0 引言

通常情况下，粘性干扰有两个内涵。第一个内涵，即所谓的压力干扰：在粘性流中，飞行器物面附近的空气在剪切应力的阻滞作用下形成边界层，边界层的增厚等效于飞行器外形的改变，从而影响边界层外部流场；而外部流场的改变反过来又会影响飞行器物面附近的流动特性。此时，边界层的厚度与马赫数平方成正比，与雷诺数的开方成反比。在高空高马赫数条件下，飞行器头部、翼前缘、舵前缘等区域，边界层迅速发展，边界层厚度随流向变化非常迅速，外部无粘流动与边界层相互作用发展，该区域定义为强干扰区；而在相对下游区域，边界层的发展较为平缓，与外流之间的相互干扰也相对减弱，此时为弱干扰区^[1]。粘性干扰的另外一个内涵是激波/边界层干扰^[2]，这也是高超声速流动中非常重要的物理现象。本文将重点针对第一类粘性干扰开展理论分析及数学建模研究。

粘性干扰效应将引起当地压力、摩擦阻力及热流的显著增加，研究这种气动特性参量的变化随流动参数之间的关系，是粘性干扰理论研究的主要内容。对于高超声速流动问题，主要是建立压力、摩擦阻力等气动特性参量与来流马赫数、特征雷诺数、空气粘性系数、壁面温度、比热比等流动参数及其组合参数的关系表达式，分析所关心气动特性参量的变化规律，为粘性干扰影响模型的建立奠定基础。粘性干扰效应也会对高超声速飞行器整体气动力特性产生影响，研究这种整体气动力特性的变化规律，建立相应的粘性干扰影响量数学模型，是粘性干扰数学建模的主要研究内容。

早期，粘性干扰效应的理论研究工作主要是针对平板和细长体等简单外形开展的，如Bertram等^[3-4]、Whitfield等^[5]及Stollery^[6]等针对二维尖楔、三维平板机翼、冷壁细长钝锥以及压缩和膨胀拐角等做的粘性干扰理论研究工作，这些工作在定量上还难以满足工程应用的精度要求。值得关注的是，美国在航天飞机研制过程中针对各类粘性干扰参数开展过一系列的考察研究，最终确认了第三粘性干扰参数 具备关联高超声速气动力数据的能力^[7-9]。

国内对粘性干扰效应的研究起步相对较晚，关注度也较低，从研究深度和实用性方面，与美国等发达国家存在明显差距。具有代表性的工作有：早期，以庄逢甘院士^[10-11]为代表的空气动力学研究学者，一方面总结了国外基于OV-102外形粘性干扰效应的研究成果，同时利用PNS (Parabolized Navier-Stokes) 方法对航天飞机简化外形和钝锥体的粘性干扰效应开展了高超声速粘性干扰的数值模拟研究工作。但之后，由于我国并未选择航天飞机作为天地往返运载手段，使得粘性干扰研究处于几乎停滞状态。近期，毛枚良等^[12]通过对压力函数隐式表达式的迭代求解，验证了压力与第三粘性干扰参数 具有明显的线性变化关系，并得出如果用 的一次多项式来拟合压力，其大致适用范围是10^－3≤λ≤10^－1，M_∞≤20, H≤70 km。龚安龙等通过求解N-S方程，对 在航天飞机外形上的气动力特性天地相关性开展了研究工作^[13]，并基于高超声速平板粘性干扰相关性理论、斜激波理论及CFD方法，对 进行修正获得了修正后的，该修正后的粘性干扰参数在针对OV-102外形的气动力系数相关性研究中具有一定的改良作用^[14]。陈坚强等^[15]针对高超声速气动力天地相关性研究，也对该问题进行了研究，并获得了一些有用的结论。

国内外针对粘性干扰现象的研究表明，传统的理论研究主要针对简单外形，且难以描述存在强非线性效应影响的情况，单纯依靠边界层相似律及高超声速无粘流压力关联公式难以准确描述实际流动情况，更无法直接应用于复杂外形飞行器研究。而数值模拟手段一方面可以为理论研究提供验证，另一方面也可以提供更多的气动力特性数据^[16]，能更好把握其变化规律，从而完成粘性干扰模型的建立。因此，本文对粘性干扰建模的研究将采用理论分析和数值模拟相结合的方法，利用数值模拟手段获得复杂高超声速外形的气动力数据，通过分析粘性干扰影响量变化规律，并结合理论研究结果，建立完全气体条件下的纵向气动力系数的粘性干扰模型，完成粘性干扰模型的不确定度评估。

1 数值模拟研究 1.1 数值计算方法

针对典型高超声速翼身组合体外形，示意图如图 1所示，采用中国空气动力研究与发展中心自主研发的高超声速软件平台CHANT v2.0^[17](CARDC Hypersonic Aerodynamics Numerical Tunnel v2.0) 开展数值模拟研究，控制方程为完全气体状态下的N-S方程组，对流项采用NND (Non-oscillatory, containing No free parameters, and Dissipative) 格式离散，粘性项采用中心格式离散，隐式离散方程采用LU-SGS方法求解，壁面采用绝热无滑移边界条件。该软件平台已广泛应用于高超声速复杂流动的数值模拟研究，并得到了充分的验证与确认^[18-19]。

1.2 气动力特性影响规律

粘性干扰效应数值模拟的计算状态如表 1所示，控制方程分别为N-S方程和Euler方程组，高度50~85 km，马赫数15~25，迎角10°~30°。限于篇幅，且不失其方法应用的共性，本文只给出了对轴向力系数和俯仰力矩系数的分析过程。

首先，考察摩擦应力项在轴向力系数中的所占比例，如图 2所示。其中摩擦应力项指在N-S方程组计算结果处理时只考虑剪切应力项的积分，而剔除压力项的贡献。由图可知，迎角越大、高度越高对于轴向力系数粘性计算结果中粘性项的影响越大，在72 km以上，其所占比例普遍达到90%以上。由此可见，在高空高马赫数情况下，对于轴向力系数的建模预测，其中的摩擦应力项非常关键。

接着，将由求解N-S方程组得到的粘性气动力与由求解Euler方程组得到的无粘气动力相减，获得轴向力系数和俯仰力矩系数的粘性影响增量 (Computed_dC_A和Computed_dC_m)，如图 3和图 4所示。由图可知，在所考察高度和马赫数范围内，轴向力系数粘性影响增量随着的变化具有很好的线性关系，不同迎角气动力曲线的差异主要体现在斜率的不同。结合图 2和图 3的分析可知，对于该高超声速飞行器，随着高度的升高，粘性干扰效应将逐步增强，逐渐对轴向力系数起到主导作用。而俯仰力矩系数的粘性影响增量随的变化并非呈现线性关系，而是在不同迎角下呈现一定变化规律的曲线形式，不过该影响增量相对于其无粘气动力系数是小量。

图 3中还给出了迎角0° (α=0°) 的结果，其结果表明在零度迎角情况下，对于该气动外形的轴向力系数，粘性干扰效应仍具有显著影响。

2 粘性干扰数学模型研究 2.1 粘性干扰数学模型

美国航天飞机在发展过程中，利用当地摩擦阻力系数与热流Stanton数之间的雷诺比拟关系式，热流、马赫数和迎角之间的试验数据拟合式，以及半三维边界层理论分析方法，建立了轴向力系数和俯仰力矩系数粘性干扰效应影响的半经验表达式^[20]：

(1)

(2)

式中, 是引入的粘性干扰参数:

(3)

C_∞是Chapman-Rubesin常数，，上式中各系数由风洞试验状态确定。文献中还给出了上述两式的适用粘性干扰参数和迎角范围： ∈ (0, 0.06)，α∈ (20°, 50°)。

对于典型复杂高超声速飞行器，通过分析上文式 (1) 和式 (2) 的推导过程，初步对轴向力系数和俯仰力矩系数给出如下统一待定系数形式的粘性干扰效应数学模型：

(4)

然后，以为横坐标，其中，迎角历遍表 1状态，取b=1、2、4，轴向力系数粘性影响量为纵坐标作图，如图 5所示。由图可知，不同高度和马赫数组合的数据形成5簇数据群，这5簇数据群在图中随横坐标的变化规律比较一致；非零迎角时，数据随变化的曲线特征表明，适当地对b进行取值就可以获得线性度较好的曲线形式；零迎角时，由图 3可知，轴向力系数粘性影响量与仍有非常显著的线性比例关系。由以上分析最终确定了修正后的轴向力系数粘性干扰模型：

(5)

又由图 5可知，俯仰力矩系数粘性干扰增量随并非呈现线性变化关系，则拟采用的二次多项式作为其粘性干扰模型：

(6)

剩下的工作是利用由数值模拟手段获得的气动力数据，完成该粘性干扰模型的线性回归拟合，确定待定系数a、b、c、d、e、f、g和h的量值。需要指出的是：

1) 在工程实用性方面，对于类似飞行器外形，式 (5) 和式 (6) 的形式可通用，但各系数量值需针对各自气动力数据确定；

2) 不同高度、马赫数组合下，粘性干扰参数与第三粘性干扰参数呈现良好的线性变化关系，即式 (5) 和式 (6) 中如用替换，同样可以达到研究目的和效果；

3) 利用上文研究思路，同样可以给出法向力系数等气动力系数的粘性干扰模型。

针对本文的研究对象，最终得到的轴向力系数和俯仰力矩系数的粘性干扰模型为：

(7)

(8)

相应的气动力数据相关性曲线如图 6和图 7所示，以图 6为例，图中横坐标是利用式 (5) 粘性干扰模型预测得到的气动力系数增量，纵坐标是对应状态下 (相同迎角、马赫数和高度) 数值模拟结果 (N-S方程组与Euler方程组求解结果相减)。由图可知，对于轴向力系数和俯仰力矩系数，所有状态数据均分布于斜45°线 (相关线) 附近，即不同高度、马赫数和迎角下模型预测和CFD预测结果的相关性程度较好。

图 8和图 9是将粘性干扰模型预测结果加到Euler方程组计算结果之上 (Pred.)，再与N-S方程直接计算获得的结果 (Comp.) 进行比较，由图可知，通过粘性干扰模型和无粘流计算结果叠加得到的气动力数据与N-S方程计算结果有较好的一致性。

2.2 模型预测结果考核

针对图 6和图 7的相关性曲线，为考察粘性干扰模型的数据拟合精准度，定义相对正交距离dr_i来表征数据偏离相关性曲线的相对程度，如下式：

(9)

图 10给出了正交距离d_i的示意图，该示意图与图 6和图 7的相关性曲线相对应，横坐标x表示粘性干扰模型预测结果 (Predicted_dC_A)，纵坐标y表示CFD计算结果 (Computed_dC_A)。

dr_i的计算结果如图 11和图 12所示。由图 11可知，对于轴向力系数，在70 km以上时粘性干扰影响量达到90%以上时 (如图 2所示)，利用粘性干扰模型拟合的相对偏差在4%以下；而在70 km以下，其相对偏差约在15%以下，考虑到随着高度的降低，粘性干扰影响量在整体气动力系数中的贡献会显著减小，则模型拟合偏差对于整体气动力系数的相对偏差在较低飞行高度时会有所下降，如图中空心符号所示，即式 (9) 中的x和y取C_A；由图 12可知，对于俯仰力矩系数，当式 (9) 中的x和y取dC_m时，在高度70 km以下粘性干扰模型拟合的最大相对偏差能达到30%以上，但由于粘性干扰影响量在整体气动力系数中所占比例较小，该粘性影响量的拟合偏差相对于C_m本身便很小，不到1%。

3 结论

本文通过理论分析与数值模拟手段，针对典型高超声速翼身组合体外形，建立了轴向力系数和俯仰力矩系数的粘性干扰效应数学模型，并完成了拟合误差和不确定度分析，得出以下几点主要结论：

1) 从粘性干扰参数的理论研究出发，结合数值模拟手段，是研究高超声速复杂外形粘性干扰效应的有效手段；

2) 基于粘性干扰参数的建模思路是可行的，利用粘性干扰参数和迎角的组合，可以建立具有一定精度的粘性干扰模型，从而将不同高度、马赫数和迎角下的高超声速气动力数据进行关联；

3) 在工程实际中，可以利用具有较高计算效率的Euler方程结果，结合粘性干扰模型的修正，获得大规模的用于飞行器设计的气动数据，并建立相应的气动数据库，对于工程设计是一种较为高效、经济的选择。

正如文中一开始所提及的，虽然分析是以轴向力系数和俯仰力矩系数为例开展研究的，但上述方法及结论对法向力系数也适用。今后将继续在横侧向气动小量、舵翼等部件气动力的粘性干扰效应影响规律及真实气体、稀薄气体效应影响等方面做进一步研究。