因长期磨损和扭转等原因而产生的射电望远镜天线俯仰轴形变，虽然变化量不大，但对高精度指向产生的影响不可忽略。这种影响随着天线口径增大、观测频段提高、天线综合性能要求提升而更加明显。研究俯仰轴形位变化对提高望远镜指向精度具有重要意义^[1-2]。

国内外学者对于大口径、高精度天线的关键结构变化对性能影响的研究主要集中在大中尺度变形的测量及补偿。如美国绿岸望远镜(Green Bank Telescope, GBT)^[3]在天线座架及副面撑腿上安装了温度传感器，测量结构受温度影响的大小。文[4-6]考虑天线结构阴影遮挡，对500 m口径球面射电望远镜(Five-hundred-meter Aperture Spherical radio Telescope, FAST)及上海天马65 m射电望远镜进行了热力学仿真，分析了各类天线的温度分布特性。意大利撒丁岛射电望远镜(Sardinia Radio Telescope, SRT)利用位置传感器测量副反射体位姿，用于修正副面因自重、环境载荷造成的位置偏差^[7-8]。上海天马65 m射电望远镜利用位置传感器测量副面三维位移，并分析各种因素导致的大型射电望远镜的副面位姿变化^[9-10]。文[11]利用倾斜仪、热电偶和风速仪建立方位轴误差和温度梯度以及方位轴误差和风载倾覆力矩之间的经验公式。文[12]测量了新疆南山26 m射电望远镜的轨道高差，并分析了其对指向精度的影响。然而，对于天线重要部件的小尺度变形测量研究并不多。文[13]为RT-70 Suffa(Radio Telescope-70 Suffa)射电望远镜俯仰轴设计了基于自准直方法的角度变形测量系统，在22 m的测量距离和16′测量范围内，系统误差为15′。改进后的自准直法测量系统的测量距离为8 m，其精度均方根(Root Mean Square, RMS)为11″ ^[14]。但是自准直法系统结构复杂，安装要求高，不易维护。

作为天线结构的重要部件，俯仰轴因为长期运行过程中的磨损和扭转等原因，会发生小尺度形变。这将导致轴角编码器获取的俯仰角和实际值产生偏差，影响射电望远镜指向精度，而且由于微小形变引起的内部组织性能演化将加速俯仰轴疲劳。快速高精度测量俯仰轴的形变为天线指向误差修正、俯仰轴系统主动维护以及制定和调整望远镜观测计划提供重要支撑。

本文设计了一种单相机形变测量系统，建立了虚拟相机数学模型，通过快速获取并处理靶标图像分析靶标处俯仰轴形变情况，实现俯仰轴结构小尺度变形的快速高精度测量，为实现大口径射电望远镜指向精度修正提供一种备选方法。

1 单相机形变测量系统

单相机形变测量系统如图 1(a)。靶标固定在俯仰轴上，根据靶标图像获取俯仰轴的形变信息。每个靶标对应某一俯仰角下的俯仰轴情况，例如靶标1，2和3分别在俯仰轴30°，60°和90°时唯一出现在相机视野中并被拍摄图像。本文约定分别沿着x, y和z轴正向以右手法则为俯仰角(Pitch)、偏航角(Yaw)和滚转角(Roll)，如图 1(b)。

测量原理是通过靶标位置与参考位置对比，求解俯仰轴在不同俯仰角下的变换。首先，在俯仰轴非工作时，获取靶标参考位置；然后在俯仰轴正常工作时，转到俯仰角30°时，固定在俯仰轴末端的相机快速获取靶标1图像；最后，通过靶标1的图像集，得到俯仰角30°时俯仰轴局部的变化情况。

2 测量系统数学模型 2.1 虚拟相机

虚拟相机是将真实物体空间变换等效成真实相机空间变换的方法，特点是在真实相机中观察到的物体运动情况与虚拟相机中原物体运动情况一致。虚拟相机的优势在于一个固定相机能够监测物体的小尺度六自由度运动情况，且虚拟相机空间变换与真实物体空间变换有定量关系。

本文假定真实模型包括初始目标A、形变后的目标B和真实相机O，如图 2(a)；虚拟模型包括初始目标A、真实相机O和虚拟相机P，如图 2(b)。建立右手坐标系，O-x_Oy_Oz_O为真实相机坐标系，也是世界坐标系；A-x_Ay_Az_A为初始目标坐标系，目标坐标系各坐标轴与真实相机坐标系平行；B-x_By_Bz_B为形变后的目标坐标系；P-x_Py_Pz_P为虚拟相机坐标系。

假设存在一个虚拟相机P，当俯仰轴上目标A变化到B，虚拟相机拍摄的目标A图像与真实相机O拍摄的目标B的图像完全相同，则

$ {\overrightarrow{O B_{1}}}={\overrightarrow{P A_{1}}} $

(1)

成立，其中A₁和B₁分别为A-x_Ay_Az_A和B-x_By_Bz_B目标上同一点，如图 2。

在O-x_Oy_Oz_O和P-x_Py_Pz_P坐标系中，$ \overrightarrow{O B_{1}} $和$ \overrightarrow{P A_{1}} $为

$ \begin{aligned} &\overrightarrow{O B_{1}}=\overrightarrow{O A}+{ }_{A}^{0} \boldsymbol{R} \overrightarrow{A B}+{ }_{A}^{0} \boldsymbol{R}_{B}^{A} \boldsymbol{R} \overrightarrow{B B_{1}}, \\ &\overrightarrow{P A_{1}}=\overrightarrow{P O}+{ }_{0}^{P} \boldsymbol{R} \overrightarrow{O A}+{ }_{0}^{P} \boldsymbol{R}_{A}^{o} \boldsymbol{R} \overrightarrow{A A_{1}}. \end{aligned} $

(2)

根据虚拟相机的概念以及(1)式和(2)式，目标空间变换可等价为虚拟相机相对于真实相机的空间变换。

2.2 空间等价变换

由于虚拟相机的存在，若目标A平移变换到B，则相当于真实相机O平移到虚拟相机P，如图 3(a)。若目标A旋转变换到B，则相当于真实相机O先平移到虚拟相机P，再旋转到Q，如图 3(b)。一次空间变换，等价于若干次平移变换和旋转变换的组合迭代。

在图 3(a)中, 平移变换的关系为

$ \begin{gathered} \overrightarrow{O B}=\overrightarrow{P A}, \\ x_{a}=x_{o}, y_{a}=-y_{o}, z_{a}=z_{o}. \end{gathered} $

(3)

在图 3(b)中，旋转变换的关系为

$ \begin{gathered} \overrightarrow{P A}=\overrightarrow{O B}, \\ \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}, \\ \beta_{1}=\beta_{2}=\beta_{3}. \end{gathered} $

(4)

2.3 目标空间变换

根据坐标系的欧氏变换，可以得到目标空间等价变换定量关系。设某个向量在A-x_Ay_Az_A中表示为$ \vec{a} $，在O-x_Oy_Oz_O中表示为$ \vec{b} $，经过一次空间变换，初始目标坐标系A-x_Ay_Az_A变换到B-x_By_Bz_B，等价于真实相机坐标系O-x_Oy_Oz_O中虚拟相机坐标系P-x_Py_Pz_P的位姿变换，则

$ \begin{array}{l} \vec{b}={ }_{A}^{o} \boldsymbol{R} \overrightarrow{a}+\boldsymbol{t}_{O A}, \\ \vec{b}={ }_{B}^{o} \boldsymbol{R}\left({ }_{A}^{B} \boldsymbol{R} \overrightarrow{a}+\boldsymbol{t}_{B A}\right)+\boldsymbol{t}_{O B}, \\ \vec{b}={ }_{P}^{0} \boldsymbol{R}\left({ }_{A}^{P} \boldsymbol{R} \overrightarrow{a}+\boldsymbol{t}_{P A}\right)+\boldsymbol{t}_{O P} \end{array} $

(5)

成立。由(5)式可以得

$ { }_{A}^{O} \boldsymbol{T}={ }_{B}^{0} \boldsymbol{T}_{A}^{B} \boldsymbol{T}={ }_{P}^{O} \boldsymbol{T}_{A}^{P} \boldsymbol{T}, $

(6)

其中，

$ { }_{A}^{O} \boldsymbol{T}=\left|\begin{array}{cc} { }_{A}^{O} \boldsymbol{R} & \boldsymbol{t}_{O A} \\ 0^{\mathrm{T}} & 1 \end{array}\right|, { }_{B}^{O} \boldsymbol{T}=\left|\begin{array}{cc} { }_{B}^{O} \boldsymbol{R} & \boldsymbol{t}_{O B} \\ 0^{\mathrm{T}} & 1 \end{array}\right|, { }_{A}^{B} \boldsymbol{T}=\left|\begin{array}{cc} { }_{A}^{B} \boldsymbol{R} & \boldsymbol{t}_{B A} \\ 0^{\mathrm{T}} & 1 \end{array}\right|, { }_{P}^{O} \boldsymbol{T}=\left|\begin{array}{cc} { }_{P}^{O} \boldsymbol{R} & \boldsymbol{t}_{O P} \\ 0^{\mathrm{T}} & 1 \end{array}\right|, { }_{A}^{P} \boldsymbol{T}=\left|\begin{array}{cc} { }_{A}^{P} \boldsymbol{R} & \boldsymbol{t}_{P A} \\ 0^{\mathrm{T}} & 1 \end{array}\right|, $

_A^OT为系统固有矩阵，与真实固定相机和初始目标的相对位置有关；_B^OT为O-x_Oy_Oz_O到B-x_By_Bz_B的变换；_B^OT为目标空间变化量；_P^OT为虚拟相机变化量；_A^PT为A-x_Ay_Az_A到P-x_Py_Pz_P的变换。容易得出_B^OT=_A^PT，故目标空间变换关系为

$ {}_A^B\boldsymbol{T} = _A^O{\boldsymbol{T}^{ - 1}}_P^O\boldsymbol{T}_A^O\boldsymbol{T}, $

(7)

其中，_A^OT可由(2)式求得。

3 虚拟相机空间变换求解 3.1 相机模型

理想相机可以看作是针孔相机，如图 4。设O_C-x_Cy_Cz_C为相机坐标系，O_W-x_Wy_Wz_W为世界坐标系，O_UV-UV为图像像素坐标系。设点P在世界坐标系中的坐标为(x_W, y_W, z_W)，在相机坐标系中的坐标为(x_C, y_C, z_C)，成像点P₀像素坐标为(u, v)，相机成像过程表示为

$ {Z_C}\left( {\begin{array}{*{20}{l}} u\\ v\\ 1 \end{array}} \right) = \boldsymbol{K}\left( {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_C}}\\ {{y_C}}\\ {{z_C}}\\ 1 \end{array}} \right) = \boldsymbol{KM}\left( {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_W}}\\ {{y_W}}\\ {{z_W}}\\ 1 \end{array}} \right), $

(8)

其中，K为相机内参矩阵，$ \boldsymbol{K}=\left(\begin{array}{cccc} f_{x} & s & u_{0} & 0 \\ 0 & f_{y} & v_{0} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) $，(f_x, f_y)是相机焦距，(u₀, v₀)是相机主轴与图像平面的交点，s为倾斜因子，通常认为是0；M为外参矩阵，$ M=\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{R} & \boldsymbol{t} \\ 0^{T} & 1 \end{array}\right) $，R和t是从世界坐标系到摄像机坐标系的旋转和平移变换矩阵。

实际相机模型有多种类型畸变，但一般情况下考虑径向畸变和切向畸变已经足够。

3.2 第1帧对应虚拟相机空间变换

利用二维投影求解第1帧对应虚拟相机空间变换^[15]，如图 5。设P是三维空间中一点，O₁和O₂是真实相机光心和虚拟相机光心，空间变换为R和t，p₁和p₂分别是空间点P在两个成像平面I₁和I₂上的投影，l₁和l₂是极线，e₁和e₂是极点。根据针孔相机模型得

$ s_{1} p_{1}=\boldsymbol{K} P, s_{2} p_{2}=\boldsymbol{K}(\boldsymbol{R} P+\boldsymbol{t}), $

(9)

其中，K为相机内参矩阵；s₁和s₂为特征点深度。若取x₁和x₂是两个像素点的归一化平面坐标，得到

$ x_{2}{ }^{\mathrm{T}} \boldsymbol{E} x_{1}=p_{2}{ }^{\mathrm{T}} \boldsymbol{F} p_{1}=0, $

(10)

其中，x₁=K^-1p₁, x₂=K^-1p₂；F为基础矩阵；E为本质矩阵。分解E或F可求R和t，若多对空间点都落在同一平面内，则通过单应矩阵H求R和t。

3.3 其余帧对应虚拟相机空间变换

利用三角测量法公式

$ s_{2} x_{2}=s_{1} \boldsymbol{R} x_{1}+\boldsymbol{t} $

(11)

得到空间点的深度信息。

从第2帧起，相邻帧间的关系如图 6(a)，O_k-1和I_k-1是前一帧对应虚拟相机的光心和图像；O_k和I_k是当前帧对应虚拟相机的光心和图像；P₁，P₂和P₃是空间点；p₁，p₂和p₃，以及p′₁，p′₂和p′₃是投影点。

根据多个空间点三维信息和相邻帧间的关系，借助P3P(Perspective-3-Points)^[16]求解其余帧对应虚拟相机空间变换，如图 6(b)。空间点A, B和C分别对应图像投影点a, b和c，几何关系表示为

$ \begin{aligned} &O A^{2}+O B^{2}-2 O A \;\;O B \cos \langle a, b\rangle=A B^{2}, \\ &O B^{2}+O C^{2}-2 O B \;\;O C \cos \langle b, c\rangle=B C^{2}, \\ &O A^{2}+O C^{2}-2 O A \;\;O C \cos \langle a, c\rangle=A C^{2} . \end{aligned} $

(12)

4 实验及结果

本文搭建光学测试平台，验证虚拟相机数学模型中的空间等价变换，并分析当前测试系统下每个自由度的测量误差。

4.1 光学测试平台

测试系统主要有空间高精度平台、定焦镜头、相机和标定板等组成，如图 7和表 1。

4.2 结果分析

本次结果分析将图像解算的空间变换数据作为测量值，将高精度四自由度平台数据作为真实值，将测量值与真实值的差作为误差，分析各自由度误差情况。

由于结构为小变形量，本次实验平移分量的实验条件是x，y和z方向的变化范围分别为-4~5 mm，-2~2 mm和-3~3 mm。由图 8和表 2可知，平移分量中，x轴方向最大误差为-0.360 2 mm，均方根误差(Root Mean Square Error, RMSE)为0.179 5 mm；y轴方向最大误差为0.391 4 mm，均方根误差为0.135 5 mm；z轴方向最大误差为-0.393 7 mm，均方根误差为0.171 0 mm。

在旋转分量的实验条件为俯仰角和滚转角方向为0，偏航角方向的变化范围为-5~5°。由图 9和表 3可知，旋转分量中，俯仰角方向最大误差为0.074 5°，均方根误差为0.037 6°；偏航角方向最大误差为0.613 8°，均方根误差为0.267 6°；滚转角方向最大误差为0.613 1°，均方根误差为0.291 8°。

5 结论

本文设计了一种单相机俯仰轴形变测量系统，建立了虚拟相机数学模型，提出了一种基于虚拟相机的俯仰轴形变测量方法，并搭建了光学测试平台对所提方法和主要原理进行验证，分析了六自由度误差情况。

实验结果表明，平移分量中，x方向-4~5 mm内均方根误差为0.179 5 mm，y方向-2~2 mm内均方根误差为0.135 5 mm，z方向-3~3 mm内均方根误差为0.171 0 mm；旋转分量中，偏航角方向在俯仰轴旋转-5~5°内均方根误差为0.267 6°，俯仰角方向和滚转角方向在0°处均方根误差分别为0.037 6°与0.291 8°。误差主要由相机坐标轴与靶标坐标轴不完全平行和图像解算方法等因素引起。

该系统及方法具有非接触、精度高、速度快等优点，能满足大口径、高频段、高精度射电望远镜俯仰轴长期快速测量的需求，也适用于其他大结构的小变形测量。