引言

伴随高性能计算机的发展，基于Pareto思想的数值进化算法成为解决航空工程中复杂多目标多约束问题的最佳途径之一。该类方法将当前解集作为进化群体，可以在指定的搜索范围内寻找最优解集。具有适用范围广，易实现并行编程求解等优势。近年来，利用数值进化算法来解决航空工程中的多目标优化问题逐渐成为研究热点。

该方法对于解决一般多目标问题效果显著，但是对于诸如直升机旋翼翼型设计以及超临界翼型设计等设计目标数量较多的问题便显现出不足。总的来看，当目标空间维数达到4个及以上时，该方法便存在诸多局限。首先，Pareto最优前沿点的数量会随着目标数量的增加而呈指数级增长，这会大大增加算法的时间和空间复杂度。此外，目标维数增加导致的非支配解数量剧增使得对优化结果的辨别和筛选变得异常困难，在极多目标优化问题中，甚至会出现种群中所有个体都是非支配解的情况。因此，传统的基于Pareto思想的数值进化算法在解决高维目标空间中优化设计问题上存在搜索过程缓慢、难以收敛等问题。总体来讲，高维目标空间的优化设计问题是当前进化多目标优化领域的研究难点^[1-6]。

当前解决该问题的途径主要包含以下三个方面：

1) 针对高维多目标优化问题，改进优化算法。比如通过放宽算法中的Pareto占优机制，或者调整对个体的挑选规则，来达到使算法快速收敛的目的。然而这些改进在工程应用中是否具有普适性还需要进一步研究确定。此外，即便通过改进算法能够得出最优解集，由于目标数目过多带来的计算量过大的问题依然存在，而且高维目标空间优化结果的可视化难以实现，难以进行进一步决策。

2) 加权系数平均方法。利用静态或动态加权系数对设计目标进行综合评估，将问题转化为单目标优化问题。该方法对小于3个目标的优化设计有一定的可行性，但对于高维多目标问题来讲可行性较差，主要原因在于众多目标之间存在错综复杂的相关关系，造成权系数选择的困难。

3) 引入数学分析中的降维思想，将高维多目标优化问题进行主要成分分析，提取决定问题本质的主要成分，将冗余目标剔除、或者转化为约束条件，在不失问题主特征的前提下，将高维多目标优化转化为低维优化问题。可以预见，该类方法对于实际工程复杂问题具有重大的理论意义和工程应用价值，该类方法的降维设计主要应用于模式识别、信号和图象处理、控制理论和其它领域中^[7-9]，而在飞行器多目标优化设计中的应用研究较少。

本文首先以典型高维多目标测试函数DTLZ5(3, 5) 为例，采用结合小生境技术的多目标粒子群算法，论述了基于主成分分析方法降维的有效性；进一步以某飞翼布局飞行器翼型气动多目标多约束优化设计以及气动、隐身多目标综合设计为例，说明了PCA方法在工程应用中的合理性与有效性，进一步展望了该类方法在飞行器气动多目标优化设计中的应用前景。

1 主成分分析

主成分分析(Principal Component Analysis，PCA)是一种将主要因素从复杂事物中分辨出来的统计学方法，通过对复杂问题的主成分分析可以降低问题复杂度，帮助研究者掌握所研究问题的主要矛盾。其主要操作方法为给出问题中n个变量的m个观察值，通过PCA规定的操作得到r(r < n)个主要变量以最大程度代表原始数据特征，从而达到压缩数据规模、简化原始问题的目的^[11-12]。其数学模型分析步骤为：

对于n个样本，每个样本具有m项指标：

x₁, x₂, x₃, …, x_m

1) 对于m项指标，为避免因量纲不同而可能产生的不合理影响，首先需要对数据进行标准化处理:

$ \begin{array}{l} x_{_{i,j}}^{^*} = \frac{{{x_{i,j}} - {{\bar x}_j}}}{{\sqrt {{\rm{var}}\left( {{x_j}} \right)} }},\\ i = 1,2, \cdots ,n;j = 1,2, \cdots \cdots ,m \end{array} $

(1)

其中，x_j与var(x_j)分别为第j个目标的平均值与方差。

2) 计算指标的相关矩阵R，求解R矩阵的m个特征值：λ₁≥λ₂≥λ₃≥…λ_m以及对应的正交化特征向量：

$ {\nu _i} = \left[ {{\nu _{i1}},{\nu _{i2}},{\nu _{i3}}, \cdots ,{\nu _{im}}} \right],i = 1,2, \cdots ,m $

3) 设定截断阈值TC(文中取阈值为TC=0.97)。

4) 计算特征值贡献率${\beta _i} = {\lambda _i}/\sum\limits_{i = 1}^m {{\lambda _i}} $，当特征值贡献率累积$ \sum\limits_{i = 1}^{m'} {{\beta _i}} $达到阈值时，取m′个主成分：

$ \begin{array}{l} {y_i} = {\nu _{i1}}{x_1} + {\nu _{i2}}{x_2} + {\nu _{i3}}{x_3} + \cdots {\nu _{im}}{x_m},\\ i = 1,2, \cdots ,m' \end{array} $

(2)

5) 合理选择各个主成分。

由上述分析步骤得到的第一主成分，可以被看作是通过高维目标空间中心的一条直线，该直线与空间所有点的距离最小，第二主成分与第一主成分正交，同样通过高维目标空间中心。经过PCA分析，可以得到数据集的相关矩阵，利用相关矩阵可以判断两个目标之间的关系是相互一致或者相互冲突；进一步基于特征向量的量值进行冗余变量的分析、剔除，因此，基于PCA的目标降维步骤可以被获得^[13]，如第二部分所示。

2 基于PCA方法的高维多目标降维

综合第一部分PCA算法的分析，基于PCA方法的高维多目标降维分为以下几步^[14](图 1)：

1) 将迭代计数器初始化为I=0，设定初始目标集M为空集，根据具体问题要求设定一个阈值TC，本文中取TC=0.97。

2) 对于目标集中的所有目标，随机初始化种群，对每一个个体计算其各个目标对应性能，得到一组数据集P。

3) 对数据集P进行PCA处理。以上述设定的阈值为标准，对各目标进行取舍。具体操作方法如下：

① 对目标矢量进行归一化处理，计算其相关矩阵及其各特征值对应的特征矢量R (i, j)、v(i, j)。接下来即可根据得到的特征矢量v (i, j)来确定主要目标。

② 对于第一特征矢量所包含的元素，选择最正和最负的两个元素所对应的目标进入集合M；如果所有元素同号，选择两个绝对值最大元素所对应目标进入集合M。

③ 接下来检查阈值，如果阈值满足预先设定的阈值要求，则结束分析过程。否则，检查特征值大小:

若特征值小于0.1，选择绝对值最大的元素所对应的目标进入M。

否则

a、选择最正和最负两个元素所对应的目标进入集合M。

b、如果所有元素同号，选择两个绝对值最大元素所对应目标进入集合M。

4) 依次对各个特征矢量作分析，直至分析过的特征矢量所对应权重满足阈值停止，并输出最优解集。

对于高维多目标问题，经过PCA分析，可以识别目标之间的相互关系，从而提取出优化目标中的主要目标，剔除冗余目标，简化了原始设计问题，为进一步决策奠定了基础。

3 基于多目标粒子群算法以及PCA方法的高维多目标优化 3.1 关于多目标粒子群算法的说明

本文研究工作采用的多目标进化策略为课题组开发的基于小生境技术的粒子群优化算法(Niche MOPSO)，在保证全局特性的前提下，为加速标准算法的收敛性，文中对粒子群学习模式引入了向群体中心学习模式、向非劣解集中心学习模式以及向自身历史最优中心学习模式。新型粒子群算法表达式如下^[15]:

$ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{V}}^{k + 1}} = \omega {\mathit{\boldsymbol{V}}^k} + {c_1} \times {r_1} \times ({X_p}_{{\rm{Best}}} - {X^k}) + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{c_2} \times {r_2} \times ({X_g}_{{\rm{Best}}} - {X^k}) + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{c_3} \times {r_3} \times \left( {{X_c} - {X^k}} \right) + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{c_4} \times {r_4} \times ({X_{{\rm{pareto}}\_c}} - {X^k}) + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{c_5} \times {r_5} \times ({X_{p{\rm{best}}\_c}} - {X^k})\\ {X^{k + 1}} = {X^k} + {V^k} \end{array} $

(3)

其中X_{pBest_c}表示自身历史最优中心，X_{pareto_c}表示非劣解集最优中心，X_c表示群体中心，X_gBest表示群体最优位置，X_pBest表示个体历史最优位置，V^k表示粒子运动变化的速度矢量，ω为惯性因子，c₁、c₂、c₃、c₄、c₅为学习因子，r₁、r₂、r₃、r₄、r₅为[0, 1]之间均匀分布的随机数。

对极小化问题而言，Pareto解的定义^[16-17]为：对于可行解X^*，当且仅当不存在可行解X，使

(a) f_i(X)≤f_i(X^*), i∈{1, …, n};

(b)至少存在一个j∈{1, …, n}，使f_j(X) < f_j(X^*);

两个条件成立时，则可行解X^*为一个Pareto最优解。

需要指出的是为保持种群的多样性，使Pareto前沿分布更均匀，本文的粒子群优化算法中加入了小生境技术。在更新粒子最优时，如果两代粒子之间不互相支配，将由概率决定最佳位置是否更新，文中的概率函数取值为：

$ P = 0.9{(I - Gen/Ge{n_{{\rm{max}}}})^2} $

其中，Gen为种群进化代数，Gen_max为总进化代数，即选取概率在初始阶段较大，加速Paerto前沿的推进, 在进化中逐级减小，有利于优化过程最终收敛。

3.2 PCA高维目标降维有效性测试

DTLZ测试函数集是由Deb特殊设计的，其具有已知的Pareto最优解，用来测试优化算法的寻优性能^[18]。本文采用DTLZ5(3, 5) 测试函数对基于粒子群算法及PCA主成分分析方法的优化效果进行有效性测试。DTLZ5测试函数包含若干冗余目标，用来测试算法对存在冗余目标情况下的寻优能力。DTLZ5(3, 5) 表示该函数有5个目标，其中3个为非冗余目标，即函数的真实Pareto前沿的维度数。首先基于这5个目标进行多目标优化，得到优化结果对应的三个非冗余目标上的显示如图 2(a)所示。显然由于目标数量较多，优化结果难以收敛到真实最优解。使用PCA主成分分析方法处理优化结果，按照第2节中描述的过程提取主成分，去除冗余成分。最后，以得到的主成分为目标进行优化，优化结果如图 2(b)所示。

DTLZ5(3, 5) 测试函数的真实Pareto前沿为球面，测试结果表明，经过PCA主成分分析提取主成分并去除冗余成分后，算法更易收敛到全局最优解，表明PCA主成分分析能够有效辨识主成分，达到对高维目标有效降维的目的。

4 高维多目标气动优化

文中的研究工作是基于课题组开发的飞行器多学科、多目标集成化设计平台(AMDEsign)开展的，该设计平台中包含了气动多目标模块(AMP)、多学科模块(MDP)、伴随优化模块(Adjoint)，嵌入气动分析、隐身计算以及结构重量估算等高、低精度学科分析模块，具备气动、隐身、结构等多学科优化设计能力。对于气动设计中高维度多目标优化问题，文中基于气动多目标模块(AMP)开展研究。

4.1 参数化方法

在优化设计中，对设计对象进行参数化描述是设计的基础。本文选用CST(class function/shape function transformation, CST)参数化方法作为翼型描述方法。CST参数化方法中各参数有明确的几何意义，并且具有控制参数少、适应性强、精度高等优点。翼型CST参数化方法可分为直接CST方法、扰动CST方法以及中弧线叠加厚度CST方法。其中，扰动CST方法是将CST方程作为几何扰动叠加到初始翼型上得到新的翼型，由于本文是在初始翼型的基础上，在给定设计范围内进行变形以寻找翼型的最优几何外形，所以扰动CST方法更适用于本文研究。CST方法的一般表达式为^[19]：

$ y = C\left( x \right){\cdot}S\left( x \right) + x\cdot{y_{TE}} $

(4)

其中，C(x)为类函数，S(x)为型函数，y_TE为翼型后缘的y坐标。类函数C(x)的定义如下：

$ C\left( x \right) = {x^{N1}}\cdot{\left( {1 - x} \right)^{N2}} $

(5)

其中，对于一般的翼型N1和N2分别取0.5和1.0。型函数S(x)的定义如下：

$ \begin{array}{l} S\left( x \right) = \sum\limits_{i = 0}^N {{A_i}\cdot{S_i}\left( x \right)} \\ {S_i}\left( x \right) = \frac{{N!}}{{i!\left( {N - i} \right)!}}{x^i}{\left( {1 - x} \right)^{N - i}} \end{array} $

(6)

其中，S_i(x)为Bernstein多项式，N为多项式的阶数，A_i为待定系数。

扰动CST方法的一般表达式为：

$ y\left( x \right) = {y_0}\left( x \right) + {x^{N1}}\cdot{\left( {1 - x} \right)^{N2}}\cdot\sum\limits_{i = 0}^N {{A_i}{x^i}} $

(7)

式中y₀(x)为原来基准翼型的坐标值，即将CST表达式得到的值作为扰动量叠加到初始翼型得到新外形。

4.2 流场数值模拟方法及代理模型

对翼型流场的高可信度模拟是对翼型气动性能进行优化的基础和前提。综合考虑本文研究的飞翼翼型气动优化目标，本文选用基于雷诺平均的Navier -Stocks(Reynolds Averaged Navier-Stocks, RANS)方程，并采用Roe格式为空间离散格式，湍流模型采用剪切应力输运SST模型。流场计算网格由程序自动生成，并使用多重网格技术提高收敛速度。此外，为减少优化过程中的计算量，本文采用Kriging代理模型用于对优化迭代过程中种群个体气动性能的预测。

4.3 翼型高维多目标气动优化

对于高亚声速巡航的飞行器设计来说，一副综合性能优异的机翼是整个气动设计环节中最为重要的部分，而用来进行三维机翼压力分布形态控制的典型剖面翼型设计是机翼设计的关键。本文以某飞翼布局飞行器翼型作为基础翼型进行多目标气动优化设计研究，进一步说明基于PCA降维方法的有效性与可行性。该飞翼布局飞行器翼型具有高升阻比、高隐身特性、良好自配平特性、良好失速特性，翼型形状如图 3所示。本文在初始翼型较为优良的综合性能基础上进行优化得到进一步的性能提升。

在该飞翼翼型优化设计中主要关注的性能指标有：巡航状态下的阻力系数C_{D, M=0.695}、阻力发散马赫数下的阻力系数C_{D, M=0.715}、俯仰力矩系数C_m以及低速失速特性等。其中低速失速特性主要体现在起飞状态失速迎角相比初始翼型要有所提高，在本文的研究中，若优化得到的优化翼型在失速点附近迎角对应的升力系数高于初始翼型在相同迎角下对应的升力系数，则可认为该优化翼型的低速失速特性有所提高。对于本文研究的翼型，其巡航马赫数为0.695，阻力发散马赫数为0.715，低速状态下失速迎角为11.5°。故本文的研究中选定的优化目标为巡航阻力系数、阻力发散阻力系数、俯仰力矩系数以及低速状态11°迎角和12°迎角下升力系数共计五个优化目标。此外，需要强调的是，本节针对翼型进行气动优化是以翼型的隐身性能相对于初始翼型不变差为前提进行的，故在本节的优化过程中，需要将隐身性能作为约束加入到优化程序中。

对确定的五个优化目标进行降维处理。首先，利用拉丁超立方方法在指定设计空间中随机取样，利用RANS方法对采集到的样本点对应翼型的气动性能进行综合评估，得到一个包含各样本点对应上述五个优化目标性能的数据集。本文中选定样本点共计570个，进行PCA主成分分析，得到各目标对应各主成分的元素如表 1所示。其中百分数即为各主成分对应的权重，每一列中的数字即为该主成分中各目标对应的元素。

表中百分数表示每一个主成分对应的权重，按照上文所述基于PCA方法的高维多目标降维的规则可筛选得到三个主要目标，分别为巡航阻力系数C_{D, M=0.695}、巡航俯仰力矩系数C_m以及低速状态12°迎角下升力系数C_{L, α=12°}。由表中数据可以看出，两个状态下的阻力系数以及低速状态不同迎角下的升力系数对应的主成分元素之间具有相同的符号并且绝对值大小接近，表明这两对目标内部具有很强的相关性，所以其中存在冗余目标。此外，巡航状态的阻力系数与低速状态的失速性能指标在第一主成分中具有相反的符号，即表明巡航性能与低速性能往往相互矛盾，这一点也是符合工程经验的。在实际的优化设计中，通过PCA主成分分析辨别出冗余目标及各目标之间的关联关系后，可以采用去除冗余目标或者将冗余目标转化为约束条件的方法达到降维的目的。此外，对于设计中不主要关注的性能指标，也可以将其设定为约束条件，这样既可保证优化结果至少满足该指标最低要求，也可达到降维的目的。故本文对该飞翼翼型的优化设计中，选定巡航状态下阻力系数C_{D, M=0.695}、低速12°迎角下升力系数C_{L, a =12}为优化目标，将其他指标作为约束条件，即优化翼型相对初始翼型对应性能不变差。优化得到一组Pareto最优解，从优化结果中选取性能各具特点的三副翼型Opt 1、Opt 2以及Opt 3，如图 4所示，其中翼型Opt 1具有较好的低速升力特性，翼型Opt 2在巡航状态下减阻明显，翼型Opt 3兼顾巡航阻力特性及低速升力特性。优化翼型与初始翼型综合性能对比如图 5所示。

由优化结果可看出，优化翼型相对初始翼型具有更好的巡航升阻力特性、低速升力特性并保持了俯仰力矩特性，这表明通过PCA主成分分析去除冗余目标后，对主要目标进行优化所得出的结果在主要目标及冗余目标上均有提升。表 2中列出了从优化结果中挑选出的三副翼型相对于初始翼型各主要目标参数的变化情况。从优化翼型可见，通过PCA主成分分析确定的与主要目标呈现较强正相关关系的冗余目标获得了与该主要目标相同方向且幅度相当的优化效果，例如作为冗余目标的阻力发散马赫数下的阻力系数与作为主要目标的巡航状态阻力系数获得了相近的优化效果。而PCA主成分分析中确定的存在相互矛盾的两个目标，如巡航状态阻力系数与低速状态升力性能，在优化结果中其矛盾性也得到体现。例如，翼型Opt 3在所有优化翼型中具有最佳的巡航阻力性能，但是其低速升力性能却是优化翼型中较差的；而翼型Opt 1具有所有优化翼型中最佳的低速升力性能，但是其巡航阻力性能是优化翼型中表现较差的。

图 6为优化前后翼型几何外形的变化示意图，可以看出从优化结果中挑选的三副翼型都朝着相似的方向变化，即前缘弯度变大，这有利于提高翼型失速性能。图 7给出了翼型优化前后压力分布云图，图 8所示为优化前后翼型巡航状态下压力分布的对比。从图 7及图 8的结果可见，优化后翼型产生的激波发生后移，且激波强度明显减弱，这种压力分布的改变对巡航减阻有所帮助。

5 气动、隐身高维度多目标综合优化

以该飞翼布局飞行器翼型气动、隐身多学科高维多目标综合设计为例，进一步研究PCA方法在多学科综合设计中的有效性与合理性。

5.1 翼型隐身性能计算方法 5.1.1 隐身性能工程估算法

结合上一部分的研究结果，进一步考虑隐身性能对该型翼型进行优化设计。为减少计算量，本文对样本点对应的隐身性能计算采用工程估算方法，即高频近似物理光学法以及苏联学者尤费赛夫提出的物理绕射理论^[20]。为了避免轴向焦散，使用等效电磁流(MEC)方法，使得不在Keller锥上的散射方向也能计算绕射场，计算中物体的楔脊被等效丝状的线电流和线磁流代替^[21]。

物理光学近似下面元的镜面散射电磁场表示为：

$ \sqrt \sigma = - i\frac{k}{{\sqrt {\rm{{ π} }} }}\int_S {\mathit{\boldsymbol{\hat n}} \cdot } {\mathit{\boldsymbol{\hat e}}_r} \times {\mathit{\boldsymbol{\hat h}}_i}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}k(\hat i - \hat s) \cdot \hat r}}{\rm{d}}S $

(8)

其中，${\mathit{\boldsymbol{\hat e}}_r} $是远场接收器电极化方向上的单位矢量，$ {\mathit{\boldsymbol{\hat n}}} $是表面外法向单位矢，单位矢量$ {\mathit{\boldsymbol{\hat i}}} $为入射波传播方向，单位矢量$ {{\mathit{\boldsymbol{\hat h}}}_i} $为磁场极化方向。

除镜面散射电磁场对RCS的贡献外，边缘的绕射电磁场也是一个重要的散射源，由等效丝状线电流和线磁流代替的等效电磁流分别为：

$ \begin{array}{l} {\boldsymbol{I}_e} = \frac{{ - 2\hat t\left( {{\boldsymbol{E}_i} \cdot \hat t} \right)}}{{ik{Z_0}{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\beta }}\\ {\boldsymbol{I}_m} = \frac{{ - 2\hat t\left( {{\boldsymbol{H}_i} \cdot \hat t} \right)}}{{ik{Y_0}{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\beta }}g \end{array} $

(9)

边缘的绕射电场表示为：

$ {E^d}\left( r \right) = - ik{\psi _0}\int {[{Z_0}{I_e}\left( {\hat s} \right) \times \left( {\hat s \times \hat t} \right) + {I_m} \times \left( {\hat s \times \hat t} \right)]} {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}k \cdot r'}}{\rm{d}}l $

(10)

最后对所有的照明面元和照明楔，合成散射场和绕射场得到的物体的雷达散射面积：

$ \sigma = {\left| {\sum \sqrt \sigma } \right|^2} $

(11)

5.1.2 基于Maxwell方程组的电磁场求解方法

为保证隐身性能工程估算与优化设计相结合的方法对隐身性能的提升行之有效，本文最后采用了高精度求解麦克斯韦方程组方法验证优化翼型隐身性能优化效果。任何电磁问题的电磁场解都满足如下时变麦克斯韦方程组：

$ \begin{array}{l} \frac{{\partial \mathit{\boldsymbol{B}}}}{{\partial t}} + \nabla \times E = 0\\ \frac{{\partial \mathit{\boldsymbol{D}}}}{{\partial t}} - \nabla \times H = - \mathit{\boldsymbol{J}}\\ \nabla \cdot\mathit{\boldsymbol{B}} = 0\\ \nabla \cdot\mathit{\boldsymbol{D}} = \rho \end{array} $

(12)

式中，B是磁感应强度矢量，H是磁场强度，D是电位移矢量，E是电场强度矢量，J是自由电流密度，ρ是自由电荷密度。无源情况下如在自由空间中，J =0，ρ=0。

在直角坐标系下，无源条件下的麦克斯韦方程组可写为守恒形式：

$ \frac{{\partial Q}}{{\partial t}} + \frac{{\partial {F_x}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {F_y}}}{{\partial y}} + \frac{{\partial {F_z}}}{{\partial z}} = 0 $

(13)

其中：

$ \begin{array}{l} Q = \left[ \begin{array}{l} {B_x}\\ {B_y}\\ {B_z}\\ {D_x}\\ {D_y}\\ {D_z} \end{array} \right],{F_x} = \left[ \begin{array}{l} 0\\ - {E_z}\\ {E_y}\\ 0\\ {H_z}\\ - {H_y} \end{array} \right],\\ {F_y} = \left[ \begin{array}{l} {E_z}\\ 0\\ - {E_x}\\ - {H_z}\\ 0\\ {H_x} \end{array} \right],{F_z} = \left[ \begin{array}{l} - {E_y}\\ {E_x}\\ 0\\ {H_y}\\ - {H_x}\\ 0 \end{array} \right]。\end{array} $

(14)

本文使用的课题组研发的电磁场求解程序采用了多块并行的时域有限体积法(FVTD)，并使用双时间步推进。

5.2 翼型气动、隐身高维度多目标综合优化

依然采用上文采样得到的570个样本点，使用工程估算计算样本点对应的隐身性能，得到包含气动性能及隐身性能在内的共六个目标的数据集，对其进行PCA主成分分析，得到各目标对应各主成分的元素如表 3所示。

根据PCA分析结果，可筛选得到四个主要目标，分别为巡航阻力系数C_{D, M=0.695}、巡航俯仰力矩系数C_m、低速状态12°迎角下升力系数C_{L, a=12}以及雷达散射面积RCS。由于该飞翼布局飞行器设计目标主要为增加巡航半径，提高隐身能力，故本文中选定巡航状态阻力系数及雷达散射面积作为优化目标，其他目标转化为约束，优化得到Pareto最优解集分布如图 9所示。从Pareto最优解集中挑选出三副综合性能优良的翼型进行气动隐身综合性能验证，优化翼型各目标性能相对初始翼型提升幅度由表 4给出。

当把隐身性能作为优化目标之一时，气动性能的提升幅度相对第4节的研究有一定程度减小，尤其是翼型的低速升力特性优化幅度减少最为明显，这表明翼型的气动性能与隐身性能在一定程度上存在相互矛盾，为获得隐身性能上的提升，在气动性能上需要作出一定妥协。

对于隐身性能的验证，采用了基于高精度求解麦克斯韦方程组的方法，对初始翼型及优化翼型前向单站雷达-30°~30°角度范围照射下雷达散射面积RCS值进行了计算，图 10所示为计算所得初始翼型及优化翼型散射磁场D_sz分布情况，图 11所示为优化翼型与初始翼型在-30°~30°之间单站RCS空间分布的对比。可以看出，优化翼型在单站雷达负角度入射时雷达散射面积相对初始翼型有明显降低，即对地隐身性能有明显改善。由于本文优化目标即为对地隐身性能，故该性能提升的同时，相应的付出了雷达正角度入射时散射面积有所增加的代价。综合来看，使用基于PCA主成分分析的多目标优化方法对解决综合考虑气动及隐身极多目标优化问题具有良好效果，能够获得兼顾气动及隐身性能的综合性能良好的优化结果。

6 结论

文中研究了PCA方法在高维多目标优化降维研究中的应用，并且对综合考虑气动、隐身性能的翼型多目标设计开展研究：

1) DTLZ5典型测试函数表明，PCA主成分分析方法能够有效降维，有效识别出冗余目标。

2) 翼型气动、隐身多目标设计优化研究表明，PCA分析方法对冗余目标的识别，与相关性分析及流动物理机制保持兼容一致。

3) 所设计的气动外形满足多个设计状态下阻力发散特性、升阻比特性、力矩特性以及隐身特性等多个需求。

4) PCA主成分分析方法对于高维气动多目标优化设计问题是有效的，在不失问题主特征前提下进行有效降维，降低问题的复杂程度，提高非劣解集的可视化水平，更加有利于设计人员对多目标问题做出合理有效的决策。

未来飞行器外形设计趋势必然是多学科、多目标、多约束综合优化。可以预见，PCA主成分分析方法将发挥重要作用。基于现有的飞行器多目标集成化设计平台，开展气动、隐身、结构等学科的多学科、高维度多目标优化，是该方法具体应用的进一步研究方向。