活动星系核(Active Galactic Nucleus, AGN)是非常特殊的一类河外高光度辐射、高偏振、超大质量中心黑洞的源，其寄主星系被称为活动星系^[1]。现在普遍认为活动星系核的星系中心有一个超大质量黑洞(10⁶-10¹⁰M_⊙)，黑洞四周弥散的气体会在引力作用下吞落到黑洞之中，由此回旋成一个围绕黑洞的吸积盘。活动星系核中最为极端的一个子类是耀变体(Blazars)，其喷流指向观测者，具有非常强的相对论聚束效应，是研究黑洞吸积、电子加速机制、高能辐射过程非常理想的对象。如M87中心的光度尖点可以用一个质量约为3 × 10⁹M_⊙的超大质量黑洞解释^[2-3]，并利用哈勃望远镜观测证实。Arp 102B和3C 390.3中巴耳末线的非对称双峰轮廓可以在弱场近似下用相对论吸积盘辐射解释^[4-5]。观测结果显示，活动星系核存在宽的、双峰的或者双肩的Hα发射线^[6]，以上证据证明了活动星系核存在超大质量黑洞和吸积盘。在天体的产能机制中，引力能扮演着一个重要的角色。因此，吸积盘模型建立、参数确定和吸积过程能够帮助研究者更加深入地研究活动星系核。活动星系核中由于观测特征不同(如BL Lac天体光谱中无强的发射线)，获得中心黑洞质量和吸积盘的辐射半径的方法也不同。本文通过大量文献收集到最新数据，利用几种不同的方法得到中心黑洞质量和吸积盘的辐射半径，对计算结果进行研究对比分析，获得了若干重要结论，为活动星系核的辐射机制进一步研究提供了重要参数。

1 吸积盘辐射半径的计算方法

由于当前科学技术和观测上的限制，即使离地球最近的活动星系核吸积盘，也无法直接利用光学望远镜观测到并在空间上解析它，因此吸积盘辐射半径只能通过间接手段得到，例如标准α盘模型法、短时标光变法、连续波混响滞后法、微引力透镜法，这些理论方法有各自的局限性，本文将系统地考虑分析。

1.1 标准α盘模型法

人们很早就开始研究吸积盘的特性与模型，由于吸积盘粘滞过程的未知性，1973年SHAKURA和SUNYAEV引入α参数描述粘滞，从而建立了著名的几何薄、光学厚标准α盘模型^[7-9]。盘的基本方程根据以下假设建立：引力由中心黑洞质量为M_BH的天体决定，盘的自引力可以忽略，是稳定的、轴对称的；在H/r≪1的意义上，盘是几何薄的；转动主导(开普勒的) |υ_r|≪υ_φ；垂直保持流体静力学平衡；盘在垂向是光学厚的；使用了一个特殊的粘滞律，粘滞应力张量的rφ分量正比于压强。

在标准α盘模型中，盘的等效温度依赖于盘的辐射半径，即$T \propto {R^{ - \frac{3}{4}}} $，越接近中心盘，表面温度越高。明显地，盘辐射为黑体辐射，高能光子主要来自盘的内区，而低能光子来自盘的外区。根据该理论模型，波长λ的吸积盘辐射区半径为^[10]

$ R = {\left[ {\frac{{45G{\lambda ^4}{M_{{\rm{BH}}}}\dot M}}{{16{{\rm{ \mathsf{ π} }}^6}h{c^2}}}} \right]^{\frac{1}{3}}} = 9.7 \times {10^{15}}{\left( {\frac{\lambda }{{\mu m}}} \right)^{\frac{4}{3}}}{\left( {\frac{{{M_{{\rm{BH}}}}}}{{{{10}^9}{M_ \odot }}}} \right)^{\frac{2}{3}}}{\left( {\frac{L}{{\eta {L_{\rm{E}}}}}} \right)^{\frac{4}{3}}}，$

(1)

其中，Ṁ为吸积率；h为普朗克常量；$ \frac{L}{{{L_{\rm{E}}}}}$为以爱丁顿为单位的光度；$\eta = \frac{L}{{\left( {\dot M{c^2}} \right)}}$为吸积效率，本文取η=0.1^[11-12]。

1.2 短时标光变法

光变是活动星系核重要的观测特征^[13-14]，表征星系核活动的剧烈程度，反映活动星系核辐射过程、辐射介质和辐射区域内外部物理条件、结构变化。根据光变时标的量级不同，可按照光变时间的长短分为长时标光变、中时标光变和短时标光变。短时标光变是计算吸积盘辐射区半径的有效手段之一。

按照天体物理的稳定性理论，一个天体的振动频率及最大转动频率的量级都是

$ {\left( {\frac{{GM}}{{{R^3}}}} \right)^{1/2}}\;. $

(2)

假设天体的变化周期为τ，则可以得到：

$ {\left( {\frac{{GM}}{{{R^3}}}} \right)^{1/2}} = \frac{1}{\tau }，$

(3)

简单变换后，$R = \frac{{\sqrt 2 }}{2}c\tau {\left( {\frac{{2GM}}{{{c^2}R}}} \right)^{1/2}}$，对于质量为M的黑洞，$\frac{{2GM}}{{{c^2}R}} \approx 1$，$R = \frac{{\sqrt 2 }}{2}c\tau $。但黑洞附近的物质不稳定，按照吸积盘理论，一般取10R_s为可观测半径(即辐射区内半径，R_s是星系核的史瓦西半径，${R_{\rm{s}}} \equiv \frac{{2MG}}{{{c^2}}} = 2.96 \times \frac{M}{{{M_ \odot }}}{\rm{km}}$)，因此

$ \frac{{2GM}}{{{c^2}R}} \le \frac{1}{{10}}. $

(4)

则得到吸积盘辐射区内半径为

$ R \le \frac{{\sqrt 2 }}{2}c\tau = \frac{{c\sigma }}{{1 + Z}}{\tau _{{\rm{obs}}}}. $

(5)

其中，c为光速(本文计算取c=3 × 10¹⁰ cm/s)；σ为多普勒(Doppler)因子；z为源的红移；τ_obs为观测到的最小光变时标。由于短时标光变在观测中具有随机性, 获取样品的吸积盘辐射区半径也变得较为困难。

1.3 连续波混响滞后法

活动星系核的物理模型、光变机制等可以通过光变曲线进行研究，光变曲线表征天体活动的剧烈程度。连续波与宽发射线之间存在时间滞后，在假设滞后时间与光子从中心黑洞传播到宽线区的时间一致的情况下，可以进一步确定宽线区的大小、中心黑洞质量^[15-16]。原则上，连续波不同波段之间的时间滞后可以用来确定吸积盘结构，例如吸积盘辐射区半径^[17-18]。

交叉相关函数(Cross-Correlation Function, CCF)是计算两条光曲线时间延迟的传统方法之一^[19-20]，但该方法对采样条件和观测时间间隔等要求很高，因此一般采用JAVELIN^[21-22]方法得到连续波在不同波段之间的时间滞后。文[23]利用JAVELIN方法检测到时间滞后随着光度的增加而增加，且其值比标准α盘模型估计的大2~3倍。文[18]在JAVELIN方法的基础上建立了JAVELIN thin disk model方法，其结果与微引力透镜测量结果相一致，例如文[24]对类星体PG 2308 + 098的5个波段(u, g, r, i和z波段)的光变曲线进行研究，认为较长的波段显示出更大的滞后，且利用方程(6)得到PG 2308 + 098的吸积盘辐射区内半径大小：

$ R = c{\tau _{{\rm{rest，2500}}}} = c{\tau _{{\rm{rest，u}}}}\;{\left( {\left. {\frac{{250}}{{{\lambda _{{\rm{u，rest}}}}}}} \right)} \right.^{4/3}} = c\frac{{{\tau _{{\rm{obs，u}}}}}}{{1 + z}}{\left( {\left. {\frac{{250}}{{{\lambda _{{\rm{u，rest}}}}}}} \right)} \right.^{4/3}}{\rm{nm}}，$

(6)

其中，τ_{obs, u}表示由u波段光曲线的观测滞后，当${\lambda _{{\rm{u，rest}}}} = \frac{{355.1}}{{1 + z}}$nm时，得到PG 2308 + 098的吸积盘辐射区大小为$9.46_{ - 3.12}^{ + 0.29}$光天。连续混响滞后法在应用观测数据、计算吸积盘辐射区半径和中心黑洞质量方面非常实用^[16]。

1.4 微引力透镜法

在透镜高红移类星体中观察到的紫外-光学微透镜效应是由透镜星系中前景恒星的类星体吸积盘的透镜放大引起的，微透镜的变化率可用于研究透镜系统的质量、类星体连续辐射区结构等。

利用微引力透镜效应，例如文[25]研究了热辐射和非热辐射的X射线发射区尺寸，文[10]研究了辐射区内半径和黑洞质量的相关性。

2 相关数据

通过大量的参考文献，用4种方法分别计算吸积盘辐射区半径的数据，其中表 1为用短时标光变法计算获得的数据^[14]，依次为源名称、短时标、红移、多普勒因子、辐射区半径比(短时标方法得到R₁)、光度、爱丁顿光度、黑洞质量和辐射区半径比(标准α盘模型法得到R₂₁)。表 2为用连续波混响滞后法计算获得的数据，依次为源名称、混响滞后时间、光度、爱丁顿光度、黑洞质量、辐射区半径比(混响滞后方法得到R₃)和辐射区半径比(标准α盘模型法得到R₂₃)。表 3为微引力透镜法计算获得的数据，依次为源名称、黑洞质量、辐射区半径比(微引力透镜方法得到R₄)和辐射区半径比(标准α盘模型法得到R₂₄)。表 1中的源属于耀变体，表 2、表 3中的源为类星体，由于它们分别属于活动星系核的不同子类，将其参数进行相关性对比分析，从图 1、图 2和图 3可以看出，耀变体和类星体的黑洞质量、光度和吸积盘辐射区半径都没有明显差别，造成这一结果的原因可能是标准α盘模型的限定，本文选择高光度源进行研究。根据标准α盘模型，吸积盘的辐射区半径依赖于黑洞质量，根据(1)式，依赖关系为$\log R \propto 0.667\log \left( {\left. {\frac{{{M_{{\rm{BH}}}}}}{{{{10}^9}{M_ \odot }}}} \right)} \right.$。由于黑洞的史瓦西半径正比于黑洞质量，利用以上数据，对3种方法得到的吸积盘辐射区半径比$Y = \log \frac{{{R_{{\rm{ij}}}}}}{{{R_{\rm{s}}}}}$与黑洞质量$X = \log \left( {\left. {\frac{{{M_{{\rm{BH}}}}}}{{{{10}^9}{M_ \odot }}}} \right)} \right.$做线性拟合和相关性对比分析，线性相关图为图 4、图 5、图 6、图 7，相关性分析结果见表 4，表中依次为斜率A、截距B、相关系数r、置信概率p和天体个数N。根据线性相关图及表 4可以得知，除短时标光变法、微引力透镜方法外，其它几种方法得到的吸积盘辐射区半径比$Y = \log \frac{{{R_{{\rm{ij}}}}}}{{{R_{\rm{s}}}}}$与黑洞质量$X = \log \left( {\left. {\frac{{{M_{{\rm{BH}}}}}}{{{{10}^9}{M_ \odot }}}} \right)} \right.$都有强相关性。对表 1、表 2中两种方法得到的吸积盘辐射区半径比与爱丁顿光度做线性拟合，发现短时标光变法得到的吸积盘辐射区半径比与爱丁顿光度无明显相关关系，但连续波混响滞后法得到的吸积盘辐射区半径比与爱丁顿光度存在强相关关系(图 7中，R₁：r=0.153, p=0.558, N=17；R₃：r=-0.857, p=6.713×10^-12, N=38)，由于观测样品数少，以后会扩大样本数做进一步的分析与讨论。

3 讨论与结论

根据以上数据分析，得到以下结论：

(1) 在活动星系核中, 将耀变体和类星体的参数比较，发现两个子类的中心黑洞质量、光度和吸积盘辐射区半径都没有明显差别。由于标准α盘的吸积对应于高光度的活动星系核，通常在0.01倍爱丁顿光度以上，本文选择高光度源进行研究，因此出现了两个子类以上参数无明显区别的情况。

(2) 短时标光变法得到的吸积盘辐射区半径比和黑洞质量没有明显的相关性，造成这一结果的可能原因包括短时标光变法的计算不考虑自旋、短时标光变法计算辐射区半径的公式没有质量参数和样本太少。在今后的工作中，将进一步加强观测，增加获取有短时标光变的样品数。

(3) 连续波混响滞后法得到的吸积盘辐射区半径比对黑洞质量的依赖高于标准α盘模型法，但两种方法的吸积盘辐射区半径没有明显的差别，因此对于无法确定中心黑洞质量的源，可以利用连续波混响滞后法得到吸积盘辐射区半径。

(4) 微引力透镜法得到的吸积盘辐射区半径比和黑洞质量没有明显的相关性，且该方法只适用于存在微引力透镜效应的类星体，对于源的选择有一定的局限性。

由于每种方法的数据较少，以上结论仍需扩大样本进行进一步的验证, 或在短时标光变法的研究中考虑中心黑洞的自旋。