随着世界航运业的快速发展，船舶的安全性，特别是船舶的倾覆问题^[1-4]越来越受到各界的关注。目前船舶在波浪作用下的抗倾覆性研究主要集中于甲板上浪时的倾覆问题^[5]及参数横摇问题^[6-7]两个方面。Troesch等将甲板上浪近似为一阶静水力，用概率统计的方法计算了随机波浪中船舶的非线性横摇运动，以及甲板上浪导致的倾覆问题^[8]。Liu等采用概率密度函数研究了随机海浪中甲板上浪船舶的运动特性，用概率密度函数的形状判定了船舶横摇运动的稳定性^[9]。文献[10]改进了复原力之辐射力和绕射力部分与横摇角线性假定^[11-12]，根据横摇角动态计算复原力之辐射力和绕射力部分，提出了一种随机波中船舶参数横摇的数值预报方法，并通过试验和数值模拟研究了随机波中参数横摇的实际非各态历经的特点。^[13]

另外，刘威等运用船舶碰撞的能量及动量守恒等基本理论，分析了船舶的质量比、速度比及船舶稳性变化等因素对小型船舶受撞即时倾覆的影响^[14]。李叶兴等通过物理模型试验对大型油轮的水流力进行了研究^[15]。万俊等进而给出了弯道中环流对船舶产生的倾覆力矩的计算表达式^[16]。综上所述，目前的研究中大多单独考虑波浪和水流对船舶倾覆的影响，而较少综合考虑波浪、水流及拦阻索的共同作用。本文将从考虑三者共同作用的角度对船舶横向撞击拦阻系统后的抗倾覆问题进行研究。

1 船舶在拦阻系统作用下横倾的稳性分析

船舶横向撞击拦阻系统后，由于外力矩作用发生横倾，而船体通过自身复原力矩的作用抵抗这种倾斜，此时其受力如图 1。图中取过重心G的垂线与船底基线的交点O为坐标原点，船舶横向为y轴方向，竖直向上为z轴正方向，M点为船舶的稳心。

1) 不考虑风荷载的作用。

2) 假定船舶的外力矩为波浪力产生的力矩与水流力和拦阻索作用力产生的横倾力矩的线性叠加，即横倾角由波浪产生的横摇角与横倾力矩产生的倾角相加得到。

3) 假定无波浪作用时，船舶在横倾力矩单独作用下只做旋转运动，此时水流力和拦阻索作用力大小相等，方向相反。

4) 由于船舶水下部分呈流线型，暂不考虑船舶横倾过程中吃水深度的变化，且对船舶横倾进行动稳性分析时，将分布的水流力等效为恒定的集中力，并不考虑横倾力矩随倾角的变化。

5) 假定波浪引起的横摇角与波幅成正比。

1.1 横倾力矩的计算

根据外力矩由波浪产生的力矩与横倾力矩线性叠加的假定，得船舶的总外力距:

$ {M_{\text{e}}} = {M_{\text{t}}} + {M_{\text{w}}} $

(1)

式中： M_w为波浪作用产生的力矩，M_t为水流力与拦阻索共同作用产生的力矩(横倾力矩)。根据图 1中的几何关系和相关假定可得横倾力矩：

$ {M_{\text{t}}} = {F_{\text{e}}}{Z_{\text{c}}}-{F_{\text{f}}}{Z_{\text{f}}} = {F_{\text{f}}}\left( {{Z_{\text{c}}}-{Z_{\text{f}}}} \right) $

(2)

式中： F_f为水流力；Z_f为水流力作用点距基线的高度，取Z_f=T/2，T为船舶吃水；F_c为拦阻索对船舶的作用力；Z_c 为拦阻索作用点距基线的高度。根据港口工程荷载规范^[17]，作用于船舶的水流力：

$ {F_{\text{f}}} = \rho {C_{\text{c}}}{U^2}A/2 $

(3)

式中： ρ为海水密度，取ρ=1 025 kg/m³；C_c为水流阻力系数，依据港口工程荷载规范^[17]，取C_c=2.32；U为水流相对于船舶的速度；A为船舶水下部分垂直于水流方向的投影面积，由于不计吃水深度的变化，可取A=L_PPT，其中L_PP 为船舶垂线间长。

1.2 波浪作用对船舶横倾的影响

船舶在波浪作用下会产生纵荡、横荡、垂荡、横摇、纵摇和艏摇等运动。其中，横摇对船舶横撞拦阻系统后抗倾覆性的影响不得不考虑。然而，真实海况中的波浪为不规则波，且横摇运动会影响波浪的作用，形成流固耦合问题，很难进行较为精确的理论求解。本文采用数值模拟的方法，通过建立三维水动力模型求解出船舶在不同频率与方向波浪下的横摇角θ_w。

1.2.1 静稳性分析

如图 1所示，当船舶正浮于水线 WL时，浮心为B，在外力矩作用下倾斜θ角度后，水线斜至W₁L₁，浮心从B点移至B₁点，过G点向倾斜后浮力作用线作垂线交于Z点，由图中的几何关系可知：

$ \overline {GZ} = \overline {ON}-\overline {OH} $

(4)

式中： $\overline {GZ} $表示船舶的静稳性力臂l_s，$\overline {ON} $表示船舶的形状稳性力臂l_θ，$\overline {OH} $表示重量稳性力臂l_g，且有

$ {l_\theta } = {y_{{\text{b1}}}}\cos \theta + {z_{{\text{b1}}}}\sin \theta $

(5)

$ {\operatorname{l} _{\text{g}}} = {z_{\text{g}}}\sin \theta $

(6)

式中： y_b1为倾斜后浮心B₁的纵坐标，z_b1为倾斜后浮心B₁的垂向坐标，z_g为重心G到基线的距离。因此，联立式(4)~(6) 得到船舶的静复原力矩：

$ {M_{\text{r}}} = Dg{l_{\text{s}}}{\text{ = }}Dg\left( {{y_{{\text{b1}}}}\cos \theta + {z_{{\text{b1}}}}\sin \theta-{z_{\text{g}}}\sin \theta } \right) $

(7)

式中： D为船舶的排水量，g 为重力加速度。

稳性交叉(横截)曲线是一族以排水体积(量)为横坐标，以形状稳性力臂 l_θ为纵坐标的等倾角曲线。如果给定排水量D和重心高度z_g，则可以通过稳性交叉(横截)曲线求得一条横坐标为倾角θ，纵坐标为形状稳性力臂l_θ的曲线(形状稳性力臂曲线)，进而在该曲线上减掉各对应倾角下的重量稳性力臂l_g，即可得到静稳性曲线(静稳性力臂l_s随倾角θ 的变化曲线)^[18]。

1.2.2 动稳性分析

上述的静稳性问题是假定船舶受到外力矩的静力作用，船舶倾斜缓慢而忽略不计其角速度和角加速度。考虑到船舶横撞拦阻系统时存在外力矩的动力作用，因此需要进行相应的动稳性分析。在动稳性分析中，外力矩与复原力矩相等时，因惯性的缘故，船舶不会停止而要继续倾斜，只有当外力矩所做的功与复原力矩的功完全抵消时，船才会停止倾斜。该平衡角称为动平衡角 θ_d 。根据外力矩与复原力矩做功平衡有^[18]：

$ {M_{\text{d}}}{\theta _{\text{d}}} = {T_{\text{d}}} = {T_{\text{r}}} = \int_0^{{\theta _{\text{d}}}} {{M_{\text{r}}}} {\text{d}}\theta $

(8)

$ {M_{\text{d}}} = \int_0^{{\theta _{\text{d}}}} {{M_{\text{r}}}} {\text{d}}\theta /{\theta _{\text{d}}} $

(9)

式中： M_d为动倾力矩，T_d为动倾力矩所做的功，T_r 为静复原力矩所做的功。

在已知静稳性曲线时，可根据式(8)、(9) 确定动倾力矩 M_d与动倾角θ_d 的关系。为了安全起见，本文综合考虑船舶的静稳性与动稳性，以船舶动稳性分析求出的动倾力矩的大小为计算依据。

2 算例与结果分析

船舶长L_OA=45.37 m；垂线间长L_PP=41.90 m；型宽B=9.20 m；型深H=3.40 m；驾驶室至艉升高甲板高度H_O=4.80 m；艉升高甲板至基线高度H_D=4.13 m；拦阻索作用点距基线高度4.13≤Z_c≤8.93。船舶空载到港和满载出港时的相关参数如表 1所示。

根据船舶的相关参数建立船舶模型，利用ANSYS-AQWA软件，计算得到其在不同频率与方向波浪(波幅a为1 m)作用下的横摇角如图 2所示。观察图 2可以发现，垂直于船长方向的波浪所引起的横摇角最大。对于周期5 s≤T_w≤6 s的波浪，其波频1.05≤ω≤1.26 rad/s，在此类波浪作用下，船舶空载时的横摇角θ_w≤15°；满载时的横摇角θ_w≤5°。

2.1 最大动倾力矩与横倾力矩的求解

根据式(5)~(7)、式(9) 及表 1中的数据，可以得到船舶的静稳性和动稳性力矩曲线如图 3所示。从图中可以看出：静复原力矩m_r随着倾角θ的增大先增大后减小； 动倾力矩M_d随着动倾角θ_d的增加而非线性地增加。它们的最大值如表 2所示(θ_smax为考虑动稳性时的最大静倾角)。

本文考虑最安全的情况进行计算，即以图 3中静稳性力矩曲线的 0~θ_smax段为计算依据。假定波幅与横摇角成正比，将该段曲线x方向减去波幅对应的横摇角θ_w，y方向减去相应的波浪力矩M_w，并将相应的横摇角转化为波幅a，即可得到最大允许横倾力矩M_tmax与波幅a的关系曲线如图 4所示。

由图 4可知，最大允许横倾力矩 M_tmax随波幅a的增加而减小；在不考虑波浪作用时， 船舶空载与满载的最大允许横倾力矩十分接近；但是，波浪对空载船舶的影响更大，要使满载船舶在波浪单独作用下不发生倾覆，则波幅a≤2.82 m；而要使空载船舶在波浪单独作用下不发生倾覆，则波幅a≤1.02 m。

2.2 最大允许水流速度与波幅的关系

根据图 4及式(2)、(3) 得到拦阻索作用高度Z_c=4.13 m时，最大允许水流速度U_max随波幅a的变化曲线，如图 5所示。观察图 5可以发现，最大允许水流速度U_max随波幅a的增大而非线性地减小，且减小的速度越来越快；相对于满载船舶，波浪对空载船舶倾覆的影响更大；波幅a=0.5 m时，若要使空载船舶不发生倾覆，则应满足水流速度U＜3.39 m/s；要使满载船舶不发生倾覆，则应满足水流速度U＜2.64 m/s；当波幅a=0.77 m时，船舶空载与满载时不发生倾覆的最大允许速度相同，即U_max=2.5 m/s。

2.3 拦阻索作用点最大允许高度与波幅的关系

分别做出U=2.0 m/s、U=2.5 m/s、U=3.0 m/s条件下，拦阻索作用点最大允许高度 Z_cmax 随波幅a的变化曲线如图 6所示。波幅a=0.5 m时，拦阻索作用点最大允许高度Z_cmax的相关数据如表 3所示。由图 6及表 3可以发现，在波幅a=0.5 m条件下，U=2.0 m/s时船舶空载不会有发生倾覆的危险；但对于更高的流速，如U=2.5 m/s时要保证作用高度 Z_c≤7.24 m， U=3.0 m/s时要保证作用高度Z_c≤5.16 m，船舶才不会倾覆。对于满载船舶，U=2.0 m/s、U=2.5 m/s时要分别保证作用高度Z_c≤6.27 m和Z_c≤4.46 m，船舶才不会倾覆，U=3.0 m/s时，船舶会发生倾覆。此外，图 6(a)、(b)均体现了拦阻索作用点最大允许高度Z_cmax随波幅的增大而非线性减小的规律。

2.4 拦阻索作用点最大允许高度与最大允许流速的关系

船舶在空载和满载条件下不同波幅波浪作用时，拦阻索作用点最大允许高度Z_cmax与最大允许流速U_max的关系曲线如图 7所示。观察图 7可以发现：拦阻索作用点最大允许高度Z_cmax与流速U_max成反比。同时，图 7是判定船舶在波浪作用下是否倾覆的重要依据，即可以确定任意流速(或作用高度)下的极限作用高度(或流速)。当船舶的状态参数点落在曲线以下部分船舶不发生倾覆，落在曲线以上则发生倾覆，曲线上的点为临界状态(同理，可判断其他波幅条件下的拦阻索作用点最大允许高度Z_cmax与流速U_max)。

3 结论

本文为判断船舶在撞击拦阻系统后的抗倾覆性提供了一种近似方法，该方法假定船舶的横倾由波浪作用和水流力作用的线性叠加产生，并通过数值模拟求出船舶在波浪作用下的横摇角，进而确定波浪波幅、最大允许水流速度及拦阻索最大允许作用高度间的关系。

1) 垂直于船长方向的波浪对船舶的横摇影响最大。

2) 相对于满载船舶，波浪对空载船舶倾覆的影响更大。

3) 推导了静稳性力矩 M_r和动倾力矩M_d与倾角θ的关系，并在此基础上得到了拦阻索最大允许作用高度Z_cmax和最大允许水流速度U_max 随波幅的增大而减小的规律。

4) 给出了波幅为a=0.5 m和a=0.75 m时，船舶在空载和满载条件下，拦阻索作用最大允许高度Z_cmax与最大允许流速U_max的关系曲线，为判定船舶在波浪和水流作用下的稳性提供了重要依据。

然而，本文的研究也存在一些不足，如仅考虑了恒定外力矩下的船舶抗倾覆问题，并假设了波浪与水流力对船舶为线性作用。因此，若要得到更精确的结果，则在分析中还应考虑风荷载、吃水深度变化以及拦阻索作用力的偏心等问题，并且船舶与波浪及水流的流固耦合问题也将大大增加问题求解的复杂性。