快速射电暴是近几年探测到的一种短暂出现的射电能量爆发现象。2007年，《科学》(Science)杂志公布了第1个快速射电暴^[1]，但由于信噪比不高，曾被认为可能是来自人工信号的干扰。2012年之后更多快速射电暴的发现，使得快速射电暴的研究正式成为高能天体物理和时域天文一个新的重要方向。之后，由于先进的观测技术和设备，观测到的快速射电暴数量大大增加，但是快速射电暴的物理起源仍是一个迷。目前探测到的快速射电暴有重复快速射电暴和非重复快速射电暴两种类型，它们是否具有相同的物理起源也是一个迷^[2]。

CHIME(the Canadian Hydrogen Intensity Mapping Experiment)是一个400~800 MHz波段的新型经纬射电望远镜，具有大收集面积、宽宽带、高灵敏度、巨大的视场和有力的相关器的特点，是一个极好的快速射电暴探测器。自从2018年CHIME发射后，快速射电暴样本大大增加。2020年CHIME报道了第1个具有周期性行为的快速射电暴源(FRB 180916)^[3]。FRB 180916周期性的观测，掀起对周期性快速射电暴物理起源的研究热潮。目前解释快速射电暴周期性行为的模型主要有3种：(1)快速射电暴可能发生于包含一个恒星级致密星体(如中子星或者黑洞)的双星系统，在这种系统中，快速射电暴的周期对应于双星的轨道周期^[4-5]；(2)一个极慢旋转的中子星引起爆发源的超长旋转周期^[6]；(3)快速射电暴来自于中子星磁层的辐射，这个辐射区域持久的过程导致它们的周期性行为^[7]。

到目前为止，仅有两个源FRB 180916和FRB 121102具有周期性行为。FRB 180916的周期为16.35 ± 0.18，具有5天的活跃窗口^[3]。FRB 121102显示可能的157天周期和大约100天的活跃窗口^[8]。但是不管是FRB 180916还是FRB 121102，都不是所有预测的活跃窗口都能观测到爆发。本文在具有椭圆轨道的中子星-白矮星双星模型的基础上，研究引力辐射对快速射电暴周期性行为的影响。通过引力辐射的影响解释为什么观测到大量的重复性爆发，但是目前为止仍然只有两个周期较长的重复暴被认为具有周期性，同时这两个暴有些预测窗口没观测到爆发。

1 考虑引力辐射的中子星-白矮星双星模型

2020年，文[4]用具有椭圆轨道的致密双星系统解释重复快速射电暴的周期性行为^[4]。他们的模型包含一个磁化的白矮星和一个具有强偶极磁场的中子星。当白矮星在近星点充满洛希瓣时，物质通过内拉格朗日点转移到中子星表面，而在椭圆轨道的其他位置，由于洛希瓣没有充满中子星，没有发生物质转移(见文[4]中图 1)。同时，吸积物质在粘滞作用下可能被撕成一系列碎片，这些碎片将沿着中子星磁场线间歇地到达中子星表面，通过曲率辐射形成快速射电暴的多次爆发。在这种情况下，这些爆发事件的周期应该等于轨道周期P_orb(双星的轨道周期P_orb=4π²a³/G(M₁+M₂)，其中G是牛顿常数，a为椭圆轨道的半长轴，M₁为中子星质量，M₂为白矮星质量)。但在吸积物质向内移动的过程中，根据角动量守恒，当q＜2/3时(q≡M₂/M₁)，通过洛希瓣吸积一部分物质后，白矮星可能被踢开。白矮星被踢开以后，由于引力辐射，白矮星将再次充满洛希瓣^[9-10]，而文[4]没有考虑引力辐射的影响。引力辐射使得白矮星再次充满洛希瓣，从而引发的再次质量转移与前次质量转移的时间间隔Δt对快速射电暴周期性行为的影响。

时间间隔Δt是一个很重要的时间尺度，周期P_orb和时间间隔Δt之间的大小关系是能否显现快速射电暴周期性行为的关键因素。很明显，Δt≈P_orb或者Δt＜P_orb是周期性行为显现的必要条件。反之，如果Δt ≫ P_orb，周期性将很难观测到。

双星系统的轨道角动量J为

$ J=M_1 M_2\left[\frac{G a\left(1-e^2\right)}{M_1+M_2}\right]^{1 / 2}, $

(1)

其中，e为离心率。当白矮星充满洛希瓣时，将发生从白矮星到中子星的物质转移。假设转移的质量为ΔM₂(ΔM₂为负数)，那么轨道角动量的变化可以表示为

$ \Delta J=\lambda \Delta M_2 \varOmega\left[b_1-a_1(1-e)\right]^2, $

(2)

其中，轨道角速度$\varOmega=\sqrt{G\left(M_1+M_2\right) / a^3} $；中子星和系统质心之间的距离a₁=M₂a/(M₁+M₂)=qa/(1+q) λ表示由于外流而损失的轨道角动量的参数，在0≤λ≤1的范围内；b₁是中子星和拉格朗日点L₁之间的距离，具有如下形式：

$ \frac{b_1}{a(1-e)}=0.5-0.227 \log q. $

(3)

在我们的模型中，物质转移发生在当白矮星在近星点充满洛希瓣时。当白矮星上的物质通过内拉格朗日点，并且被中子星吸积时，两星之间的距离a也相应地发生变化，由于质量变化引起双星之间距离的变化Δa可以由(1)~(3)式推导，

$ \frac{\Delta a}{a}=-2 \frac{\Delta M_2}{M_2}\left[1-q-\lambda(1+q)\left(0.5-0.227 \log q-\frac{q}{1+q}\right)^2 \frac{(1-e)^{3 / 2}}{(1+e)^{1 / 2}}\right]. $

(4)

一次质量转移之后，白矮星可能被踢开，直到引力辐射导致第2次质量转移，由于引力辐射引起的两星间隔随着时间变化为^[11]

$ \frac{\mathrm{d} a}{\mathrm{~d} t}=-\frac{64}{5} \frac{G^3 M_1 M_2\left(M_1+M_2\right)}{c^5 a^3\left(1-e^2\right)^{7 / 2}}\left(1+\frac{73}{24} e^2+\frac{37}{96} e^4\right) . $

(5)

由此，我们得到Δt与ΔM₂之间的关系式：

$ \begin{aligned} \Delta t= & \frac{5(1+q) c^5 a^4}{32 q G^3\left(M_1+M_2\right)^3}\left\{\lambda[0.5(1-q)-0.227(1+q) \log q]^2 \frac{(1-e)^{3 / 2}}{(1+e)^{1 / 2}}-(1+q)\left(\frac{2}{3}-q\right)\right\} \\ & \frac{\left(1-e^2\right)^{7 / 2}}{\left(1+\frac{73}{24} e^2+\frac{37}{96} e^4\right)} \frac{\Delta M_2}{M_2}. \end{aligned} $

(6)

从(6)式可以看出，给定M₁，M₂，e，λ和ΔM₂，可以得到两相邻爆发的时间间隔Δt。我们的模型中，中子星的质量选取典型值M₁=1.4M_⊙。

2 结论

在椭圆轨道的双星模型作为周期性重复快速射电暴起源的基础上，我们考虑引力辐射对它们周期观测结果的影响。在这个模型中，暴的周期应该等于轨道周期P_orb。给定质量M₁，M₂和离心率e，我们可以得到双星的轨道周期P_orb。(6)式中λ表示由于外流损失的轨道角动量的参数，存在两个极限情况，如果吸积物质没有携带轨道角动量，则λ=0；反之，如果吸积物质在拉格朗日L₁点携带开普勒角动量，则λ=1。图 1显示了M₂=0.1M_⊙、不同离心率(e=0, 0.5, 0.9, 0.99)时，时间间隔与轨道周期的比值Δt/P_orb随λ的变化关系。从图 1我们可以看到，只有在圆轨道(离心率e=0)的情况下，比值Δt/P_orb在λ比较大时随着λ的增大而减小。而对于椭圆轨道，比值Δt/P_orb几乎不随λ的变化而变化。因此，我们在下面的分析计算中选取λ=0。

对于中子星和白矮星组成的致密双星系统，当转移一定的质量后，白矮星被踢开，双星由于引力辐射导致轨道衰减进入第2次转移，(6)式给出了两个相邻爆发的时间间隔Δt与转移质量ΔM₂之间的关系。白矮星-中子星(White Dwarf-Neutron Star, WD-NS)双星系统的动力学模拟显示，系统只有在白矮星质量M₂＜0.2M_⊙时才能长期存在，当M₂＞0.2M_⊙时系统会经历不稳定的质量转移，从而导致白矮星的潮汐性破坏^[12]。同时，目前观测到的超致密X射线双星(Ultra Compact X-ray Binaries, UCXB)中，白矮星的质量都很低^[4]。因此，在一个稳定的白矮星-中子星双星系统中，白矮星合理的质量范围可能是0.01M_⊙＜M₂＜0.1M_⊙^[4]。图 2分别显示了白矮星质量M₂=0.05M_⊙(a)和M₂=0.1M_⊙(b)时，ΔM₂=10^-9M_⊙，ΔM₂=10^-10M_⊙和ΔM₂=10^-11M_⊙(三个物理上合理的范围内^[9])情况下，时间间隔Δt与轨道周期P_orb之间的关系随离心率(e=0.1-0.999)的变化曲线。图中箭头表示偏心率增大的方向，点线表示时间间隔和轨道周期相等的位置，而竖直虚线表示FRB 180916的周期位置。从图 2可以看出，当白矮星质量较小时(M₂=0.05M_⊙)时，几乎所有的时间间隔远大于轨道周期(a)，即Δt ≫ P_orb，也就是说在这种情况下，即使是周期性的快速射电暴，我们也没办法清楚地观测到它们的周期性行为。相反地，对于较大质量的白矮星(M₂=0.1M_⊙)，存在时间间隔Δt≈P_orb，甚至Δt < P_orb的情况，即可能观测到快速射电暴的周期性行为(b)。在Δt稍大于P_orb的位置，可以观测到FRB 180916的周期性行为，但并不是所有的周期都是活跃的。其次，Δt≈P_orb甚至Δt < P_orb只出现在P_orb比较大的位置，即只有相对较长周期的快速射电暴才显示它们的周期性行为。最后，我们也可以很明显地从图 2中看到，Δt < P_orb出现的位置偏右，也就是离心率e比较大的位置。为了更具体地显示离心率对结果的影响，我们在图 3中显示了时间间隔和轨道周期的比值Δt/P_orb随离心率e的变化曲线。其中白矮星质量M₂=0.1M_⊙，转移质量分别为ΔM₂=10^-9M_⊙，ΔM₂=10^-10M_⊙和ΔM₂=10^-11M_⊙，虚线表示Δt/P_orb=1的临界位置。从图 3我们可以看到，只有在离心率e＞0.9时，比值Δt/P_orb才接近或者小于1，即在目前的参数下，只有当离心率比较大时，才可能观测到重复快速射电暴的周期性行为。

3 讨论

快速射电暴是一种神秘的射电爆发现象，有重复快速射电暴和非重复性快速射电暴两种类型。目前为止，研究人员仅发现两个重复快速射电暴(FRB 180916和FRB 121102)具有周期性行为。一个椭圆轨道的致密双星模型可能可以解释重复快速射电暴的这种周期性行为。这个双星系统包含一个磁化的白矮星和一个具有强偶极磁场的中子星，当白矮星充满它的洛希瓣时，物质通过内拉格朗日点转移到中子星表面。吸积物质可能被撕成一系列的碎片，这些碎片在不同的时间内到达中子星表面。同时，由于角动量守恒，白矮星可能在一次爆发之后被踢开，接着在演化过程中由于引力辐射再次充满洛希瓣，实现再次爆发。在这种情况下，重复快速射电暴的周期对应于双星的轨道周期。我们的焦点是在椭圆轨道的致密双星模型解释重复快速射电暴的周期性行为的基础上，考虑引力辐射对快速射电暴周期性行为的影响。首先，我们发现外流物质是否携带角动量对于圆轨道具有一定的影响，但是对于椭圆轨道的计算结果影响不大。其次，如果用这个模型解释快速射电暴的周期性，那么要求比较高的离心率。最后，对于这个系统，只有当Δt < P_orb或者Δt≈P_orb时，才能观测到周期性行为，其中Δt < P_orb，我们可以观测到每个周期都是活跃的；Δt≈P_orb或者稍大于P_orb，我们也可以观测到快速射电暴的周期性行为，但不是所有周期是活跃的，只有当轨道周期到达，时间间隔也到达时，才能观测到爆发。我们发现当白矮星质量较小时，几乎所有的时间间隔都远大于轨道周期，即Δt ≫ P_orb，很难观测到这种情况下快速射电暴的周期性行为。只有质量较大的白矮星，存在时间间隔Δt≈P_orb，甚至Δt < P_orb的情况，即可能观测到快速射电暴的周期性行为，但是并不是所有的周期都是活跃的，并且Δt≈P_orb甚至Δt < P_orb只出现在P_orb比较大的位置，即只有相对较长周期的快速射电暴才能显示它们的周期性行为。这个结论与FRB 180916和FRB 121102的观测结果相符，这表明目前仅有的两个周期性快速射电暴都对应较长的周期，并且不是所有的活跃窗口能够观测到爆发是合理的。