0 引言

云计算作为一种新型信息储备方式, 已经被越来越多的企业所采用。云计算具有成本低、易于管理、弹性强、资源丰富等特点^[1]。但是在云计算取得巨大的成功的背后, 云计算也存在着巨大的安全问题, 更有专家学者指出云计算的安全问题是制约云计算发展的首要因素^[2]。在云计算中, 将大量数据保存在互联网中, 极易受到破坏和攻击^[3], 无论是对私人云用户或者企业云用户, 储存在云端数据的安全性都是至关重要的, 因此亟须对云服务供应商所提供的云计算服务进行安全评估。多准则决策方法是常用的决策方法, 而云计算安全评估是典型的多准则决策问题, 所以可用多准则决策方法来进行评估。

灰色关联分析方法是一种以各备选方案与理想方案的几何关系和曲线几何形状来判断方案之间关联程度的多准则决策方法, 是对系统发展态势的动态度量, 能较好地解决动态性的问题。而云计算作为不断发展的新产业, 其存在的安全问题也在不断变化, 其评估问题存在一定的动态性, 因此本文选用灰色关联分析方法来对云计算安全进行评估。

灰色关联分析方法自邓聚龙教授提出以来, 不同专家学者对其进行了深入研究。一部分学者认为, 随着时代的发展, 事物的复杂性更胜于前, 人们难以对事物有全面的认识, 所以原方法中精确数值的决策表现形式已不适用, 故提出将模糊集(Fuzzy Set, FS)理论与灰色关联分析方法相结合, 如Liao等^[4]将三角模糊数与灰色关联分析方法结合, 刘勇等^[5]将区间直觉模糊集与灰色关联分析相结合。但在实际情况中, 专家在进行群决策时, 由于无法对所有知识面面俱到, 在评估时更容易给出区间形式的决策信息, 且难免会出现专家各执己见, 谁也无法说服谁的情况, 而区间犹豫模糊集本质上是用多个可能的取值来刻画人们的犹豫性, 能较好地处理在决策时专家意见出现分歧的情况, 较之其他模糊集, 能较完整地保留专家意见。因此本文将区间犹豫模糊集与灰色关联分析方法相结合, 用区间犹豫模糊集来表述专家决策信息, 更加全面地体现专家决策判断。

灰色关联分析方法的计算建立在各备选方案与正负理想方案的距离基础上, 因此将灰色关联方法推广至区间犹豫模糊集, 则需要计算两个区间犹豫模糊集的距离, 但是现有的区间犹豫模糊距离测度^[6-7]大部分皆是由增加区间犹豫模糊集中最大值或者最小值, 使得每个区间犹豫模糊集长度一致来计算, 这一定程度上造成了信息的损失。因此本文提出了新的区间犹豫模糊距离测度公式, 该公式不需对原始数据的长度进行改动, 保留了专家信息的完整性。标准化公式也是多准则决策方法中至关重要的步骤, 是否选择正确的标准化公式将直接影响决策结果。但是在区间犹豫模糊多准则决策中并没有对标准化公式进行更多的探讨, 因此为了方便在区间犹豫模糊环境下计算, 本文提出两种区间犹豫模糊集标准化公式, 即正向、反向两种区间犹豫模糊集标准化公式, 并证明其满足标准化公式的公理性质。

除此之外, 诸多学者还对灰色关联度计算进行探讨, 并提出了灰色点关联度、灰色面积关联度、灰色凸关联度等新的关联度计算方法。但是以上关联度计算方法皆未综合考虑到少数决策专家的意见, 以及评价指标之间可能存在相互冲突的情况, 因此本文将妥协思想与灰色关联度相结合, 提出灰色妥协关联度, 该妥协关联度综合考虑所有专家意见, 较好地处理个体满意度与总体满意度之间的平衡关系, 并且能解决指标冲突时需折中的情况, 提高决策合理性。

基于此, 在上述研究基础上, 本文旨在提出一种区间犹豫模糊灰色妥协关联云计算安全评估方法

1 新的区间犹豫模糊距离测度和标准化公式 1.1 区间犹豫模糊集

Zadeh^[8]于1965年提出模糊集(FS)理论, 以处理决策信息的模糊性。随着模糊领域研究的不断发展, Torra^[9]将模糊集推广成犹豫模糊集, 深入考虑到人们在决策时出现犹豫不定的情形；Chen等^[10]考虑到人们在实际决策中更容易给出区间形式的决策信息, 因此将犹豫模糊集拓展成区间形式, 给出了区间犹豫模糊集(Interval-Valued Hesitant Fuzzy Set, IVHFS)的概念。

定义1^[10]  令X为一给定的集合, 区间[0, 1]上的所有闭子区间构成的集合用D[0, 1]表示。X上的区间犹豫模糊集则表示为${\hat A}$={〈x, ${{\tilde{h}}_{{\tilde{A}}}}$(x)〉|x∈X}, 其中：${{\tilde{h}}_{{\tilde{A}}}}$(x):X→D[0, 1]表示元素x属于集合A的所有可能区间隶属度构成的集合; 称${{\tilde{h}}_{{\tilde{A}}}}$(x)为一个区间犹豫模糊元(Interval-Valued Hesitant Fuzzy Element, IVHFE), 即${{\tilde{h}}_{{\tilde{A}}}}$(x)={$\tilde{\gamma }$|$\tilde{\gamma }$∈${{\tilde{h}}_{{\tilde{A}}}}$(x)}，$\tilde{\gamma }$=[$\tilde{\gamma }$^-, $\tilde{\gamma }$⁺]是一个区间数, $\tilde{\gamma }$^-=inf$\tilde{\gamma }$和$\tilde{\gamma }$⁺=sup$\tilde{\gamma }$分别表示$\tilde{\gamma }$的下界和上界。

1.2 一种新的区间犹豫模糊集距离测度

诸如文献[6-7]所提出的区间犹豫模糊距离测度, 这些距离公式都只适用于长度相同的两个区间犹豫模糊集, 不适用于任何两个长度不同的区间犹豫模糊集, 在计算不同长度的区间犹模糊集时, 进行计算时需增加区间犹豫模糊元个数, 无论增加最大值还是最小值, 一定程度上造成了数据信息的缺失。总结来看, 主要有以下几点缺陷:增加最大值或是最小值都对原始数据进行了改变, 结果有可能不能反映出专家的真实判断; 此外, 选择增加最大值还是最小值还需要考虑决策者的偏好性^[11], 即使考虑了决策者的偏好, 二选一也比让决策者给出某个区间的评判值更困难。针对上述缺陷, 本文提出一种不需要增加区间犹豫模糊元个数的新的区间犹豫模糊集距离测度。

定义2  设$\tilde{h}$_α和$\tilde{h}$_β为两个区间犹豫模糊集, 那么这两个区间犹豫模糊集的距离就可以定义为:

$\begin{align} & =\frac{1}{4}(\frac{\sum\limits_{{{{\tilde{\gamma }}}_{\alpha }}\in {{{\tilde{h}}}_{\alpha }}}{^{\#{{{\tilde{h}}}_{\beta }}}\sqrt{\prod\limits_{{{{\tilde{\gamma }}}_{\beta }}\in {{{\tilde{h}}}_{\beta }}}{\left( \left| \tilde{\gamma }_{\alpha }^{L}-\tilde{\gamma }_{\beta }^{L} \right|+\left| \tilde{\gamma }_{\alpha }^{U}-\tilde{\gamma }_{\beta }^{U} \right| \right)}}}}{\#{{{\tilde{h}}}_{\alpha }}}+ \\ & \frac{\sum\limits_{{{{\tilde{\gamma }}}_{\beta }}\in {{{\tilde{h}}}_{\beta }}}{^{\#{{{\tilde{h}}}_{\alpha }}}\sqrt{\prod\limits_{{{{\tilde{\gamma }}}_{\alpha }}\in {{{\tilde{h}}}_{\alpha }}}{\left( \left| \tilde{\gamma }_{\alpha }^{L}-\tilde{\gamma }_{\beta }^{L} \right|+\left| \tilde{\gamma }_{\alpha }^{U}-\tilde{\gamma }_{\beta }^{U} \right| \right)}}}}{\#{{{\tilde{h}}}_{\beta }}} \\ \end{align}$

下面对该公式是否满足区间犹豫模糊集距离测度的公理^[7]进行验证。

1) 易知, 0≤d_IVHF($\tilde{h}$_α, $\tilde{h}$_β)≤1。

2) d_IVHF($\tilde{h}$_α, $\tilde{h}$_α)=

$\begin{align} & =\frac{1}{4}(\frac{\sum\limits_{{{{\tilde{\gamma }}}_{\alpha }}\in {{{\tilde{h}}}_{\alpha }}}{^{\#{{{\tilde{h}}}_{\alpha }}}\sqrt{\prod\limits_{{{{\tilde{\gamma }}}_{\alpha }}\in {{{\tilde{h}}}_{\alpha }}}{\left( \left| \tilde{\gamma }_{\alpha }^{L}-\tilde{\gamma }_{\alpha }^{L} \right|+\left| \tilde{\gamma }_{\alpha }^{U}-\tilde{\gamma }_{\alpha }^{U} \right| \right)}}}}{\#{{{\tilde{h}}}_{\alpha }}}+ \\ & \frac{\sum\limits_{{{{\tilde{\gamma }}}_{\alpha }}\in {{{\tilde{h}}}_{\alpha }}}{^{\#{{{\tilde{h}}}_{\alpha }}}\sqrt{\prod\limits_{{{{\tilde{\gamma }}}_{\alpha }}\in {{{\tilde{h}}}_{\alpha }}}{\left( \left| \tilde{\gamma }_{\alpha }^{L}-\tilde{\gamma }_{\alpha }^{L} \right|+\left| \tilde{\gamma }_{\alpha }^{U}-\tilde{\gamma }_{\alpha }^{U} \right| \right)}}}}{\#{{{\tilde{h}}}_{\alpha }}})=0 \\ \end{align}$

3) 显然, d($\tilde{h}$_α, $\tilde{h}$_β)=d($\tilde{h}$_β, $\tilde{h}$_α)。

本文所提的区间犹豫模糊距离测度完全符合距离测度三公理, 且本文公式不用改变原区间犹豫模糊集中元素个数, 降低了选取某个最大值或最小值所可能产生的专家偏好风险。直接用原始数据进行计算, 充分保留专家意见, 使得结果能更全面地反映专家评判。下面通过一个简单的算例验证本文所提公式的可行性。

算例1  两个区间犹豫模糊集$\tilde{h}$_α= {[0.3, 0.4], [0.6, 0.7]}和$\tilde{h}$_β={[0.2, 0.3], [0.5, 0.6], [0.8, 0.9]}的距离, 用本文所提公式计算过程如下:

$\begin{array}{l} d\left( {{{\tilde h}_a},{{\tilde h}_\beta }} \right) = \\ \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{2}} \right.\left( {\sqrt[{\rm{3}}]{{\left( {0.1 + 0.1} \right)\left( {0.2 + 0.2} \right)\left( {0.5 + 0.5} \right)}}} \right. + \\ \left. {\sqrt[{\rm{3}}]{{\left( {0.4 + 0.4} \right)\left( {0.1 + 0.1} \right)\left( {0.2 + 0.2} \right)}}} \right) + \\ \frac{1}{{\rm{3}}}\left( {\sqrt[{\rm{2}}]{{\left( {0.1 + 0.1} \right)\left( {0.4 + 0.4} \right)}}} \right. + \\ \sqrt[{\rm{2}}]{{\left( {0.2 + 0.2} \right)\left( {0.1 + 0.1} \right)}} + \\ \left. {\left. {\sqrt[{\rm{2}}]{{\left( {0.5 + 0.5} \right)\left( {0.2 + 0.2} \right)}}} \right)} \right) = 0.213 \end{array}$

1.3 区间犹豫模糊标准化公式

在决策中, 经常会出现属性复杂的指标, 为了消除指标量纲之间的差异, 通常会进行标准化处理。利用不同的标准化方法, 标准化之后的数据不同, 所产生的结果也不同。并且指标属性复杂, 若是选择错误的标准化的方法, 则容易产生错误的决策结果。因此标准化在多准则决策中有异常关键的作用。但是目前在基于区间犹豫模糊集的多准则决策方法中并没有过多的对区间犹豫模糊标准化方法进行探讨, 因此本文提出了新的区间犹豫模糊标准化方法。

参照文献[12]重新构建了两种区间犹豫模糊标准化公式, 即正向型(效益型)和逆向型(成本型)两种标准化公式。

1) 正向型:

$\begin{array}{l} \tilde h = \bigcup\limits_{{{\tilde \gamma }_{ij}} \in {{\tilde h}_{ij}}} {\left\{ {{{\tilde \gamma }_{ij}}} \right\} = \bigcup {\{ [\frac{{\tilde \gamma _{ij}^L}}{{\sqrt {\mathop {\max }\limits_{{{\tilde h}_j}} \left( {\mathop {\max }\limits_{{{\tilde \gamma }_{ij}} \in {{\tilde h}_{ij}}} \left[ {{{\left( {\tilde \gamma ij_{}^L} \right)}^2} + {{\left( {\tilde \gamma _{ij}^U} \right)}^2}} \right]} \right)} }},} } \\ \frac{{\tilde \gamma _{ij}^U}}{{\sqrt {\mathop {\max }\limits_{{{\tilde h}_j}} \left( {\mathop {\max }\limits_{{{\tilde \gamma }_{ij}} \in {{\tilde h}_{ij}}} \left[ {{{\left( {\tilde \gamma _{ij}^L} \right)}^2} + {{\left( {\tilde \gamma _{ij}^U} \right)}^2}} \right]} \right)} }}]\} \end{array}$

2) 逆向型:

$\begin{array}{l} \tilde h = \bigcup\limits_{{{\tilde \gamma }_{ij}} \in {{\tilde h}_{ij}}} {\left\{ {{{\tilde \gamma }_{ij}}} \right\} = \bigcup {\{ [\frac{{1 - \tilde \gamma _{ij}^U}}{{\sqrt {\mathop {\max }\limits_{{{\tilde h}_j}} \left( {\mathop {\max }\limits_{{{\tilde \gamma }_{ij}} \in {{\tilde h}_{ij}}} \left[ {{{\left( {\tilde \gamma _{ij}^L} \right)}^2} + {{\left( {\tilde \gamma _{ij}^U} \right)}^2}} \right]} \right)} }},} } \\ \frac{{1 - \tilde \gamma _{ij}^L}}{{\sqrt {\mathop {\max }\limits_{{{\tilde h}_j}} \left( {\mathop {\max }\limits_{{{\tilde \gamma }_{ij}} \in {{\tilde h}_{ij}}} \left[ {{{\left( {\tilde \gamma _{ij}^L} \right)}^2} + {{\left( {\tilde \gamma _{ij}^U} \right)}^2}} \right]} \right)} }}]\} \end{array}$

其中：$\tilde{\gamma }$_ij^L和$\tilde{\gamma }$_ij^U是某一个区间值下界和上界。

为证明本文所提标准化公式是合理有效的, 根据文献[13]所提的标准化公理性定义, 下面将证明本文所构造的区间犹豫模糊标准化公式满足标准化公式的以下性质。

证明

性质1  单调性。对正向指标而言, 若[γ_a^L, γ_a^U]>[γ_b^L, γ_b^U], 易知正向标准化公式随着[γ_ij^L, γ_ij^U]的增大而增大, 故标准化后的[γ_a^L, γ_a^U]^*>[γ_b^L, γ_b^U]^*, 反向指标亦然。

性质2差异比不变性。设[γ_a^L, γ_a^U], [γ_b^L, γ_b^U]为任意两个正向指标区间评价值, [γ₀^L, γ₀^U]为某一特定值, 则

$\frac{{\left[ {\gamma _a^L,\gamma _a^U} \right] - \left[ {\gamma _0^L,\gamma _0^U} \right]}}{{\left[ {\gamma _b^L,\gamma _b^U} \right] - \left[ {\gamma _0^L,\gamma _0^U} \right]}} = \frac{{\left[ {\gamma {{_a^L}^*},\gamma {{_a^U}^*}} \right] - \left[ {\gamma {{_0^L}^*},\gamma {{_0^U}^*}} \right]}}{{\left[ {\gamma {{_b^L}^*},\gamma {{_b^U}^*}} \right] - \left[ {\gamma {{_0^L}^*},\gamma {{_0^U}^*}} \right]}}$

性质3  区间稳定性。对正向指标而言, 对原数据进行标准化后处理的数据随着原数据的增大而增大, 故必在某一区间内, 即f(γ₀)∈$\left[ {\mathop {\min }\limits_{{{\tilde \gamma }_{ij}}} f\left( {\gamma _{ij}^L} \right),\mathop {\max }\limits_{{{\tilde \gamma }_{ij}}} f\left( {\gamma _{ij}^U} \right)} \right]$。

本文所提标准化公式符合标准化公理中的三个性质, 故而是合理有效的, 下面通过一个简单的算例验证本文所提公式的可行性。

算例2  某一正向指标下的三个区间犹豫模糊评估值：

${\tilde h_1} = \left\{ {\left[ {0.4,0.5} \right],\left[ {0.8,0.9} \right]} \right\}$

${\tilde h_2} = \left\{ {\left[ {0.2,0.3} \right],\left[ {0.3,0.5} \right],\left[ {0.4,0.6} \right]} \right\}$

${\tilde h_3} = \left\{ {\left[ {0.5,0.7} \right]} \right\}$

则运用本文所提正向区间犹豫模糊标准化公式进行标准化后的结果则为：

$\tilde h$₁={[0.332, 0.415], [0.664, 0.748]}

$\tilde h$₂={[0.166, 0.249], [0.249, 0.415], [0.332, 0.498]}

$\tilde h$₃={[0.415, 0.581]}

若该指标为逆向指标, 则运用本文所提逆向区间犹豫模糊标准化公式进行标准化后的结果为:

$\tilde h$₁={[0.415, 0.498], [0.083, 0.166]}

$\tilde h$₂={[0.581, 0.664], [0.415, 0.581], [0.332, 0.498]}

$\tilde h$₃={[0.249, 0.415]}

2 灰色妥协关联度 2.1 邓氏关联度分析

灰色关联分析法是由我国邓聚龙教授提出的一种简便实用的决策方法, 已被众多专家及学者广泛应用。该方法的基本思想是利用各方案序列之间的几何关系与曲线几何形状的相似性来判断方案之间的关联程度。而方案之间的关联程度的计算较大程度地依赖于灰色关联系数, 灰色关联系数实则为对各备选方案与正负理想解的距离的一种标准化, 但是目前已有的文献中大都未对为何要构造如此形式的灰色关联系数进行讨论, 因此, 本文将对此进行详细论述。

定义3  设X₀={x₀(1), x₀(2), …, x₀(n)}为参考序列, X_i=(x_i(1), x_i(2), …, x_i(n))为比较序列(1＜i≤n, n∈N), 序列长度相同。

邓氏关联度可表示为：

$\begin{array}{l} \gamma \left( {{X_0},{X_i}} \right) = \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {\gamma \left( {{x_0}(k),{x_i}(k)} \right)} \\ \gamma \left( {{x_0}(k),{x_i}(k)} \right) = \\ \frac{{\mathop {\min }\limits_i \mathop {\min }\limits_k \left| {{x_0}(k) - {x_i}(k)} \right| + \rho \mathop {\max }\limits_i \mathop {\max }\limits_k \left| {{x_0}(k) - {x_i}(k)} \right|}}{{\left| {{x_0}(k) - {x_i}(k)} \right| + \rho \mathop {\max }\limits_i \mathop {\max }\limits_k \left| {{x_0}(k) - {x_i}(k)} \right|}} \end{array}$

其中：ρ∈[0, 1]为分辨系数。

以上便为灰色关联系数, 邓氏关联度是用两序列的距离变化态势来刻画备选方案与理想解的近似程度, 其相关性是表现在其对应点的间距上:如果各对应点间距均较小, 则两序列变化态势的一致性强; 否则, 一致性弱。

距离测度在灰色关联系数的计算中有着相当重要的作用, 灰色关联系数的计算依赖于各备选方案与正负理想解方案的距离。但是在用距离大小对各方法进行刻画时, 难免有距离差过大或过小的情况, 因此绝对差值数据序列的数据间存在着较大的数量级差异; 不能直接进行综合, 还需要对其进行一次标准化。因此邓聚龙教授便提出了此形式的灰色关联系数, 用以对距离差值的进一步标准化。其主要形成步骤如下所示。

设Δ_max和Δ_min分别表示中距离差绝对值中的最大数和最小数, 则

$\begin{array}{l} 0 \le {\mathit{\Delta }_{\min }} \le {\mathit{\Delta }_{0i}}(t) \le {\mathit{\Delta }_{\max }}\\ 0 \le \frac{{{\mathit{\Delta }_{\min }}}}{{{\mathit{\Delta }_{\max }}}} \le \frac{{{\mathit{\Delta }_{0i}}(t)}}{{{\mathit{\Delta }_{\max }}}} \le 1 \end{array}$

显然$\frac{{{\mathit{\Delta }_{0i}}(t)}}{{{\mathit{\Delta }_{\max }}}}$越大, 说明两序列x_i和x₀的变化态势一致性弱；反之, 一致性强。为了规范化后数据在区间[0, 1]内, 可将二者相除，可得

$\frac{{{\mathit{\Delta }_{\min }}/{\mathit{\Delta }_{\max }}}}{{{\mathit{\Delta }_{0i}}\left( t \right)/{\mathit{\Delta }_{\max }}}}$

(1)

因为在某些情况下Δ_min可能为零(当Δ_0i(t)为零时), 这样式(1) 就为零, 因此增加分辨系数ρ, 故可将式(1) 改进写成:

$\frac{{{\mathit{\Delta }_{\min }}/{\mathit{\Delta }_{\max }} + \rho }}{{{\mathit{\Delta }_{0i}}\left( t \right)/{\mathit{\Delta }_{\max }} + \rho }} = \xi ;\rho \in \left[ {0,1} \right]$

(2)

式(2) 可化简成:

$\xi = \frac{{{\mathit{\Delta }_{\min }} + \rho {\mathit{\Delta }_{\max }}}}{{{\mathit{\Delta }_{0i}}\left( t \right) + \rho {\mathit{\Delta }_{\max }}}}$

其中ξ即为灰色关联系数。

2.2 灰色妥协关联度

灰色关联度的计算是灰色关联分析方法最核心的部分, 是对灰色关联系数的集结, 各备选方案与正负理想解的相似程度皆是由距离测度刻画。常见的距离测度大都由Minkowski距离演化而成, 其定义如下:

定义4  N维加权Minkowski距离符合映射d_WMD:Rⁿ×Rⁿ→R, 权重W满足$\sum\limits_{i = 1}^n {{w_i}} $=1, w_i∈[0, 1], 则该距离如下:

${d_{{\rm{WMD}}}}\left( {A,B} \right) = {\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{w_i}{{\left| {{a_i} - {b_i}} \right|}^\lambda }} } \right)^{\frac{1}{\lambda }}}$

(3)

其中：a_i、b_i是集合A、B中第i个元素; λ是属于参数; WMD为加权明氏距离(Weighted Minkowski Distance)。当λ=1时, 则变为加权Hamming距离公式。由式(3) 灰色关联系数可知, 灰色关联系数可看作标准化后的Hamming距离。但是在计算距离测度时, 若是遇到指标冲突, 并没有一种折中的理想解, 因此本文在Hamming距离测度的基础上, 引入决策策略变量v, 参照VIKOR(Vlsekriterijumska Optimizacija I Kompromisno Resenje)方法, 综合考虑大部分人意见与小部分人意见, 计算出一种距离理想解最近的折中可行解, 即妥协解, 妥协解可以表示相互冲突间属性的彼此让步。

灰色关联度的计算十分依赖距离测度, 因此本文将妥协解引入灰色关联度中, 提出一种新的灰色妥协关联度:

定义5  设X₀={x₀(1), x₀(2), …, x₀(n)}为参考序列, X_i=(x_i(1), x_i(2), …, x_i(n))为比较序列(1＜i≤n, n∈N), 序列长度相同。则灰色妥协关联度为:

$\begin{array}{l} R_j^ + = v\sum\limits_{i = 1}^n {{w_j}\frac{{{\mathit{\Delta }_{\min }}^ + + \rho {\mathit{\Delta }_{\max }}^ + }}{{{\mathit{\Delta }_{0i}}{{\left( t \right)}^ + } + \rho {\mathit{\Delta }_{\max }}^ + }} + (1 - v)\max {w_j}\frac{{{\mathit{\Delta }_{\min }}^ + + \rho {\mathit{\Delta }_{\max }}^ + }}{{{\mathit{\Delta }_{0i}}{{(t)}^{^ + }} + \rho {\mathit{\Delta }_{\max }}^ + }}} \\ R_j^ - = v\sum\limits_{i = 1}^n {{w_j}\frac{{{\mathit{\Delta }_{\min }}^ - + \rho {\mathit{\Delta }_{\max }}^ - }}{{{\mathit{\Delta }_{0i}}{{\left( t \right)}^ - } + \rho {\mathit{\Delta }_{\max }}^ - }} + (1 - v)\max {w_j}\frac{{{\mathit{\Delta }_{\min }}^ - + \rho {\mathit{\Delta }_{\max }}^ - }}{{{\mathit{\Delta }_{0i}}{{(t)}^ - } + \rho {\mathit{\Delta }_{\max }}^ - }}} \end{array}$

其中：

$\begin{array}{l} {\mathit{\Delta }_{\min }}^ + = \mathop {\min }\limits_i \mathop {\min }\limits_j d_{ij}^ + \\ {\mathit{\Delta }_{\max }}^ + = \mathop {\max }\limits_i \mathop {\max }\limits_j d_{ij}^ + \\ {\mathit{\Delta }_{\min }}^ - = \mathop {\min }\limits_i \mathop {\min }\limits_j d_{ij}^ - \\ {\mathit{\Delta }_{\max }}^ - = \mathop {\max }\limits_i \mathop {\max }\limits_j d_{ij}^ - \end{array}$

v为决策策略变量, 取值范围在区间[0, 1]内; d⁺为各备选方案与正理想方案的距离; d^-为各备选方案与负理想方案的距离。

该灰色妥协关联度能够在一系列相互冲突的准则下提出折中方案, 考虑指标之间相互冲突的情况, 并折中求解。如此该灰色妥协关联度既有效分析了评价指标的总体水平, 同时对个别亟须改变的较为短板的指标也有所体现, 使评价结果更为全面客观。引入了决策策略变量v, 表示总体效用水平在决策中所占的权重, 个别短板指标在决策中所占的权重, 该变量的取值范围为(0, 1), 若v＞0.5则表明总体意见在结果所占的比例更大, 而当v＜0.5则表明个别意见在结果中所占的比例更大。变量v的引入体现了不同评价标准的重要程度存在的差异, 使决策更为合理客观。v一般取0.5。

改进的灰色妥协关联度不仅能较好地处理指标之间相冲突的情况, 考虑到所有人的意见, 不忽略少数人意见, 还符合灰色关联四公理, 现证明如下:

证明

1) 规范性。已知v∈(0, 1), 若$\left| {{\mathit{\Delta }_{0i}}(k)} \right| = \mathop {\min }\limits_i \mathop {\min }\limits_k \left| {{\mathit{\Delta }_{0i}}(k)} \right|$, 则$\gamma \left( {x_0^0(k),x_i^0(k)} \right) = 1$; 若$\left| {{\mathit{\Delta }_{0i}}(k)} \right| \ne \mathop {\min }\limits_i \mathop {\min }\limits_k \left| {{\mathit{\Delta }_{0i}}(k)} \right|$, 则$\left| {{\mathit{\Delta }_{0i}}(k)} \right| > \mathop {\min }\limits_0 \mathop {\min }\limits_k \left| {{\mathit{\Delta }_{0i}}(k)} \right|$。

因此有$\mathop {\min }\limits_i \mathop {\min }\limits_k \left| {{\mathit{\Delta }_{0i}}(k)} \right| + \rho \mathop {\max }\limits_i \mathop {\max }\limits_k \left| {{\mathit{\Delta }_{0i}}(k)} \right| ＜ \left| {{\mathit{\Delta }_{0i}}\left( k \right)} \right| + \rho \mathop {\max }\limits_i \mathop {\max }\limits_k \left| {{\mathit{\Delta }_{0i}}(k)} \right|$, 故$\gamma \left( {x_0^0(k),x_i^0(k)} \right) ＜ 1$, 显然, 对于任意$\gamma \left( {x_0^0(k),x_i^0(k)} \right) ＞ 0$, 因此$0 ＜ \gamma \left( {x_0^0(k),x_i^0(k)} \right) \le 1$。

2) 整体性。若X={X_S|S=0, 1, …, m, m≥2}, 则对于∀X_s1, X_s2∈X。一般地, $\mathop {\max }\limits_i \mathop {\max }\limits_k \left| {{\mathit{\Delta }_{0{s_1}}}(k)} \right| \ne \mathop {\max }\limits_i \mathop {\max }\limits_k \left| {{\mathit{\Delta }_{0{s_2}}}(k)} \right|$, 故整体性成立。

3) 偶对称性。若X={X₀, X₁}, 则有|Δ₀₁(k)|=|Δ₁₀(k)|, |Δ₀₁(K)|表示X₁到X₀的距离, |Δ₁₀(K)|表示X₀到X₁的距离，$\mathop {\max }\limits_1 \mathop {\max }\limits_k \left| {{\mathit{\Delta }_{{s_1}i}}(k)} \right| \ne \mathop {\max }\limits_0 \mathop {\max }\limits_k \left| {{\mathit{\Delta }_{i{s_2}}}(k)} \right|$, 故R(X₀, X₁)=R(X₁, X₀)。

4) 接近性。差异信息|Δ_0i(k)|越小, R(X₀⁰, X_i⁰)越大, X₀⁰和X_i⁰越接近。

3 区间犹豫模糊灰色妥协关联分析方法

原灰色关联分析的结果皆是基于大部分人的判断而定, 忽略少数人的意见, 这在实际判断中容易导致盲从, 致使得出错误的结果, 也并未考虑指标发生冲突对决策结果的影响。因此本文将妥协解法引入灰色关联度的计算中, 提出灰色妥协关联度。再者, 考虑到专家进行决策时的犹豫性, 为完整保留专家决策信息, 将区间犹豫模糊集和灰色关联分析方法结合, 构造了新的区间犹豫模糊距离测度公式与新的区间犹豫模糊标准化公式, 形成一种新的区间犹豫模糊灰色妥协关联分析方法。

3.1 问题描述

针对云计算安全评估的问题, 设方案集为A={A₁, A₂, …, A_i}, 各评价准则设为C={C₁, C₂, …, C_j}, 各评价准则的权重则为w=(w₁, w₂, …, w_j), 且w_j≥0, $\sum\limits_{j = 1}^m {{w_j} = 1} $。供应商A_i在评价准则C_j下的评价值可用IVHFS表示:[γ_ij^Lk, γ_ij^Uk]。本文根据各备选方案的区间犹豫模糊评价值, 讨论如何从各备选方案里选出最优方案。

3.2 算法步骤

步骤1给出各方案在各属性下的IVHFS评价值, 构造模糊决策矩阵$\mathit{\boldsymbol{\tilde A}}$=(${\tilde a}$_ij)_m×n。

步骤2对决策矩阵进行标准化处理。为消除属性间由于量纲不同而影响决策结果, 可利用规范模糊决策矩阵的计算公式, 将模糊决策矩阵$\mathit{\boldsymbol{\tilde A}}$转化为规范化决策矩阵$\mathit{\boldsymbol{\tilde R}}$=(${\tilde r}$_ij)_m×n, 在多属性决策问题中常见的属性类型有正向型、逆向型, 不同的指标类型有不同的标准化方法。

1) 正向型:

$\begin{array}{l} \tilde h = \bigcup\limits_{{{\tilde \gamma }_{ij}} \in {{\tilde h}_{ij}}} {\left\{ {{{\tilde \gamma }_{ij}}} \right\} = } \\ \bigcup {\left\{ {\left[ {\frac{{\tilde \gamma _{ij}^L}}{{\sqrt {\mathop {\max }\limits_{{{\tilde h}_j}} \left( {\mathop {\max }\limits_{{{\tilde \gamma }_{ij}} \in {{\tilde h}_{ij}}} \left[ {{{\left( {\tilde \gamma _{ij}^L} \right)}^2} + {{\left( {\tilde \gamma _{ij}^U} \right)}^2}} \right]} \right)} }},\frac{{\tilde \gamma _{ij}^U}}{{\sqrt {\mathop {\max }\limits_{{{\tilde h}_j}} \left( {\mathop {\max }\limits_{{{\tilde \gamma }_{ij}} \in {{\tilde h}_{ij}}} \left[ {{{\left( {\tilde \gamma _{ij}^L} \right)}^2} + {{\left( {\tilde \gamma _{ij}^U} \right)}^2}} \right]} \right)} }}} \right]} \right\}} \end{array}$

(4)

2) 逆向型:

$\begin{array}{l} \tilde h = \bigcup\limits_{{{\tilde \gamma }_{ij}} \in {{\tilde h}_{ij}}} {\left\{ {{{\tilde \gamma }_{ij}}} \right\} = } \\ \bigcup {\left\{ {\left[ {\frac{{1 - \tilde \gamma _{ij}^U}}{{\sqrt {\mathop {\max }\limits_{{{\tilde h}_j}} \left( {\mathop {\max }\limits_{{{\tilde \gamma }_{ij}} \in {{\tilde h}_{ij}}} \left[ {{{\left( {\tilde \gamma _{ij}^L} \right)}^2} + {{\left( {\tilde \gamma _{ij}^U} \right)}^2}} \right]} \right)} }},\frac{{1 - \tilde \gamma _{ij}^L}}{{\sqrt {\mathop {\max }\limits_{{{\tilde h}_j}} \left( {\mathop {\max }\limits_{{{\tilde \gamma }_{ij}} \in {{\tilde h}_{ij}}} \left[ {{{\left( {\tilde \gamma _{ij}^L} \right)}^2} + {{\left( {\tilde \gamma _{ij}^U} \right)}^2}} \right]} \right)} }}} \right]} \right\}} \end{array}$

(5)

步骤3  确定正理想方案与负理想方案^[14]。

正理想方案为:

${\tilde r^ + } = \left( {\tilde r_1^ + ,\tilde r_2^ + , \cdots ,\tilde r_n^ + } \right)$

(6)

其中:$\tilde r_{ij}^ + = \bigcup {\left\{ {\left[ {\max \tilde \mu _{ij}^L,\max \tilde \mu _{ij}^U} \right]} \right\}} $

负理想方案为:

${\tilde r^ - } = \left( {\tilde r_1^ - ,\tilde r_2^ - , \cdots ,\tilde r_n^ - } \right)$

(7)

其中:$\tilde r_{ij}^ - = \bigcup {\left\{ {\left[ {\min \tilde \mu _{ij}^L,\min \tilde \mu _{ij}^U} \right]} \right\}} $

步骤4  根据公式

$\begin{array}{l} {d_{{\rm{IVHF}}}}\left( {{{\tilde h}_a},{{\tilde h}_\beta }} \right) = \\ \frac{1}{4}\left( {\frac{{\sum\limits_{{{\tilde \gamma }_a} \in {{\tilde h}_a}} {\sqrt[{\# {{\tilde h}_\beta }}]{{\prod\limits_{{{\tilde \gamma }_\beta } \in {{\tilde h}_\beta }} {\left( {\left| {\tilde \gamma _a^L - \tilde \gamma _\beta ^L} \right| + \left| {\tilde \gamma _a^U - \tilde \gamma _\beta ^U} \right|} \right)} }}} }}{{\# {{\tilde h}_a}}} + \frac{{\sum\limits_{{{\tilde \gamma }_\beta } \in {{\tilde h}_\beta }} {\sqrt[{\# {{\tilde h}_a}}]{{\prod\limits_{{{\tilde \gamma }_a} \in {{\tilde h}_a}} {\left( {\left| {\tilde \gamma _a^L - \tilde \gamma _\beta ^L} \right| + \left| {\tilde \gamma _a^U - \tilde \gamma _\beta ^U} \right|} \right)} }}} }}{{\# {{\tilde h}_\beta }}}} \right) \end{array}$

(8)

计算各备选方案与正负理想方案对应元素之间的距离，分别如下：

$\begin{array}{l} d_{ij}^ + = d\left( {\tilde r_j^ + ,{{\tilde r}_{ij}}} \right)\\ d_{ij}^ - = d\left( {\tilde r_j^ - ,{{\tilde r}_{ij}}} \right) \end{array}$

其中：i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n。

步骤6  计算各指标之间的权重, 用区间犹豫模糊熵权法^[14]公式确定权重w_j:

$\begin{array}{l} E(\tilde a) = \\ \frac{1}{l}\sum\limits_{j = 1}^l {\left[ {\left( {1 - (\tilde a_{\sigma (j)}^ - + \tilde a_{\sigma (l - j + 1)}^ + )} \right) \times \sin \frac{{\left[ {\left( {\tilde a_{\sigma (j)}^ - + \tilde a_{\sigma (l - j + 1)}^ + } \right) - 1} \right]\pi }}{2} + 1} \right]} \end{array}$

(9)

权重进一步计算公式如下：

${w_j} = \frac{{1 - E\left( {\tilde a} \right)}}{{\sum\limits_{j = 1}^n {\left( {1 - E\left( {\tilde a} \right)} \right)} }}$且$\sum\limits_{j = 1}^n {{w_j} = 1} $。

步骤7  计算各备选方案与正负理想方案的关联度R_j：

$\begin{array}{l} R_j^ + = v\sum\limits_{i = 1}^n {{w_j}\frac{{{\mathit{\Delta }_{\min }}^ + + \rho {\mathit{\Delta }_{\max }}^ + }}{{{\mathit{\Delta }_{0i}}{{\left( t \right)}^ + } + \rho {\mathit{\Delta }_{\max }}^ + }} + } \\ (1 - v)\max \left( {{w_j}\frac{{{\mathit{\Delta }_{\min }}^ + + \rho {\mathit{\Delta }_{\max }}^ + }}{{{\mathit{\Delta }_{0i}}{{(t)}^{^ + }} + \rho {\mathit{\Delta }_{\max }}^ + }}} \right) \end{array}$

(10)

$\begin{array}{l} R_j^ - = v\sum\limits_{i = 1}^n {{w_j}\frac{{{\mathit{\Delta }_{\min }}^ - + \rho {\mathit{\Delta }_{\max }}^ - }}{{{\mathit{\Delta }_{0i}}{{\left( t \right)}^ - } + \rho {\mathit{\Delta }_{\max }}^ - }} + } \\ (1 - v)\max \left( {{w_j}\frac{{{\mathit{\Delta }_{\min }}^ - + \rho {\mathit{\Delta }_{\max }}^ - }}{{{\mathit{\Delta }_{0i}}{{(t)}^ - } + \rho {\mathit{\Delta }_{\max }}^ - }}} \right) \end{array}$

(11)

其中:

$\begin{array}{l} {\mathit{\Delta }_{\min }}^ + = \mathop {\min }\limits_i \mathop {\min }\limits_j d_{ij}^ + \\ {\mathit{\Delta }_{\max }}^ + = \mathop {\max }\limits_i \mathop {\max }\limits_j d_{ij}^ + \\ {\mathit{\Delta }_{\min }}^ - = \mathop {\min }\limits_i \mathop {\min }\limits_j d_{ij}^ - \\ {\mathit{\Delta }_{\max }}^ - = \mathop {\max }\limits_i \mathop {\max }\limits_j d_{ij}^ - \end{array}$

ρ∈[0, 1]，为分辨系数。ρ取值越小则分辨能力越大, 一般取ρ=0.5。

步骤8  根据关联度值的大小对各备选方案进行排序。

4 案例分析

某省会城市一家汽车零件制造企业为节省企业生产成本, 故拟在生产筹备阶段引入云计算服务。欲在以下四家云服务商选出一家与之合作, 购买其云计算服务。出于对公司资源安全的考虑, 因此想选择安全性能较高的云计算服务供应商。综合文献[15-16]所提指标, 作为云计算安全性能评估的依据。

于是公司邀请某高校计算机专业云计算方向教授, 市工信委科长以及公司信息部部长, 对这四家云计算服务供应商{A₁, A₂, A₃, A₄}就安全性的指标:数据泄露C₁、密钥管理C₂、安全管理C₃、软件开发安全C₄、安全性能优化C₅和黑客攻击频率C₆共六个方面进行打分, 其中指标C₁和C₆为逆向指标, 其余皆为正向指标。由于专家知识的不全面性与时间紧迫性, 一时之间难以给出精确的数值, 故都以区间的形式表示。以云计算供应商A₂评价指标C₂下的评估值为例, 某两位专家对其的打分为[0.4, 0.5], 而另一位专家对其的打分为[0.5, 0.7], 且专家们都认为自己打分最为合理, 谁也无法说服谁。为完整保留专家意见, 该供应商在评价指标C₂下的得分则可用区间犹豫模糊集{[0.4, 0.5], [0.5, 0.7]}表示。因此整理各专家对各公司的评分情况, 可得专家打分如表 1所示。

步骤1  标准化处理, 正向指标用式(4) 进行标准化处理, 逆向指标用式(5) 进行标准化处理, 标准化后的专家决策矩阵如表 2所示。

步骤2  确定正理想方案和负理想方案。根据式(6) ~(7) 可得正理想方案${\tilde r}$_ij⁺和负理想方案${\tilde r}$_ij^-分别为:

$\begin{array}{l} \tilde r_{ij}^ + = \left\{ {[0.664,0.748]} \right\};\left\{ {[0.5,0.583],[0.667,0.75]} \right\};\{ [0.566,0.66],\\ \left[ {0.66,0.755} \right]\} \left\{ {\left[ {0.5,0.75} \right],\left[ {0.667,0.75} \right]} \right\};\left\{ {\left[ {0.659,0.753} \right]} \right\}\\ \tilde r_{ij}^ - = \left\{ {\left[ {0.083,0.166} \right]} \right\};\left\{ {\left[ {0.25,0.417} \right]} \right\};\left\{ {\left[ {0.417,0.583} \right]} \right\};\left\{ {\left[ {0.283,0.377} \right]} \right.,\\ \left. {\left[ {0.283,0.472} \right]} \right\};\left\{ {\left[ {0.25,0.333} \right],\left[ {0.333,0.417} \right]} \right\}\left\{ {[0.188,0.282]} \right\} \end{array}$

步骤3  根据式(8) 计算各备选方案与正负理想方案的距离, 各备选方案与正理想方案的距离如表 3所示, 与负理想方案的距离如表 4所示。

由表 3可知, Δ_min⁺=0, Δ_max⁺=0.572。

由表 4可得, Δ_min^-=0, Δ_max^-=0.572。

步骤4  通过式(9) 计算得各个指标的权重为(0.129, 0.166, 0.151, 0.205, 0.177, 0.172)。

步骤5  通过式(10) ~(11) 计算各备选方案与正负理想方案的关联度。结果如表 5所示。

由实验结果可知：云计算供应商A₃在计算安全性方面优势较为突出, 供应商A₄次之, 供应商A₁可能在云计算安全性方面需要多加改进。

为体现本文方法与所提标准化公式的有效性，与文献[17]所用的标准化公式、文献[18]所提出的区间犹豫模糊TOPSIS(Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution)方法进行对比, 结果如表 6所示。

通过表 6计算结果可知, 本文方法与文献[17]方法的计算结果略有差异, 因为本文所新构造的标准化公式考虑了不同指标不同量纲之间的差异。但是与文献[18]方法所计算的结果则有所不同, 这是因为文献[18]方法在进行距离计算时皆是假定区间犹豫模糊集中子集个数相同, 本文在计算时选用保守型添值, 皆添加最小值。而本文方法不需对专家评价值的区间犹豫模糊形式中子集个数进行调整, 更加全面地保留专家意见。再者, 本文提出的灰色妥协关联度摒弃了少数服从多数的原则, 将少部分人的意见也考虑在内, 还考虑了指标相互冲突的情况，因此便有了这些不同。

通过案例分析可得, 本文将区间犹豫模糊集与灰色关联分析相结合, 考虑到之前区间犹豫模糊距离测度信息丢失的问题, 重新构造了新的区间犹豫模糊距离测度公式；并且考虑到各个指标之间的差异性, 构造了新的区间犹豫模糊标准化公式；除此之外, 还提出了一种新的灰色妥协关联度, 该灰色妥协关联度不仅能综合考虑所有专家意见, 还能够在一系列相互冲突的准则下提出折中解, 增加决策结果的科学合理性。

5 结语

由于云计算安全评估中决策者进行判断时的模糊性以及专家之间有时难以达成共识, 指标之间具有冲突关系等问题，本文基于区间犹豫模糊理论与灰色关联理论, 提出了一种新的决策方法。首先将区间犹豫模糊集引入灰色关联分析方法中, 为解决以往区间犹豫模糊距离测度所面临的问题, 提出了一种区间犹豫模糊距离测度；并且考虑指标之间量纲的差异性, 提出了新的区间犹豫模糊标准化公式；除此之外, 考虑到综合所有专家的意见, 以及指标之间相互冲突的情况, 提出了灰色妥协关联度, 并证明其满足灰色关联分析四条公理。最终形成一种系统的区间犹豫模糊灰色妥协关联分析方法，并以例子说明了本文方法的可行性，实验结果也表明本文方法是科学合理的。