AIMS太阳望远镜^[1]主要用于中红外波段精确测量太阳磁场，主体为1 m的离轴格里高利双反射地平式望远镜系统，通过折轴光路将太阳光引入后端科学仪器，并且为减小附加偏振，采用五镜消旋结构消除像场旋转。系统对稳像部分提出的指标要求为稳像精度优于0.3″，探测帧频不小于2 000帧/秒，系统0 dB闭环误差带宽为50 Hz，闭环时间在30 s以上。为了实现稳像的指标，需要对影响稳像精度的因素进行分析。

在地面望远镜系统中，引起成像面像场移动的因素有很多。一类为像场平移，主要由大气湍流^[2]、风扰^[3]、望远镜的指向和跟踪误差^[4]等引起；另一类为像场旋转，当地平式望远镜在跟踪目标时，由于高度轴和方位轴的运动，导致成像面绕主光轴旋转。文[5]和文[6]利用光线追迹和矩阵光学等方法对地平式望远镜的轴系运动及像旋进行了分析，文[7]根据AIMS望远镜离轴格里高利光学系统的特点对像场旋转进行了理论推导和计算。以上文献主要在理想情况下对望远镜像旋问题进行讨论，但在望远镜的实际建造和装调过程中，不可避免地存在各种误差，这就需要根据实际的误差分配情况进一步分析和验证。

由于稳像系统只能校正像场的平移，而对像场旋转没有校正作用，为了分析AIMS望远镜系统中像场旋转对稳像精度的影响，本文从理论上分析了两种稳像算法在不同湍流强度及不同探测窗口下由像场旋转引起的计算误差，并建立了包含装配误差的望远镜系统动态光学模型，统计装配误差在望远镜实时跟踪太阳运动时引起的像场平移及旋转范围，为望远镜稳像控制系统的研制提供参考。

1 像场旋转对稳像精度影响的理论分析 1.1 稳像算法介绍

太阳望远镜稳像系统中，对于米粒组织这类低对比度的扩展目标进行探测时，常用的图像位移探测算法为基于快速傅里叶变化的互相关因子算法(Covariance Function in Fourier domain, CFF)及绝对差分算法(Absolute Difference Function, ADF)^[8]。假设参考图像为I_R(x, y)，活动图像为I_L(x, y)，互相关因子算法的计算公式为

$\boldsymbol{C}_{\mathrm{LR}}(x, y)={IFFT}\left\{F F T\left[I_{\mathrm{R}}(x, y)\right] \times F F T^{*}\left[I_{\mathrm{L}}(x, y)\right]\right\}, $

(1)

其中，FFT和IFFT分别表示快速傅里叶变换和逆快速傅里叶变换；C_LR(x, y)表示相关矩阵。

绝对差分的计算公式为

$\boldsymbol{C}_{\mathrm{LR}}(x, y)=\sum\limits_{i=0}^{M-1} \sum\limits_{j=0}^{M-1}\left|I_{\mathrm{R}}(x, y)-I_{\mathrm{L}}(x+i, y+j)\right|, $

(2)

其中，参考图像I_R(x, y)的大小为M×M；活动图像I_L(x, y)的大小为N×N。在互相关因子算法中M=N，绝对差分算法中M < N。

两幅图像的整像素偏移量(x_m, y_m)为相关矩阵C_LR(x, y)的峰值(互相关因子算法为最大值，绝对差分算法为最小值)对应的位置。为了获得亚像素精度的偏移量，需要对相关矩阵的相关峰进行插值拟合，采用3×3抛物线插值法时，在x和y方向的亚像素精度偏移量分别为

$x_{p}=x_{m}-\frac{1}{2} \frac{s_{1,0}-s_{-1,0}}{s_{1,0}-2 s_{0,0}+s_{-1,0}}, $

(3)

$y_{p}=y_{m}-\frac{1}{2} \frac{s_{0,1}-s_{0,-1}}{s_{0,1}-2 s_{0,0}+s_{0,-1}}, $

(4)

其中，s_{i, j}为相关矩阵C_LR(x, y)在峰值附近3×3区域的幅值；(x_p, y_p)为参考图像与活动图像在亚像素精度的偏移量。

1.2 图像数据

对于太阳望远镜稳像系统，太阳米粒组织是最常见的探测目标，目前常见的太阳望远镜稳像系统探测窗口像素分辨率为0.3″/pixel。为了尽可能模拟实际系统的相关参数，选用Hinode卫星米粒组织图像^[9]，其像素分辨率约为0.05″/pixel，因此，采用6×6像素合并的方法产生后续模拟所需的图像。

地面太阳望远镜台址的大气相干长度r₀主要集中在5~20 cm^[10]，大气湍流是影响成像质量的主要因素。对于稳像探测系统，由于探测帧频很高，大气湍流的影响可以用平均短曝光光学传递函数(Optical Transfer Function, OTF)表示^[11]：

$H_{\mathrm{atm}}(\rho)=\exp \left\{-3.44\left(\frac{\lambda f \rho}{r_{0}}\right)^{5 / 3}\left[1-\left(\frac{\lambda f \rho}{D}\right)^{1 / 3}\right]\right\}, $

(5)

其中，ρ为空间频率；f和D分别为光学系统的焦距和口径；λ为波长；r₀为大气相干长度，选择r₀为7 cm和15 cm表示湍流较强和较弱的两种情况。当以上参数已知时，对光学传递函数进行逆傅里叶变换得到对应的点扩散函数(Point Spread Function, PSF)，通过点扩散函数卷积原始图像的方法就可以模拟不同大气湍流强度下太阳米粒组织的成像情况。图 1(a)为无湍流影响(r₀=Inf)的图像，图 1(b)和图 1(c)分别为r₀在15 cm及7 cm时的图像，探测窗口大小为32×32像素，对应像方视场约10″。

1.3 像旋影响的计算方法

为了分析像旋对稳像精度的影响，计算步骤如下：

(1) 在原始大图中随机选定M个坐标作为子窗位置，分别得到探测窗口大小为32×32、64×64及128×128的M组参考图；

(2) 以参考图中心为旋转轴将原始大图旋转k°；

(3) 由于在稳像系统闭环校正后，参考图像与活动图像的相对平移量一般在0.2像素以内，因此，对旋转后的图像进行N组±0.2像素内的随机平移，在参考图像相同位置分别得到包含平移及像旋的N组活动图像。

假设活动图像的实际相对平移量为(x_model, y_model)，根据稳像算法得到的估计值为(x_obs, y_obs)，则稳像精度可以用距离误差表示：

$E(k, i, j)=\sqrt{\left[x_{\mathrm{obs}}(k, i, j)-x_{\mathrm{model}}(k, i, j)\right]^{2}+\left[y_{\mathrm{obs}}(k, i, j)-y_{\mathrm{model}}(k, i, j)\right]^{2}}, $

(6)

其平均值和标准差分别为

$M(k)=\frac{1}{M N} \sum\limits_{i=1}^{M} \sum\limits_{j=1}^{N} E(k, i, j), $

(7)

$S(k)=\sqrt{\frac{1}{(M-1)(N-1)} \sum\limits_{i=1}^{M} \sum\limits_{j=1}^{N}[E(k, i, j)-M(k)]^{2}}, $

(8)

其中，k为活动图像旋转的角度，k=0, 1, …, 5；i为随机子图位置编号，i=1, 2, …, M (M=100)；j为图像的随机平移编号，j=1, 2, …, N (N=100)。

1.4 计算结果

图 2为互相关因子算法和绝对差分算法在不同像旋角度下计算误差的比较结果，线条表示平均误差，阴影为对应的标准差。从图中可以看出：

(1) 随着旋转角度的增大，计算误差逐渐增大，但不同湍流强度下，当像旋角度在2°以内，均值与标准差变化均较小。

(2) 当像旋角度为0°时，互相关因子算法的平均误差在0.04像素左右，且随着探测窗口的增大，误差逐渐减小，当探测窗口为128×128像素时误差最小；绝对差分算法的平均误差在0.07像素左右，探测窗口大小对绝对差分算法几乎无影响。

(3) 当像旋角度在0°到2°之间时，互相关因子算法的误差随着像旋角度的增大而增大，绝对差分算法的误差有一定的减小。

2 AIMS望远镜中的像场旋转 2.1 AIMS模型的建立

对于地平式望远镜，像场旋转主要由折轴系统跟踪目标引起，为了研究折轴系统误差对稳像精度的影响，在对AIMS望远镜及稳像系统的集成建模时，对建模工具提出了以下要求：(1)建立准确的光学系统模型并实现光线追迹成像；(2)方便修改光学元件的参数，如平移、旋转等，实现对望远镜机架实时运动的模拟。综合考虑以上要求，选用BRO(Brault Research Organizaition)公司开发的光学分析软件ASAP作为集成建模的主体软件。它能够快速进行光线追迹，实现对折射、衍射、干涉的高精度仿真分析。除此之外，通过ASAP脚本语言不仅可以方便地搭建光学系统并修改任意光学元件参数，也能通过调用外部可执行程序对数据进行交互处理。

图 3为通过ASAP软件建立的望远镜系统的示意图。系统主要分为5部分：离轴格里高利系统(M₁~M₂)、折轴系统(M₃~M₆)、消旋镜(M_R1~M_R5)、准直折轴系统(M₇~M₈)及稳像系统(M₉、探测CCD、计算与控制单元)。在折轴系统中，M₄到M₅的主光线与高度旋转轴重合，M₆反射的主光线与方位旋转轴重合。稳像系统中，摆镜采用PI公司的S-340压电偏摆台，最大偏转角为±1 mrad，稳像光路总焦距为125 mm，因此, 摆镜能校正的成像面最大平移为

$S=2 \times 125 \tan (2 \times 0.001 \mathrm{rad})=0.5\;\mathrm{mm}. $

(9)

2.2 AIMS望远镜机架运动及像场旋转分析

在AIMS望远镜中，当光线经过离轴格里高利系统后成像在库德焦点时，成像目标会绕主光轴旋转，造成其旋转的原因主要有两个：(1)由地平式结构引起的物方视场旋转；(2)由折轴系统反射镜之间的相对运动引起的像方视场旋转。

对于地平式结构，高度轴与方位轴均不与地轴平行，需要各运动轴系的配合才能实现对天体的跟踪。由于天球上的不同天体在地平坐标系中的运动不同步，导致所跟踪目标及周围目标绕视轴中心旋转，所对应的旋转角通常用星位角P表示^[7]：

$P=a\operatorname{tan}\left(\frac{\sin H}{\cos \delta \tan \phi+\sin \delta \cos H}\right), $

(10)

$A=a\operatorname{tan}\left(\frac{\sin H}{\sin \phi \cos H-\cos \phi \tan \delta}\right), $

(11)

$E=a \sin (\sin \phi \sin \delta+\cos \phi \cos \delta \cos H), $

(12)

其中，ϕ为观测地的纬度；δ和H分别为天体的赤纬和时角；A和E分别为天体的方位角和高度角。

在图 3的太阳望远镜系统中，M₁~M₄的位置相对固定并随着高度轴和方位轴旋转，M₅~M₆的位置相对固定并随着方位轴旋转，而M₇所在的准直折轴系统与地面固定，仅起到提供准直光束的作用。在望远镜跟踪目标天体时，随着高度轴的转动，M₄与M₅之间产生相对旋转，方位轴转动时M₆与M₇之间产生相对旋转，因此，像方视场的旋转角为两轴转动角度之和，成像目标最终的旋转角为^[12]

$P_{\theta}=P+A+E. $

(13)

当消旋镜的旋转速度是像场旋转速度的一半时，就可以达到消除地平式望远镜像场旋转的效果。AIMS望远镜暂定台址冷湖的位置为北纬38°33′14″，东经93°48′44″，以太阳为跟踪目标，望远镜在两分两至时的运动情况如图 4。

2.3 误差分配及成像统计结果

表 1为参考AIMS系统设计方案给出的折轴系统偏心偏轴和位置间隔误差，为获得误差对成像的影响，产生误差分配范围内均匀分布的随机误差代入AIMS望远镜模型，高度轴、方位轴及消旋镜按图 4中的角度运动，时间间隔为0.5 h，采用光线追迹的方法得到轴上点O₁及两个正交方向轴外点O₂，O₃的运动结果，共统计1 000次，得到的望远镜像点运动分布情况如图 5。需要注意的是，由于M₃与M₆为准直补偿元件，在实际的工程装配过程中，通过调节M₃与M₆可以有效降低成像的漂移，因此，根据表 1得到的结果仅代表未经优化的装配情况。

图 6(a)和图 6(b)分别为根据图 5中像点相对运动计算得到的像场最大平移及旋转统计情况。可以看出，在夏至时像场的平移及旋转最大，冬至时最小，春秋分时位于两者之间。在夏至时像场的平移最大约为0.3 mm，在摆镜0.5 mm平移量校正范围内，而像场旋转最大约为200″，也在上文分析得出的对稳像精度影响较小的2°像旋范围内。

3 结论

本文首先通过理论分析得出互相关因子算法和绝对差分算法在不同湍流强度及不同探测窗口时像旋引起的计算误差，结果表明，当像旋角度在2°以内时对稳像精度的影响较小，为了获得较高的稳像精度，互相关因子算法是首选的稳像算法，且计算误差随着探测窗口的增大而减小，因此，在硬件处理速度允许的情况下，应该选择128×128像素的探测窗口。随后通过光学分析软件ASAP建立了包含机架及消旋镜实时运动的太阳望远镜模型，统计了折轴系统误差在望远镜实时跟踪太阳运动时引起的成像平移及旋转结果。其中，图像在半小时内的最大平移约为0.3 mm，在摆镜最大0.5 mm平移量校正范围内，最大像场旋转约为200″，在对稳像精度影响较小的2°像场旋转范围内。因此，在现有的误差分配情况下，装配误差引起的像场旋转对稳像精度的影响很小，并且在实际装配中可以通过调节M₃与M₆对成像漂移进行校正，图像的平移及旋转还将进一步缩小。