3C 454.3(红移z=0.859)是一个低光度、低红移，而且有明显剧烈光变的平谱射电类星体。3C 454.3是很受关注的类星体，在光学波段的观测已有很长的历史，研究人员对3C 454.3进行了大量的观测和理论研究。研究表明，3C 454.3的光学波段存在越红越亮的趋势^[1]。3C 454.3在伽马波段、光学波段和红外波段都有强烈的光变^[2-4]，在红外波段的剧烈光变与伽马射线源有关^[5]。3C 454.3的光变曲线存在长周期光变，甚至有的耀变体存在十多年的长周期光变^[6]，长期的观测数据对研究光变周期及其辐射模型有重要意义^[7-8]。目前，功率谱方法常用于天体光变周期的讨论，文[9]用功率谱方法计算BL Lac天体S5 0716+714的B, V, R, I波段数据，得到了1.1年的长时标光变。文[10]利用Jurkevich方法和功率谱方法研究了3C 454.3的射电22GHz和37GHz波段存在(1.57±0.12)年及(6.15±0.50)年的周期。光变研究对于揭示耀变体的光变特征和光变机理有重要作用。

1 3C 454.3长期光变曲线

通过SMARTS数据库获取了2008年6月至2017年7月3C 454.3的光学和红外波段接近10年的历史光变数据，其中包括光学B, V, R和红外J, K波段，分别有891、855、878、861和752共计4237个观测数据。如果每天可以观测，则光学B, V, R和红外J, K波段的实际观测夜占理论观测夜的覆盖率分别为26.81%、25.72%、26.41%、25.90%和22.62%，平均为25.49%，鲜有如此多波段密集观测的天体。若以天为采样单位，则采样频率约为0.25次/天，依据奈奎斯特(Nyquist)采样定理，采样周期要小于最小信号周期的一半，采样频率应该大于最大信号频率的两倍，奈奎斯特频率约为0.125次/天，可以得知，此观测数据用来计算该天体存在大于8天的光变周期符合奈奎斯特采样定理。

图 1为10年间3C 454.3的B, V, R, J, K波段光变曲线。在2008年6月至2017年7月，该天体B波段的星等平均值为16.108mag，最大值为17.337，最小值为13.964，Δ_星等=3.373mag；V波段的星等平均值为15.537mag，最大值为16.756，最小值为13.448，Δ_星等=3.308mag；R波段的星等平均值为15.122mag，最大值为16.585，最小值为12.970，Δ_星等=3.615mag；J波段的星等平均值为13.419mag，最大值为15.092，最小值为11.012，Δ_星等=4.080mag；K波段的星等平均值为11.594mag，最大值为15.017，最小值为9.188，Δ_星等=5.829mag。B, V, R, J, K波段的变化量至少有3个星等，见表 1。

在光变曲线中，观测数据平均误差约为0.02mag，光变曲线测量值区间平均为Δ_星等=4.041mag，信噪比为S=0.5%，信噪比低，在光变曲线和周期分析中未考虑观测误差带来的影响。

从光变曲线可以看出，3C 454.3天体的光学和红外波段光度在十年间变化十分剧烈。用3C 454.3的B, V, R, J, K波段的中心波长研究其与对应星等最大值、最小值、平均值和差值的关系。图 2显示，在B, V, R, J, K波段中波长越长，对应的星等最大值、最小值和平均值有越低的趋势，然而对应的差值(星等变化量)有越大的趋势。图 1显示，3C 454.3的B, V, R, J, K波段的光变曲线升降走势近乎一致。

2 3C 454.3的光变性质 2.1 功率谱分析方法

在功率谱方法分析中，若存在一个平稳随机信号x(t)的自协方差函数为γ_x(τ)，并满足：

$ \int_{ - \infty }^\infty {\left| {{\gamma _x}(\tau )} \right|} {\rm{d}}\tau < \infty , $

(1)

定义x(t)的功率谱密度函数为γ(τ)的傅里叶变换，即

$ S_{x}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} \gamma_{x}(\tau) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega \tau} \mathrm{d} \tau, $

(2)

则逆傅里叶变换为

$ \gamma_{x}(\tau)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} S_{x}(\omega) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega \tau} \mathrm{d} \omega. $

(3)

由自协方差函数的定义有

$ {\gamma _x}(\tau ) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{{2T}}\int_{ - T}^T {\left[ {x(t) - {\mu _x}} \right]} \left[ {x(t - \tau ) - {\mu _x}} \right]{\rm{d}}\tau . $

(4)

由于S_x(ω)dω表示在ω与ω+dω之间信号提供的功率。故S_x(ω)代表功率相对与频率的分布，则称为功率谱函数密度。

对于平稳时间序列{Xn}，如它的自协方差序列，γ_x(k), k=0, 1, 2, …满足

$ \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {\left| {{\gamma _x}(k)} \right|} < \infty , $

(5)

则定义{Xn}的自功率谱密度为

$ {S_x}(\omega ) = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {{\gamma _x}} (k){{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}k\Delta t\omega }}, $

(6)

其中，Δt为数据采样间隔。自协方差序列γ_x(k)定义为

$ {\gamma _x}(k) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{N}{X_n}{X_{n - 1}}. $

(7)

功率谱密度函数也可以直接从数字序列的离散傅里叶X(j)利用

$ I_{n}\left(\omega_{j}\right)=\left(\frac{2 \Delta t}{N}\right)\left|X\left(\omega_{j}\right)\right|^{2} $

(8)

获得。

因数字序列的离散傅里叶变换具有周期性，故I_n(ω_j)也具有周期性，所以称I_n(ω_j)为数字序列的周期图估计。可以证明^[11]，对于一个随机信号

$ Y_{n}=a \mathrm{e}^{-\mathrm{i} n \omega_{0}}+a_{n}, $

(9)

a_n为平稳正态序列，其功率密度S_a(ω)在ω₀处连续，所以Y_n的周期图I_n(ω)必在[-π, π]上ω₀附近的某一频率处达到最大值，并且当N很大时有

$ \mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } {I_n}(\omega ) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\infty , }&{\omega = {\omega _0}}\\ {0, }&{\omega \ne {\omega _0}} \end{array}} \right., $

(10)

其中，ω₀为信号Y_n的固有频率。当N较大时，I_n(ω)在ω₀附近形成一个突起的峰，在其他的频率处，功率谱的密度值较小。根据这种特征，可以寻找信号中的周期成分。当信号含有不止一个周期分量时，I_n(ω)出现多个极大值。为了判别真伪周期，需要根据周期图极大对应的频率值，利用最小二乘法求出相对应各频率的周期分量的振幅比较大小。

SMARTS数据中的采样数据并非均匀采样时间序列，用功率谱方法计算3C 454.3的光变周期时，对光变数据的空白处进行了相邻数据平均值插值处理。

以上为功率谱方法测量周期的基本原理，对于耀变体长周期光变研究可靠性的理论见文[9]。

2.2 结果

通过功率谱方法计算，得到了3C 454.3的B, V, R, J, K波段功率谱图，图 3显示了2个主要的频率峰值。

从B波段功率谱图看，存在周期有454.5和1666.7天，分别对应1.25年和4.57年。峰值频率为0.00060(1/day)的半高宽为0.00035；峰值频率为0.00220(1/day)的半高宽为0.00030，如图 3。

从V波段功率谱图看(图 4)，存在周期有454.5和1666.7天，分别对应1.25年和4.57年。峰值频率为0.00060(1/day)的半高宽为0.00038；峰值频率为0.00220(1/day)的半高宽为0.00032。

从R波段功率谱图看(图 5)，存在周期有454.5和1666.7天，分别对应1.25年和4.57年。峰值频率为0.00060(1/day)的半高宽为0.00035；峰值频率为0.00220(1/day)的半高宽为0.00030。

从J波段功率谱图看(图 6)，存在周期有454.5和1666.7天，分别对应1.25年和4.57年。峰值频率为0.00060(1/day)的半高宽为0.00036；峰值频率为0.00220(1/day)的半高宽为0.00030。

从K波段功率谱图看(图 7)，存在周期有434.8和1666.7天，分别对应1.19年和4.57年。峰值频率为0.00060(1/day)的半高宽为0.00038；峰值频率为0.00230(1/day)的半高宽为0.00033。

各个波段的功率谱图峰值频率及其半高全宽见表 2。通过计算得到3C 454.3在光学和红外波段都存在2个光变周期，分别为1.25年和4.57年。

3 讨论

图 1显示，在3C 454.3的B, V, R, J, K 5个波段中，历史光变曲线变化近乎一致，图 3~图 7显示功率谱图大致相同，这有可能产生于3C 454.3在光学和红外波段的光度变化根本上有着一定的关系。

根据图 2，在B, V, R, J, K波段中的波长越长，对应的星等最大值、最小值和平均值有越低的趋势，然而对应的差值有变大的趋势。星等越低，光度也越亮，这暗示着在大部分时间，红外波段比光学波段更为明亮。3C 454.3光度变化时，红外波段比光学波段较为剧烈。文[1]研究了3C 454.3在2006~2011年光学波段明显存在越红越亮的趋势，这个趋势到红外J、K波段也适用。

根据表 2，各波段都显示出2个显著周期，频率为0.00060(1/day)的周期在5个波段完全一致。而K波段434.8的周期不同于其余4个波段，通过计算并查表可得，各波段该周期均值为450.6天，周期置信度为0.95的置信区间为[442.9, 458.3]天，即450.6±7.72天，区间可表述为[1.21, 1.26]年，说明1.25年的周期具有较高的置信水平，可以作为3C 454.3的主要周期。

半高全宽较小的峰值对应的误差相对较小，因此峰值频率为0.0022(1/day)的周期比峰值频率为0.0006(1/day)的周期更为显著；前者对应的周期为1.25年，后者对应的周期为4.57年。1.25年的周期与文[12]在射电波段21.7GHz计算得到的1.2年周期光变大致相符，因此1.25年的周期可以认为3C 454.3的显周期，其光变曲线主要由1.25年的周期导致。在光学波段、红外波段和射电波段的周期相同，可以认为3C 454.3的光度变化及其周期特征现象在光学、红外和射电波段具一定的关系。

本文使用功率谱方法得到的周期有1.25年和4.57年，其中4.57年的周期因为受观测时间和观测数据的影响，其半高宽略大，误差相对较大，与其真实周期可能有偏差，视为1.25年周期的叠加。

4 结论

对3C 454.3在B, V, R, J, K波段的光变比较分析显示，3C 454.3的红外波段的光度比光学波段更为明亮，红外波段的光度变化比光学波段更为剧烈。

用功率谱方法对平谱射电类星体3C 454.3中B, V, R, J, K波段的光变曲线进行研究，结果表明，该天体在光学、红外波段存在光变主周期为1.25年，4.57年的周期为1.25年周期的叠加。由于相对以前的研究，信号采样是中长周期光变的研究障碍而不可避免，本文在利用最新(2008~2017年)SMARTS计划的观测基础上，首次利用功率谱方法计算3C 454.3的光学红外B, V, R, J, K波段周期，获得了相对准确的结果。在光学、红外和射电波段的周期相同，可以认为3C 454.3的光度变化及其周期特征现象在光学、红外和射电波段具有一定的关系。