激光测距技术是一项综合技术，涵盖激光、电子、微光探测、自动控制、精密光学机械、天文测量和卫星轨道计算等多个学科领域^[1]。它通过精确测定激光脉冲从测站到目标的往返飞行时间t，结合光速c，就可获得测站到目标的距离R=ct/2。激光测距在实际工作中是一个非常复杂的过程，受激光光束的发散角、大气湍流、大气传输特性^[2-3]、目标特性^[4]、望远镜指向误差^[5-6]、距离^[7]、接收孔径大小等多种因素的影响，其中任何一个相关因数的变化都会引起激光测距中回波光子数的变化。因此，分析研究回波光子随上述各因素的变化规律，对激光测距理论研究、系统性能评估以及系统设计具有重要意义。

Matlab是世界上使用最为广泛的数学软件之一，它具有强大的数值计算、数据处理、系统分析、图形显示、符号运算等功能，是一个完整的数学平台^[8]。本文利用Matlab平台开发了用户应用界面，估算上述多种因素对激光测距系统回波光子的影响，通过设置测距系统的相关参数(例如测距波长、能量、接收口径等)可方便直观地对激光测距回波光子分布特性进行分析研究，为测距系统的设计提供理论依据。

1 回波光子数估算 1.1 激光测距方程

设测距激光器发射的单个激光脉冲能量为E_t，波长为λ，普朗克常数为h，光速为c，激光器的发射增益为G_t，发射系统的发射效率为η_t，则从地面测距系统发射的单个激光脉冲的光子数为$ {{E}_{\text{t}}}\frac{\lambda }{hc}{{\eta }_{\text{t}}}{{G}_{\text{t}}} $，它以发散半角θ_d均匀地投向目标(以合作目标为例)，测站到目标的距离为R，激光穿过大气的单程透过率为T_a，穿过云层的单程透过率为T_c，则激光脉冲到达目标时，形成面积为π(θ_dR²)的光斑，发射处激光束半径为r，而只有到达目标的有效反射面积σ上的光子数$ {{E}_{\text{t}}}\frac{\lambda }{hc}{{\eta }_{\text{t}}}{{G}_{\text{t}}}{{T}_{\text{a}}}{{T}_{\text{c}}}\frac{\sigma }{\pi {{({{\theta }_{\text{d}}}R+r)}^{2}}} $能以角反射器发散半角θ_m反射回测站，目标的反射率ρ，考虑到激光在大气和云层中的双程透过率，望远镜有效接收面积为A_r，接收系统的接收效率为η_r，则激光测距过程中，单个激光脉冲能够抵达探测器的平均回波光子数n_s为

$ {{n}_{\text{s}}}=\left( {{E}_{\text{t}}}\frac{\lambda }{hc} \right){{\eta }_{\text{t}}}{{G}_{\text{t}}}\frac{\sigma }{\pi {{({{\theta }_{\text{d}}}R+r)}^{2}}}\frac{{{A}_{\text{r}}}}{\pi {{({{\theta }_{\text{m}}}R)}^{2}}}\rho {{\eta }_{\text{r}}}{{T}_{\text{a}}}^{2}{{T}_{\text{c}}}^{2}. $

(1)

1.1.1 激光指向偏差和望远镜跟踪误差对回波光子数的影响

假设激光器发射的激光为高斯光束，则高斯光束的发射增益G_t可表示如下^[9-11]：

$ {{G}_{\text{t}}}=\frac{8}{{{\theta }_{\text{d}}}^{2}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ exp}\left[~-2{{\left( \frac{{{\theta }_{\text{p}}}}{{{\theta }_{\text{d}}}} \right)}^{2}} \right], $

(2)

其中，θ_d是激光束的发散半角；θ_p是激光束的指向误差。

n_s是在没考虑指向误差情况下的平均回波光子数，当考虑指向误差时，单个脉冲的平均回波光子数为^[9]：

$ \left\langle {{n}_{\text{s}}} \right\rangle ={{n}_{\text{s}}}\int\limits_{-\infty }^{\infty }{\text{d(}\delta \alpha \text{)}p\text{(}\delta \alpha \text{)}}\int\limits_{-\infty }^{\infty }{\text{d(}\delta \beta \text{)}p\text{(}\delta \beta \text{)}}\exp \left[-2{{\left( \frac{\alpha +\delta \alpha +\beta +\delta \beta }{{{\theta }_{\text{d}}}} \right)}^{2}} \right], $

(3)

其中，α、β分别为方位、俯仰指向偏差；δα、δβ分别为方位、俯仰实时随机误差；p(δα)、p(δβ)分别为方位、俯仰随机指向误差的概率分布函数。

假设p(δα)、p(δβ)均是高斯函数，则：

$ p\text{(}\delta \alpha )=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\frac{1}{{{\theta }_{\alpha }}}\exp \left[-2{{\left( \frac{\delta \alpha }{{{\theta }_{\alpha }}} \right)}^{2}} \right], $

(3-1)

$ p\text{(}\delta \beta )=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\frac{1}{{{\theta }_{\beta }}}\exp \left[-2{{\left( \frac{\delta \beta }{{{\theta }_{\beta }}} \right)}^{2}} \right], $

(3-2)

其中，θ_α、θ_β分别为望远镜的方位、俯仰跟踪误差。

将(3-1)、(3-2)式代入(3)式，得到：

$ \langle {{n}_{\text{s}}}\rangle ={{n}_{\text{s}}}\frac{{{\theta }_{_{\text{d }\!\!\alpha\!\!\text{ }}}}{{\theta }_{_{\text{d }\!\!\beta\!\!\text{ }}}}}{{{\theta }_{\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }}}{{\theta }_{\text{ }\!\!\beta\!\!\text{ }}}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ exp}~\left[-2\left( \frac{{{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}}}{{{\theta }_{\text{d}}}^{2}} \right) \right]\text{ }\!\!~\!\!\text{ exp}~\left[\frac{2}{{{\theta }_{\text{d}}}^{4}}({{\alpha }^{2}}{{\theta }_{\text{d }\!\!\alpha\!\!\text{ }}}^{2}+{{\beta }^{2}}{{\theta }_{\text{d }\!\!\beta\!\!\text{ }}}^{2}) \right], $

(4)

此处定义：

$ \frac{1}{{{\theta }_{\text{d }\!\!\alpha\!\!\text{ }}}^{2}}=\frac{1}{{{\theta }_{\text{d}}}^{2}}+\frac{1}{{{\theta }_{\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }}}^{2}}, $

(4-1)

$ \frac{1}{{{\theta }_{\text{d }\!\!\beta\!\!\text{ }}}^{2}}=\frac{1}{{{\theta }_{\text{d}}}^{2}}+\frac{1}{{{\theta }_{\text{ }\!\!\beta\!\!\text{ }}}^{2}}. $

(4-2)

在不考虑指向偏差时，即α=β=0，(4)式可简化为

$ \langle {{n}_{\text{s}}}\rangle ={{n}_{\text{s}}}\frac{{{\theta }_{\text{d }\!\!\alpha\!\!\text{ }}}{{\theta }_{\text{d }\!\!\beta\!\!\text{ }}}}{{{\theta }_{\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }}}{{\theta }_{\text{ }\!\!\beta\!\!\text{ }}}}. $

(5)

如果望远镜方位、俯仰跟踪误差概率分布相同，即θ_α=θ_β=θ_j，则(5)式可表示为

$ \langle {{n}_{\text{s}}}\rangle ={{n}_{\text{s}}}\frac{{{\theta }_{\text{dj}}}^{2}}{{{\theta }_{\text{j}}}^{2}}={{n}_{\text{s}}}\frac{1}{1+\frac{{{\theta }_{\text{j}}}^{2}}{{{\theta }_{\text{d}}}^{2}}}. $

(6)

其中，θ_j是望远镜的跟踪误差。

将(1)、(2)式代入(6)式，得到单个激光脉冲在接收器光敏面上产生的平均回波光子数方程为

$ \begin{align} & \langle {{n}_{\text{s}}}\rangle =\left( {{E}_{\text{t}}}\frac{\lambda }{hc} \right){{\eta }_{\text{t}}}\frac{\sigma \rho }{\pi {{({{\theta }_{\text{d}}}R+r)}^{2}}}\frac{8}{{{\theta }_{\text{d}}}^{2}}\text{exp}~\left[-2{{\left( \frac{{{\theta }_{\text{p}}}}{{{\theta }_{\text{d}}}} \right)}^{2}} \right]\left[\frac{1}{1+{{\left( \frac{{{\theta }_{\text{j}}}}{{{\theta }_{\text{d}}}} \right)}^{2}}} \right] \\ & \frac{{{A}_{\text{r}}}}{\pi {{({{\theta }_{\text{m}}}R)}^{2}}}{{\eta }_{\text{r}}}{{T}_{\text{a}}}^{2}{{T}_{\text{c}}}^{2}. \\ \end{align} $

(7)

1.1.2 大气湍流对回波光子数的影响

激光束在大气中传输时，不只受大气散射和吸收的影响，还受大气湍流的影响，当激光束在大气湍流中传输时，由于大气折射率的随机起伏，光束的波前相位发生畸变，从而产生光束扩展、漂移及光强闪烁等现象^[12]。

当激光束沿Z轴在大气中传输时，对垂直于Z轴且在R_o处的一平面取一个曝光非常短的光斑图像如图 1，一个半径为ρ_s的扩展了的光斑，光斑漂移至距原中心O为ρ_c处，当观测时间较长时，众多短期项漂移量ρ_c和扩展量ρ_s综合效应表现为长期项扩展ρ_L，其均方值为^{[9, 13]}

$ \langle {{\rho }_{\text{L}}}^{2}\rangle =\langle {{\rho }_{\text{c}}}^{2}\rangle +\langle {{\rho }_{\text{s}}}^{2}\rangle, $

(8)

〈ρ_L²〉定义为

$ \langle {{\rho }_{\text{L}}}^{2}\rangle =\frac{\iint{{{\text{d}}^{2}}\rho \rho {{\Gamma }_{2}}(z,\rho ,\rho )}}{\iint{{{\text{d}}^{2}}\rho {{\Gamma }_{2}}(z,\rho ,\rho )}}. $

(9)

在z=0平面上的初始高斯光场分布u_o(ρ′)为

$ {{u}_{\text{o}}}({\rho }')={{e}^{\left(-\frac{{{{{\rho }'}}^{2}}}{2{{r}^{2}}}-\frac{ik{{{{\rho }'}}^{2}}}{2F} \right)}}, $

(10)

其中，r为光束的初始半径；F为曲率半径。

光场分布二阶矩公式为^[13-14]

$ \begin{gathered} {\mathit{\Gamma} _2}({R_{\text{o}}},{\rho _1},{\rho _2}) = {\left( {\frac{k}{{2\pi {R_{\text{o}}}}}} \right)^2}\iint {{{\text{d}}^2}{{\rho '}_{_1}}}\iint {{{\text{d}}^2}{{\rho '}_{_2}}{u_{\text{o}}}({{\rho '}_1}){u_{\text{o}}}^ * ({{\rho '}_{_2}})}.\; \hfill \\ {\text{exp}}\left\{ \begin{gathered} \frac{{ik}}{{2{R_{\text{o}}}}}[{({\rho _1} - {{\rho '}_1})^2} - {({\rho _2} - {{\rho '}_2})^2}] \hfill \\ \frac{{\;\; - \pi {k^2}}}{4}\int\limits_0^{R{\text{o}}} {{\text{d}}R'H} \left[ {R\prime ,\frac{{R\prime }}{{{R_{\text{o}}}}}({\rho _1} - {\rho _2}) + (\rho {\prime _1} - \rho {\prime _2})\left( {1 - \frac{{R\prime }}{{{R_{\text{o}}}}}} \right)} \right] \hfill \\ \end{gathered} \right\} \hfill \\ \end{gathered} $

(11)

将(10)式代入(11)式，可以得到：

$ \langle {{\rho }_{\text{L}}}^{2}\rangle \approx \frac{{{R}_{\text{o}}}^{2}}{{{k}^{2}}{{r}^{2}}}+{{r}^{2}}{{\left( 1-\frac{{{R}_{\text{o}}}}{F} \right)}^{2}}+\frac{17.6{{R}_{\text{o}}}^{2}}{{{k}^{2}}{{r}_{\text{o}}}^{2}},$

(12)

其中，r_o为大气相干长度；波数k=2π/λ；R_o为光束受大气湍流影响的传输距离。

由于短期项漂移与扩展体现的是大气湍流对激光束的实时效应，而长期项扩展是包括短期项漂移与扩展的综合效应，因此本文用大气湍流对激光束的长期项扩展来分析激光测距中回波光子数。长期项扩展的半径为$ \sqrt{\left\langle {{\rho }_{\text{L}}}^{\text{2}} \right\rangle } $，将其代入(7)式，得到单个激光脉冲在接收器件光敏面上产生的平均回波光子数方程为

$ \begin{align} & \langle {{n}_{\text{s}}}\rangle =\left( {{E}_{\text{t}}}\frac{\lambda }{hc} \right)\frac{{{\eta }_{\text{t}}}\sigma \rho }{\pi {{({{\theta }_{\text{d}}}R+r+\sqrt{\langle {{\rho }_{\text{L}}}^{2}\rangle })}^{2}}}\frac{8}{{{\theta }_{\text{d}}}^{2}}~\text{exp}\left[-2{{\left( \frac{{{\theta }_{\text{p}}}}{{{\theta }_{\text{d}}}} \right)}^{2}} \right]~\left[\frac{1}{1+{{\left( \frac{{{\theta }_{\text{j}}}}{{{\theta }_{\text{d}}}} \right)}^{2}}} \right] \\ & \frac{{{A}_{\text{r}}}{{\eta }_{\text{r}}}}{\pi {{({{\theta }_{\text{m}}}R)}^{2}}}{{T}_{\text{a}}}^{2}{{T}_{\text{c}}}^{2}. \\ \end{align} $

(13)

1.1.3 大气和云层对回波光子数的影响

能见度是以气象能见距离度量的^[15]。气象能见距离是指正常视力的人在当时天气条件下，能够从天空背景中看到和辨认目标物(黑色，大小适度)的最大水平距离^[16]。用经验公式确定的大气衰减计算公式为^[17-19]

$ {{\beta }_{\text{a}}}=\frac{3.91}{{{V}_{\text{a}}}}{{\left( \frac{\lambda }{0.55} \right)}^{-q}}, $

(14)

其中，V_a和λ的单位分别为km和μm；当大气能见度V_a < 6 km时，q=0.585V_a^1/3；中等能见度时，q=1.3；当能见度V_a> 80 km时，q=1.6。所以大气透过率T_a为

$ {{T}_{\text{a}}}=1-{{\beta }_{\text{a}}}. $

(15)

厚积云的存在限制了光波长的范围，对于总光学厚度小于0.5的云层，波长范围从0.317 μ到12 μ的卷云透过率的计算公式为^[9]

$ {{T}_{\text{c}}}=\text{exp }\!\![\!\!\text{ }-0.14{{({{t}_{\text{c}}}\text{sec}{{\theta }_{\text{a}}})}^{2}}\text{ }\!\!]\!\!\text{, } $

(16)

其中，t_c为平均卷云厚度；θ_a为天顶角。

将(14~16)式代入(13)式，得到单个激光脉冲在接收器光敏面上产生的平均回波光子数方程为

$ \begin{align} & \langle {{n}_{\text{s}}}\rangle =\left( {{E}_{\text{t}}}\frac{\lambda }{hc} \right){{\eta }_{\text{t}}}\frac{8}{{{\theta }_{\text{d}}}^{2}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ exp}\left[-2{{\left( \frac{{{\theta }_{\text{p}}}}{{{\theta }_{\text{d}}}} \right)}^{2}}-0.28{{({{t}_{\text{c}}}\text{sec}{{\theta }_{\text{a}}})}^{2}} \right]\left[\frac{1}{1+{{\left( \frac{{{\theta }_{\text{j}}}}{{{\theta }_{\text{d}}}} \right)}^{2}}} \right] \\ & \left( 1-\frac{3.91}{{{V}_{\text{a}}}}{{\left( \frac{\lambda }{0.55} \right)}^{-q}} \right){{~}^{2}}\frac{\sigma \rho }{\pi {{({{\theta }_{\text{d}}}R+r+\sqrt{\langle {{\rho }_{\text{L}}}^{2}\rangle })}^{2}}}\frac{{{A}_{\text{r}}}{{\eta }_{\text{r}}}}{\pi {{({{\theta }_{\text{m}}}R)}^{2}}}. \\ \end{align} $

(17)

1.2 软件设计

由1.1节可见，测距回波光子分布受多种因素的影响，实际的激光测距过程极其复杂。为了更好地对测距回波光子分布特性进行分析与研究，利用Matlab平台下的图形用户界面(Graphical User Interface, GUI)开发了激光测距回波光子分布特性分析软件，分析研究并实时显示诸因素对回波光子数的影响。软件界面包括：发射系统(如激光能量、波长、发散角、指向偏差、望远镜的跟踪误差等)，接收系统(如望远镜有效接收口径、目标有效光学直径、角反射器反射回测站的光束发散角、目标距离等)，大气和云层透过率，湍流等因素，相关图形和结果显示项等，如图 2、图 3。

平均回波光子数和目标距离的关系如图 2。在其它各参数相同的情况下，探测到的回波光子数随距离的增大而减少；当修改任一参数时，回波光子数将作相应的改变。

在界面上可以便捷地选择输出不同的关系图，以图 3不同天顶角情况下回波光子数与距离的关系为例，由于随着海拔高度的升高，大气的衰减系数降低，因此，在地面激光测距时，沿竖直方向的探测距离要比沿水平方向大得多。沿各个不同天顶角探测到的平均回波光子数随距离的变化由图可知：在大气条件相同的情况下，沿竖直方向和水平方向探测到的平均回波光子数的差别随距离的增大而减小。当探测距离相同时，天顶角从0°(竖直方向)到90°(水平方向)变化的过程中，在天顶角较小时，随着天顶角的增大，回波光子数减少较慢。当天顶角较大时，随着天顶角的增大，回波光子数减少很快。这主要是受大气中气溶胶对光的吸收和散射的影响^[20]。软件根据(17)式编写，综合考虑多种因素，具有较强的通用性。

2 测距系统回波光子数估算

以云南天文台1.2 m望远镜原有的激光测距系统为例，估算测距系统回波光子数。系统参数^{[13, 21]}：单个激光脉冲的能量E_t是0.15 J，波长λ是532 nm，激光束的初始半径r是30 cm，激光发射系统的发射效率η_t是0.5，激光束的发散半角θ_d是10″，激光束的指向误差Δθ_p是30″，望远镜的跟踪误差Δθ_j是10″，目标的有效光学直径D_o是1 m，角反射器反射回测站的光束发散半角θ_m是20″，目标的反射率ρ是0.8，望远镜有效口径D_r是1.060 m，光束受大气湍流影响的传输距离R_o是30 km，大气相干长度r_o是10 cm，接收系统的接收效率η_r是0.5，激光穿过大气的单程透过率T_a是0.8，激光穿过云层的单程透过率T_c是0.84。由图 4可知，测站到目标的距离R范围为400 km到1 000 km时，得到的平均回波光子数约为2.1 × 10¹⁰。

3 结论

本文较全面地考虑了影响激光测距的各种因素，给出了测距方程较详细的推导和表达式，并对测距中回波光子数进行了理论分析和估算；利用Matlab平台编制了一套关于激光测距系统回波光子分布特性的通用分析软件，在界面上可以针对不同的测距系统便捷地调整每个相关参数，还可以通过关系图更直观地对系统的各相关参数和回波光子数进行总体分析，从而为探测器的选择及测距系统的设计提供理论依据。在今后的工作中将对探测器和测距系统进行相关的分析和研究；在实际工作中，由于激光测距过程的复杂性，将对软件部分参数做深一步的探讨，对系统进行进一步优化。