星系中心普遍存在超大质量的黑洞^{[1, 2, 3]}。观测发现星系中超大质量黑洞的质量M_BH与星系核球速度弥散σ或者星系核球质量M_b之间存在紧致关系，即M_BH-σ关系或M_BH-M_b关系^{[2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12]}。这种紧致关系预示着超大质量黑洞与星系相互影响共同演化。人们一般采用活动星系核反馈机制解释M_BH-σ(或M_BH-M_b)关系。活动星系核反馈机制包括能量驱动反馈机制^{[13, 14]}和动量驱动反馈机制^{[15, 16, 17]}。能量驱动反馈是指黑洞吸积释放的总能量能够有效地转移为星系中气体整体的热能或动能，并足以使这些气体摆脱星系束缚而逃出星系，这一机制可导致M_BH∝σ⁵。动量反馈则是指由黑洞吸积导致的风或外流将动量传递给周围气体，并扫除这些气体从而终止了黑洞吸积和星系成长，并预言M_BH∝σ⁴。目前尚不清楚活动星系核反馈究竟是能量还是动量反馈机制主导以及反馈机制的具体微观物理过程。

根据星系的黑洞质量和速度弥散测量，文^[1]采用等温球模型研究活动星系核反馈的有效性。他们估计了气体从星系中逃出时所需的能量约为M_gcσ(c和M_g分别为光速和星系中气体的总质量)，并将其与黑洞吸积释放的总能量ηM_BHc²(η=0.1为质能转换或辐射效率)进行对比，发现单纯由黑洞吸积形成的风可能不足以将星系中气体全部吹出星系。因此活动星系核的反馈可能无效。

文^[1]采用等温球模型描述星系的质量密度分布和势场分布。等温球分布在靠近星系核球中心位置密度与实际星系的密度分布相比过高，而且在星系外边界密度并不收敛。因而文^[1]可能过高地估计了气体的逃逸速度v_e(r)。另外文^[1]采用(r_es-r)/v_e(r_es)(r_es为气体逃逸半径)估计气体逃逸时标τ时，过高估计了气体的逃逸时标。由于星系中气体的逃逸速度随星系中心的距离降低，因而文^[1]有可能过高估计了气体逃出活动星系核所需的时间以及所需的能量。总之，对于文^[1]计算的ηM_BHc²/M_gcσ<1，其核活动的反馈相应未必真的无效。为解释此问题，收集了一个星系样本，每一个样本星系有观测给出的面亮度分布数据。根据这些观测可以得到星系的密度分布轮廓，并估计星系的寄主暗物质晕质量及暗物质密度分布和星系势场。利用这些密度分布，重新考虑了在这些样本星系中的动量反馈过程，并检验了动量反馈过程的有效性。

论文第1节引入观测样本以及有关星系面亮度分布的观测数据^{[8, 10, 11, 12, 18, 19, 20, 21, 22]}；第2节根据面亮度分布得到样本星系的物质密度分布，并估计暗物质晕的大小和密度分布；第3节重新考虑活动星系核动量反馈过程及其有效性；第4节探讨气体向外扩散时康普顿冷却对活动星系核反馈的影响；第5节讨论影响动量反馈有效性的几个因素；第6节得出结论。

1 星系样本

为检验活动星系核反馈的有效性，收集了29个星系的相关观测数据(表 1)。这29个星系核区部分(0.1″-10″)均由哈勃望远镜观测。哈勃观测的星系面亮度分布I(R)可以由Nuker law拟合，即

式中，α、β和γ为Nuker law分布的拟合参数；R为到星系中心的二维投影距离；r_b和I_b分别为V波段系面亮度的截断半径和截断半径处的面亮度。当R$ \gg $r_b时，I(R)∝R^-β；当R$ \ll $r_b时，I(R)∝R^-γ。各样本星系V波段的相关拟合参数^{[8, 10, 11, 12, 18, 19, 20, 21, 22]}在表 1中列出，文中选取的数据采用宇宙学一致模型，即哈勃常数H₀为70 km s^-1/Mpc，物质相对密度为Ω_m=0.27，暗能量相对密度为Ω_Λ=0.73。

对于核区之外部分，星系的面亮度分布可以由de Vaucouleurs给出，即

式中，R_e为V波段星系的半光度半径；I_e为R_e处星系的面亮度(R_e的数据来自文^[19])。

为研究活动星系核反馈机制的有效性，需要知道星系中心黑洞的质量。表 1中一部分样本星系中心黑洞的质量直接来自测量值，而对于其它没有黑洞直接测量的样本星系则通过M_BH-σ关系，即

给出黑洞质量估计。参数(α,β)在M_bulge≤10^11.5M_⊙时，取(8.40 ± 0.09，5.08 ± 0.7)；在M_bulge＞10^11.5M_⊙时，取(8.52 ± 0.47，4.69 ± 2.69 )^[10]。

2 星系的物质分布和势场分布

星系内的物质包括星系中心的超大质量黑洞、恒星、气体和暗物质晕。若假设星系为球对称分布，除中心超大质量黑洞外，星系内的物质密度分布可表述为

式中，ρ_*(r)为恒星质量密度分布；ρ_g(r)为气体的密度分布；ρ_h(r)为暗物质质量密度分布。由于考虑椭圆星系或核球，相对于恒星成分和暗物质成分，气体成分可能并不重要(例如≲10%ρ_*(r))，因此在势场的计算中，忽略气体的贡献。

2.1 恒星质量密度轮廓

星系的质量密度分布ρ_*(r)可以通过对星系面亮度分布I作积分变换直接得到^[23]，即

式中，Υ指星系中恒星的质量与星系光度比；R为到星系中心的投影距离；dI/dR是星系面亮度随R变化的梯度。

表 1列出了面亮度分布Nuker law拟合参数，它们是通过对V波段的数据拟合得到。为计算ρ_*(r)，需要有V波段的质光比Υ_V，文^[20]给出的r波段的质光比Υ_r，将其转换成V波段的质光比Υ_V，即Υ_V=Υ_rL_r10^{(4.83-M_V)/2.5}，式中，L_r是星系r波段的光度；M_V是V波段的绝对星等(相关数据在表 1中列出)。定义包含星系总光度的95%位置为星系的外半径R₀，即

根据(6)式可以求得星系的外半径R₀。通过对(5)式进行积分可以得到半径r以内的恒星总质量为

2.2 暗物质质量密度轮廓

星系的暗物质质量密度分布一般可以由Nav-arro-Frenk-White(NFW)密度轮廓给出^[24]，即

式中，ρ_crit=3H₀²/8πG为宇宙临界物质密度；G为引力常数；H₀为哈勃常数取70 kms^-1/Mpc；，参量c_s为聚度，r₂₀₀为暗物质晕的维里半径。根据文^[25]，c_s=A${\left( {{{{M_{\rm{h}}}} \over {{M_{{\rm{pivot}}}}}}} \right)^B}$，这里M_pivot、A和B分别为2×10¹²h^-1M_⊙、5.74和-0.097；M_h为星系寄主暗物质晕的质量。单个星系的寄主暗物质晕的质量不容易得到，表 1中大多数星系的暗物质晕的质量无准确测量。采用星系的恒星总质量(M_*,total)与其寄主暗物质晕(M_h)之间的关系^[26]估计M_h，即 式中，M_*,0是恒星特征质量；M₁是暗物质晕的特征质量；γ、δ和β均为拟合参数。根据文^[26]，M_*,0、M₁、β、δ和γ分别为10.72、12.35、0.43、0.56和1.54。对于表 1中M_*,total>10^11.5M_⊙的5个星系，它们都存在于室女座星系团中，其寄主暗物质晕的质量约为M_h~1.2×10¹⁵M_⊙^[27]。

采用上述设定，根据(5)式和(8)式得到恒星质量密度随半径r的分布ρ_*(r)和恒星与暗物质总质量密度随半径r的分布ρ(r)。图 1展示了恒星质量密度分布ρ_*(r)，包括暗物质星系质量密度分布ρ(r)以及等温球模型下星系的质量密度分布ρ_iso(r)。由图 1可知，在离星系中心几个kpc之内暗物质对星系的质量贡献不大，但超过10 kpc后星系中的暗物质开始占主导。此外，等温球模型下星系的质量密度分布为ρ_iso(r)=${{\sigma _{\rm{s}}^2} \over {2\pi G{r^2}}}$，采用等温球模型描述星系质量密度分布，则如图 1中红色实线。在靠近星系中心处，等温球模型给出星系质量密度过高，由等温球密度分布可知，在星系的外边界密度并不收敛。

根据星系及其寄主暗物质晕的质量密度分布可以得到它们的势场分布^[23]：

式中，r_vir为暗物质晕的维里半径。再通过星系的势场分布(10)式得到星系中不同位置r处气体或粒子的逃逸速度v_e(r)。定义逃逸速度为v_e(r)=$\sqrt { - 2\left[ {\Psi \left( r \right) - \Psi \left( {{r_{{\rm{vir}}}}} \right)} \right]} $，即气体或粒子逃逸出星系寄主暗物质晕维里半径所需的最小速度。

图 2展示了只考虑恒星物质或考虑暗物质晕的情况下，星系中不同位置r处的气体或粒子的逃逸速度v_e(r)，以及这两种情况下星系外半径R₀处的逃逸速度v_e(R₀)。由图 2可知，当考虑星系周围暗物质晕时，星系气体的逃逸速度更大，即气体要摆脱星系和暗物质晕的束缚更加困难。

3 动量驱动反馈

动量反馈可能是导致M_BH-σ_e关系的主导机制^{[16, 17]}。由于核活动性输出的动量~f_pL(t)/c(或动能)会将星系核心处和星系中的气体挤压至气体壳层(r→r+dr)并向外驱离此气体壳层，这里L(t)是活动星系核的光度，观测表明f_p为量级在1左右的常数因子^[28]，标志外流的动量输出与辐射光子总动量间的比例。若只考虑恒星物质的影响，根据动量守恒定律可有

M_*(<r)为半径r之内的恒星总质量；M_g(<r)=f_gM_*(<r)，为半径r之内的气体质量；f_g为气体质量与恒星质量之比。为方便研究，将(11)式转换为 式中，ξ=f_p/f_g。

星系一般存在于暗物质晕之中，若考虑暗物质晕对气体的引力束缚作用，上述动量方程则应替换为

式中，M_h(<r)为半径r之内的暗物质的质量；f_g仍然是气体与恒星质量之比。为方便研究，将(13)式转换为 在核活动触发后，给定L(t)的演化形式，星系核心的气体由于核活动的动量输出推至气体壳层r(t)→r(t)+dr(t)中。此壳层随时间演化可以由上述(12)式和(14)式给出。在核活动结束时，气体壳层的半径达到r_f，速度为v_f，若v_f大于r_f处的逃逸速度v_e(r_f)，则认为核活动性的动量反馈足够强以至于可以将星系中的气体驱离星系。若v_f<v_e(r_f)，则动量反馈不足以将气体驱离星系难以终止核活动性。

采用两种光度随时间演化的形式求解(12)式和(14)式。其一是假设L(t)不随时间演化，取L(t)=L_Edd(M_BH)=4πGcμ_em_pM_BH/σ_T，L_Edd为最大光度极限爱丁顿光度(假设气体全部电离的情况)，μ_e=1.15^[29]为质子相对电子的个数(取星系中气体成分比例为原初比例，即氢占76%，氦占24%。当然其他元素也会影响平均分子量，但由于其他元素的比例较低，直接略去)，m_p为质子质量，σ_T电子散射截面。若中心黑洞为克尔黑洞，则活动星系核活动性持续一个Salpeter时标，为τ_s=${{{M_{{\rm{BH}}}}{c^2}} \over {{L_{{\rm{Edd}}}}}}{\varepsilon \over {1 - \varepsilon }}$，ε为辐射效率。观测给出辐射效率在0.1左右，因此τ_s≃4.3×10⁷ yr；若中心黑洞为快速旋转的克尔黑洞，且自旋参量取为0.998^[30]，则τ_s≃1.7×10⁸ yr。其二假设L(t)随时间指数变化L(t)=L_Edd(M_BH,0)${e^{{{t - {t_0}} \over {{\tau _{\rm{s}}}}}}}$(这里M_BH,0为今天黑洞质量； t₀为核活动终止时的宇宙学时间)，由于黑洞质量通过吸积过程获得^[31]，因此，取t∈(-τ_s+t₀,t₀)。通过数值计算得出活动星系核演化一个周期后星系中气体壳层的速度v_f与气体壳层的逃逸速度v_e(r_f)，将两者作对比能够反映每个星系动量反馈的强弱。

求解(12)式和(14)式得出部分星系中气体能够克服恒星(或包括暗物质晕)的引力束缚所能达到的速度v_f和能够到达的位置r_f。核活动触发后星系中气体外流，样本星系中部分星系的活动星系核单位时间内输出的动量大于气体受到来自恒星(或包括暗物质)的引力束缚，气体动量会一直增加，当核活动终止时，有些星系气体已成功地逃出星系束缚(r_f>R₀)(或暗物质晕的维里半径r_f>r_vir)；部分星系的气体动量先增加，活动星系核演化到一定时间，单位时间内来自中心引擎的动量小于来自恒星(或包含暗物质)的引力束缚时，气体动量减少。这些星系中有些在核活动终止时，气体外流的速度v_f依然大于气体的逃逸速度v_e(r_f)，气体就能够成功地摆脱星系的束缚，但是这些星系中有些能够逃出恒星的束缚，却逃不出来自暗物质晕的引力束缚。还有部分星系在核活动未终止前，气体壳层已经减速到0，停止向外扩散。

图 3展示了核活动终止时，星系的尺度R₀或暗物质晕的维里半径r_vir与气体壳层到达的位置r_f之间的关系，图中只展示了核活动终止后气体外流速度v_f不为0的星系。

图 4展示了核活动终止时，气体壳层达到的速度v_f与其所在位置r_f处的逃逸速度v_e(r_f)的比值。利用核活动终止后气体壳层的速度v_f与气体所在位置r_f处逃逸速度v_e(r_f)的比值反映星系动量反馈的有效性，即v_f/v_e(r_f)越大，活动星系核动量反馈越明显。图 4(a)可知，只考虑恒星物质影响的情况下，核活动终止时，假定L(t)=L_Edd(M_BH)=const，ξ=10的情况下，样本星系中有11/29星系的气体壳层v_f>v_e(r_f)，其中有3个星系的气体壳层r_f>R₀；ξ=50的情况下，样本星系中有27/29星系的气体壳层v_f>v_e(r_f)，其中有15个星系的气体壳层r_f>R₀，有1个星系的气体壳层r_f>r_vir。图 4(c)可知，只考虑恒星物质影响的情况下，假定L_Edd(M_BH,0)${e^{{{t - {t_0}} \over {{\tau _{\rm{s}}}}}}}$，ξ=10的情况下，样本星系中有7/29星系的气体壳层v_f>v_e(r_f)；ξ=50的情况下，样本星系中有23/29星系的气体壳层v_f>v_e(r_f)，其中有9个星系的气体壳层r_f>R₀，有1个星系的气体壳层r_f>r_vir。这些星系的气体壳层v_f>v_e(r_f)，意味着这些星系的气体能够成功逃出星系，动量反馈有效。由上述结果对比可知，动量反馈导致星系外流的速度与辐射光子总动量的比值f_p，以及星系中气体质量与恒星质量的比值f_g有很强的依赖性。

4 气体冷却

在气体壳层向外扩散的过程中，文^[16]指出康普顿冷却对气体壳层的影响可能很重要。冷却非常迅速就有可能导致气体停止向外扩散，当气体壳层向外扩散时会产生激波而被加热，热电子与光子发生康普顿散射，光子吸收电子的能量，使得气体冷却。康普顿散射导致气体冷却的时标为

其中E是电子的动能量；dE/dt是电子能量耗散速率。若仅考虑简单的单电子逆康普顿散射，其辐射功率^[32]为 式中，β=${{{v_{\rm{i}}}} \over c}$；γ~1-$\sqrt {1 - {\beta ^2}} $；v_i为电子的速度；σ_T是电子散射截面；U_ph是辐射能量密度，U_ph=${{L\left( t \right)} \over {4\pi r{{\left( t \right)}^2}c}}$(L(t)是活动星系核光度)。气体壳层中电子的动能E=9m_pv(t)²/16^[16]，康普顿冷却时标为 式中，v(t)和r(t)是活动星系核演化到t时刻气体壳层的速度和到星系中心的距离；m_p是质子质量；m_e是电子的质量；r_kpc是r(t)以千秒差距为单位的距离值；M₈=M_BH/10³M_⊙。

核活动演化到t时刻，若对应的康普顿冷却时标t_c(t)远小于核活动时标，则气体会被有效地冷却，气体的动量和能量将最终以光子的形式释放，使气体无法逃出星系；反之，若t_c(t)远大于核活动时标甚至Hubble年龄，则气体不能被有效冷却，将继续向外扩散，最终当核活动终止时，若气体壳层的速度v_f大于逃逸速度v_e(r_f)时，气体就能够逃出星系。

图 5展示了核活动终止时，被激波加速气体外流的冷却时标t_c。由图 5可知，核活动终止后部分星系中的气体能够逃出星系的束缚，其康普顿冷却时标t_c远大于活动星系核演化时标τ_s，康普顿冷却对这部分星系的动量反馈过程无影响。

5 讨 论

引入星系的观测数据，重新考虑了动量反馈的过程。第4节中利用核活动终止后气体壳层的速度v_f与气体所在位置r_f处逃逸速度v_e(r_f)的比值反映星系动量反馈的有效性，即v_f/v_e(r_f)越大，活动星系核动量反馈越明显。研究了星系中气体质量与恒星质量之比f_g，外流动量输出与辐射光子总动量的比值f_p以及星系周围的暗物质晕的引力束缚对星系动量反馈有效性的影响。下面讨论星系周围暗物质晕对动量反馈有效性的影响。由图 4(b)可知，考虑恒星物质和暗物质晕共同影响情况下，核活动终止时，假定L(t)=L_Edd(M_BH)=const，ξ=10的情况下，样本星系中有7/29星系的气体壳层v_f>v_e(r_f)；ξ=50的情况下，样本星系中有21/29星系的气体壳层v_f>v_e(r_f)。由图 4(d)可知，考虑恒星物质和暗物质晕共同影响情况下，假定L(t)=L_Edd(M_BH,0)${e^{{{t - {t_0}} \over {{\tau _{\rm{s}}}}}}}$，ξ=10的情况下，样本星系中仅有1/29星系的气体壳层v_f>v_e(r_f)；ξ=50的情况下，样本星系中有16/29星系的气体壳层v_f>v_e(r_f)，以上星系的动量反馈过程有效。对比图 4(a)可知，部分星系中的气体能够摆脱恒星的引力束缚却逃不出暗物质晕的引力束缚，核活动终止后，这些气体向外减速最终停在暗物质晕中，进而得出星系周围暗物质晕对动量反馈有效性可能有影响。

核活动终止后，样本星系中部分星系的气体能够逃出星系(或暗物质晕)，部分星系中的气体在核活动尚未终止已经停止向外扩散，与前者对比，后者星系恒星总质量M_*,total(或暗物质晕质量M_h)与中心黑洞的质量M_BH比值偏大。因此有可能是黑洞质量估计偏小。考虑了黑洞的真实质量稍大于测量给出的中心值(例如为测量值再加上一个标准偏差)这一情况下的活动星系核的动量反馈。

图 6展示了取黑洞质量上限的情况下，核活动终止时，气体壳层达到的速度v_f与其所在位置r_f处的逃逸速度v_e(r_f)的比值。由图 6(a)知，只考虑恒星物质影响的情况下，假定L(t)=L_Edd(M_BH)=const，ξ=10的情况下，样本星系中有15/29星系动量反馈有效；ξ=50的情况下，全部样本星系动量反馈有效。由图 6(b)知，考虑恒星物质和暗物质晕共同影响的情况下，假定L(t)=L_Edd(M_BH)=const，ξ=10的情况下，样本星系中有8/29星系动量反馈有效；ξ=50的情况下，样本星系中有24/29星系动量反馈有效。由图 6(c)知，只考虑恒星物质影响的情况下，假定L(t)=L_Edd(M_BH,0)${e^{{{t - {t_0}} \over {{\tau _{\rm{s}}}}}}}$，ξ=10的情况下，样本星系中有8/29星系动量反馈有效；ξ=50的情况下，样本星系中有28/29星系动量反馈有效。由图 6(d)知，考虑恒星物质和暗物质晕共同影响的情况下，假定L(t)=L_Edd(M_BH,0)${e^{{{t - {t_0}} \over {{\tau _{\rm{s}}}}}}}$，ξ=10的情况下，样本星系中有3/29星系动量反馈有效；ξ=50的情况下，样本星系中有19/29星系动量反馈有效。此外，星系和其寄主暗物质晕的质量在活动星系核反馈作用发生时可能显著小于测量的质量，是由于星系和暗物质晕在核活动结束后通过并合或吸积成长至今有2~3倍^[33]。

6 结 果

本文引入星系观测数据重构了星系的恒星质量密度分布和其寄主暗物质晕的密度轮廓，并据此重新考虑了动量反馈过程。研究并讨论了影响动量反馈有效性的几个因素，诸如星系中气体质量与恒星质量之比f_g，外流动量输出与中心引擎辐射光子总动量之比f_p以及星系周围的暗物质晕引力束缚的影响。发现动量驱动反馈机制在绝大多数星系演化过程中是有效的，从而修正了文^[1]得到的动量反馈无效这一结果。

致谢：感谢陆由俊研究员在理论知识和数值计算方面的指导，以及在论文写作中的帮助。