已知蟹状星云脉冲星和船帆座脉冲星除有星震外还具有两成分模型。外层是带电的固体外壳，内层是中子超流体。两成分在耦合力矩作用下两者以不同角速度绕自转轴旋转。耦合力矩有引力辐射力矩、磁辐射力矩和磁衰减力矩^[1-3]，文[4]研究了磁辐射制动力矩对蟹状星云脉冲星的自转角速度减速的影响。本文继文[4]研究了磁衰减制动力矩对蟹状星云脉冲星和船帆座脉冲星的自转角速度的减速影响。

1 在磁衰减制动力矩作用下两成分模型的方程组

文[4]根据文[1]给出的两成分模型在耦合力矩作用下的基本方程组：

$ {I_{\rm{c}}}\frac{{{\rm{d}}\mathit{\Omega }}}{{{\rm{d}}t}} = - N - \frac{{{I_{\rm{c}}}}}{{{\tau _{\rm{c}}}}}\left( {\mathit{\Omega } - {\mathit{\Omega }_{\rm{n}}}} \right), $

(1)

$ {I_{\rm{c}}}\frac{{{\rm{d}}\mathit{\Omega }}}{{{\rm{d}}t}} = - N - \frac{{{I_{\rm{c}}}}}{{{\tau _{\rm{c}}}}}\left( {\mathit{\Omega } - {\mathit{\Omega }_{\rm{n}}}} \right), $

(2)

其中，Ω和Ω_n分别为外层固体壳和内部中子超流体层绕着自转轴的角速度；I_c和I_n分别为内外两层的转动惯量；N为作用在两成分的力矩；τ_c为微观驰预时间；τ为宏观驰预时间。它们之间的关系在文[4]中已经给出：

$ I = {I_{\rm{c}}} + {I_{\rm{n}}}. $

(3)

其中，I为两成分的总转动惯量。中子超流体丰富度Q：

$ Q = \frac{{{I_{\rm{n}}}}}{I},\;\;\;{I_{\rm{n}}} = QI, $

(4)

$ {I_{\rm{c}}} = I - {I_{\rm{n}}} = I\left( {1 - Q} \right). $

(5)

$ \frac{{{I_{\rm{c}}}}}{{{I_{\rm{n}}}}} = \frac{{1 - Q}}{Q}, $

(6)

$ \frac{1}{{{\tau _{\rm{c}}}}} = \frac{1}{\tau }\left( {\frac{{{I_{\rm{n}}}}}{I}} \right) = \frac{Q}{\tau }. $

(7)

以下推导在磁衰减制动力矩作用下的力矩形式。根据脉冲星的磁偶极辐射模型，文[4]利用：

$ \frac{{{\rm{d}}\mathit{\Omega }}}{{{\rm{d}}t}} = - \frac{2}{3}\frac{{{\mathit{\Omega }^3}}}{{{{\rm{c}}^3}I}}{\mu ^2}. $

(8)

其中，μ为磁矩，μ=R³Bsinα；R为脉冲星半径；B为表面磁场。假定磁偶矩垂直于自转轴，α=90°，μ=R³B。

正如文[1]将上面方程改为角动量J方程：

$ \frac{{{\rm{d}}J}}{{{\rm{d}}t}} = - \frac{2}{3}\frac{{{\mu ^2}}}{{{{\left( {cI} \right)}^3}}}{J^3},\;\;\;\;J = I\mathit{\Omega }. $

(9)

积分上述方程

$ \int_{J\left( {{t_0}} \right)}^{{J_{\rm{m}}}} {\frac{{{\rm{d}}J}}{{{J^3}}}} = - \frac{2}{3}\int_{{t_0}}^t {\frac{{{\mu ^2}}}{{{{\left( {cI} \right)}^3}}}{\rm{d}}t} . $

其中，J(t₀)为t₀时刻的角动量。如果取脉冲星目前的角速度和角动量，即t=0时的角动量，上述积分取上下限为

$ \int_{J\left( 0 \right)}^{{J_{\rm{m}}}} {\frac{{{\rm{d}}J}}{{{J^3}}}} = - \frac{2}{3}\int_0^t {\frac{{{\mu ^2}}}{{{{\left( {cI} \right)}^3}}}{\rm{d}}t} . $

(10)

磁矩μ随时间的衰减用指数形式表示^[5]，则：

$ {\mu ^2} = \mu _0^2{{\rm{e}}^{ - \xi t}}.\;\;\;\mu _0^2 = {R^6}B_0^2. $

(11)

其中，ξ为磁衰减系数。将(11)式的μ代入(10)式积分后有

$ J\left( t \right) = J\left( 0 \right){\left[ {1 - K\left( {{{\rm{e}}^{ - \xi t}} - 1} \right)} \right]^{ - \frac{1}{2}}}. $

(12)

$ 其中,常数\;K = \frac{{4\mu _0^2\mathit{\Omega }_0^2}}{{3{c^3}I\xi }}. $

(13)

(12) 式和(13)式与文[4]的J和K大有不同。由(12)式给出力矩N的形式：

$ \begin{array}{l} N = - \frac{{{\rm{d}}J}}{{{\rm{d}}t}} = - J\left( 0 \right)\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}{\left[ {1 - K\left( {{{\rm{e}}^{ - \xi t}} - 1} \right)} \right]^{ - \frac{1}{2}}},\\ \therefore N = \frac{1}{2}J\left( 0 \right)K\xi {{\rm{e}}^{ - \xi t}}{\left[ {1 - K\left( {{{\rm{e}}^{ - \xi t}} - 1} \right)} \right]^{ - \frac{3}{2}}}. \end{array} $

(14)

根据文[4]，转动惯量I_c和I_n不变的情况下，(12)式的角动量：

$ J{\left( t \right)_{\rm{m}}} = {I_{\rm{c}}}\mathit{\Omega } + {I_{\rm{n}}}{\mathit{\Omega }_{\rm{n}}} = J{\left( 0 \right)_{\rm{m}}}{\left[ {1 - K\left( {{{\rm{e}}^{ - \xi t}} - 1} \right)} \right]^{ - \frac{1}{2}}}. $

(15)

将(15)式改写为

$ {\mathit{\Omega }_{\rm{n}}} = \frac{{J{{\left( 0 \right)}_{\rm{m}}}}}{{{I_{\rm{n}}}}}{\left[ {1 - K\left( {{{\rm{e}}^{ - \xi t}} - 1} \right)} \right]^{ - \frac{1}{2}}} - \frac{{{I_{\rm{c}}}}}{{{I_{\rm{n}}}}}\mathit{\Omega }. $

(16)

其中，J(0)_m=IΩ(0)，利用(4)式和(6)式

$ \frac{I}{{{I_{\rm{n}}}}} = \frac{1}{Q},\;\;\;\frac{{{I_{\rm{c}}}}}{{{I_{\rm{n}}}}} = \frac{{\left( {1 - Q} \right)}}{Q}, $

将其代入(16)式后

$ {\mathit{\Omega }_{\rm{n}}} = \frac{{\mathit{\Omega }\left( 0 \right)}}{Q}{\left[ {1 - K\left( {{{\rm{e}}^{ - \xi t}} - 1} \right)} \right]^{ - \frac{1}{2}}} - \frac{{1 - Q}}{Q}\mathit{\Omega }. $

(17)

再将(14)中的N和(17)中的Ω_n代入(1)式，利用(7)式$\frac{1}{\tau_{c}}=\frac{1}{\tau}\left(\frac{I_{\mathrm{n}}}{I}\right)=\frac{Q}{\tau} $得到外壳固体自转角速度在磁衰减制动力矩下的方程：

$ \frac{{{\rm{d}}\mathit{\Omega }}}{{{\rm{d}}t}} + \frac{1}{\tau }\mathit{\Omega } = \frac{{\mathit{\Omega }\left( 0 \right)}}{\tau }{\left[ {1 - K\left( {{{\rm{e}}^{ - \xi t}} - 1} \right)} \right]^{ - \frac{1}{2}}} - \mathit{\Omega }\left( 0 \right)\frac{{K\xi {{\rm{e}}^{ - \xi t}}}}{{2\left( {1 - Q} \right)}}{\left[ {1 - K\left( {{{\rm{e}}^{ - \xi t}} - 1} \right)} \right]^{ - \frac{3}{2}}}. $

(18)

利用(7)式

$ \frac{1}{{{\tau _{\rm{c}}}}}\frac{{{I_{\rm{c}}}}}{{{I_{\rm{n}}}}} = \frac{{1 - Q}}{\tau }, $

内部中子超流体层在磁衰减制动力矩作用下自转角速度方程：

$ \frac{{{\rm{d}}{\mathit{\Omega }_{\rm{n}}}}}{{{\rm{d}}t}} + \frac{{1 - Q}}{\tau }{\mathit{\Omega }_{\rm{n}}} = \frac{{1 - Q}}{\tau }\mathit{\Omega }. $

(19)

2 在磁衰减制动力矩作用下两成分耦合方程组的分析解

首先解固体外壳层的自转角速度Ω的方程式(18)，然后再将Ω的解代入超流层的自转角速度Ω_n的方程式(19)，求Ω_n的解。

方程式(18)是一阶线性方程，积分形式为

$ \begin{array}{l} \mathit{\Omega }\left( t \right) = {{\rm{e}}^{ - \int {\frac{1}{\tau }{\rm{d}}t} }}\mathit{\Omega }\left( 0 \right)\int {\frac{1}{\tau }} {\left[ {1 - K\left( {{{\rm{e}}^{ - \xi t}} - 1} \right)} \right]^{ - \frac{3}{2}}}{{\rm{e}}^{\int {\frac{1}{\tau }{\rm{d}}t} }}{\rm{d}}t - {{\rm{e}}^{ - \int {\frac{1}{\tau }{\rm{d}}t} }}\mathit{\Omega }\left( 0 \right)\frac{{K\xi }}{{2\left( {1 - Q} \right)}}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \times \int {{{\rm{e}}^{ - \xi t}}} {\left[ {1 - \left( {{{\rm{e}}^{ - \xi t}} - 1} \right)} \right]^{ - \frac{3}{2}}}{{\rm{e}}^{\int {\frac{1}{\tau }{\rm{d}}t} }}{\rm{d}}t + C. \end{array} $

令解的形式为

$ \mathit{\Omega }\left( t \right) = {{\rm{e}}^{ - \frac{t}{\tau }}}\left( {{I_1} + {I_2}} \right) + C{{\rm{e}}^{ - \frac{t}{\tau }}}. $

(20)

C为积分常数。

根据上面两式

$ {I_1} = \mathit{\Omega }\left( 0 \right)\frac{1}{\tau }\int {{{\left[ {1 - K\left( {{{\rm{e}}^{ - {\xi _t}}} - 1} \right)} \right]}^{ - \frac{1}{2}}}} {{\rm{e}}^{\frac{t}{\tau }}}{\rm{d}}t $

可以证明积分式内第2项$ K\left(\mathrm{e}^{-\xi t}-1\right) <1$，故可以用二项式定理展开，去掉第3项后有

$ \begin{array}{l} {I_1} = \mathit{\Omega }\left( 0 \right)\frac{1}{\tau }\int {\left[ {1 + \frac{1}{2}K\left( {{{\rm{e}}^{ - \xi t}} - 1} \right)} \right]{{\rm{e}}^{\frac{t}{\tau }}}{\rm{d}}t} \\ \;\;\;\; = \mathit{\Omega }\left( 0 \right)\frac{1}{\tau }\int {\left[ {\left( {1 - \frac{1}{2}K} \right){{\rm{e}}^{\frac{t}{\tau }}} + \frac{1}{2}K{{\rm{e}}^{\frac{{\left( {1 - \xi \tau } \right)t}}{\tau }}}} \right]{\rm{d}}t} \\ \;\;\;\; = \mathit{\Omega }\left( 0 \right)\left[ {\left( {1 - \frac{1}{2}K} \right){{\rm{e}}^{\frac{t}{\tau }}} + \frac{K}{{2\left( {1 - \xi \tau } \right)}}{{\rm{e}}^{ - \xi t}}\left( {{{\rm{e}}^{\frac{t}{\tau }}}} \right)} \right], \end{array} $

$ \therefore {I_1} = \mathit{\Omega }\left( 0 \right){{\rm{e}}^{\frac{t}{\tau }}}\left[ {\left( {1 - \frac{1}{2}K} \right) + \frac{K}{{2\left( {1 - \xi \tau } \right)}}{{\rm{e}}^{ - \xi t}}} \right]. $

(21)

$ \begin{array}{l} {I_2} = - \mathit{\Omega }\left( 0 \right)\int {\frac{{K\xi {{\rm{e}}^{ - \xi t}}}}{{2\left( {1 - Q} \right)}}} {\left[ {1 - K\left( {{{\rm{e}}^{ - \xi t}} - 1} \right)} \right]^{ - \frac{3}{2}}}{{\rm{e}}^{\frac{t}{\tau }}}{\rm{d}}t\\ \;\;\;\; = - \mathit{\Omega }\left( 0 \right)\frac{{K\xi }}{{2\left( {1 - Q} \right)}}\int {{{\rm{e}}^{ - \xi t}}\left[ {1 + \frac{3}{2}K\left( {{{\rm{e}}^{ - \xi t}} - 1} \right)} \right]{{\rm{e}}^{\frac{t}{\tau }}}{\rm{d}}t} \\ \;\;\;\; = - \mathit{\Omega }\left( 0 \right)\frac{{K\xi }}{{2\left( {1 - Q} \right)}}\int {\left[ {\left( {1 - \frac{3}{2}K} \right){{\rm{e}}^{\left( {1 - \xi t} \right)\frac{t}{\tau }}} + \frac{3}{2}K{{\rm{e}}^{\left( {1 - 2\xi \tau } \right)\frac{t}{\tau }}}} \right]{\rm{d}}t} , \end{array} $

$ {I_2} = - \mathit{\Omega }\left( 0 \right){{\rm{e}}^{\frac{i}{\tau }}}\left[ {\frac{{K\xi \tau \left( {1 - \frac{3}{2}K} \right)}}{{2\left( {1 - Q} \right)\left( {1 - \xi \tau } \right)}}{{\rm{e}}^{ - \xi t}} + \frac{{3{K^2}\xi \tau {{\rm{e}}^{ - 2\xi \tau }}}}{{4\left( {1 - Q} \right)\left( {1 - 2\xi \tau } \right)}}} \right]. $

(22)

将(21)式和(22)式代入(20)式

$ \begin{array}{l} \mathit{\Omega }\left( t \right) = \mathit{\Omega }\left( 0 \right){{\rm{e}}^{\frac{i}{\tau }}}\left[ {\left( {1 - \frac{1}{2}K} \right) + \frac{{K{{\rm{e}}^{ - {\zeta _t}}}}}{{2\left( {1 - \xi \tau } \right)}} - \frac{{K\xi \tau \left( {1 - \frac{3}{2}K} \right)}}{{2\left( {1 - Q} \right)\left( {1 - \xi \tau } \right)}}{{\rm{e}}^{ - \xi t}} - \frac{3}{4}\frac{{{K^2}\xi \tau }}{{\left( {1 - Q} \right)\left( {1 - 2\xi \tau } \right)}}{{\rm{e}}^{ - 2\xi t}}} \right]\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\; + C{{\rm{e}}^{\frac{{ - t}}{\tau }}}. \end{array} $

(23)

令t=0，得到常数C

$ C = \mathit{\Omega }\left( 0 \right)\left[ {\frac{1}{2}K - \frac{K}{{2\left( {1 - \xi \tau } \right)}} + \frac{{K\xi \tau \left( {1 - \frac{3}{2}K} \right)}}{{2\left( {1 - Q} \right)\left( {1 - \xi \tau } \right)}} + \frac{3}{4}\frac{{{K^2}\xi \tau }}{{\left( {1 - Q} \right)\left( {1 - 2\xi \tau } \right)}}} \right]. $

将常数C代入(23)式，得到解析解：

$ \mathit{\Omega }\left( t \right) = \mathit{\Omega }\left( 0 \right)\left\{ {1 + \frac{K}{{2\left( {1 - \xi \tau } \right)}}\left[ {1 - \frac{{\xi \tau \left( {1 - \frac{3}{2}K} \right)}}{{1 - Q}}} \right]\left( {{{\rm{e}}^{ - \xi t}} - 1} \right) - \frac{3}{4}\frac{{{K^2}\xi \tau }}{{\left( {1 - Q} \right)\left( {1 - 2\xi \tau } \right)}}\left( {{{\rm{e}}^{ - 2\xi t}} - 1} \right)} \right\} \cdots $

(24)

将Ω(t)代入(19)式，可以得到超流体内层角速度Ω_n。考虑到Ω_n是壳层内部的角速度，一般观测不到，而且推导的式子冗长，故只研究外壳层的自转角速度变化，略去了内层超流体自转角速度的解。

3 脉冲星PSR0531+21(Crab)和PSR0833-45(Vela)的理论数值结果

本文研究具有两成分模型的脉冲星PSR0531+21和PSR0833-45在磁衰减作用下外壳固体层的自转角速度变化，为此列出两个脉冲星的物理参数如表 1。其中Ω₀，Q，τ引自文[6-7]，表面磁场引自文[8]，μ₀=R³B₀。一般假定中子星的半径R=1.2×10⁶ cm，转动惯量引自文[1]，I=1.4×10⁴⁵(cm²·g)，磁衰减系数ξ=1.1111×10^-6年, τ_D=2/ξ=1.8×10⁶年^[9]。

将表 1中的数据和R，I，ξ代入(11)式和(13)式给出的μ₀和K，再取时间间隔t=1年，结果如表 2。

4 讨论和结论

(1) 从表 2的数值结果，脉冲星PSR0531+21和PSR0833-45在磁衰减制动力矩作用下，壳层自转角速度逐年随时间长期减小。PSR0531+21每年减小大于PSR0833-45的减少，这主要是由于两者的K值不同。K值同磁场和角速度有关。根据表 1，脉冲星PSR0531+21的磁场大于脉冲星PSR0833-45的磁场，而两者的角速度相差很大，PSR0531+21的角速度几乎是PSR0833-45的两倍以上，故前者的K值大于后者的K值，所以PSR0531+21的减速大于PSR0833-45的减速。

(2) 同文[4]相比较，对于PSR0531+21的磁辐射作用使其角速度减小值每年δΩ=-0.2450rad/s，而本文中磁衰减作用使角速度减慢δΩ=-0.1710，故磁衰减作用稍小于磁辐射作用。磁辐射是由于脉冲星高速自转能转换来的，而磁衰减是由于磁场减弱造成的。然而自转能的损失加快辐射力矩作用远远大于磁场衰减的作用。故磁辐射对脉冲星自转效应大于磁衰减对自转产生的效应。

(3) 关于(10)式积分限取值，其下限t₀=0，可以理解为脉冲星诞生时的开始时间，但本文不是研究脉冲星诞生时的演化问题。另外也可以理解为脉冲星星震后的开始时间，但星震后的开始时间角动量J₀和Ω₀值不好确定，而J₀和Ω₀是目前开始的值，如表 1的数值，所以在(10)式中，t₀取值最好从目前t=0开始为宜。

(4) 关于(21)式和(22)式中的$\left[1-K\left(\mathrm{e}^{-\xi_{t}}-1\right)\right]^{-\frac{1}{2}} $和$ \left[1-K\left(\mathrm{e}^{-\xi_{t}}-1\right)\right]^{-\frac{3}{2}}$，只有$ K\left(\mathrm{e}^{-\xi t}-1\right) <1$才能用二项式定理展开。首先估计$ K\left( {{{\rm{e}}^{ - \xi t}} - 1} \right)$的数值：根据文[9] τ_D=1.8×10⁶年$ \xi = \frac{2}{{{\tau _{\rm{D}}}}} = 1.11 \times {10^{ - 6}}$ /年。本文取时间间隔一年，t=1年，e^-ξt-1=0.0000011，对于PSR0531+21，K=1546.2，$K\left(\mathrm{e}^{-\xi t}-1\right)=0.0017 <1 $；对于PSR0833-45，K=170.2，$K\left(\mathrm{e}^{-\xi t}-1\right)=0.00018 <1 $。因此，两式可以用二项式定理展开

$ {\left[ {1 - K\left( {{{\rm{e}}^{ - \xi t}} - 1} \right)} \right]^{ - \frac{1}{2}}} = 1 + \frac{1}{2}\left( {{{\rm{e}}^{ - \xi t}} - 1} \right) + \frac{3}{8}{\left( {{{\rm{e}}^{ - \xi t}} - 1} \right)^2} + \cdots $

其中$ \left(e^{-\xi t}-1\right)^{2}=1.21 \times 10^{-12}$, 所以第3项可以略去。

(5) 脉冲星PSR0531+21和PSR0833-45是具有星震的两个脉冲星。前者每隔3年，后者每隔2年发生一次星震或跃变。跃变发生时是突然短暂加速后恢复跃变前的角速度，而这种跃变近似周期性的。本文给出的这两个脉冲星的减速是长期角速度减慢效应，而临时突然加速不会影响长期减速效应^[10-11]。

(6) 本文得到的结论是，脉冲星两成分模型磁衰减是存在的，它影响角速度长期减慢的作用。这种作用通过磁矩衰减制动角速度而造成其减慢。