数学人类学委员会是国际人类学与民族学联合会(The International Unionof Anthropological and Ethnological Sciences，IUAES)下设的2 7个研究委员会(2004年统计)之一^[1]。从20世纪60、70年代开始，西方国家就开展数学人类学的研究。鲍尔·卡伊(Paul Kay)、道格拉斯·怀特(Douglas R.White)、米奇尔·巴顿(Michael L.Burton)、汉斯·霍夫曼(Hans Hoffman)、罗伯特·兰多尔(Robert Randal1)、罗伯特·科泽尔卡(Robert Kozelka)、伊拉·布奇拉(Ira Buchler)、威麟亚姆·基欧格赫甘(william Geoghegan)等学者，对数学人类学的研究对象、内容、方法和意义等进行探究，发表和出版了丰硕成果。数学人类学委员会主席、美国夏威夷大学保罗w.迪克森(Paul W.Dixon)教授认为，“在数学知识中，有一种既是文化又是神经生理的来源。数学知识的基础作用在所有人类文化中显示出来。……，数学理解力在信息时代、现代电脑和因特网的控制论中存在着更大的价值。”并且还认为“数学人类学委员会将在21世纪继续致力于这一需求迫切(数学人类学)的研究。”^[2]

然而在中国学术界，“数学人类学”一词还没有被使用^①，也还没有开展相关领域学术研究。但是，只能说还没有正式开展相关研究或者有明确方向(数学人类学)的研究。事实上，在中国，已有学者经做了如民族数学、科学人类学、人类学、少数民族科技史等相似领域研究或者是部分的数学人类学研究。从国外发表和出版的学术研究理论成果可以看出，数学人类学就是科学人类学^[4]2-5的一个子领域，是认知人类学的分支，由于学科特点差异，数学人类学的研究对象、内容、方法等都独具特殊性。本文对欧美数学人类学若干典型案例进行研究，分析其研究对象、研究内容、研究方法等问题，使我们对其有所了解，希望给中国数学人类学的未来发展提供一些启示。

①  只笔者2012年12月在”民族数学与数学人类学研究述略”一文中有过介绍。

一、 欧美数学人类学研究的若干问题探讨

1971年，美国殖民地出版社有限公司出版了人类学家鲍尔·卡伊教授编著的《数学人类学的探索》。这本书共分14个专题探讨了数学人类学的问题，包括人种志的形式化和结构、在亲属关系研究中的计算机模型、相互影响的数学模型等。下面就相关的问题做介绍分析。

1. 研究者群体：谁在开展研究?

鲍尔·卡伊认为开展数学人类学研究工作的主要是人类学家。他指出，人类学作为一个领域不能依靠那些不太了解它的数学家或统计学家作为顾问来整理这些或那些研究，当然了，也不期望包括数学家在内的那些不熟悉人类学知识(数据)的人来整理出人类学理论。鲍尔·卡伊提出，很多读者肯定能从他们的经历中证实这些观点：当邀请数学家或统计学家来参与处理有关人类学数据时，数学家或统计学家通常关注的是怎样收集数据。^[5]ⅹⅵ

通过数学人类学研究，鲍尔·卡伊指出，“人类学家会更多地了解各种类别的科学技术，这种现象影响着一代有不同知识背景的学生，而且呈增长趋势。如果人类意识到人类学作为一个学科领域存在着影响其他科学的作用，那么应该对此予以支持。我们现在应当而且必需培养一些有潜能的学生。”^[5]ⅹⅵ鲍尔·卡伊最后强调，“这是一个好的趋势，而且应该得到普及”。

2. 研究的方法：怎样开展研究?

在《数学人类学的探索》一书中，鲍尔·卡伊对怎样开展数学人类学研究做了论述。他认为，“现在我们不仅要研究数学人类学这门学科，而且还要研究拥有不同兴趣爱好的人类学家对数学和准数学方式的运用。……人类学需要数学，不是因为今天的数学有魅力，而是因为数学确实能帮助人类学家解决他想解决的各种问题。人类学已经开始不可避免地数学化，这引起了所有人类学家的注意并且已经成为导向。现在，我们了解到各种各样的数学技巧被广泛应用于多样的人类学问题。这是一个很好的开始。人类学的同行们必须保持这些应用技巧并予以提高。到目前为止，人类学家关注的实质性问题是：如何在人类学中精确地运用数学技巧并持之以恒。”^[5]ⅹⅶ

从鲍尔·卡伊论述中，我们知道了数学人类学研究方法的特殊性——运用数学技巧解决各类人类学问题。前面已经提到数学人类学是人类学的一个分支，事实上人类学使用的其他多种方法也同样适用于数学人类学，包括观察、访谈、文献、拍摄、录音、统计、分析，以及田野调查中的主位与客位^[6]等研究方法。不仅如此，鲍尔·卡伊还为数学人类学研究的发展提出参考建议，“我们应该避免仅仅将数学人类学作为一门学科来发展，还应该把更精确性引进所有人类学的探讨中去”^[5]ⅹⅶ这些建议，对我们未来开展数学人类学研究会有指导性的作用。

3. 开始时间：什么时候开始研究?

如前所述，数学人类学在2004年已经成为国际人类学与民族学世界大会统计国际人类学与民族学联合会的27个研究委员会之一。这足以说明数学人类学这门学科不仅已经发展起来，并且已经比较成熟。鲍尔·卡伊已经明确“数学人类学是一门学科”^[5]ⅹⅶ。那么这门学科的研究是什么时候开始的呢?图 1显示了1945-1965年20年中数学人类学文章数量的变化。^①按照统计的时间，数学人类学研究应该从20世纪40年代就已经开始，大批量研究成果的出现却是在20世纪60、70年代。

①  数据来自罗伯特对《美国人类学家》、《民族学》、《人类组织》、《西南人类学杂志》在1945-1965年间所发表论文的统计。见：Paul Kay.Explorations in Mathematical Anthropology.Clinton Colonial Press Inc，1971：ⅹⅳ.

通过对该图的分析，鲍尔·卡伊认为，“在人类学中数学运算方法逐年增长的现象已经显现，这在整个人类学成果中都有明显的体现。随着我们对人类学中的数学运算的重视，相应的研究也进入了一个指数的增长阶段。这已经不再仅仅说明人类学研究成果增长的问题，还说明了人类学研究的发展方向。”^[5]ⅹⅳ

4. 研究的内容：数学人类学研究什么?

一门学科的学术研究，首要任务是明确这门学科“研究什么”。这应该比“谁来研究”、“怎样研究’’更重要。鲍尔·卡伊认为，“有迹象表明，数学对于人类学相邻领域的社会科学学科在很多方面是很有价值的。在过去几十年里，人类学已经发展了很多分支学科，涉及到人们在人类、语言等方面所表现出来的独特性，这无疑是理论、方式方法和一般概念上是一场革命，而这场革命是一个尝试。”^[5]ⅷ

我们可以从鲍尔·卡伊的《数学人类学的探索》一书中，了解到数学人类学的部分研究内容。鲍尔·卡伊列举了已经发表的部分主题成果，例如，博伊得(Boyd)关于逻辑系统的亲属关系术语的研究，基欧格赫甘(Geoghegan)和科斯(Keesing)关于分类、评估、行动的研究，恩德雷得(D’ Andrade)关于社会结构关系与关系术语学的研究，罗姆尼(Romney)关于同部族婚姻或异部族婚姻的研究，斯德弗勒(Stefflre)和雷奇(Reich)关于知识与信任的文化系统的研究，科尔比(Colby)关于民间风俗的研究，吉尔伯特(Gilbert)关于系谱的研究，霍夫曼(Hoffmann)关于文化连续性与文化变化的研究，罗伯特(Robert)、斯特兰特(Strand)和巴美斯特(Burmeister)关于文化系统模式的研究，德利文(Driver)、桑德(Sanday)和玛琼尼(Majone关于跨文化相互关系的研究，等等。^[5]ⅹⅵ

二、 数学人类学典型案例研究分析

前面我们对国外关于数学人类学研究的一些具有代表性的问题作了介绍和分析。为了对这些问题有更全面的了解，针对这些问题我们再利用国外研究的几个案例来进行分析。

案例1：怀特的人种志问题论述。

人类学家道格拉斯·怀特(Douglas R.white)在《数学人类学》一文中介绍说，在人类学中使用数学方法分析人种志数据问题，目的是增强人类学理论研究的观念和解释力度。当前许多研究都使用了数学模型，这在人类学研究中非常普遍。他们的共同点并不是都用了数量、数学，而是通常的逻辑亚结构，即数学公理结构的使用。现代数学思想的主要观点是改善数学分析系统中的逻辑基础。^[7]369。

《数学人类学》一文主要从以下四个方面探讨数学人类学问题：(1) 过程分析；(2) 最优化分析；(3) 结构分析(图表原理)；(4) 人种志诠释。怀特认为，被探讨的、作为联合体观察的四种数学模型，为解释人类学研究数据中行为关系的理论原理提供框架。^[7]370。

案例2：数学人类学研究方法的新趋势。

葛瑟勒(Gisèle De Meur)在《数学人类学的新趋势》^[8]一书中指出，尽管数学人类学的研究仍然只是刚刚开始，但是已经成为人类学领域中探讨的一个热点话题。这本书的主要内容是收集最近数学人类学的工作，阐明这门学科的新趋势，展示人类学家与数学家研究文化问题所采用的共同方法。直到最近，社会人类学仍是最少“被数学化”的社会科学学科。但是现在数学家和人类学家的工作发展出了数学人类学的一套新方法。这本书使用交叉学科的方法来研究文化现象是可行的。书中用数学方法(模式)解决具体人种学的实际情况取得的成果来说明问题，一种情况是：发现一个新问题，将有一个新理论的产生。书中提出数学人类学的研究方法——代数学的使用、计算机方法、随机原理等，并描述了这些方法在特殊领域中的应用，包括婚姻与父子关系、亲属关系、社会组织等。

案例3：霍夫曼关于数学人类学的经典研究。

数学人类学家汉斯·霍夫曼(Hans Hofman)在《数学人类学》中对数学人类学的价值、对象做了剖析^[9]。文章指出，尽管人类的想象力无拘无束、不受制约，但是个人的经历是有限的。经历有赖于工具，我们能够想象不同物体的尺度，但是需要一种工具——自然数——来验证它们。出于这个原因，工具是文化的实质；无论是在物质上还是精神上，它们允许人类体验世界广阔的万物。梭标投射器允许人类早期体验猛犸象的肉，而不用别的相反的方法。霍夫曼认为，数学是一种工具，在物质世界中能使人类理解和控制巨大数量的事件和工序。特别是，数学作为一个工具，渗入想象的领域，彻底地超越一个没有思想工具的经历。而且，一旦数学工具被开发，它们经常改变它们的效应，不仅能够扩大一个经验，并且能够扩大一个人的想象力。就像所有的人类文化一样，数学在不断地发展。早期创造者开发的工具(或问题解决的方案)被压缩和存储，成为今天人类文化的库存。例如，几何学收集埃及人的测量规律，希腊人的演绎过程，非欧几里得形式化表示和超越局限三维空间的运动，并且利用它们为一般的太空探索建造一个工具。霍夫曼认为，数学和科学是非常不同的系统，也许如同男人和女人的不同一样。然而，它们的结合是已经被证实为多产。使用数学方法分析从实践中获取的数据是科学的原本(真实、标准)。相对应，从实践中获得的问题又能激发很多数学创新。

事实上，人类学处理人、事件、空间、情感、血缘关系和许多其他的现实各种结构最有效的工具，并且是最自然的语言，能把个体经验带进广大听众的世界。数学并非是破坏直觉，相反，它是用一种通俗易懂的形式传递直觉。在亲属关系学中建构同构或同态模型，传统的数学可能没有用，但是对于人类学——特别是数学，它的许多现存基础可能更有用。^[9]。另一方面，亲属关系作为数学函数来研究可能不被认可。在这种情况下，一个正式识别的、合适类别的数学映射将是一个能进一步分析的有用工具。

案例4：米奇尔巴顿的“度量模型”研究理论。

数学人类学家、加利福尼亚大学米奇尔·巴顿(Michael L.Burton)在文章《数学人类学》l1叩中选择了怀特(D.R.White)和霍夫曼(Hans Hoff-man)没有研究的论题——在人类学的领域，对“人类学中的度量模式”、“度量的目标”、“数据的近似度量”以及“优选法或排队法的模型”、“多维模型”等开展研究。他认为，在人类学中测量问题是无处不在的。人类学中测量的焦点问题是文化演变的研究，包括语义学模式、社会组织变化的度量，概率论(马尔可夫过程等)应用于人口理论和种群理论，如离婚率或结婚习俗。距离测量既是直线也包括多维空间，如三角不等式：d(x，y)≤d(x，z)+d(y，z)。欧几里得距离公式；$D\left( {i, j} \right) = \sqrt {\sum\limits_{k = 1}^r {\left( {{X_{ik}} - {X_{jk}}} \right)} } $，即是毕达哥拉斯定理的一般化形式。在空间中描绘点是文化对象的各种形式，例如言语，信仰，文句和种族，或个体角色。在人类学中三维数学研究最近取得了一些成就，这说明只要改进人类学中模型框架就能体现来自其它数学社会科学的有效性。

此外，巴罗诺夫(Ballonoff)和鲍尔(Paul A.)在《社会人类学的数学基础》^[11]一书中也提出了一个综合数学理论——另一度量模型，研究社会人类学和其必然联系的地区人口理论，包括人口和遗传的措施。例如，从一个简单的社会“婚姻规则”传统习俗，可以计算人口统计数据的稳态或“零增长”，并且用数据统计揭示“现代”和“原始”的内涵。

三、 欧美数学人类学研究的启发意义

在中国学术界，虽然没有学者开展所谓的数学人类学研究，但是已经开展中国传统的民族数学研究，并且取得了一些成果。从20世纪90年代开始，西南民族大学周开瑞、贵州师范大学吕传汉、内蒙古师范大学代钦等分别对羌族、水族、蒙古族的传统数学文化^[12-14]作了积极的探索。在这些前辈学者研究工作的影响下，21世纪初，相继有凯里学院罗永超、肖绍菊和德宏师专周长军、琼州学院王奋平等以及一些青年学者也参与了传统民族数学研究，分别探讨侗族、苗族、傣族、黎族、哈萨克族等的传统数学文化^[15-22]。中国传统的民族数学文化研究都有明显的特点：(1) 使用田野调查和计算机计算方法；(2) 收集、整理各个少数民族传统生活中使用的数学知识；(3) 收集、整理、分析数字习俗、崇拜的图腾和符号；(4) 整理、研究古歌、理辞中“记载”的数学文化；(5) 研究民间村落建筑物蕴含的技艺技法、数学和力学原理以及美学价值；(6) 研究服饰、银饰等蕴涵的数学元素；(7) 习惯使用现代西方数学、力学知识来解释建筑物结构和技法，以及民族服饰的饰纹纹样。这些研究在中国已经初具规模。

中国传统的民族数学研究与欧美数学人类学研究比较，有相同之处，如都使用田野调查法来收集、整理数据(或材料)、使用计算机方法处理数据等。但也有明显的差异，主要表现在：(1) 研究的内容不同。中国学者研究各族人民传统生活中的数学文化，主要是上述介绍的7个特点，多数对象是静态的；而欧美学者，他们注重使用数学技能来分析如婚姻关系、亲属关系、社会结构，通过各种分析解释人种志问题等，以探讨、寻找规律为目的，对象是动态的；(2) 研究目的不同。中国民族数学研究学者，开展研究的目的是发掘少数民族数学文化，弘扬民族传统智慧，促进文化交流与融合，开发课程资源；欧美学者研究的目的，主要是运用数学知识技巧探寻社会结构的各种规律，如婚姻、亲属、社会结构等；(3) 研究者群体不同。中国学者群主要是数学学科研究团队，而外国研究者是人类学家研究群体。事实上，中国也有强大的人类学研究群体，可是很少有学者专门关注人类学中的数学分支，如婚姻关系、亲属关系、社会组织数理结构、数字习俗、民俗数学、文化关系或跨文化相互关系模型、数学相似符号等。很庆幸的是，我国有一批知名专家如刘瑁琚教授、刘兵教授、万辅彬教授等已经关注人类学的科学技术方向，分别提出“科学技术人类学”^[23]、“科学人类学”^[4][24]、“科技人类学”^[25]等概念，确是一个可贺的事情。这也许可以为数学人类学引入中国，打开中国学术研究市场提供沃土。

总之，引介、分析欧美数学人类学研究成果，比较中国当前研究状况，目的是给中国数学人类学的未来发展提供一些启示，在多元文化背景下拓宽学术思路，理解文化的多样性并且开展多样性(包括文化、数学文化)的学术研究。