随着我国经济的不断发展，边坡工程的数量与种类越来越多。然而边坡失稳造成的滑坡灾害也时有发生，它不仅造成巨大的经济损失，甚至威胁人民群众的生命安全。因此，边坡安全问题已成为众多学者研究的重点课题，其中，安全系数的估算是关键。董建军等利用SBAS-InSAR监测高海拔排土场边坡安全稳定性^[1]；武梦婷等基于机器学习融合主成分分析法（PCA）、参数调整、影响因素权重分析等建立了一种边坡安全稳定性评价体系^[2]；徐宏等基于正交试验设计，运用MIDAS GTS NX有限元软件计算不同试验水平组合的边坡安全系数，对边坡安全系数影响因素的敏感性进行研究^[3]。

影响边坡安全系数的因素有很多，主要包含边坡高度和坡角、容重、黏聚力、摩擦角和孔隙压力比等，边坡安全系数与这些因素存在非常复杂的非线性关系^[4]。边坡稳定性预测通常使用极限平衡法、数值分析法和有限元法等确定性分析及不确定性分析。饶平平等利用极限分析法和强度折减法建立二维含水边坡，为水位下降过程中其边坡稳定性评估和设计施工提供指导^[5]；江胜华等通过变步长的折减方法，根据位移变化率—强度折减系数曲线的转折突变，判断边坡稳定的安全度^[6]。这些确定性分析虽具精确度较高，但都存在一定的局限性，如计算受特定条件限制、计算量大等。近年来，随着计算机和机器学习使用的快速发展，神经网络和支持向量机等为边坡安全系数估算提供了一种新思路。人工免疫算法、遗传算法（GP）、BP神经网络算法和支持向量机（SVM）等^[7-10]都陆续被应用于边坡安全系数估算，并取得了较好的效果。但上述估算模型也存在不足之处，如遗传算法收敛速度较慢，容易早熟；而BP神经网络算法泛化能力较弱，容易陷入局部最小，且需要较大的训练样本集^[11]。支持向量机以统计学习理论为基础，以结构风险最小化为准则，不仅能很好地解决非线性和高维度问题，而且也适用于小样本的估算^[12]。然而，支持向量机估算系数的精度在很大程度上由模型参数(惩罚系数（C）和核函数参数（g））决定，因此，需要结合智能优化算法来确定支持向量机模型参数的最优值。灰狼优化算法（GWO）是Mirjalili等^[13]提出的一种新型智能优化算法，算法结构简单且容易实现，同时，也具有较好的寻优精度和收敛速度^[14]。GWO算法中，收敛因子（a）随着迭代次数的增加呈线性递减，寻优过程曲线非线性且复杂，将导致寻优结果陷入局部最优，进而影响支持向量机估算系数的精度。

综上，本研究采用指数函数代替线性函数对收敛因子（a）进行递减，以改进灰狼优化算法，提高算法的全局寻优能力，并将改进的灰狼优化算法（IGWO）应用于支持向量机参数寻优，建立IGWO-SVM模型，从而实现对边坡安全系数的估算。

1 IGWO-SVM算法原理 1.1 IGWO原理

GWO算法是根据灰狼捕食猎物活动而开发的一种智能优化算法，狼群内部有严格的等级制度，由高到低依次为α、β、δ、ω4个等级。在实际建模时，将适应度最好的3只狼视为α、β和δ，剩余的狼定义为ω，围绕着α、β和δ更新位置。

狼群围攻猎物的过程定义如式（1）所列。

(1)

式（1）中：D为灰狼与猎物间的距离；X_p（t）为猎物的位置；X（t）为各灰狼当前位置；C为系数。

各灰狼的位置更新公式定义如式（2）所列。

(2)

式（2）中：X_（t+1）为下一次迭代时的位置；A为系数。

系数A的计算公式定义如式（3）所列。

(3)

式（3）中：α为收敛因子，r₁为[0, 1]范围内的随机数。

系数C的计算公式定义如式（4）所列。

(4)

式（4）中：r₂为[0, 1]范围内的随机数。

在实际优化过程中，猎物的位置为未知数，只能假设α、β和δ狼知道猎物的潜在位置，使其他灰狼能进行位置更新。各灰狼围捕猎物的数学模型描述如式（5）所列。

(5)

式（5）中：D_α、D_β、D_δ分别代表α、β、δ狼与其他灰狼的距离；X_α（t）、X_β（t）、X_δ（t）分别代表α、β、δ狼当前的位置；C₁、C₂、C₃为系数。

(6)

(7)

式（6）、式（7）中：X′（t）为ω狼的当前位置，由式（6）和式（7）可知，ω狼的最终更新位置由α、β、δ狼共同决定。

在标准的GWO算法中，收敛因子（a）曲线是线性的。随着迭代次数由2递减到0，寻优过程为复杂的非线性曲线，这将导致寻优结果陷入局部最优。因此，本研究引入指数函数代替线性函数，使算法具有更好的全局寻优能力，指数函数公式如式（8）所列。

(8)

式（8）中：t为当前迭代次数；t_max为最大迭代次数。

两个函数递减曲线如图 1所示，最大迭代次数为100次。

由图 1可知，指数函数的值高于线性函数，且大于1的情况占70%。当指数函数值高于线性函数的50%，说明算法具有更高的全局寻优能力，能更好地平衡算法全局寻优和局部寻优能力。

1.2 SVM原理

SVM是解决分类和回归问题的一种常用方法，对非线性、高维度和小样本等问题依然适用。假设训练数据为（x_i，y_i），i=1，2，…，n（n为训练样本数量），其训练目标函数为：

(9)

式（9）中: w为权重向量；b为偏置常数。

根据结构风险最小化原则，回归问题可被转化为优化问题：

(10)

式（10）中: C表示惩罚系数；ξ_i和ξ_i^*为松弛因子；ε为训练时所允许的最大误差。

优化问题通过建立拉格朗日方程，得到的对偶表达式如下：

(11)

式（11）中: a_i和a_i^*为拉格朗日乘子，C为系数。

假设有边坡稳定实例数据样本，表示为（x_i，y_i），i=1，2，3，…，n，x_i∈R^m，m为训练样本维数；n为训练样本个数，本研究选取6个衡量边坡稳定性状态（重度、黏聚力、摩擦角、坡角、高度和孔隙压力比）作为因子；y_i为边坡稳定安全系数，可以建立关系式如式（12）所列。

(12)

通过二次规划算法进行求解，得到支持向量机边坡安全系数预测模型f（x_i）：

(13)

1.3 IGWO-SVM模型构建

将边坡数据输入SVM模型训练前，需先对数据进行归一化处理，以消除不同影响因素量纲的影响。将归一化后的数据作为SVM模型输入，训练时采用IGWO算法进行寻优，获取最优的惩罚系数（C）和核函数参数（g），建立IGWO-SVM模型。将模型应用于测试集，并通过平均绝对误差（MAE）、平均相对误差（MAPE）和均方根误差（RMSE）进行模型评价。IGWO-SVM模型流程如图 2所示。

2 工程实例

本文选用文献[15]收集的82个典型边坡工程实例为研究对象，其中，将边坡安全系数的6个影响因素（重度、黏聚力、摩擦角、坡角、高度和孔隙压力比）作为模型输入，将安全系数作为模型输出。为与其他方法所得结果形成对比，将82个边坡样本中的前71个样本作为训练集，后11个样本作为测试集，如表 1所列。

在MATLAB软件中运行IGWO-SVM模型，为了验证IGWO-SVM的有效性，与GWO-SVM模型的估算结果作对比，2个模型的核函数均选取径向基核函数，边坡安全系数估算结果如表 2所列。其中，GWO算法寻优结果得到的惩罚系数（C）为1.155 3，核函数参数（g）为4.385 3，而IGWO算法的寻优结果显示得到的C为1.900 3，g为11.628 7，与GWO-SVM模型相比，IGWO-SVM模型的边坡安全系数估算结果与真实值更接近，说明IGWO的寻优结果更准确，也意味着指数函数代替线性函数对收敛因子（a）进行递减效果更佳，在一定程度上能提升寻优算法的全局寻优能力。

为更直观地展示模型估算的准确度，分别计算改进的BP模型、GP模型、GWO-SVM模型、IGWO-SVM模型预测结果的MAE、MAPE和RMSE值，并与文献[15-16]的估算结果进行对比。由表 2可知，IGWO-SVM模型的MAE、MAPE和RMSE值均为最小；与GWO-SVM模型相比，边坡安全系数估算精度较高。因此，IGWO-SVM模型估算边坡安全系数的精度比GWO-SVM模型更高，可精确预测边坡安全系数。

3 结论

在原始灰狼优化算法的基础上，采用指数函数代替原始线性函数递减收敛因子（a），以建立改进的灰狼优化算法，并结合支持向量机构建了IGWO-SVM模型。结果表明，与传统GWO算法相比，IGWO算法的全局寻优能力更强。将模型应用于边坡安全系数估算，结果表明，IGWO-SVM模型的平均绝对误差（MAE）、平均相对误差（MAPE）、均方根误差（RMSE）均优于GWO-SVM模型，建立的IGWO-SVM模型估算边坡安全系数精度更高。因此，IGWO-SVM模型在工程应用中有一定的参考价值。