最优投资策略为

$ \bar u\left( {t,x} \right) = 1.8462\left( {2.3792{e^{0.06\left( {t - 1} \right)}} - x} \right) $

而在无Lévy过程情形下的最优投资策略为

$ \bar u\left( {t,x} \right) = 2.6667\left( {1.9963{e^{0.06\left( {t - 1} \right)}} - x} \right) $

为了直观地比较有Lévy过程和无Lévy过程两种情形下投资者的最优投资策略，不妨限定u(t, x)中的x取一个常值x₀，下图 2给出了两种情形下的最优投资策略。

从图 2可以看出，无Lévy过程情形下的最优投资策略曲线明显位于有Lévy过程情形下的最优投资策略曲线的上端，表明因为Lévy过程的存在，导致投资者在风险资产上的投资减少。

七、结语

本文在连续时间框架下，研究了由Lévy过程和与之独立的多维Brown运动共同驱动的非齐次随机系统的LQ控制问题。利用Riccati方程法得到系统的最优反馈控制策略，并将所得理论结果应用于风险资产价格由Lévy过程和Brown运动共同驱动的均值-方差投资组合选择问题中，使用“嵌入”方法将其转化为随机LQ控制问题，在自融资的条件下，得到了最优证券组合的显式表达。最后通过数值算例对比分析有Lévy过程和无Lévy过程情形下投资者的最优投资策略和有效前沿，发现Lévy过程的存在增加了投资者的投资风险，使得投资者的投资都变得更加谨慎。本文推广了Zhou and Li(2000)的研究，因而所得的结论具有更广泛的用途。