一、 引 言

近年来，各类信息在以微信为代表的线上社交网络上爆炸式的扩散和由此产生的轰动效应，一方面展示出微信营销巨大的、潜在的市场价值：商家发布的一条信息可以在社交网络上“自行发酵”，造成产品的市场关注度远远超过巨额成本下的媒体广告效果。因此，微信营销所代表的(网络)口碑营销成为包括市场营销、运营管理、信息传播等多学科共同的研究热点。另一方面，其折射出口碑营销结果的不可预知性和不可预测性：并不是每条信息都能够在社交网络上广为传播，绝大多数的信息很快都被其他信息所“覆盖/淹没”。这表明对于社交网络上口碑传播的关键要素、传播过程和最终效果的研究目前正处于初期阶段，其机理机制尚未探明，理论滞后于实践。

随着基础理论研究工作的深入，领域专家逐渐明晰了线上社交网络的多层次特性。早期对社交网络的单层、孤立网络理解，过度简化了社交网络的特征和特性，理论分析难以得到实践检验。而多层网络上的口碑营销，引出了一个深层、核心问题：口碑/信息如何利用网络的多层次特点进行传播？网络的多层次特点对口碑传播有多大影响？本篇论文正是以此为研究问题，采用复杂系统理论中的多智能体建模研究方法，通过系统仿真来量化网络的多层次特性对口碑营销的影响。鉴于研究问题和研究方法的时效性和先进性，本项研究工作的创新之处十分明显。

二、 国内外研究现状

多层网络(multiplex / multilayer network)的概念源于复杂网络研究中对“超网络(super-network / network of networks)”的研究，其侧重于刻画网络节点之间链接含义的多样化、权重的差异化特性。^{[1, 2]}2012年前后，多层网络的基础研究工作才逐步展开，其动机在于现实世界中众多网络都符合多层网络的定义。其中，网络用户的关系网络也是一类典型的多层网络：网络用户可以通过多种不同的社交应用APP分别建立“朋友圈”(可能重合，也可能不重合)，即建立不同的社会关系网络。例如，网络用户既可以是微博平台下的“关注”与被“关注”关系，也可以同时是微信平台上的“朋友圈”关系。从信息传播的角度上看，如果这些不同的社会关系网络是完全隔离的，即信息的“网内”传播，那么信息在社会关系网络上的传播可以单独刻画。而实际情况是，信息通常被用户从一个社会关系网络“转发”到另外一个社会关系网络中，即信息的“网际”传播，传播过程因此超越了网络的边界。虽然，一个网络上正在传播的信息可以以近似“零”成本的代价转发到另外一个或多个网络，并同时在这些网络中继续扩散，但是，信息在不同网络中的传播机制和速度明显不同。更重要的是，由于网络节点的重叠性，信息传播的最终效果并不是多个网络中信息传播效果的简单相加。因此，应用领域对于多层网络环境下的信息传播特点、过程和结果有着强烈的研究兴趣。

但是，目前多层网络环境下的信息传播研究工作与实际需求存在巨大差距。这具体表现在：1)多层网络的研究还主要停留在基础理论研究阶段，主要的研究内容包括：多层网络的构造模型^{[3, 4]}和演化模型^{[5, 6]}；网络之间的相关性/耦合特性对整个网络的特征影响^[7]；网络结构对演化博弈结果的影响^[8]；信息传播模型的构建^[9-11]等。但是，对于多层网络环境下信息传播所特有的跨网络传播特点，研究工作尚不多见。^{[1, 2, 12]}因此，本篇论文侧重分析多层网络信息传播中特有的“网际”传播特点，研究工作的理论前瞻性和创新性显著。

另外，当前社交平台上的信息传播研究(“网内”转播)，主要是借鉴病毒传播的SIR传播模型或其扩展模型，通过系统仿真或平均场理论来分析网络结构对信息传播结果的影响。例如，Zanette分析了小世界特性网络环境下的信息传播^[13]；Moreno等人分析了无标度网络环境下的信息传播。^[14]但是，随着研究工作的深入，专家普遍认同无标度网络为代表的异质网络下，微观层面的信息传播过程和效果难以用平均场理论进行分析。而多个无标度网络构成的多层网络，其平均场理论下的分析更是难以进行。因此，更多的专家转向采用复杂网络中的多智能体建模分析方法^[15]，通过系统仿真来观察或解释信息传播的过程和结果。

本研究正是在此研究方法的趋势引导下，在前期工作积累基础上^[16]，采用多智能体建模与仿真分析方法分析多层网络中信息“网际”传播过程和结果的影响，研究工作的可行性和先进性较强。

三、 多层网络环境下的信息传播

多层网络环境下的信息传播涉及到两个方面的分析与实现：多层网络的构建和信息传播模型的构建。

(一) 多层网络的构建算法

本文在Kim和Goh提出的多层网络构造算法^[5]框架下，应用经典的无标度网络生成算法(Barabasi和Albert提出^[17])，生成两个相互关联的无标度网络，即双层网络。在这个双层网络中，每层网络中的节点和节点数量是相同的，区别在于不同网络中节点之间的链接是不同的，即网络整体结构不同。当在一层网络上传播的信息，如果由相同的节点通过另外一层网络上的链接传递给其他节点，这就是不同层次网络之间的信息“网际”传播。设定双层网络的节点数量为N，网络生成算法如下：

1) 生成一个n₀节点的双层网络(网络编号为G₁和G₂)。

2) 向两个网络中增加一个相同节点，即n_t+1=n_t+1。该节点与每一层网络中其他现有节点相连的数量，即链接线的数量为m(m ＜n₀)。

3) 新加节点(节点i)与网络G₁中其他节点(节点j)相连的概率由下式＜计算得到：

${{p}^{1}}\left( i,j \right)=\frac{\left( 1-\varepsilon \right)\cdot ({{k}^{1}}\left( j \right)+a)+\varepsilon \cdot ({{k}^{2}}\left( j \right)+a)}{\sum\limits_{l=1}^{{{n}_{t}}}{\left[ \left( 1-\varepsilon \right)\cdot ({{k}^{1}}\left( l \right)+a)+\varepsilon \cdot ({{k}^{2}}\left( l \right)+a) \right]}},(1\le j\le {{n}_{t}})$

(1)

式(1)中，ε(0≤ε≤1)定义了网络G₁和G₂之间节点度的相关程度；a定义了网络G₁和G₂的无标度特性；k¹(j),k²(j)分别定义了节点j在网络G₁和G₂中的度。

4) 新加节点(节点i)与网络G₂中其他节点(节点j)相连的概率由下式计算得到：

${{p}^{2}}\left( i,j \right)=\frac{\varepsilon \cdot ({{k}^{1}}\left( j \right)+a)+\left( 1-\varepsilon \right)\cdot ({{k}^{2}}\left( j \right)+a)}{\sum\limits_{l=1}^{{{n}_{t}}}{\left[ \varepsilon \cdot ({{k}^{1}}\left( l \right)+a)+\left( 1-\varepsilon \right)\cdot ({{k}^{2}}\left( l \right)+a),(1\le j\le {{n}_{t}}) \right]}}$

(2)

5) 重复步骤2-4，直到(双层)网络的节点数量达到N，即n_t+1=N。

根据式(1)和(2)描述，当参数ε=0时，网络G₁和G₂为两个相互独立的无标度网络，即：

$\left\{ \begin{matrix} {{p}^{1}}\left( i,j \right)\propto ({{k}^{1}}\left( j \right)+a) \\ {{p}^{2}}\left( i,j \right)\propto ({{k}^{2}}\left( j \right)+a) \\ \end{matrix} \right.$

(3)

(二) 多层网络上的信息传播算法

本文采用图 1所示广为接受的病毒传播SIR模型作为多层网络上信息传播模型。

其中，节点i与节点j接触，状态转移可以描述为：

$\left\{ \begin{matrix} {{S}_{i}}+{{I}_{j}}\xrightarrow{\lambda }{{I}_{i}}+{{I}_{j}} \\ {{I}_{i}}\xrightarrow{\beta }{{R}_{i}} \\ \end{matrix} \right.~$

(4)

式(4)中，S_i+I_j表示节点i和节点j在网络中存在相连关系。

当SIR传播模型是在一个孤立、同质的网络环境下的展开，传播过程可以用平均场理论表述为：

$\begin{align} & \left\{ \begin{matrix} \frac{dS}{dt}=-\lambda \cdot S\cdot I \\ \frac{dI}{dt}=\lambda \cdot S\cdot I-\beta \cdot I \\ \frac{dR}{dt}=\beta \cdot I \\ \end{matrix} \right. \\ & {{S}_{0}}=\frac{N-1}{N},{{I}_{0}}=\frac{1}{N},{{R}_{0}}=0{{I}_{\infty }}=0,{{S}_{\infty }}+{{R}_{\infty }}=1 \\ \end{align}$

(5)

对式(5)进行终态分析，可以得到整个网络中感知到信息的节点(R节点)占总节点数比例为：

$\frac{dS}{dR}=-\lambda \beta \cdot S\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} {{S}_{\infty }}={{e}^{-\lambda \beta \cdot (1-{{S}_{\infty }})}} \\ {{R}_{\infty }}=1-{{e}^{-\lambda \beta \cdot {{R}_{\infty }}}} \\ \end{matrix} \right.$

(6)

然而，当网络为异质网络时，如无标度网络，SIR模型的传播结果则难以分析得到。

本文以式(4)所示的SIR模型为基准模型扩展，以Boccaletti等人给出的定义作为信息传播/病毒扩散的传播概率λ_i,j(i,j=1,2)，以及病毒停播概率β_i(i=1,2)。

$\lambda =\left[ \begin{matrix} {{\lambda }_{1,1}} & {{\lambda }_{1,2}} \\ {{\lambda }_{2,1}} & {{\lambda }_{2,2}} \\ \end{matrix} \right],\beta =\left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} \\ {{\beta }_{2}} \\ \end{matrix} \right]$

(7)

当信息在网络G₁(G₂)中传播，相连的节点(S节点和Ⅰ节点)之间的传播概率为λ_1,1(λ_2,2)；Ⅰ节点的停播概率为β₁(β₂)。然而，当Ⅰ节点将信息从网络G₁渗透到网络G₂上相连的S节点时，S节点的感染率为λ_1,2，反之亦然。下式给出了状态转移的公式描述：

$\left\{ \begin{matrix} {{S}^{1}}_{i}+{{I}^{1}}_{j}\xrightarrow{{{\lambda }_{1,1}}}{{I}^{1}}_{i}+{{I}^{1}}_{j},{{S}^{2}}_{i}+{{I}^{2}}_{j}\xrightarrow{{{\lambda }_{2,2}}}{{I}^{2}}_{i}+{{I}^{2}}_{j} \\ {{^{2}}_{i}}+{{I}^{1}}_{j}\xrightarrow{{{\lambda }_{1,2}}}{{I}^{1}}_{i}+{{I}^{1}}_{j},{{S}^{1}}_{i}+{{I}^{2}}_{j}\xrightarrow{{{\lambda }_{2,1}}}{{I}^{2}}_{i}+{{I}^{2}}_{j} \\ S({{S}^{1}}_{i}\And {{S}^{2}}_{i})+{{I}^{1}}_{j}\xrightarrow{1-(1-{{\lambda }_{1,1}})\cdot (1-{{\lambda }_{1,2}})}{{I}^{1}}_{i}+{{I}^{1}}_{j} \\ ({{S}^{1}}_{i}\And {{S}^{2}}_{i})+{{I}^{2}}_{j}\xrightarrow{1-(1-{{\lambda }_{2,2}})\cdot (1-{{\lambda }_{2,1}})}{{I}^{2}}_{i}+{{I}^{2}}_{j} \\ {{I}^{1}}_{i}\xrightarrow{{{\beta }_{1}}}{{R}_{i}},{{I}^{2}}_{i}\xrightarrow{{{\beta }_{2}}}{{R}_{i}} \\ \end{matrix} \right.$

(8)

式(8)中，节点I_j¹(I_j²)表示在第1(2)层感知到信息的节点j；S_i¹+I_j¹表示节点i和节点j只存在第1层网络中的相连关系，而(S_i¹ & S_i²)表示节点i和节点j在两层网络中都存在相连关系。

根据式(8)定义，下面给出单一源头节点(Ⅰ节点)的多层网络上信息传播过程：

1) 设定网络中所有节点都为S节点，即没有感知到信息的“无知”节点。

2) 假设信息传播源于网络中的节点n_s，即设定该节点为Ⅰ节点(“传播”节点)。同时，设定信息传播起始于网络G_s。因此，对源头节点标号为(－,G_s)。

3) 从Ⅰ节点集合中随机选择一个Ⅰ节点，得到其标号为(n_i,G_i)。逐一检查与节点n_i相连的S节点n_j。

3.1) 如果节点n_i和n_j只在一个网络中相连，那么节点n_j感知信息的可能性为λ_s,t(s表示节点n_i的网络代号G_i，t表示节点n_i和n_j相连的网络代号)。此时，如果节点n_j感知信息，那么将节点n_j状态变化为Ⅰ，并标号为(n_i,G_t)。

3.2) 如果节点n_i和n_j在两个网络中都相连，那么节点n_j感知信息的可能性为1－(1－λ_s,1)·(1－λ_s,2)。这表示节点n_j感知信息的可能性要高于单一网络上感知信息的可能性。此时，如果节点n_j感知信息，那么将节点n_j状态变化为Ⅰ，并标号为(n_i,G_s)。

4) 从Ⅰ节点集合中随机选择一个Ⅰ节点，得到其标号为(n_i,G_i)。该节点以可能性β_s变化为R节点(s表示节点n_i的网络代号G_i)。

5) 重复步骤3-4，直到网络中不存在Ⅰ节点，即所有节点皆为S节点或R节点。

从以上多层网络上信息传播过程分析，双层网络下的信息传播，信息可以通过不同网络上的链接传递到相邻节点，即网际传播。同时，当节点之间存在多个网络上的链接关系，信息传播的概率将变大。

(三) 多层网络上的信息传播的量化指标

相比于平均场理论的分析，采用仿真方法不仅能够给出信息传播的最终结果R_∞，还能给出更为丰富的评价指标。本篇论文总共采用了以下4个指标用于量化信息传播的过程和最终结果。

在SIR模型中，信息传播节点/Ⅰ节点数量将由于传播概率而逐步增加，而随后由于停播概率而减少，即呈现一个先上升后下降的单峰曲线。因此，本文采用1)Ⅰ节点数量的峰值(指标1)；和 2)Ⅰ节点数量峰值时刻(指标2)。

前人对于无标度网络上信息传播的平均场理论分析表明，SIR模型描述的信息传播，信息总能够传播到网络中的每一个节点，即S_∞=0,R_∞=1。因此，本文采用用于衡量信息传播最终结果的两个指标：3)R节点数量的终值(指标3)；和4)R节点数量终值时刻(指标4)。其中，指标3通常被称为信息传播的广度或覆盖率。

四、 信息传播的多智能体仿真

在前期工作基础上，本文实现多层网络下信息传播的多智能体仿真模型。模型中，主要的参数设置如表 1所示。

由表 1可以看出，本文生成的双层网络中，网络G₁中信息传播的传播速度和停播速度都要快于网络G₂(λ_1,1＞λ_2,2,β₁＞β₂)。

表 2给出了生成的两个相互关联网络的网络特征。

如图 2所示，所生成的两个网络的节点度服从幂律分布，即为无标度网络。

本文采用Pearson相关系数描述生成的两个网络节点度的相关性，即^[1]：

${{r}_{1,2}}=\frac{\left[ {{k}^{1}}\left( i \right)\cdot {{k}^{2}}\left( i \right) \right]-\left[ {{k}^{1}}\left( i \right) \right]\cdot \left[ {{k}^{2}}\left( i \right) \right]}{\sqrt{{{k}^{1}}\left( i \right)\cdot {{k}^{1}}\left( i \right)-{{k}^{1}}{{\left( i \right)}^{2}}}\cdot \sqrt{{{k}^{2}}\left( i \right)\cdot {{k}^{2}}\left( i \right)-{{k}^{2}}{{\left( i \right)}^{2}}}}$

(9)

通过计算，得到网络G₁和G₂节点度之间相关系数为r_1,2=0.91628。

为了对比双层网络下信息传播与单层网络下信息传播的差异性，我们同时仿真了单层网络下的信息传播过程。在仿真中，我们统一选择网络中度最大的节点作为信息传播的源头节点。

图 3和图 4分别给出了单次仿真中，网络S节点和Ⅰ节点的数量变化。从图上可以看出，信息在单独网络(网络G₁或G₂)中传播时，信息传播的速度更慢(S节点数量减少的速度更加平缓，Ⅰ节点数量增加的速度也更慢)。

从图 3和图 4中数据也可以看出，当信息单独在网络G₁中传播时，其信息传播速度要明显快于在网络G₂中的传播。

从表 3数据可以看到，双层网络的信息渗透，导致信息传播得更快(指标1和3更大、指标2和4更小)。值得注意的是，虽然G₁网络的信息传播速度最快，但是在双层网络中，由于G₂网络中信息传播的持久性更强(停播概率更小)，从G₂开始传播信息，信息传播到达峰值更快

五、 信息“网际”传播的灵敏度分析

传播概率λ_1,2,λ_2,1分别定义了信息从网络G₁向网络G₂，网络G₂向网络G₁的传播能力。下面分别仿真了当传播概率λ_1,2,λ_2,1∈0.00,0.70时信息传播的绩效指标(其他参数保持不变)。

传播概率λ_1,2定义了信息从网络G₁向G₂传播的机率。而在初始定义中，网络G₁的信息传播特点是扩散得快、消失得也快。而相比之下，网络G₂中的信息传播更加缓慢。

从图 5可以看出，无论信息传播是从网络G₁还是G₂开始，传播概率λ_1,2的增加总是能够加快信息的扩散速度(指标2)，并增加信息传播的结果(指标1和指标3)。但是，由于网络G₂上信息消失得较慢(信息停播概率β₂较小)，信息传播结束需要更长的时间(指标4)。结合指标3和指标4的变化曲线，可以认为：传播概率λ_1,2对信息传播结果影响的时间成本较高，即指标3的变化相对于指标4的变化更加平缓。

图 6给出了传播概率λ_2,1对信息传播的影响。对比图 5给出的传播概率λ_1,2的影响，可以发现传播概率λ_2,1的增加同样使得信息传播得更广(指标1和指标3)，且传播得更快(指标2和指标4)。此结果表明，当信息可以“转换”到传播速度更快的网络G₁时，相比于信息在原网络(网络G₂)单独传播而言，信息传播的速度和广度都有显著增加。

通过以上对于描述信息“网际”传播的参数分析，我们可以得到以下结论：

1) 信息“网际”传播能够显著改变信息传播的过程和结果，使得信息传播的数学分析和预测变得更加复杂和难以预测。

2) 如果增加从信息传播速度较快的网络向信息传播速度较慢的网络的信息传播程度，由于事实上增加了网络节点的度，网络传播的广度因此增加。并且，由于传播速度较慢的网络对信息传播的影响，双层网络的信息传播的持续过程更长。

3) 如果增加从信息传播速度较慢的网络向信息传播速度较快的网络的信息反向传播程度，由于信息能够通过该网络传播得更快速，信息传播的速度和广度都有明显提升。

六、 结 论

本篇论文以多层网络上的口碑信息传播为研究对象，侧重分析多层网络信息传播中网际传播对传播效果的影响。通过多智能体建模研究方法，仿真分析了信息在一个双层网络中的传播过程和传播结果。并且，对比分析了网际传播中传播率对信息传播的影响。仿真数据的分析表明，双层网络中的网际传播可以提高信息传播的广度，但是会对信息传播的速度产生不同的影响。此结果对当前热门的微信营销提供了方向和指引。