2016中国融资租赁行业年会指出，近年来我国融资租赁业发展迅速，截至2015年底，全国融资租赁企业数量为4 508家, 而2014年底只有2 202家，企业数量翻了一番。而且全国融资租赁合同余额约为4.28万亿元，比2014年底的3.20万亿元增加了1.08万亿元，增幅为33.8%。租赁业适应当前我国经济快速发展的需求，为企业提供了生产设备的同时，还可以提高企业的经济效益和资金的流动性，深受广大投资者的青睐。但是，与发达国家相比，我国的租赁业还存在巨大的上升空间。据统计，在美国，租赁业对GDP的贡献率超过30%，而我国的租赁业对GDP的贡献率仅为万分之一。此外，发达国家融资租赁市场的渗透率高达15%~30%，而2015年我国融资租赁市场渗透率仅为5.23%。当前我国融资租赁业正面临着非常好的发展机遇：2015年9月7日, 国务院办公厅印发《关于加快融资租赁业发展的指导意见》, 首次提出行业发展目标-到2020年融资租赁业务领域覆盖面不断扩大, 市场渗透率显著提高, 成为企业设备投资和技术更新的重要手段；融资租赁业市场规模和竞争力水平位居世界前列。^[1]接着，2015年9月8日, 国务院办公厅印发《关于促进金融租赁行业健康发展的指导意见》，提出要充分认识金融租赁服务实体经济的重要性, 把金融租赁放在国民经济发展整体战略中统筹考虑。^[2]这些都为中国融资租赁市场打开了巨大的发展空间。

租赁把融物和融资结合到一起，成为了一种重要的融资方式，得到了众多企业经营者和投资者的广泛关注。但是随着经济全球化进程日益加快、商业环境瞬息万变及市场竞争日趋激烈，决策者通常只能在对未来需求未知的情况下根据当前已有的、有限的租赁信息立即做出决策，这就迫使经营者面临巨大的决策压力，因为决策稍有不慎将会被市场无情淘汰，但为了收集更多信息而延期决策又有可能会失去稍纵即逝的投资机会，因此租赁决策越来越强烈地显示出其决策的在线特征。虽然许多学者对该问题进行了大量研究，但是他们大部分是从设备租赁对企业资金结构的影响、政府税收或财政补贴对租赁决策的影响、设备租赁合同是否完备及从传统的收益-成本比较来分析确定租赁还是购买设备等角度进行研究。此外，也有大量数理学派学者们建立了许多租赁决策数学模型，他们通常都假设设备未来的使用时长是一个随机变量，服从某一个概率分布，通过建立精确的概率模型得到相应的租赁策略。但是，金融市场复杂多变，很难用某个精确的概率分布去刻画一个变量，即便得到了这个概率分布，最后也仅仅是根据贝叶斯方法给出平均意义上的最优租赁策略，对于某个确定的决策者来说这个策略可能与事后最优租赁策略相差很远。而在线算法及竞争分析方法^[3]弥补了传统决策方法的不足，即便是面对有限的未来需求信息也能做出全局最优决策，因此在设备融资租赁决策领域得到了广泛的应用。本文对近年来采用在线算法与竞争分析理论研究在线租赁决策问题取得的主要研究成果进行总结，并提出几个未来有待进一步研究的方向。

如前所述，金融市场环境复杂多变，而且未来需求信息很难收集，因此，金融市场中的投资决策通常表现出动态性。在租赁活动中，决策者往往并不知道设备未来需要使用的确切时长，但又要在每期期初决定是继续租赁设备还是购买设备，也就是说租赁具有在线特征。因此，本文主要回顾20多年来国内外学者运用在线算法与竞争分析方法研究在线租赁问题的进展。“图灵奖”得主Karp^[4](1992) 教授最早对该问题进行研究，为了介绍在线问题、在线算法即竞争分析方法，提出了“在线租雪橇问题”：假设一位滑雪者去滑雪，需要使用雪橇，而每次租一副雪橇需要1，买一副雪橇需要p(p>>1)，此时滑雪者有两种选择，一种是每次使用时支付租金1；另一种直接以价格p买下一副雪橇，这样以后再使用就不需要付费。若不知未来滑雪次数，该问题被称为在线问题；反之称为离线问题。Karp教授利用在线算法和竞争分析方法进行简单的分情况讨论，最后给出了雪橇租赁问题的最优在线策略：在前p-1期内一直租赁，而一旦第p期还需要则购买；该策略的竞争比为$2-\frac{1}{p}$(即滑雪者按此策略滑雪，无论未来喜好如何变化，在线成本与事后最优成本相比总在其$2-\frac{1}{p}$倍的范围之内)。在线问题新方法产生之时，Karp教授为介绍什么是在线问题、什么是在线算法与竞争分析方法，以租雪橇为例进行了生动的演示与分析，随后许多国内外学者在此基础上进行扩展研究。尤其该模型与经济管理领域的租赁市场上设备租赁问题有异曲同工之处，即面对需求多变的市场，到底是继续租赁还是立即购买时时困惑着企业经营者。因此，在线租雪橇问题在经济管理领域特别是在租赁决策领域得到了大量的应用研究。纵观20余年的研究进展，主要有以下几个方面的研究成果。

从实际经济决策角度出发，考虑到资金时间价值因素-利率。EL-Yaniv等^[5](1999) 首次从利率对设备租金成本的影响出发，通过严密的推理和分析，得到了最优确定算法的竞争比的范围是$[\frac{3}{2}, 2]$，最优随机算法的竞争比的范围是$[\frac{4}{3}, 1.582]$。接着，Yang等^[6](2012) 将利率因素引入随机算法中，给出相应市场利率下的随机投资策略。进一步分析，以往的问题都是考虑单利，而复利也是重要的经济概念。Yang等^[7](2011) 从复利角度研究了一般的在线租赁问题，给出了考虑复利的确定性最优竞争比和随机情形下竞争比的最优下界，并分析了复利对在线租赁决策的影响。另外，考虑到在实际生活中通货膨胀形势日益严峻，徐维军和胡茂林^[8](2013)、徐维军等^[9](2016) 以通货膨胀为背景，从竞争分析的角度分别讨论了存在物价上涨和通货膨胀时的在线租赁问题，分析了概率预期下的风险补偿模型，并给出了对应的最优策略。

由于设备使用过程中有磨损，因而设备具有一定的使用寿命，与通货膨胀、市场利率等因素类似，设备的折旧也不可忽视。考虑到实际问题中决策者有时需要间隔使用设备，徐维军等^[10](2010) 首先分析了不考虑折旧时间隔使用设备下的两阶段在线租赁问题，然后分析考虑设备折旧的情形，并分别给出了确定性最优竞争策略。接着，张永等^[11](2011) 把市场利率引入可折旧设备在线租赁问题中，利用在线-离线成本比矩阵得到了有无利率情形下可折旧设备的最优在线随机性策略。Chang等^[12](2011) 研究了具有剩余价值的租赁设备的租赁期对维护策略的影响，给出了最优的维护策略以及期望总收益最大时的租赁时长，并通过数值算例说明设备租赁期限越长，出租者的收入越高，同时设备的维护费用也会增加。而王扬等^[13](2009) 则把设备使用寿命因素考虑进多阶段占线赁购问题，设计了等长赁购策略，证明该策略是唯一最优赁购策略。张卫国等^[14](2013) 首先对可折旧设备的租赁和购买两种方式采取随机选择的策略，给出最优的在线竞争策略，接着考虑不同折旧和购买价格的同种设备租赁问题，针对设备的多种折旧方案提出了转化随机策略，并给出了其竞争比上界。进一步，Zhang等^[15](2011) 研究了有无利率情形下折旧设备的最优确定性和随机性策略。

除受折旧、利率、通胀等因素影响外，签订合同作为获得设备临时使用权的一种重要方式，也对租赁决策起重要影响，租赁双方会考虑到租赁形式、租金和租赁期限等问题。Mohajan^[16](2012) 探讨了带有租赁评估的长期融资租赁合同问题，并对中和租赁融资的风险这一问题进行了一个相对简单和直接的解释说明。Duan等^[17](2012) 用博弈法对两个有竞争力的二级运营商的投资和定价策略进行了研究，结果表明运营商的投资和价格均衡均取决于收益阈值。Aurora等^[18](2013) 对相关租赁方法进行综述，指出了承租人和出租人在识别、分类、确认和计量租赁合同时遇到的一些关键概念。董玉成等^[19](2007) 研究了购买设备后的任何时候可以通过支付一定的退货费进行退货的情形，其中退货费事先由交易双方共同协定，并利用竞争分析方法设计该问题的竞争策略及风险补偿模型。王扬等^[20](2012) 研究了设备使用结束后具有回购合同及价格优惠合同的在线租赁问题。杨兴雨等^[21](2014) 考虑预租赁双方就租天数签订合同，利用竞争分析和线性分数规划的方法分别得到了合同约束下单阶段和多阶段设备租赁的最优策略。

在经典的设备租赁问题中，通常假设设备的租赁价格和购买价格保持不变，然后再决定何时购买才是最优的，然而，在实际租赁市场中，设备的价格随着供求关系不断变化，显然这一假定是不太合理的。Azar等^[22](1999) 考虑雪橇租赁问题的一般情形-在线资本投资问题，给出了设备价格和生产成本在凸和非凸情形下的竞争算法，得到了与最高价和最低价比值相关的竞争比。进一步，Damaschke^[23](2003) 针对凸型情形下的不同设备购买价格和运行成本给出了竞争比约为6.83的竞争策略，接着考虑最初设备的购买价格和对应的运行成本都已经确定的情形，给出了一个4-竞争的确定性算法，并给出了该情形下的竞争比下界，最后得出了竞争比为2.88的随机策略。对于租赁问题中购买和租赁价格变化的情形，马卫民等^[24](2006) 价格连续变化的局内赁购策略，说明了赁购平衡原理对于经济管理活动中具有崩溃时间的一类决策问题具有普遍的指导意义。而在Damaschke资本投资模型的基础上，Xin等^[25](2008) 进一步分析Damaschke投资模型中设备价格相同的情形，得出了该问题的一个更优的竞争比下紧界，接着，证明并讨论了只有两个设备可供在线选择的特殊情形，将利率因素引入两阶段设备更新问题中，并给出有无利率时的风险补偿策略。辛春林等^[26](2009) 利用Dijkstra算法分析了凸情形下决策者如何进行设备更新的问题，得出了竞争比为6的临界值策略，并证明了该策略优于原策略。另外，EPSTEIN等^[27](2015) 研究了滑雪期限给定的雪橇租赁问题，得出了设备价格一定但租赁价格可变的最优在线算法。

传统的竞争分析方法针对的是离线对手给出的输入序列对在线投资者最不利的情形，然后得出最优的在线策略，这是一种最差情形的竞争分析。而在实际金融市场中，输入结构并不复杂而且还有很好的统计特性，这正是传统的竞争分析方法所忽略的，如果对这些有价值的信息不加以利用，会是一个极大的资源浪费。Albers等^[28](2001) 认为现实中决策者往往不可能时时知道当前最新信息，因此提出了具有延迟影响因素的在线决策模型，分别给出了确定性和随机性算法，并指出即使延迟时间很长，影响信息和决策效果的实时性，投资者也能找到具有更小竞争比的在线算法。接着，Fujiwara等^[29](2005) 突破性地将概率分布引入到传统的竞争分析方法中，研究了当未来需求输入服从指数分布时的连续性雪橇租赁问题，分情况讨论了平均情形下的最优竞争策略。Xu等^[30](2007) 在此基础上考虑了具有几何分布统计信息的离散型在线决策问题，结合概率分布假设分析当存在市场利率因素时的在线租赁策略，并得出了最优的竞争策略及其竞争比。相对于EL-Yaniv的研究结果，引进概率信息能够提高竞争比性能；相比较Fujiwara的研究成果，他们得出了不同概率环境下考虑利率时的离散最优解。Bienkowski^[31](2010) 假定价格的变动是有界的，分别分析了未知、已知和随机博弈结束时间下的确定性竞争策略和随机竞争策略。徐维军等^[32](2009) 从设备利用效率角度考虑了基于任务跟踪的在线竞争策略。

传统的在线决策者通常忽略未来需求的输入信息直接采用传统的竞争分析方法，正如前面所说，这种分析是最差情形分析，得到的算法过于保守，而在竞争分析中引入输入信息的概率分布之后，能够改善算法的竞争性能，但是这种概率假设又太强。综合考虑上述情形，AL-Binali^[33](1999) 等引入投资者对未来输入信息的预期，考虑投资者的风险行为，提出了著名的风险-回报模型，并指出适当的利用风险，在预测成功时可以获得更高的收益，即便预测失败其风险也在投资者的可容忍范围内。考虑与AL-Binali模型相对应的对偶模型，徐维军等^[34](2007) 建立了给定收益约束下风险最小的在线租赁模型，并进一步对具有可退货租赁进行风险回报分析。

进一步，Zhang等^[35](2011)、朱志军等^[36](2004)、王扬等^[37](2011)、丁黎黎等^[38](2006) 在考虑投资者风险预期的同时加入市场因素，在已有风险-回报框架的基础上，引入如周期租赁、通货膨胀、利率、设备折旧、折扣利率以及未来需求输入服从某种特定分布等因素，根据投资者的风险容忍度建立了相应的风险-回报策略。董玉成等^[39](2007) 在设备的可退货问题模型的基础上，在AL-Binali风险回报竞争分析框架下，进一步讨论了给定预期和风险下收益最优的竞争策略。另外Dong等^[40](2007) 在AL-Binali模型的基础上考虑概率预期，建立了更一般的风险-回报模型。进一步，Zhang等^[41](2012) 基于AL-Binali和Dong的风险回报框架得出了可折旧设备的风险-回报策略。

已有研究大部分是在雪橇租赁模型基础上进行研究，仅仅考虑纯租赁和纯购买两种获取设备的方式，而在实际租赁市场中，租赁合同多种多样，投资者有了除纯租赁和纯购买以外有更多的租赁方式可以选择。徐寅峰等^[42](2008)、张桂清等^[43](2012) 在传统的雪橇租赁问题基础上考虑以一定的折扣率租赁多期的租赁问题，给出了该租赁模型下的在线竞争策略和风险补偿策略。Zhang等^[44](2011) 考虑了多个折扣选择的雪橇租赁问题，每个选择都有个租赁期限，租期越长折扣越多，最后给出了一个竞争比为4的在线算法。接着，Lotker等^{[45, 46]}(2008，2012) 从随机算法的角度首先对两种一般的租赁选择给出最优随机策略，进而巧妙地运用两种状态的雪橇租赁模型，构建出多状态雪橇租赁问题的随机性算法。进一步，Fujiwara等^[47](2016) 从确定性角度继续分析多状态雪橇租赁问题，证明了即便是最简单的实例，得到的竞争比也不会优于$\frac{e}{{(e-1)}}$，并以解析形式给出了该问题最好可能竞争比的下紧界。徐维军等^[48](2013) 分析了多种状态雪橇租赁问题的简单形式-三种状态雪橇租赁问题，即在纯租赁和纯购买状态的基础上增加一个一般状态，得出了三种状态雪橇租赁问题的最优在线策略及其竞争比。对于多个租赁选择的问题，大多研究都是考虑可加的情形。即从一种选择转换到另一个时只需支付相应一次性费用的差价，而对于非可加即转换成本是任意值的情形研究较少，也没有研究给出此情形下的最优竞争比，即便是最简单的情形。因此Levi等^[49](2015) 考虑了非可加两种选择的雪橇租赁问题，并给出了最优确定性和随机性策略。

上述研究的研究对象都是不可分的单个或多个设备，而实际租赁市场中还存在连续可分资产的租赁问题。胡茂林^[50](2011) 对此问题进行了深入研究，给出了连续可分资产的风险控制策略，并得到了每期租赁和购买量的具体公式，方便投资者使用。此外，田传浩等^[51](2013) 同时从市场交易质量和数量出发分析了农地租赁问题，利用实证检验说明土地调整对交易质量和数量的影响，为政府制定土地调整政策提供一定的依据。

综上所述，国内外学者对在线算法和竞争分析方法在在线租赁问题的应用上进行了多方面的研究，并取得了大量有价值的理论成果。综观国内外研究现状及发展动态发现，以下几个方面还需进一步深入研究：

1.对于非可加情形下在线租赁问题的研究。现有文献大部分是对于可加情形下在线租赁问题进行研究，而对于非可加情形下的在线租赁问题研究还相对较少，而且研究并没有可加情形那样完备，而实际租赁市场中也有研究非可加情形下在线租赁问题的需要，所以有必要进行更深入的研究。可以先对非可加情形下的最优确定性和随机性算法的竞争比的解析解进行分析，进而考虑将实际市场因素、可选状态的多样化、投资者偏好等引入模型，得到更切实际的在线算法。

2.同时有多个同类设备需求问题的研究。已有研究基本上是基于“图灵奖”得主Karp教授提出的在线租雪橇问题展开的各种变形和推广研究，这里尚且将相关研究统称为“Karp类在线租赁问题”或“单一设备在线租赁问题”。而在现实租赁市场中，稍具规模的企业都越来越偏好于多设备组合租赁，对于同一类型的设备，即同质同价、类似于同质同价的K副雪橇的在线租赁问题，只有将所有设备看成一个整体进行租赁或购买，才能按Karp雪橇租赁问题来解决。而实际上可以采取租赁一部分设备并购买剩余部分设备的策略，这样就不能用Karp类在线租赁问题分析方法进行简单借鉴和复制。例如，一位爷爷带着两个孙子一起去滑雪，假定在滑雪场购买一副雪橇的价格是10，每期租赁一副雪橇的租金是1，滑雪者一旦在某一期买下一副雪橇，则他以后再滑雪时不必再付租赁费。在滑雪场这位爷爷可为他的两个孙子灵活地选择租用两副雪橇、或购买两副雪橇、或租用一副雪橇再购买一副雪橇等。在不知道两个孙子要练习多长时间的情况下，这位爷爷应采取怎样的租赁(租或买) 策略最为划算？按照Karp教授在线问题的定义，这显然是一个在线问题，只是比Karp教授的“在线租雪橇问题”多了一副雪橇和一个滑雪人。似乎是Karp在线租赁问题的简单推广。我们自然地会想到套用Karp的单个雪橇的最优租赁策略：前9期连续租赁两副雪橇，第10期若两个孙子还需继续练习时就购买两副雪橇，则竞争比是$2-\frac{1}{{10}}=1.9$。然而这并不是最优策略。事实上这位爷爷若采取在前6期每期(需用时) 都租用两副雪橇，而在第7期开始(需用时) 买下一副雪橇、再租用一副雪橇直到第9期(每期都需用时) 结束，当第10期还需用时再买下一副雪橇的策略，则可得到1.75的竞争比，小于Karp单个雪橇租赁策略的竞争比。所以，对于同质多设备租赁问题的研究并不能简单地采用Karp的单设备租赁策略。然而，对这类问题的研究还比较少，因此，同质多设备租赁框架以及框架得到后考虑各种实际因素的多设备租赁问题有待进一步研究。

3.同时有多个不同类设备需求问题的研究。类似同质多设备租赁问题，不同类设备租赁问题中设备为不同类型的设备(即使同一类型设备，若不同质量不同价格，也可看成是不同类型的设备)，即不同质不同价，类似于不同质不同价的K副雪橇和L件滑雪服的在线租赁问题，相对于多个同类设备的租赁问题要更复杂一些，同样不能简单地套用Karp的单个雪橇的最优租赁策略。但目前还没有这类问题的研究，而实际租赁市场中确实存在这种租赁问题，因此这也是另一个有待进一步研究的方向。同样的，在不同类设备在线租赁框架下考虑更多的市场因素和投资者偏好也有待进一步研究。

4.事实上，多设备在线租赁问题还常常以离散和连续两种形式呈现于我们的生活中，在上述第2和第3点中考虑的多设备租赁问题属于离散情形下的在线租赁问题，而实际租赁市场中还存在连续情形。例如一位农场主租赁一片土地生产粮食，他可以选择租多少亩再购买多少亩等决策方式。那么，连续情形下的多设备租赁框架以及该框架下考虑各种因素的多设备租赁问题仍需进一步研究。