2. 广西相对论天体物理重点实验室，广西 南宁 530004;
3. 广西大学物理科学与工程技术学院，广西 南宁 530004;
4. 云南大学物理科学与天文学院，云南 昆明 650500
2. Guangxi Key Laboratory for Relativistic Astrophysics, Nanning 530004, China;
3. School of Physical Science and Engineering Technology, Guangxi University, Nanning 530004, China;
4. School of Physics and Astronomy, Yunnan University, Kunming 650500, China
耀变体(Blazar)是活动星系核(Active Galactic Nuclei, AGNs) 中性质较为特殊的子类，其相对论性喷流几乎正对地球。耀变体具有极端的观测特性，包括高光度、高偏振、快速光变等，并且具有从射电波段到高能γ射线波段的非热连续辐射[1]。耀变体的两个子类分别是平谱射电类星体(Flat-Spectrum Radio Quasar, FSRQ) 和蝎虎座BL型天体(BL Lac) [2]。在BL Lac天体的光谱中只存在一些微弱的发射线或者不存在发射线，但是具有很强的X射线及γ射线辐射[3]。研究发现，一些BL Lac天体的长期尺度变化是周期性的，并且这些变化在不同波段之间有一定的相关性。通过观测和研究BL Lac天体的光学变化，我们可以获得天体内部的物理机制和辐射过程等重要信息[4]。
CGRaBS J0141-0928是一颗红移为0.733的耀变体[5]。分析耀变体光变周期的方法包括自相关函数分析及周期拟合法，时间序列的功率谱分析方法以及Jurkevich方法等，这些方法广泛应用于耀变体周期性光学变化的分析和研究[6]。本文分别使用LSP方法、加权小波Z变换方法和Jurkevich方法对CGRaBS J0141-0928天体15 GHz射电波段的光变周期进行分析和研究。我们利用双指数函数拟合了光变曲线中的两个爆发过程，并估算多普勒因子。我们利用离散相关函数方法分析了γ射电波段、光学波段和射电波段的相关性[7]，其中LSP方法和加权小波Z变换法是初次应用于CGRaBS J0141-0928光变周期的研究。
1 样本和光变曲线美国欧文斯谷射电天文台的40 m望远镜是观测耀变体的理想设施(https://sites.astro.caltech.edu/ovroblazars/)。如图 1是来自欧文斯谷40 m望远镜BL Lac天体CGRaBS J0141-0928在15 GHz射电波段的光变曲线，其中有575个数据点。从光变曲线可以看出，CGRaBS J0141-0928在射电波段的活动非常剧烈，在2010年、2013年、2015年、2017年和2019年有5次显著的耀发，另外还存在一些不同程度的小耀发。我们通过
| $ A m p=\sqrt{\left(A_{\max }-A_{\min }\right)^2-2 \delta^2} \times 100 \% $ | (1) |
|
| 图 1 CGRaBS J0141-0928在射电波段的光变曲线 Fig. 1 The light curves of CGRaBS J0141-0928 at radio band |
计算光变幅度Amp，判断天体的活跃程度[8]，其中，Amax和Amin分别表示流量的最大值和最小值。Amp值越大，表示天体的变化越剧烈。计算得到该天体在射电波段的光变幅度为62.7，表明CGRaBS J0141-0928是一个非常活跃的天体。
2 周期分析 2.1 LSP方法LSP方法广泛应用于寻找准周期振荡[9-10]，由Lomb发展，经过Scargle进一步改进。LSP方法不仅可以减少由时域序列不均匀带来的虚假信号, 而且可以有效地从时域序列中提取弱的周期信号[11]。所以，LSP方法可以发现隐藏在噪声中的周期光变。LSP方法的基本原理是基于傅里叶变换，将一系列三角函数的线性组合通过最小二乘法拟合时间序列，并把BL Lac天体的信号特征从时域转换到频域。基本公式为[12-13]
| $ P_{{\mathrm{LS}}}(f)=\frac{1}{2}\left\{\frac{\left[\sum\limits_{i=1}^{N_0} x\left(t_i\right) \cos \omega\left(t_i-\tau\right)\right]^2}{\sum\limits_{i=1}^{N_0} \cos ^2 \omega\left(t_j-\tau\right)}+\frac{\left[\sum\limits_{i=1}^{N_0} x\left(t_i\right) \sin \omega\left(t_i-\tau\right)\right]^2}{\sum\limits_{i=1}^{N_0} \sin ^2 \omega\left(t_i-\tau\right)}\right\} , $ | (2) |
其中，τ为对应时间t的相位修正，计算公式为
| $ \tan (2 \omega \tau)=\frac{\sum\limits_{i=1}^{N_0} \sin \left(2 \omega t_i\right)}{\sum\limits_{i=1}^{N_0} \cos \left(2 \omega t_i\right)} . $ | (3) |
LSP方法可以方便地处理和分析间隔差距比较小的周期数据。为了验证LSP方法计算得到的准周期结果的正确性，我们首先对周期图进行幂率拟合，得到CGRaBS J0141-0928在射电波段的对数幂率谱如图 2。然后我们计算CGRaBS J0141-0928在射电波段的周期并进行蒙特卡罗模拟分析，结果如图 3。图 3中，绿色实线表示准周期，峰值为准周期结果；蓝色、红色和紫色虚线分别代表蒙特卡罗模拟的95%，99%和99.7%置信度。图 3中的绿线有一个明显的峰值为649天，并且峰的置信度超过99.7%，说明峰值结果可靠，所以取649天约为1.78年作为CGRaBS J0141-0928的准周期结果。
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| 图 2 CGRaBS J0141-0928在射电波段的对数幂率谱 Fig. 2 CGRaBS J0141-0928 object logpower spectrum in radio band |
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| 图 3 CGRaBS J0141-0928在射电波段的周期图及蒙特卡罗模拟分析结果 Fig. 3 The LSP and Monte Carlo simulation analysis results in radio band of CGRaBS J0141-0928 |
小波分析(Wavelet Aanlysis) 是时域和频域的周期分析方法，能处理不规则采样的光变数据。Morlet小波是经常应用的一个小波函数，是一种复小波，具体的公式为[14]
| $ \psi(t)={\mathrm{e}}^{-t^2 / 2}\left({\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}} \omega_0 t}-{\mathrm{e}}^{-\omega_0 / 2}\right), $ | (4) |
其中，ω0是衰减因子。当ω0取较大值时，Morlet小波简化为
| $ \psi(t)={\mathrm{e}}^{-t^2 / 2} {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}} \omega_0 t}. $ | (5) |
(5) 式可以通过伸缩尺度a并平移参数b变换为
| $ \psi\left(\frac{t-b}{a}\right)={\mathrm{e}}^{-\frac{(t-b)^2}{2 a^2}} {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}} \omega_0\left(\frac{t-b}{a}\right)}, $ | (6) |
变形得
| $ \varphi(t)={\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}} \omega_m(t-b)-c \omega_m^2(t-b)^2}, $ | (7) |
其中，ωm=ω0/a, c=1/2ω02。通过引入函数L(t)=1可以得到
| $ \varphi_1(t)=L(t), $ | (8) |
| $ \varphi_2(t)=\cos \left[\omega_m(t-b)\right], $ | (9) |
| $ \varphi_3(t)=\sin \left[\omega_m(t-b)\right] . $ | (10) |
把数据向量投影到上述3个公式，可以得到
| $ y(t)=\sum\limits_{a=1}^3 y_a \varphi_a(t) . $ | (11) |
ya的计算式为
| $ y_a=\sum\limits_{b=1}^3 S_{a b}^{-1}\left\langle\varphi_b \mid x\right\rangle, $ | (12) |
其中，Sab= < φa|φb >。根据上述过程，定义加权小波变换为[15]
| $ W W T=\frac{\left(N_{\text {eff }}-1\right) V_y}{2 V_x}, $ | (13) |
其中，
另外，Foster添加了Z统计量以纠正由于在较低频率采样导致的偏差[16]，
| $ Z=\frac{\left(N_{\text {eff }}-3\right) V_y}{2\left(V_x-V_y\right)} . $ | (14) |
加权小波Z变换方法对CGRaBS J0141-0928在射电波段的分析结果如图 4。图中位于频率轴上的值代表数据向量的周期性，位于时间轴上的值代表数据向量随时间的波动结果[17]。由图中绿色实线的最大值我们可以得到CGRaBS J0141-0928的周期结果。图中的蓝色、红色和紫色虚线分别代表 95%，99%和99.7%置信度。从图 4中可以得到CGRaBS J0141-0928射电波段的光变周期约为636天，置信度超过99.7%。
|
| 图 4 加权小波Z变换方法对CGRaBS J0141-0928在射电波段的分析结果 Fig. 4 WWZ test result for period search in CGRaBS J0141-0928 at radio band |
Jurkevich方法[18]由Jurkevich于1971年提出，是一种基于期待值的均方差的周期算法，通过测试周期来折叠数据，适用于观测数据不均匀的天体光变周期。假设有N个观测样本数据，每次的测量值为Xi，X为所有样本的平均值，V2为测量数据样本的方差，S2为标准差，则有
| $ \bar{X}=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^N X_i, $ | (15) |
| $ V^2=\sum\limits_{i=1}^N X_i^2-N \bar{X}^2, $ | (16) |
| $ S^2=\frac{V^2}{N-1}. $ | (17) |
根据测试周期附近的相位把数据样本划分为m组，第l组的统计参数为
| $ \bar{X}_l=\frac{1}{m_l} \sum\limits_{i=1}^{m_l} X_i, $ | (18) |
| $ V_l^2=\sum\limits_{i=1}^{m_l} X_i^2-m_l \overline{X}_l^2, $ | (19) |
| $ S_l^2=\frac{V_l^2}{m_l-1}. $ | (20) |
对应于m组的总方差为
| $ V_m^2=\sum\limits_{l=1}^m V_l^2. $ | (21) |
Vm2在真实周期接近于测试周期时得到极小值。
此外，文[19] 在Jurkevich方法的基础上给出判断周期可靠性的方法，即
| $ f=\frac{1-V_m^2}{V_m^2}, $ | (22) |
其中，Vm2是归一化之后的值。通常当f≥0.25时，光变可能具有周期性；当f≥0.5时，光变有非常显著的周期。
Jurkevich方法分析天体CGRaBS J0141-0928射电波段光变曲线的结果如图 5。图 5中的绿色线以下为f≥0.25时的置信度，红色线以下为f≥0.5时的置信度。寻找周期时，一般满足以下两个条件的周期比较可靠：(1) 数据样本的时间跨度大于周期的6倍；(2) 曲线有明显的振幅。从图 5可以看出，对应于Vm2的最小值，CGRaBS J0141-0928的射电波段可能存在650天的比较可靠的周期，对应的f值为0.37。Jurkevich方法获得周期为650天的结果和LSP方法以及加权小波Z变换方法的结果非常接近。650天以后极小值的周期结果明显不满足以上两个条件，所以不予采纳。
|
| 图 5 Jurkevich方法分析CGRaBS J0141-0928射电波段光变周期的结果 Fig. 5 The normalized Jurkevich test result for period search in CGRaBS J0141-0928 at radio band |
我们从射电波段的光变曲线中挑选两个包含上升和下降阶段的爆发过程，分别为MJD时间56167.4-56410.7和56762.8-57228.5。我们使用双指数函数公式[20-21]拟合这两个爆发过程。双指数函数公式为
| $ F(t)=F_{{\mathrm{c}}}+F_0\left({\mathrm{e}}^{\frac{t_0-t}{t_{{\mathrm{r}}}}}+{\mathrm{e}}^{\frac{t-t_0}{t_{{\mathrm{d}}}}}\right)^{-1}, $ | (23) |
其中，Fc为基底流量；t0为峰对应的时间；tr和td分别为指数上升和下降的时标；F0为爆发的幅度。
双指数函数拟合光变曲线的两个爆发过程如图 6。每个爆发过程的拟合参数见表 1，第1列是约化儒略日的范围；第2列是通过拟合得到的约化最小残差平方和；第3列是拟合峰值对应的约化儒略日及误差；第4列是基底流量及误差；第5列是爆发的幅度及误差；第6列和第7列分别是指数的上升时标和下降时标以及误差；第8列是每个爆发过程对应的多普勒因子。另外，图 6 (a)中有一个额外的小峰，很可能是由于相对论喷流中激波产生的耀斑导致的[22]。
|
| 图 6 双指数函数对CGRaBS J0141-0928的两个爆发(flare) 过程的拟合曲线 Fig. 6 The double exponential function fits the curves of the 2 burst processes of CGRaBS J0141-0928 object |
| Peak | to | Fc | F0 | tr | td | δR | |
| 56167.4-56410.7 | 5.55×10-4 | 56315.94±20.26 | 0.43±0.03 | 0.97±0.14 | 52.58±21.08 | 76.74±27.60 | 3.72 |
| 56762.8-57228.5 | 1.82×10-3 | 57028.54±12.97 | 0.39±0.06 | 0.72±0.06 | 34.92±7.61 | 94.98±24.74 | 3.88 |
多普勒因子(δ) 与喷流中物质流速度和视角有关，但是由于这两个量都不能直接观测，所以需要使用一些间接方法估算多普勒因子，其中通过射电光变估算多普勒因子(δR) 的方法相对比较准确[23-25]。假定光变是内禀的，基于光变时标限定的源的线度大小，文[26] 给出了耀变体亮温度的计算公式：
| $ T_{{\mathrm{b}}}=4.5 \times 10^{10} \Delta F\left[\frac{\lambda D}{t_{{\mathrm{ob}}}(z+1)}\right]^2 {\mathrm{~K}}, $ | (24) |
其中，Tb为亮温度；ΔF为流量变化值(Jy)；tob为光变时标(天)；λ为观测波长(cm)；D为光度距离，单位是百万秒差距Mpc (采用宇宙学参数H0=72 km s-1Mpc-1和Ωm=0.3)。
耀变体喷流中的成分对应的亮温度Tb一般不超过平衡亮温度Teq=5×1010K [27]。我们计算的亮温度为Tb=2.574×1012 K和Tb=2.923×1012 K，已经明显超过了平衡亮温度，说明CGRaBS J0141-0928存在明显的多普勒增亮效应。根据文[24]，我们选择Teq作为内禀亮温度。利用
| $ \delta_{{\mathrm{R}}}=\left(\frac{T_{{\mathrm{b}}}}{T_{{\mathrm{eq}}}}\right)^{1 / 3} $ | (25) |
进一步估算CGRaBS J0141-0928射电波段的多普勒因子δR分别为3.72和3.88，平均值约为3.8。文[28] 估算γ波段的多普勒因子δ=5.50，其结果和我们估算的多普勒因子比较接近。
4 相关性分析离散相关函数可以用来分析两组离散数据的相关性[29-31]。离散相关函数法的优点是不需要对数据样本做任何处理就可以判断两组数据的相关性，并且可以通过计算时延研究天体的内部结构和特性[32]。
假设有任意两个离散数据序列ai和bj，则离散相关函数的值为
| $ U D C F_{i j}=\frac{\left(a_i-\bar{a}\right)\left(b_j-\bar{b}\right)}{\sigma_a \sigma_b}, $ | (26) |
其中，a和b分别为上述两个离散数据序列ai和bj的平均值；σa和σb分别为相应的标准偏差。
每一个数值UDCFij与时延τ=Δτ=tj-ti有关。而对于有噪数据，我们可以使用(σa2-ea2)(σb2-eb2)代替上式中的σa和σb。对给定的τ，如果有M个UDCFij满足τ-Δτ/2≤Δtij < τ+Δτ/2，将这M个数据求平均值得到
| $ D C F(\tau)=\frac{1}{M} \sum U D C F_{i j}, $ | (27) |
DCF(τ) 是离散相关函数。在离散相关函数的分析图中有一个明显的峰值，峰值越大说明相关性越强，反之越弱。通过离散相关函数对CGRaBS J0141-0928射电波段分别和来自Fermi伽马射线空间望远镜γ波段、来自KAIT Fermi AGN Light-Curve Reservoir (http://herculesii.astro.berkeley.edu/kait/agn/) 光学R波段的数据进行相关性分析，用Fortran编写程序计算结果如图 7和图 8，图中的顶部是射电波段和γ波段/光学R波段的流量图，底部是射电波段和γ波段/光学R波段的相关性结果，峰值越接近1说明相关性越好。从图 7可以看到，γ和射电波段的离散相关函数最大值为0.3，相关性非常弱，表明这两个波段的辐射区域不同，而且辐射过程也不一致。图 8显示光学和射电波段的离散相关函数最大值达到0.71，相关性较强，说明它们的辐射过程一致，且光学波段超前于射电波段16~110天。
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| 图 7 离散相关函数法对CGRaBS J0141-0928在射电和γ波段的相关性分析 Fig. 7 Correlation analysis of CGRaBS J0141-0928 in radio and γ bands by DCF method |
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| 图 8 离散相关函法对CGRaBS J0141-0928在射电和光学R波段的相关性分析 Fig. 8 Correlation analysis of CGRaBS J0141-0928 in radio and optical R bands by DCF method |
本文通过收集BL Lac天体CGRaBS J0141-0928的光变数据，利用LSP方法、加权小波Z变换法和Jurkevich方法对射电波段光变曲线的周期进行分析，分析的结果相互印证。LSP方法分析射电波段得到的周期约为649天，加权小波Z变换法得到的周期约为636天，Jurkevich方法得到的周期约为650天。加权小波Z变换法和Jurkevich方法的计算结果进一步支持CGRaBS J0141-0928射电波段有一个可靠的约为649天的光变周期。我们利用双指数函数拟合了射电波段光学变化中的两个爆发过程，估算得到多普勒因子δR=3.8。结果表明，CGRaBS J0141-0928射电波段存在显著的聚束效应，支持相对论性喷流模型。通过离散相关分析法对射电波段和γ射线、射电波段和光学R波段分别进行相关性分析，结果显示γ射线和射电波段之间存在弱的相关性，光学R波段和射电波段之间存在比较强的相关性，并且光学R波段超前于射电波段16~110天。对于耀变体长周期光学变化的物理机制现在仍然不是很清楚，人们提出了一些物理模型解释这种现象。常见的物理模型有双黑洞模型[33-34]、螺旋喷流模型[35-38]和薄盘的热不稳定性等。
CGRaBS J0141-0928的准周期可能由喷流的螺旋运动[39]产生。喷流的螺旋进动由超大质量黑洞系统的轨道运动驱动。文[40] 给出物理驱动周期Pd和观测准周期P之间的关系式为
| $ P_{{\mathrm{d}}} \approx \frac{\gamma_{{\mathrm{b}}}^2}{1+z} P, $ | (28) |
其中，γb为体洛伦兹因子，约等于7.5[40]；z为红移。我们使用649天的准周期得到物理驱动周期Pd≈57.71年。另外，如果使用γb=15作为参数[41]，可以得到Pd≈230.85年。主黑洞和次黑洞的质量比为R≤1/3时，称为主合并(Major merger)；若质量比为3≤R≤104，称为次合并(Minor merger) [42]。无论质量比为多少，主黑洞的质量都可以用
| $ M \approx P_{{\mathrm{d}}}^{\frac{8}{5}} R^{\frac{3}{5}} 10^6 M_{\odot} $ | (29) |
估计[43]，其中，Pd以年为单位。对于超大质量黑洞系统的主并合，质量比可以假设为R=3/2。将参数代入(29) 式，得到CGRaBS J0141-0928的主黑洞质量大约为M≈108.93M⊙。如果使用γb=15作为参数[44]，次并合的超大质量黑洞系统的主黑洞质量为M≈109.89M⊙。文[45] 给出了CGRaBS J0141-0928的黑洞质量为M≈109.63±0.70M⊙，结果和我们估算的主黑洞质量一致。
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