对于复杂工程优化设计来说，在优化迭代的每一步都完整地执行高精度CFD求解器几乎是不可能的，采用近似模型来代替真实计算模型，从而在允许的计算时长下得到满足工程精度的优化解，成为解决这一问题的有效手段。因此高效、准确的近似技术是SBD有效应用于船型优化设计的必要条件，即通过建立船舶性能计算的近似模型来解决在优化过程中由高精度CFD求解器带来的响应时长、计算成本高等问题。

径向基函数(RBF)神经网络因其特有的拓扑结构和全局逼近能力，在非线性系统的建模和控制等方面得到了广泛应用^[3]。但RBF神经网络的结构设计鲁棒性差，使其实际应用的泛化能力受到限制，因此开发适用性高的自组织RBF神经网络意义重大。Yingwei等^[4]通过引入删减策略对网络拓扑结构进行调整，提出了最小资源(MRAN)神经网络，但缺乏内部参数的同步调整导致网络的收敛速度慢。通过引入优化算法对RBF网络结构大小进行寻优是改善网络性能的有效途径^[5-6]，但由于优化过程导致了网络结构调整需要付出冗长的计算代价。增长修剪型RBF(GGAP-RBF)神经网络^[7]根据重要性来增减隐含层的神经元数量从而设计网络结构，但其参数初始值的选取与全局样本数据密切相关，这在一定程度限制了它的实际应用。弹性RBF(FRBF)神经网络^[8]基于神经元的活跃度与修复准则进行网络结构调整，同时实现网络内部参数的自行校正，并可保证网络结构在动态变化中的收敛性，可以有效克服其他自组织RBF神经网络的计算时间长、内部参数调整能力差、收敛性差等诸多缺点。但常规FRBF用快速下降法训练内部权值，会带来迭代过程易陷入局部极小、鲁棒性差等缺陷。

本文用粒子群(PSO)优化算法替代传统FRBF神经网络中的快速下降法对连接权值进行训练，实现对传统FRBF训练过程的优化，提出了基于PSO训练的FRBF神经网络算法(PSO-FRBF)，通过对比分析多种方法建立的兴波阻力系数近似模型，验证了该新型自组织神经网络的适用性与优越性。之后针对船型优化设计问题，以Wigley船型为算例，以船舶主尺度和船型修改系数为设计变量，以排水体积的变化量为约束条件，引入PSO-FRBF兴波阻力系数近似模型，建立了船体总阻力优化模型，并采用模拟退火优化算法实现了主尺度与船型优化设计，得出了可靠合理的新船型。

1 FRBF神经网络

径向基函数(radial basis function，RBF)神经网络的输出为

$y=\sum\limits_{k=1}^{k}{{{\omega }_{k}}}{{\theta }_{k}}(\mathit{\boldsymbol{x}})$

(1)

式中：x=(x₁, x₂, …, x_M)^T为神经网络的输入数据，ω_k为隐含层第k个神经元与输出层之间的权值，K为隐含层神经元数，θ_k为隐含层第k个神经元的输出表示为

${{\theta }_{k}}(x)=exp(-\frac{\mathit{\boldsymbol{x}}-{{\mathit{\boldsymbol{ }}\!\!\mu\!\!\rm{ }}_{k}}}{\sigma _{k}^{2}})$

(2)

式中：μ_k为神经元k的中心值，σ_k为其方差。

RBF网络均方差定义为

$MSE(t)=\frac{1}{T}\sum\limits_{t=1}^{T}{(}y(t)-{{y}_{d}}(t){{)}^{2}}$

(3)

式中：y_d为网络输出期望值，y为网络输出实际值，T为网络的训练步数。

RBF神经网络以其特有的拓扑结构可实现良好的全局逼近能力，但需针对不同的应用问题对内部结构进行相应调整，因此实现RBF网络结构的自组织功能具有重要意义。弹性RBF(FRBF)神经网络^[8]基于神经元的活跃度与修复准则进行内部结构调整，并实现网络内部参数的自行校正，该优良的自组织特性使其针对不同问题有较强的泛化能力。

FRBF中隐含层神经元k(k=1, 2, …, K)的活跃度定义：

$A{{f}_{k}}=\frac{1}{\left\| \mathit{\boldsymbol{x}}-{{\mathit{\boldsymbol{ }}\!\!\mu\!\!\rm{ }}_{k}} \right\|+\tau }\centerdot \frac{{{\theta }_{k}}(x)}{\sum\limits_{k=1}^{K}{{{\theta }_{k}}(x)}}$

(4)

式中：τ是较小的实数，以避免‖x－μ_k‖为零时该式无解。

FRBF神经元的修复准则基于生物神经系统的修复机制而提出。两神经元之间的连接强度定义：

$M(X;Y)=H(X)-H(Y\left| X \right.)$

(5)

式中：H(X)为神经元X的香农熵^[9]，H(Y|X)为神经元Y在X条件下的熵。

当0≤M(X;Y)≤min(H(X), H(Y))时，规则化交互信息的强度表示为

$m(X;Y)=\frac{M(X;Y)}{\min (H(X),H(Y))}$

(6)

可知m值体现了神经元X和Y的相关性：较大的m值说明两神经元信息交互较强，可以加强其连接强度；较小的m值或当m趋于0时，表明两神经元交互信息弱，在网络结构的自组织调整时可断开其连接以避免冗长的非必要结构。这种调整方式称为FRBF神经元的修复准则。

FRBF神经网络运行的具体步骤如下：

1) 根据神经元活跃度函数式(4) 判断活跃性，对活跃性较强的神经元进行分裂，生成活跃度较高的新增神经元。

2) 利用上述神经元修复准则进行网络结构调整，以避免网络当中冗长的非必要结构，提高计算效率。

3) 针对下一时间步(t+1) ，对隐含层神经元k的连接权值、中心值和方差进行修改：

$\left\{ \begin{align} & \mathit{\boldsymbol{ }}\!\!\omega\!\!\rm{ }(t)=\eta \mathit{\boldsymbol{ }}\!\!\theta\!\!\rm{ }({{y}_{d}}(t),x(t))e(t) \\ & {{\mu }_{i}}(t+1)={{\mu }_{i}}(t)-{{\eta }_{1}}\frac{\partial MSE(t)}{\partial {{\mu }_{i}}(t)} \\ & {{\sigma }_{i}}(t+1)={{\sigma }_{i}}(t)-{{\eta }_{2}}\frac{\partial MSE(t)}{\partial {{\sigma }_{i}}(t)} \\ \end{align} \right.$

(7)

式中：ω=(ω₁, ω₂, …, ω_K)^T为权值向量，θ=(θ₁, θ₂, …, θ_K)^T为输出向量，η、η₁、η₂为[0,1]区间内的参数学习步长，单步误差e(t)表示为

$e(t)=y(t)-{{y}_{d}}(t)$

(8)

算法每运行一定步数进行以此结构判断与调整，从而可以提高计算效率。FRBF神经网络结构的弹性调整机制更接近人脑神经元的处理方式，因此更具仿生特性，较之一般自组织神经网络更具优势。

2 PSO-FRBF神经网络

由式(7) 可知，FRBF算法的连接权值训练是基于快速下降法进行的，因此存在以下缺点^[10]：

1) 梯度下降法在搜索当前最优值时易陷入局部极小，导致结果准确性降低；

2) 网络的训练时间长，收敛速度慢；

3) 网络鲁棒性差，结果对参数设置敏感。

针对上述缺点，本文引入粒子群(PSO)优化算法^[11]，提出了基于PSO训练的FRBF神经网络(PSO-FRBF)。PSO优化算法基于现代群体仿生理论，寻优过程较快速下降法具有范围广、方向多、群体协作程度高等诸多优点，因此用PSO算法替代FRBF算法中的快速下降法训练连接权值，能够改善FRBF神经网络性能，提高训练效率，并且避免陷入局部极小，增强网络的泛化能力。

在PSO算法中，粒子的属性包括速度和位置。每一维粒子个体的速度向量不得超过该维的最大限速度v_max(v_max>0) 。位置向量用FRBF网络隐含层神经元的连接权值和阈值定义。

粒子群体适应度采用FRBF算法每一时间步的均方差MSE(t)，PSO优化模型：

$\text{opt:min}\ \text{MSE}(t)=\frac{1}{T}\sum\limits_{t=1}^{T}{(}y(t)-{{y}_{d}}(t){{)}^{2}}$

(9)

PSO-FRBF算法流程如图 1所示。

可知在PSO-FRBF算法中，需对神经网络隐含层的连接权值与粒子群个体的位置向量进行编码映射，并将网络的均方差作为粒子群个体的适应度函数。因此神经网络的训练就可转化为在特定空间内寻找使均方差最小的隐含层连接权值的优化问题。

3 C_w的神经网络模型建立 3.1 样本的生成

本文针对Wigley数学船型在中低速航速段(F_r=0.2) 进行主尺度与型线优化，采用面向低速薄船阻力预报的Michell积分法^[12]来计算兴波阻力系数C_w，由于其数值计算耗时较长，需建立符合精度的近似预报兴波阻力系数C_w的神经网络模型。

将设计变量确定为全船主尺度与船舶整体形状，其中主尺度由水线长L、水线宽B、吃水T表示；船体形状通过原始型值点y₀(x, z)乘以船型修改函数ω(x, z)^[13]表示：

$\left\{ \begin{align} & {{y}_{f}}(p,z)={{y}_{f\ 0}}(p,z)\centerdot \omega (p,z) \\ & {{y}_{a}}(p,z)={{y}_{a\ \ 0}}(p,z)\centerdot \omega (p,z) \\ \end{align} \right.$

(10)

$\begin{align} & w(p,z)=1-\sum\limits_{m}{\sum\limits_{n}{{{A}_{mn}}}}\sin \left[ \pi {{\left( \frac{p-{{p}_{0}}}{{{p}_{\max }}-{{p}_{0}}} \right)}^{m+2}} \right]\centerdot \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sin \left[ \pi {{\left( \frac{{{z}_{0}}-z}{{{z}_{0}}+T} \right)}^{n+2}} \right] \\ \end{align}$

(11)

式中：y_f(a)(p, z)代表变化后的船体前(后)半部分横向型值点，二者以中横剖面为分界面；ω(p, z)为船型修改函数，其中p_max=L/2，p₀=z₀=0，p₀≤p≤2p_max；A_mn为表征变化幅度的控制变量，本文选取m, n=1, 2, 3，因此共9个A_mn，这样避免了直接将型值点作为设计变量，有效地降低了优化问题的维度。因此本文的设计变量为：L、B、T和A_mn(m、n=1, 2, 3) 共12个。

可知神经网络输入变量共12个，输出变量为1个C_w。训练神经网络时需要大量分布于设计空间的实验设计点(即训练的样本)，其数量与分布的均匀程度直接影响神经网络精度。利用Michell积分法数值计算生成了800个样本，其中400个用于网络训练，剩余400个用于测试网络的泛化能力。样本情况如图 2所示，为了便于作图观察，将C_w从小到大排列。

3.2 神经网络的训练与测试

为了对比分析，本文分别采用：RBF网络法、FRBF网络法、PSO-FRBF网络法针对图 2所示的样本进行训练，建立C_w的神经网络模型。

各方法的参数选取为：三种类型的神经网络的层数均为3，输入层、中间层和输出层神经元个数均为(12, 6, 1) ，收敛阈值为均方差MSE=1×10^-7，最大迭代步数为3 000；RBF法和FRBF法采用快速下降法训练权值，采用梯度下降法训练神经元的中心值与方差。PSO-FRBF法中，粒子初始种群数为100，学习因子为0.5。

用生成的测试样本对训练后的各神经网络进行测试，拟合结果对比如图 3所示；误差曲线如图 4所示，误差err表示为

$\text{err=}\left| \left( {{C}_{w}}-{{C}_{w0}} \right) \right|/{{C}_{w0}}$

(12)

式中：C_w0为测试样本值，C_w为计算值。

训练过程的MSE下降曲线如图 5所示。为了验证PSO-FRBF算法的稳定性，连续进行5次运算，其MSE的下降曲线如图 6所示。各型神经网络的训练情况如表 1所示。

由图 3可见各型网络均能模拟出样本分布的大体趋势，但精度有所不同；图 4的误差分布说明了PSO-FRBF算法具有较高的模拟精度。

由图 5可知，PSO-FRBF算法在1 050步收敛，其他算法全程运算均未收敛且陷入了局部极小，说明了新型网络凭借其优越的寻优能力可有效跳出局部极小而快速收敛；图 6所示PSO-FRBF算法的五次运行均在短时间内得到了收敛解，证明了新算法的可靠性与稳定性。

可知PSO-FRBF网络在建立兴波阻力系数近似模型方面具有模拟精度高、速度快、稳定性与可靠性强、可有效跳出局部极小等诸多优越性能，在船型优化领域应用前景广阔。

4 船型优化 4.1 优化模型的建立

本文船型优化问题的设计变量的初始值与取值范围如表 2所示。

约束条件为

$\left\{ \begin{align} & \left| \frac{{{\nabla }_{0}}-\nabla }{{{\nabla }_{0}}} \right|\le \varepsilon \\ & y(x,z)\ge 0 \\ \end{align} \right.$

(13)

式中：▽和▽₀分别为优化船型与初始船型的排水体积；ε为小量，本文取0.6%。该约束条件保证了优化方案的可行性，并能在排水体积改变不大的前提下实现减阻。

以总阻力R_t为目标函数，根据休斯观点，总阻力分为兴波阻力R_w、摩擦阻力R_f与粘压阻力R_pv，即：

${{R}_{t}}={{R}_{w}}+{{R}_{f}}+{{R}_{pv}}=\frac{1}{2}\rho {{U}^{2}}S({{C}_{w}}+{{C}_{f}}+{{C}_{pv}})$

(14)

式中：U为航速，S为湿表面积。

兴波阻力系数C_w利用PSO-FRBF建立的近似模型进行计算；摩擦阻力系数C_f采用1957ITTC公式；粘压阻力系数C_pv采用巴普米尔公式：

$\left\{ \begin{align} & {{C}_{f}}=\frac{0.075}{{{\left( \lg Re-2 \right)}^{2}}} \\ & {{C}_{pv}}=0.09\frac{{{A}_{m}}}{S}\sqrt{\frac{\sqrt{{{A}_{m}}}}{2{{L}_{r}}}} \\ \end{align} \right.$

(15)

式中：Re为雷诺数，A_m为中横剖面面积，L_r为去流段长度，本文取L/2。

再利用惩罚函数将约束条件(12) 整合到优化目标中，得到了优化模型：

$\begin{align} & \min \ \text{Fitness(}V\text{)=}\min \{{{R}_{t}}+{{M}_{1}}\max \left( 0,\frac{{{\nabla }_{0}}-\nabla }{{{\nabla }_{0}}}-\varepsilon \right)+ \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {{M}_{2}}\sum{\max }(0,y)\} \\ \end{align}$

(16)

式中：V为设计变量集合，Fitness表示优化目标，即适应函数值；M₁、M₂为惩罚系数，本文取1 000。

训练好的PSO-FRBF神经网络完成一次式(16) 所示的目标函数的计算需0.75 s，较直接数值计算的效率提高了66倍，可以在满足精度要求的前提下大大缩短优化设计的耗时。

4.2 Wigley船型优化

选取Wigley数学船型作为优化算例，Wigley船型函数为

$\left\{ \begin{align} & y=\frac{B}{2}\left[ 1-{{\left( \frac{2x}{L} \right)}^{2}} \right]\centerdot \left[ 1-{{\left( \frac{z}{T} \right)}^{2}} \right] \\ & (-L/2\le x\le L/2,\ \ \ -T\le z\le 0) \\ \end{align} \right.$

(17)

式中：x、y、z为各型值点坐标。将站线数量和水线数量均取为11。

利用模拟退火算法(SA)进行优化计算，如表 3所示。寻优迭代过程的适应度值下降曲线如图 7所示。优化船与母型船横剖线对比如图 8所示。

最优设计变量为：[2.04, 0.239, 0.103, 0.08, 0.09, 0.15, 0.14, 0.14, 0.15, 0.13, 0.05, 0.09]。

可知该船型的总阻力优化效果明显，优化后的船型具有较大的船宽和较浅的吃水，这样可以保证排水量基本不变；首部3根横剖线略微向内凹陷，导致首部形状瘦削，从而使进水角增加，减缓首部兴波，有利于降低兴波阻力，船尾同样较母型船更为瘦削，可使船型更具流线特性，有利于降低粘压阻力。从而说明该优化设计方法具有合理性。

5 结论

1) 用粒子群优化算法替代传统FRBF神经网络中的快速下降法对连接权值进行训练，可实现对传统FRBF训练过程的优化；

2) 通过对比分析多种方法建立的兴波阻力系数近似模型及其运行参数，验证了新算法的适用性与优越性。

3) 将PSO-FRBF兴波阻力近似模型引入基于SBD技术的船型优化过程中，得到了光顺合理的优化船型，证明了PSO-FRBF方法建立的近似模型的准确度与主尺度船型联合优化设计方法的可行性。新型神经网络可为船舶优化设计相关阶段提供良好的技术支持。