在任一历元时刻i，接收机接收的载波相位值φ(t)由整数和小数两部分组成，即

正确地检测周跳并恢复是全球定位系统载波相位测量中非常重要且必须解决的问题之一^[6]。检测和修复周跳的方法有很多，例如：伪距相位组合法、电离层残差法^[7]等。伪距相位组合法需要接收机能够输出测量精度高的P码伪距，这对只能测量粗码的单频接收机不适用^[8]；电离层残差法需要有L₁、L₂两个频率的载波相位观测量，也不能应用于单频接收机^{[9, 10]}；针对这一问题，本文提出了在单频粗码定位中联合使用广义延拓外推方法^[11]与单差法^{[12, 13]}对周跳进行检测和修复，充分利用了载波相位单差值误差较小的特点，通过广义延拓外推模型获得较为稳定的单差一步外推值，从而较高精度地检测和修复周跳。实验数据表明，此方法原理简单、易行，外推稳定度较高，能够检测出1周及1周以上的周跳。

对于已知的一组不断增长的从t₁时刻到t_n时刻(或其中一段)的数据序列，例如：(x₁,t₁),(x₂,t₂),…,(x_i,t_i),…,(x_n,t_n)根据其先验数据的变化规律与趋势，欲求t_n+1时刻的x_n+1值，这一问题可以将这组数据通过广义延拓逼近法进行外推处理。与一般的拟合逼近模型不同，广义延拓外推将最新几个测量数据平均值做为插值点锁住，能够充分提高外推值的稳定性，从而达到外推稳定度较高的拟合逼近效果(图 1)。

按照广义延拓逼近的设计理念，令t_n为最新时刻，欲求下一时刻t_n+1的值x_n+1，可建立如下广义延拓外推模型：

当接收机接收载波相位单差测量值时，假设初始测量的一段历元(例如5个历元)能够基本保证单差测量值的正确性，这样就可以对这一段先验单差测量值数据进行存储(见表 1)。

图 1 数据外推示意图 Fig. 1 Illustration of data extrapolation based on the method of Generalized Extended Interpolation

图选项

建立广义延拓先验数据区域空间，在达到最优外推个数时(例如上例中的5个历元)，利用广义延拓外推模型外推出下一时刻的外推值，由于卫星至测量地距离对时间的四阶导数或五阶导数一般已趋近于0^[14]，故广义延拓外推模型中的拟合阶数选取三阶。

设无周跳的载波相位单差测量值符合多项式：

建立广义延拓外推模型：

在(3)式中当t_i=t_n，可得t_n+1时刻的广义延拓外推值_n+1 ，与t_n+1时刻的单差测量值φ_n+1求差，即 φ_n+1- _n+1=δN_n+1，若|δN_n+1|>ε(ε为限值，一般取3σ)^[15]，则说明单差测量值φ_n+1中含有周跳，周跳 估计值为δN_n+1 ，此时刻的单差测量值φ_n+1的整数部分用外推值_n+1的整数部分代替，小数部分保持不变。若|δN_n+1|<ε(ε为限值)，则说明单差测量值φ_n+1中不含有周跳，认为此时刻的单差测量值φ_n+1可用，可以不对单差测量值φ_n+1进行处理。

有了新的、可靠的载波值之后，就可以对广义延拓外推算法数据区域中的单差测量数据进行更新，进行下一时刻的外推，依次循环。

2014年4月17日在北京中国科学院奥运村科学园区用搭载有中科微ATGM332D卫星定位芯片的接收机做定点测试。接收机晶振的短稳大约为5 × 10^-10，采样间隔为1 s，L₁载波的频率为f₁=1.575 42 × 10⁹ Hz，由晶振的随机误差给相邻L₁载波相位的测量值带来约1 s × 5 × 10^-10 × 1.575 42 × 10⁹≈0.78周的影响^[16]。由于非差观测值中含有各项误差(如电离层、对流层等)，对要求测量数据相对精确的拟合法影响较大，不利于周跳的探测，本实验采取对载波相位单差进行处理，可避免测量时环境条件带来的部分误差影响，提高了周跳探测的精度。

选取GPS-32号卫星载波相位连续测量值中138个无周跳的单差数据，在第61~80个历元处人为地加入1周、10周、100周的周跳，经过模型(4)计算得到的广义延拓外推值，与实际测量值进行求差比较，用统计方法分析模型的精度，数据见表 2。

将无周跳、1周周跳、10周周跳、100周周跳的载波相位单差分相位值用广义延拓外推法进行处理，得到的结果如图 2。

图 2 广义延拓外推法检验周跳。(a) 无周跳拟合外推结果；(b) 1周周跳拟合外推结果；(c) 10周周跳拟合外推结果；(d) 100周周跳拟合外推结果 Fig. 2 Detections of the simulated cycle slips using the data extrapolation based on the method of Generalized Extended Interpolation. The curves are for the differences between the extrapolation results and simulated signals. (a) The case of no cycle slip; (b) The case of a one-week cycle slip; (c) The case of a ten-week cycle slip; (d) The case of a one hundred week cycle slip

图选项

由图 2(a)、图 2(b)可以看出，在1 Hz的采样率下，广义延拓外推法得到的外推数据与真实无周跳的测量数据之差在0.6周之内，能够检测出1周及1周以上的周跳，当有大周跳时(例如本例中的10周-图 2(c)、100周-图 2(d))，该方法也能准确地检测出来。

选取有周跳的GPS-14号卫星连续测量值中25个载波相位单差数据进行实测数据处理，其中从第16个数据开始发生了1周的周跳，分别用多项式拟合外推法和广义延拓外推法进行周跳的检测与修复。广义延拓外推法模型(4)，进行优化处理，其中，先验数据选取10个，拟合阶数选取三阶，门限ε=3σ，式中σ为数据修正后，先验数据区间的标准差(随区间内取值的不同而不同)，最后获得数据见表 3。

根据表 3提供的实际测量值、多项式拟合外推修正值以及广义延拓外推修正值，可画出两种周跳检测与修复方法的对比图，见图 3。

由图 3可以看出：从第11个历元开始，两种方法都有外推值的产生，载波相位一次差测量值在第16个历元开始出现了1周的周跳，初始一段历元(16~18)内，多项式拟合外推法能够正确地检测并修复周跳，但经过一段历元后(从19历元开始)，多项式拟合外推法的外推值误差就比较大，相对于测量值偏出较远，在进行整数部分替换后，会把错误的整数值引入修正值中，随着时间的推移，修正后的载波相位单差值会越来越偏离正常的轨迹，最终导致修正值完全不可用。广义延拓外推法由于其原理的不同，将插值点引入拟合之中，将最新一个(或近几个)测量值作为约束参与拟合之中，使拟合得出的曲线不会偏离原测量数据过远，这样外推值就不会偏离原测量数据过远，从而能够平稳地进行外推预测，对相同的数据进行外推处理，广义延拓外推法能够比较精确地检测出发生在第16个历元处的周跳，并及时地完成了修复。

图 3 两种周跳检测与修复方法效果对比图 Fig. 3 Comparison of effects of the two cycle-slip detection/correction methods

图选项

选取GPS-32号卫星载波相位连续测量值中138个无周跳的单差数据分别用多式拟合法与广义延拓外推法进行外推，结果如图 4。

图 4 多项式拟合法与广义延拓外推法外推稳定度对比图 Fig. 4 Comparison of the stabilities of the method of polynomial fitting and the method of data extrapolation based on the Generalized Extended Interpolation

图选项

由图 4可知，多项式拟合外推值的标准差为σ=0.365 780 437 420 087，广义延拓外推值的标准差为σ=0.175 615 598 311 549，广义延拓外推法外推稳定度要比多项式拟合外推法提高大约52%，故相对于多项式拟合法，广义延拓外推能够较为明显地提高周跳的检测能力和检测精度。

本文针对单频粗码定位中周跳的检测与修复问题，结合载波相位单差建立了一种新型的周跳检测和修复模型——广义延拓外推模型，通过仿真和实测数据验证，并与多项式拟合法处理的结果进行对比后得出：(1)广义延拓外推法能够快速地检测出周跳发生的位置并进行及时的修复，是一种有效的判断周跳的方法；(2)广义延拓外推法能够检测并修复1周及1周以上的周跳，外推稳定度要比同数据的多项式拟合外推法高约52%，能够比较精确地检测出小周跳的发生。此方法原理简单，计算方便，外推稳定度较高，是比较适合在工程中应用的一种新方法。