0 引 言

空-空导弹是现代战斗机的空战武器，对于大多数质量较小的空-空导弹，通常采用导轨发射的方法。导轨式发射方式指导弹靠自身发动机的推力脱离载机，导弹发射时，其初始运动受到约束和引导，发射离轨时，导弹指向轨道所限定的初始航向。导轨发射的离轨形式分为两大类,顺序离轨和同时离轨^[1]。发射装置给导弹滑行提供了一个通畅的导轨,导轨与导弹滑块之间在上下左右方向都具有一定的间隙,保证在离轨过程中不会出现任何阻滞现象。对于顺序离轨,发射过程的危险性主要出现在导弹只剩下最后一个滑块的情况下,这时如果导弹相对于发射装置的航向偏角增大到把导弹后滑块和导轨间隙全部吃掉的程度,就会产生弹架干涉。现代导弹发射包线趋于扩大，发射过程中飞机的运动比较复杂，尤其是近距格斗型空-空导弹，可能是在大机动、大过载条件下完成发射。因此，在对发射装置进行设计的时候，必须很好地考虑各种飞行条件下导弹发射的安全问题。以顺序离轨发射导弹为例，当导轨只剩下最后一个滑块的时候，载机法向拉升产生的过载很大程度上要增大导弹相对于发射装置的偏角,容易产生弹架干涉，严重情况下破坏导轨甚至阻滞导弹的向前滑行，威胁到飞行安全。

对于机载导弹的弹翼干扰和发射特性国内外已开展过较多的研究，文献^[2]研究了不同悬挂位置和飞行状态下的导弹气动特性，指出随攻角增加，侧洗干扰影响增大，并且在机翼前缘和翼尖位置干扰最强。文献^[3]以通用机翼-挂架-导弹模型为例，采用计算流体软件Fastran和动力学软件Adams对跨声速下发射过程进行了数值模拟，研究了接触力对导弹离轨姿态的影响。文献^[4]采用重叠网格计算导弹发射分离运动轨迹，研究了喷流效应对机载导弹发射的气动干扰影响。国外针对机载导弹投放的数值模拟开展了大量验证工作^{[5, 6]}，计算模型为F/A-18C/JDAM型号外形，有完整的飞行试验和风洞实验数据，表明CFD预测精度基本在风洞实验和飞行试验的结果的误差范围内。总的来说，采用CFD(计算流体力学)耦合动力学方程的计算逐渐成为求解多体分离问题的常用方法^{[7, 8, 9]}，并取得了较好的模拟精度。对于导轨发射问题，由于吊挂与滑轨之间的动力学行为十分复杂，大多研究从导弹离轨以后开始模拟，忽略了滑轨约束对导弹姿态的影响。

为了解决滑轨约束对导弹发射的影响问题，模拟顺序离轨导弹可以划分为三个阶段，第一阶段是导弹点火以后在两个或以上滑块约束下的滑行，导弹运动完全受到导轨的制约，运动自由度数为1；第二阶段是导弹在单滑块约束下的运动，该阶段导弹除了受推力、重力和空气动力之外，还受到滑块约束力的作用，同时姿态变化受到滑块预留间隙的限制；第三阶段为导弹在无约束下的自由运动。根据导弹发射过程的不同阶段，建立相应的运动学和动力学方程，同时与流体力学方程求解相耦合，可以比较准确模拟出导弹的运动过程，从而建立起导弹分离安全的有效评价工具。 1 数值计算方法 1.1 流动控制方程及求解方法

流场计算采用自主发展的并行流体计算软件PMB3D,采用动态重叠网格方法^{[10, 11]}模拟导弹相对于载机的运动，假设导弹发射对载机的影响忽略不计，计算过程中载机网格不动，导弹网格随导弹运动进行位形变化。流动控制方程采用任意拉格朗日-欧拉(ALE: Arbitrary Lagrangeian Eulerian)方法描述的可压缩N-S方程，允许网格的任意运动和变形，在绝对坐标系下的积分形式如下：

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模拟导弹发射过程将流动控制方程与导弹动力学模型采用松耦合的方式进行迭代求解，流场求解得到的气动力和力矩变化作为动力学模型的输入条件，通过刚体动力学和运动学方程求解得到新的位置和姿态，在新一时刻，物体运动又作为流场计算的前提条件，通过一系列迭代达到对运动过程仿真的目的。 1.2 一般形式的刚体动力学模型

可通过分析力学方法建立约束刚体系统的动力学控制方程。对具有n个广义坐标[q₁ q₂ … q_n]的系统，若受到s个独立约束，其第一类拉格朗日方程^{[14, 15]}的形式为：

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对单个刚体，上式可写为微分-代数方程组：

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m 为刚体质量，J ′为其相对于随体坐标系的转动惯性张量矩阵。 L 为欧拉四元数的左矩阵：

不同的约束种类对应不同的约束方程组，考察本文描述的导弹吊挂约束问题(如图 1所示)：导弹视为单个刚体，刚体质心为O点，与其固连的一点A约束于滑轨上。滑轨方向在全局坐标系中沿x′轴方向，因此刚体受到的约束等效于A点在y′和z′方向上的位移为0。有两个约束方程：

图 1 导弹单吊挂约束状态示意图Fig. 1 Schematic of missile on single hanger contraint

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为了计算 C _q^T λ 项，还需要计算约束方程对广义坐标的雅可比矩阵 C _q 。由于本问题的2个约束方程实际上对应球铰约束方程的第2、3个分量，故其可取球铰约束雅可比矩阵的第2、3行作为本问题中单吊挂约束的雅可比矩阵。对球铰有：

可使用典型的四步Runge-Kutta显式推进方法求解包含动力学方程组和约束方程组的微分-代数方程组。求解得到广义坐标 q 及其导数，可得到刚体的位置、姿态、运动速度与角速度等信息；得到拉氏乘子 λ 则可以计算约束反力－ C _q^T λ 。 2 刚体动力学模型的验证 2.1 刚体的自由转动

刚体的自由转动是指外力矩为零的运动，相应的刚体常称为欧拉陀螺。由于刚体旋转与平移相对独立，线速度和角速度方程可以分开求解，在刚体对称，并且没有平移运动和外加力矩条件下，欧拉动力学方程具有如下的分析解形式^[15]：

条件：

I₂=I₁

I₁-I₃=I₂-I₃=αI₁

角速度的分析解形式如下：

ω₁=acos(αht+β)

ω₂=bsin(αht+β)

ω₃=h 其中h是常数。假设ω₁(0)=a和ω₂(0)=0，可以得到β=0和b=-a。

设定： I₂=I₁=1.0 I₃=0.5, α=0.5,h=0.5,a=1.0,b=-1.0

初始角速度：ω₁(0)=1,ω₂(0)=0,ω₃(0)=0.5

图 2给出的是求解六自由度运动方程得到的角速度时间变化曲线与理论解的比较，计算时间步长Δt=1，从图中可以看到，在当前时间步长下，计算解与理论解吻合很好。另外，在没有任何外加力矩的情况下，ω₂从初值0到随时间周期性变化，从这一点上可以看到旋转刚体的瞬时转轴在不断发生变化。因此虽然角速度也具有大小和方向，但并不是严格意义上的矢量，这是与速度矢量之间最大的差别。

图 2 角速度的时间历程Fig. 2 History of angular velocity

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拉格朗日陀螺指的是刚体绕定点O转动时，满 足旋转对称条件I_yy=I_zz，质心C位于对称轴上。高 速转动的陀螺,受到外力矩的作用后,并不沿力的作用方向倾倒,而是沿力矩矢量的方向进动，拉格朗日在18世纪首次采用变分 法计算出了该运动的理论解。

设刚体的转轴为x轴，定义与刚体固连的体轴系，从牵连地轴系转换到体轴系的转动顺序为：先绕z轴转动偏航角Ψ；再绕中间轴y转动俯仰角θ；最后中间轴x转动滚转角φ。此时，旋转角速度与欧拉角存在如下关系：

采用变分法可以得到拉格朗日陀螺运动的理论解^[15]：

图 3给出的是求解单点约束的刚体动力学方程得到的欧拉角变化曲线与理论解的比较，计算时间步长Δt=0.0001，从图中可以看到，计算解与理论解吻合很好，在计算时长范围内，刚体旋转了约16周，其中Ψ为进动角，沿偏航方向旋转；θ为章动角，沿俯仰方向周期性摆动。

图 3 进动和章动角的时间历程Fig. 3 History of precession and nutation angle

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采用本文发展的计算方法，对某机载导弹的发射过程进行了数值模拟，计算来流马赫数Ma=0.95，攻角α=7.32°。假设导弹质量M=100kg，发射过程中质量和质心位置不变。三个体轴方向均为导弹的惯性主轴，转动惯量I_xx=1.28 kg ·m²，I_yy=I_zz=33.3 kg ·m²。导弹后挂点距离质心dx=-0.8m，dz=-0.12m。导弹推力10kN，导弹分离过程包括了双吊挂滑行、单吊挂滑行和自由飞行三个阶段，假设导弹进入单吊挂状态之前滑行距离1.0m，单吊挂的滑行距离为0.61m，之后为无约束的自由飞行阶段。

图 4给出的是机载导弹的受力作用示意图，如图所示，机翼平面形状为截尖的三角翼外形，在中等攻角下(α=7.32°)，机翼下方产生较强的横向流动，横向洗流在导弹左侧产生局部高压区，随导弹位置前移，高压区向导弹尾部移动，所以在横向方向上，导弹受到向右侧的侧向力和向左侧偏转的气动力矩。

图 4 中等攻角下侧洗流动示意图Fig. 4 Schematic of lateral wash flows at moderate angles of attack

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图 5给出的是导弹受力系数的变化历程，其中横轴Δx表示导弹质心的前移距离，当Δx＜1m时，导弹处在沿滑轨的滑行阶段；1m＜Δx＜1.61m时为单吊挂约束阶段；Δx＞1.61m以后为自由飞行状态。导弹受力包括了气动力、推力和惯性力。图中实线表示 没有惯性力作用，虚线假设载机的法向过载N_z=7，导弹在原有受力的基础上加上惯性力的结果。从图中可以看到，在不考虑惯性力时导弹的法向力为正值，当导弹完全位于机翼下方时，其法向流动受到限制，法向力较小，随导弹位置前移法向力逐渐增加。导弹在初始状态下受到较大的侧向力作用，这是由于受到了横向洗流的作用，随导弹位置前移，离开机翼下方的横向洗流区，侧向力减小；轴向力的最大贡献来源于推力，方向指向前方。图 6给出的是导弹力矩系数的变化历程，从图中可以看到，在滑行阶段和单吊挂约束阶段，导弹受到左偏航和左滚转力矩(坐标轴方向见图 1)，俯仰方向上受到抬头力矩。

图 5 导弹受力系数的时间历程Fig. 5 History of force coefficients

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图 6 导弹力矩系数的时间历程Fig. 6 History of moments coefficients

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图 7给出的是导弹的角速度变化历程，在单吊挂约束阶段，由于约束点不与质心重合，此时导弹受力和力矩都会产生角加速度。从图中可以看到，在三个方向上，滚转方向的角速度增加最快，这主要是由于绕体轴的转动惯量较小的缘故，导弹侧向力和滚转力矩都使导弹向自己的左侧方向滚转。当滚转角φ=2.1°时，达到了滑槽的结构限制，此时人为地将滚转角速度置0。在俯仰方向上，单吊挂约束阶段由于约束点位于导弹尾部，距离质心较远，导弹的上仰或下俯比较严重，角速率增加很快；进入自由飞行阶段，角速率相应减小。在偏航方向，后吊挂约束状态下侧向力使导弹向右偏转，与导弹的左偏力矩相反，两者的贡献相抵消，当约束放开以后，导弹的偏航角速度斜率增加。

图 7 导弹角速度的变化历程Fig. 7 History of angular velocity

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图 8给出的是导弹的姿态角变化历程，这里着重关心单吊挂约束阶段的姿态变化，考察是否出现弹架干涉。从图中可以看到，在单吊挂滑行阶段，导弹的滚转角超出了滑槽的结构限制，产生了弹架干涉。在俯仰方向上，在不考虑惯性力时(N_z=0)，导弹在单吊挂约束阶段产生上仰，最大上仰角度约1.05°；在考虑了惯性力以后(N_z=7)，导弹出现下俯运动，最大下俯角度约1.02°。值得注意的是，在当前攻角下，导弹的法向力和惯性力的作用方向相反，一定程度上减小了俯仰偏角，如果单独考虑法向过载的影响，则下俯角度比现在偏大，可能出现弹架干涉的情况。在偏航方向，导弹主要受到横向洗流的作用，向左侧偏转，单吊挂约束阶段最大偏角约0.89°。

图 8 导弹姿态角的变化历程Fig. 8 History of angular trajectory

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机载导弹导轨发射过程中要经历单吊挂约束下的滑行阶段，为了模拟导弹的动力学过程，本文在刚体六自由度运动方程基础上发展了单吊挂约束的动力学模型，通过计算解对欧拉陀螺和拉格朗日陀螺理论解的比较，验证了计算模型的正确性。

对某机载导弹发射过程的数值模拟表明，中等攻角下翼吊导弹受到横向洗流的作用，导弹发生横滚产生弹架干涉。单吊挂约束阶段导弹受到法向气动力、重力、法向过载等作用，俯仰角速率较大，严苛条件下可能产生弹架干涉，影响分离安全。