模型预测控制(model predictive controlMPC)具有模型预测、滚动优化和反馈校正三个主要特性。对模型要求低、设计简单、鲁棒性强而且能够有效的处理状态、控制等方面的约束问题，在工业界受到广泛的关注^[1]。

在实际生产过程中不确定性与扰动是不可避免且无法预知的，而鲁棒预测控制因其既具备鲁棒控制的优点，可以处理模型的不确定性，又兼具预测控制的滚动优化思想，弥补了经典MPC的不足，因此得到学者们的极大重视^[2-8]。文献^[2]基于LMI方法给出了一类具有时变时滞、输入约束和扰动的离散系统的控制器设计方法；文献^[3]解决了前提不匹配情况下T-S模糊时滞系统的控制器设计问题，该文降低了设计的保守性；文献^[4-5]针对具有输入约束的离散时滞系统通过LMI技术研究了一种鲁棒模型预测控制器设计方法，但是在时滞为常数时研究的；文献^[6]采用鲁棒预测控制方法研究了一类带有非线性扰动的多重时滞不确定系统的控制律设计问题，但所考虑的系统为连续的；文献^[7]解决了一类带有区间时滞的离散非线性系统的预测控制器设计问题；文献^[8]研究了一类时滞为多重的不确定离散线性系统的控制器设计方法，所提方法保证了闭环系统的稳定性与可行性。然而，有关多重状态时滞与扰动同时存在的不确定离散非线性系统的鲁棒预测控制问题还有待进一步研究。本文在文献^[7-8]的基础上，讨论了一类既具有非线性扰动又同时存在多重状态时滞的不确定离散非线性系统的鲁棒预测控制器设计问题。

1 问题描述与预备知识

记号：Rⁿ为n维欧几里德空间，R^n×m为n×m维实矩阵的集合，I_n为n×n维单位矩阵。符号*代表相应的对称块矩阵，即如果H，R是对称矩阵，则

$\left[ \begin{matrix} H & * \\ S & R \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} H & {{S}^{T}} \\ * & R \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} H & {{S}^{T}} \\ S & R \\ \end{matrix} \right]$

考虑如下一类具有多重状态时滞和非线性扰动的不确定离散非线性系统：

$\begin{align} & x\left( k+1 \right)={{A}_{0}}\left( k \right)x\left( k \right)+\sum\limits_{i=1}^{m}{{}}{{A}_{i}}\left( k \right)x(k-{{d}_{i}})+ \\ & {{B}_{0}}\left( k \right)u\left( k \right)+f(x\left( k \right),x(k-{{d}_{1}}),\ldots ,x(k-{{d}_{m}})) \\ \end{align}$

(1)

式中：x(k)∈R^n_x是系统的状态，u(k)∈R^n_u为系统的输入，f(x(k),x(k-d₁),…,x(k-d_m))是非线性扰动，为方便表述，令f_k:=f(x(k),x(k-d₁),…,x(k-d_m))，且满足:

$\begin{align} & f_{k}^{T}{{f}_{k}}\le \beta _{0}^{2}{{x}^{T}}\left( k \right)x\left( k \right)+\beta _{1}^{2}{{x}^{T}}(k-{{d}_{1}})x(k-{{d}_{1}})+ \\ & \ldots +\beta _{m}^{2}{{x}^{T}}(k-{{d}_{m}})x(k-{{d}_{m}}) \\ \end{align}$

(2)

式中:0<d₁<…<d_m表示系统的时滞，x(k)=φ(k)，-d_m≤k≤0是系统的初始条件。系统(1)中的系统矩阵是未知的，并且可以表示成凸组合的形式，即

$[{{A}_{0}}\left( k \right)\text{ }{{A}_{1}}\left( k \right)\ldots {{A}_{m}}\left( k \right)\text{ }{{B}_{0}}\left( k \right)]\in \Omega $

其中

$\begin{align} & \Omega =Co\{[{{A}_{01}}~{{A}_{11}}\ldots {{A}_{m1}}~{{B}_{01}}],\ldots , \\ & [{{A}_{0L}}~{{A}_{1L}}\ldots {{A}_{mL}}~{{B}_{0L}}]\} \\ \end{align}$

(3)

式中:Co表示由L个顶点[A₀₁ A₁₁…A_m1 B₀₁],…,[A_0L A_1L…A_mL B_0L]构成的凸多面体集，即存在L个非负系数0≤λ_i<(k)≤1(i=1,2,…,L)，$\sum\limits_{i=1}^{L}{{}}$λ_i(k)=1使得

$\begin{align} & [{{A}_{0}}\left( k \right)\text{ }{{A}_{1}}\left( k \right)\ldots {{A}_{m}}\left( k \right)\text{ }{{B}_{0}}\left( k \right)]= \\ & \sum\limits_{i=1}^{L}{{}}{{\lambda }_{i}}\left( k \right)[{{A}_{0i}}~{{A}_{1i}}\ldots {{A}_{mi}}~{{B}_{0i}}] \\ \end{align}$

(4)

系统(1)的模型预测控制问题可描述为如下问题：设计一种鲁棒预测控制器使所研究系统鲁棒稳定同时获得下面的鲁棒性能指标，即需要考虑如下min-max优化问题:

$\mathop {\min }\limits_{u\left( {k + j\left| k \right.} \right),j = 0,1, \ldots ,m} \mathop {\max }\limits_{[{A_0}\left( {k + j} \right){\rm{ }}{A_1}\left( {k + j} \right) \ldots {A_m}\left( {k + j} \right){\rm{ }}{B_0}\left( {k + j} \right)] \in \Omega ,j \ge 0} {J_\infty }\left( k \right)$

(5)

$\begin{align} & {{J}_{\infty }}\left( k \right)=\sum\limits_{i=0}^{\infty }{{}}[{{x}^{T}}\left( k+j\left| k \right. \right){{Q}_{1}}x\left( k+j\left| k \right. \right)+ \\ & {{u}^{T}}\left( k+j\left| k \right. \right)Ru\left( k+j\left| k \right. \right)] \\ \end{align}$

(6)

$\begin{align} & x\left( k+j+1\left| k \right. \right)={{A}_{0}}\left( k+j \right)x\left( k+j\left| k \right. \right)+ \\ & \sum\limits_{i=1}^{m}{{}}{{A}_{i}}\left( k+j \right)x(k+j-{{d}_{i}}\left| k \right.) \\ & +{{B}_{0}}\left( k+j \right)u\left( k+j\left| k \right. \right)+{{f}_{k+j}} \\ \end{align}$

(7)

式中：Q₁>0为性能指标中状态的对称加权矩阵，R>0为控制的对称加权矩阵。u(k+j|k)表示k时刻对k+j时刻输入的预测，x(k+j|k)表示k时刻对k+j时刻状态的预测，并且有x(k|k)=x(k)，x(k-j|k)=x(k-j),j≥1。式(6)表示未来控制输入的无限时域和系统预测状态的二次鲁棒性能指标，式(7)表示系统的状态预测模型。

针对系统(1)，设计如下的状态反馈控制律：

$u\left( k+j\left| k \right. \right)=Kx\left( k+j\left| k \right. \right)$

(8)

控制目标：求取所设计控制器中的增益矩阵K，并要求控制输入u(k+j|k)，j≥0使得闭环系统渐进稳定。

针对系统(1)，构造如下的Lyapunov-Krasovskii函数：

$\begin{align} & V\left( x\left( k \right) \right)={{x}^{T}}\left( k \right){{P}_{0}}x\left( k \right)+\sum\limits_{i=1}^{{{d}_{1}}}{{}}{{x}^{T}}\left( k-i \right){{P}_{{{d}_{1}}}}x\left( k-i \right)+ \\ & \sum\limits_{i={{d}_{m-1}}+1}^{{{d}_{m}}}{{}}{{x}^{T}}\left( k-i \right){{P}_{{{d}_{m}}}}x\left( k-i \right)={{w}^{T}}\left( k \right)Pw\left( k \right) \\ \end{align}$

(9)

其中，P=diag(P₀,P_d1,…,P_dm,I_n)，P_j>0，w(k)=[x^T(k),x^T(k-d₁),…,x^T(k-d_m),f_k^T]^T，这里，j=0,d₁,…,d_m。

假设在每一个k≥d₁时刻是可测量的。在k时刻，假设对所有的[A₀(k) A₁(k)…A_m(k) B(k)]∈Ω，i≥0, 有下式成立:

$V\left( x\left( k+j+1\left| k \right. \right) \right)-V\left( x\left( k+j\left| k \right. \right) \right)\le -l\left( x,u,j \right)$

(10)

其中

$\begin{align} & l\left( x,u,j \right)={{x}^{T}}\left( k+j\left| k \right. \right){{Q}_{1}}x\left( k+j\left| k \right. \right)+ \\ & {{u}^{T}}\left( k+j\left| k \right. \right)Ru\left( k+j\left| k \right. \right) \\ \end{align}$

为了使J_∞有界，令w(∞|k)=0，因此V(x(∞|k))=0。将不等式(10)两边同时从j=0到j=∞求和，可得

$-V\left( x\left( k\left| k \right. \right) \right)\le -{{J}_{\infty }}\left( x\left( x\left| k \right. \right) \right)$

(11)

因此:

$\begin{align} & \underset{\left[ {{A}_{0}}\left( k \right)\text{ }{{A}_{1}}\left( k \right)\ldots {{A}_{m}}\left( k \right)\text{ }{{B}_{0}}\left( k \right) \right]\in \Omega ,i\ge 0}{\mathop{max}}\,{{J}_{\infty }}\left( k \right)\le \\ & V\left( x\left( k\left| k \right. \right) \right)\le \gamma \left( k \right) \\ \end{align}$

(12)

根据本文所需先给出下面的两个引理。

引理1^[9] (Schur补)矩阵不等式:

$\left[ \begin{matrix} Q\left( x \right) & S\left( x \right) \\ {{S}^{T}}\left( x \right) & R\left( x \right) \\ \end{matrix} \right]>0$

(13)

式中：Q(x)=Q^T(x)，R(x)=R^T(x)，S(x)是关于x的仿射函数，则式(13)等价于： 1)Q(x)>0,R(x)-S^T(x)Q^-1(x)S(x)>0；2)R(x)>0,Q(x)-S(x)R^-1(x)S^T(x)>0。

引理2^[10]  设W₀(x)和W₁(x)都是关于x∈Rⁿ的二次函数，如果对任意的x∈Rⁿ-0，有W₁(x) ＜0，并且存在常数ρ>0使得

${{W}_{0}}\left( x \right)-\rho {{W}_{1}}\left( x \right)<0,\text{ }x\ne 0$

(14)

成立，则有W₀(x) ＜0。

2 控制器设计及稳定性分析 2.1 基于LMI的模型预测控制器设计

定理1  考虑含有延时的离散不确定时滞系统(1)，同时令x(k|k)为采样k时刻状态x(k)的测量值。如果存在标量γ(k)>0，ρ>0，对称的正定矩阵Q,Q_di,P₀,P_d1,…,P_dm和适当维数的矩阵Y满足下述形式的LMI优化问题，那么一定存在状态反馈控制律u满足性能目标(10)，其中状态反馈增益K=YQ^-1。

$\underset{\gamma \left( k \right),Q,{{Q}_{{{d}_{i}}}},Y,{{P}_{0}},{{P}_{{{d}_{1}}}},\ldots ,{{P}_{{{d}_{m}}}},\rho }{\mathop{min}}\,tr(diag\left( {{P}_{0}},{{P}_{{{d}_{1}}}},\ldots ,{{P}_{{{d}_{m}}}},{{I}_{n}} \right))$

(15)

$\left[ \begin{matrix} \gamma \left( k \right) & {{w}^{T}}\left( k \right){{P}^{T}} \\ w\left( k \right) & P \\ \end{matrix} \right]\ge 0$

(16)

$\begin{array}{l} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{N_{00}}}&*&*&*&*&*\\ 0&{{N_{11}}}&*&*&*&*\\ \vdots & \vdots & \ddots &*&*&*\\ 0&0& \cdots &{{N_{mm}}}&*&*\\ 0&0& \cdots &0&{ - \rho {I_n}}&*\\ {{A_{0i}}Q + {B_{0i}}Y}&{{A_{1i}}{Q_{{d_1}}}}& \cdots &{{A_{mi}}{Q_{{d_m}}}}&{{I_n}}&{ - Q} \end{array}} \right] < 0\\ i = 1,2 \ldots ,L \end{array}$

(17)

其中

$\begin{array}{l} w\left( k \right) = {[{x^T}\left( k \right),{x^T}(k - {d_1}), \ldots ,{x^T}(k - {d_m}),f_k^T]^T}\\ P = diag\left( {{P_0},{P_{{d_1}}}, \ldots ,{P_{{d_m}}},{I_n}} \right) \end{array}$

${N_{00}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - Q}&*&*&*&*\\ Q&{ - {Q_{{d_1}}}}&*&*&*\\ {{\beta _0}Q}&0&{ - \frac{1}{\rho }{I_n}}&*&*\\ {Q_1^{\frac{1}{2}}Q}&0&0&{ - \gamma \left( k \right){I_n}}&*\\ {{R^{\frac{1}{2}}}Y}&0&0&0&{ - \gamma \left( k \right){I_n}} \end{array}} \right]$

$\begin{array}{l} {N_{11}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {Q_{{d_1}}}}&*\\ {{\beta _1}{Q_{{d_1}}}}&{ - \frac{1}{\rho }{I_n}} \end{array}} \right]\\ {N_{mm}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {Q_{{d_m}}}}&*\\ {{\beta _m}{Q_{{d_m}}}}&{ - \frac{1}{\rho }{I_n}} \end{array}} \right] \end{array}$

证明：由于式(9)是性能指标的上界，可以通过求解下面的问题把这个界减至最低:

$\begin{align} & \underset{\gamma \left( k \right),Q,{{Q}_{{{d}_{i}}}},Y,{{P}_{0}},{{P}_{{{d}_{1}}}},\ldots ,{{P}_{{{d}_{m}}}},\rho }{\mathop{\min }}\,tr\left( diag\left( {{P}_{0}},{{P}_{{{d}_{1}}}},\ldots ,{{P}_{{{d}_{m}}}},{{I}_{n}} \right) \right) \\ & s.t.~{{w}^{{}}}T\left( k \right)Pw\left( k \right)\le \gamma \left( k \right) \\ \end{align}$

(18)

其中,

$\begin{align} & w\left( k \right)={{[{{x}^{T}}\left( k \right),{{x}^{T}}(k-{{d}_{1}}),\ldots ,{{x}^{T}}(k-{{d}_{m}}),f_{k}^{T}]}^{T}} \\ & P=diag{{P}_{0}},{{P}_{{{d}_{1}}}},\ldots ,{{P}_{{{d}_{m}}}},{{I}_{n}}~ \\ \end{align}$

应用Schur补，式(18)可写为

$\left[ \begin{matrix} \gamma \left( k \right) & {{w}^{T}}\left( k \right) \\ Pw\left( k \right) & {{P}^{-1}} \\ \end{matrix} \right]\ge 0$

(19)

将式(19)分别左乘和右乘矩阵diag(I,P)，则有

$\left[ \begin{matrix} \gamma \left( k \right) & {{w}^{T}}\left( k \right){{P}^{T}} \\ Pw\left( k \right) & P \\ \end{matrix} \right]\ge $

(20)

则不等式(16)成立。下面将证明不等式(17)成立。

取Lyapunov-Krasovskii函数(9)，对它求差分有

$\begin{align} & \Delta V\left( x\left( k \right) \right)=V\left( x\left( k+1\left| k \right. \right) \right)- \\ & V(x\left( k\left| k \right. \right)=\sum\limits_{i=0}^{m}{{}}\Delta {{V}_{i}}\left( x\left( k \right) \right) \\ \end{align}$

(21)

则

$\begin{align} & \Delta {{V}_{0}}\left( x\left( k \right) \right)=[{{A}_{0}}\left( k \right)x\left( k \right)+\sum\limits_{i=1}^{m}{{}}{{A}_{i}}\left( k \right)x(k-{{d}_{i}})+ \\ & B\left( k \right)u\left( k \right)+{{f}_{k}}{{]}^{T}}\times {{P}_{0}}[{{A}_{0}}\left( k \right)x\left( k \right)+ \\ & \sum\limits_{i=1}^{m}{{}}{{A}_{i}}\left( k \right)x(k-{{d}_{i}})+B\left( k \right)u\left( k \right)+{{f}_{k}}]- \\ & {{x}^{T}}\left( k \right){{P}_{0}}x\left( k \right)={{w}^{T}}\left( k \right)\Pi _{1}^{T}{{P}_{0}}{{\Pi }_{1}}w\left( k \right)-{{x}^{T}}\left( k \right){{P}_{0}}x\left( k \right) \\ \end{align}$

(22)

其中

$\begin{align} & w\left( k \right)={{[{{x}^{T}}\left( k \right),{{x}^{T}}(k-{{d}_{1}}),\ldots ,{{x}^{T}}(k-{{d}_{m}}),f_{k}^{T}]}^{T}} \\ & {{\Pi }_{1}}=[{{A}_{0}}\left( k \right)+{{B}_{0}}\left( k \right)K\text{ }{{A}_{1}}\left( k \right)\ldots {{A}_{m}}\left( k \right)\text{ }{{I}_{n}}] \\ \end{align}$

通过计算:

$\begin{align} & \Delta {{V}_{1}}\left( x\left( k \right) \right)={{x}^{T}}\left( k \right){{P}_{{{d}_{1}}}}x\left( k \right)-{{x}^{T}}(k-{{d}_{1}}){{P}_{{{d}_{1}}}}x(k-{{d}_{1}})= \\ & {{w}^{T}}\left( k \right)diag\left( {{P}_{{{d}_{1}}}},-{{P}_{{{d}_{1}}}},\ldots ,0,0 \right)w\left( k \right) \\ \end{align}$

(23)

进一步:

$\begin{align} & \Delta {{V}_{m}}\left( x\left( k \right) \right)= \\ & {{w}^{T}}\left( k \right)diag\left( 0,0,\ldots ,-{{P}_{{{d}_{m}}}},0 \right)w\left( k \right) \\ \end{align}$

(24)

把式(22)~(24)代入到式(21)，有

$\Delta V\left( x\left( k \right) \right)={{w}^{T}}\left( k \right)({{\Theta }_{1}}+\Pi _{1}^{T}{{P}_{0}}{{\Pi }_{1}})w\left( k \right)$

(25)

其中

${{\Theta }_{1}}=diag\left( {{P}_{{{d}_{1}}}}-{{P}_{0}},-{{P}_{{{d}_{1}}}},\ldots ,-{{P}_{{{d}_{m}}}},0 \right)$

考虑式(10)和u(k)=Kx(k)，设

$\begin{align} & {{W}_{0}}\left( x \right)=\Delta V\left( x\left( k \right) \right)+l\left( x,u,k \right)= \\ & {{w}^{T}}\left( k \right)({{\Theta }_{2}}+\Pi _{1}^{T}{{P}_{0}}{{\Pi }_{1}}){{w}^{T}}\left( k \right) \\ \end{align}$

(26)

其中,Θ₂=diag(P_d1-P₀+Q₁+K^TRK,-P_d1,…,-P_dm,0) 又因为式(2)可以写成:

${{W}_{1}}\left( x \right)={{w}^{T}}\left( k \right){{\Theta }_{3}}w\left( k \right)<0$

(27)

其中，Θ₃=diag-(β²₀I_n,-β²₁I_n,…,-β²_mI_n,I_n)。

根据引理2，存在数λ>0使得W₀(x)-λW₁(x) ＜0成立，则W₀(x) ＜0，即

${{\Theta }_{2}}+\Pi _{1}^{T}{{P}_{0}}{{\Pi }_{1}}-\lambda {{\Theta }_{3}}<0$

(28)

令Q=γ(k)P₀^-1，Q_di=γ(k)P_di^-1 根据Schur补，式(28)成立等价于:

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\psi _{00}}}&*&*&*&*&*\\ 0&{{\psi _{11}}}&*&*&*&*\\ \vdots & \vdots & \ddots &*&*&*\\ 0&0& \cdots &{{\psi _{mm}}}&*&*\\ 0&0& \cdots &0&{ - \rho {I_n}}&*\\ {{A_0}\left( k \right) + {B_0}\left( k \right)K}&{{A_1}\left( k \right)}& \cdots &{{A_m}\left( k \right)}&{{I_n}}&{ - Q} \end{array}} \right] < 0$

(29)

其中

$\begin{array}{l} {\psi _{00}} = - Q_{{d_1}}^{ - 1} - {Q^{ - 1}} + {\gamma ^{ - 1}}\left( k \right)({Q_1} + {K^T}RK) + \rho \beta _0^2{I_n},\\ {\psi _{11}} = - Q_{{d_1}}^{ - 1} + \rho \beta _0^2{I_n},{\psi _{mm}} = - Q_{{d_m}}^{ - 1} + \rho \beta _m^2{I_n}\\ \rho = {\gamma ^{ - 1}}\left( k \right)\lambda \end{array}$

将式(29)分别左乘和右乘矩阵diag(Q,Q_d1,…,Q_dm,I_n,I_n)，并令Y=KQ可得式(30)。其中,${\tilde \psi }$₀₀=-QQ^-1_d1Q-Q+γ^-1(k)QQ₁Q+ρβ²₀QQ+γ^-1(k)Y^TRY，${\tilde \psi }$₁₁=-Q_d1+ρβ²₁Q_d1Q_d1，${\tilde \psi }$_mm=-Q_dm+ρβ²_mQ_dmQ_dm。

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\tilde \psi }_{00}}}&{}&*&*&*&*\\ 0&{{{\tilde \psi }_{11}}}&*&*&*&*\\ \vdots & \vdots & \ddots &*&*&*\\ 0&0& \cdots &{{{\tilde \psi }_{mm}}}&*&*\\ 0&0& \cdots &0&{ - \rho {I_n}}&*\\ {{A_0}\left( k \right)Q + {B_0}\left( k \right)Y}&{{A_1}\left( k \right){Q_{{d_1}}}}& \cdots &{{A_m}\left( k \right){Q_{{d_m}}}}&{{I_n}}&{ - Q} \end{array}} \right] < 0$

(30)

再利用Schur补有

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{N_{00}}}&{}&*&*&*&*\\ 0&{{N_{11}}}&*&*&*&*\\ \vdots & \vdots & \ddots &*&*&*\\ 0&0& \cdots &{{N_{mm}}}&*&*\\ 0&0& \cdots &0&{ - \rho {I_n}}&*\\ {{A_0}\left( k \right)Q + {B_0}\left( k \right)Y}&{{A_1}\left( k \right){Q_{{d_1}}}}& \cdots &{{A_m}\left( k \right){Q_{{d_m}}}}&{{I_n}}&{ - Q} \end{array}} \right] < 0$

(31)

其中

$\begin{array}{l} {N_{00}} = \\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - Q}&*&*&*&*\\ Q&{ - {Q_{{d_1}}}}&*&*&*\\ {{\beta _0}Q}&0&{ - \frac{1}{\rho }{I_n}}&*&*\\ {Q_1^{\frac{1}{2}}Q}&0&0&{ - \gamma \left( k \right){I_n}}&*\\ {{R^{\frac{1}{2}}}Y}&0&0&0&{ - \gamma \left( k \right){I_n}} \end{array}} \right]\\ {N_{11}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {Q_{{d_1}}}}&*\\ {{\beta _1}{Q_{{d_1}}}}&{ - \frac{1}{\rho }{I_n}} \end{array}} \right]\\ {N_{mm}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {Q_{{d_m}}}}&*\\ {{\beta _m}{Q_{{d_m}}}}&{ - \frac{1}{\rho }{I_n}} \end{array}} \right] \end{array}$

又因为式关于系统矩阵满足[A₀(k) A₁(k)…A_m(k) B(k)]∈Ω，根据凸集的基本性质，式(31)成立当且仅当对凸包Ω的每个顶点都成立，即式(31)成立当且仅当式(17)成立。

2.2 控制算法

综合上面的控制器设计过程，系统(1)的控制算法如下：

1) 测量当前时刻系统的状态x(k)，并获得过去时刻的状态x(k-1),…,x(k-d₁),…,x(k-d_m)；

2) 令x(k|k)=x(k),x(k-1|k)=x(k-1),…,x(k-d₁k)=x(k-d₁),…,x(k-d_mk)=x(k-d_m)；

3) 选择适当的对称正定矩阵Q₁和R；

4) 定义优化问题(5)~(7)中的各个变量，标量γ(k)>0，ρ>0，正定对称矩阵Q，Q_di，P，P_d1，…，P_dm和适当维数的矩阵Y；

5) 用MATLAB中的LMI工具箱求解优化问题(5)~(7)，得到最优解γ(k),ρ,Y,Q,Q_di,P₀,P_d1,…,P_dm；

6) 计算出状态反馈预测控制控制器增益矩阵K=YQ^-1；

7) 将k时刻的控制器u(k)=Kx(k|k)作用于被控系统(1)；

8) 令k=k+1，重复步骤1)~7)。

2.3 可行性与稳定性分析

引理3^[11](可行性) 如果定理1中该优化问题在k时刻是可行的，那么它对所有k+j,j>0都是可行的。

定理2 如果优化问题(5)~(7)在k时刻是可行的，则由定理1给出的状态反馈控制器u(k)=Kx(k)使闭环系统鲁棒渐近稳定。

证明  由引理3可知最优化问题(5)~(7)是可行的。所以假设P₀^*(k)，P_di^*(k)和P₀^*(k+1)，P_di^*(k+1)分别表示最优化问题(5)~(7)在k时刻和k+1时刻的最优解，最优状态分别为x^*(k|k)和x^*(k+1|k+1)。

在k+1时刻，由于P₀^*(k+1)，P_di^*(k+1)是最优解而P₀^*(k)，P_di^*(k)是可行解，所以

$\left\{ \begin{array}{l} {x^{*T}}(k + 1\left| k \right. + {1_1}{P^*}_0\left( {k + 1} \right){x^*}\left( {k + 1\left| k \right. + 1} \right) \le \\ {x^{*T}}(k + 1\left| k \right. + {1_1}{P^*}_0\left( k \right){x^*}\left( {k + 1\left| k \right. + 1} \right),\\ {x^T}(k + 1 - i\left| k \right. + {1_i}{P^*}_{{d_i}}\left( {k + 1} \right)x\left( {k + 1 - i\left| k \right. + 1} \right) \le \\ {x^T}(k + 1 - i\left| k \right. + {1_i}{P^*}_{{d_i}}\left( k \right)x\left( {k + 1 - i\left| k \right. + 1} \right) \end{array} \right.$

(32)

由定理1，有一个系统(1)的预测状态不变集: Γ=x(k+i|k)∈Rⁿw^T(k+i|k)Pw(k+i|k)≤1，这里，i≥0。

又因为u(k+j|k)=K_kx(k+j|k),j≥0。(K_k是k时刻获得的最优解)，且对于任意的[A₀(k) A₁(k)…A_m(k) B₀(k)]∈Ω，则

$\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{l}} {{x^T}\left( {k + 1\left| k \right.} \right){P_0}\left( k \right)x\left( {k + 1\left| k \right.} \right) < }\\ {{x^T}\left( {k\left| k \right.} \right){P_0}\left( k \right)x\left( {k\left| k \right.} \right)} \end{array}\\ x\left( {k\left| k \right.} \right) \ne 0 \end{array} \right.$

(33)

由上述假设可知：

$x\left( {k + 1 - i\left| k \right. + 1} \right) = x\left( {k + 1 - i\left| k \right.} \right)$

这里i=1,2,…,d₁,…,d_m。则有

$\begin{array}{l} {x^T}(k + 1 - i\left| k \right. + {1_i}{P^*}_{{d_i}}\left( k \right)x\left( {k + 1 - i\left| k \right. + 1} \right) \le \\ {x^T}(k + 1 - i{\left| k \right._i}{P^*}_{{d_i}}\left( k \right)x\left( {k + 1 - ik} \right)\\ i = 1,2, \ldots ,{d_1}, \ldots ,{d_m} \end{array}$

(34)

又因为测量状态

$\begin{array}{l} x\left( {k + 1\left| k \right. + 1} \right) = x\left( {k + 1} \right) = ({A_0}\left( k \right) + \\ {B_0}\left( k \right){K_k})x\left( {k\left| k \right.} \right) + \sum\limits_{i = 1}^m {} {A_i}\left( k \right)x(k - {d_i}) + {f_k} \end{array}$

对[A₀(k) A₁(k)…A_m(k) B₀(k)]∈Ω和式(2)满足不等式(33)。结合式(32)、式(34)和式(9)得出结论:

$V({x^*}\left( {k + 1\left| {k + 1} \right.} \right)) \le V({x^*}\left( {k\left| k \right.} \right))$

(35)

式(35)说明V(k|k)是单调非增且有界的Lyapunov函数，当k→∞时，有x(k)→0。由离散Lyapunov稳定性理论可以说明闭环系统鲁棒稳定。

3 仿真结果与分析

考虑如下带有非线性扰动、时滞和凸多面体不确定的离散非线性系统:

$\begin{array}{l} x\left( {k + 1} \right) = {A_0}\left( k \right)x\left( k \right) + {A_1}\left( k \right)x\left( {k - {d_1}} \right) + \\ {B_0}\left( k \right)u\left( k \right) + f(x\left( k \right),x(k - {d_1})) \end{array}$

其中

$\begin{array}{l} \left[ {{A_0}k{\rm{ }}{A_1}k{\rm{ }}{B_0}k} \right] \in \Omega = \\ Co\{ [{A_{01}}{A_{11}}{B_{01}}\left] , \right[{A_{02}}{A_{12}}{B_{02}}]\} \\ {A_{01}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{1.5}\\ 1&{ - 1.4} \end{array}} \right],{A_{02}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0.5}&{0.8}\\ {0.7}&{ - 1.8} \end{array}} \right],\\ {A_{11}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0.3}&{0.3}\\ {0.1}&{0.1} \end{array}} \right],{A_{12}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 0.3}&{ - 0.3}\\ { - 0.1}&{ - 0.1} \end{array}} \right],\\ {B_{01}} = \left[ \begin{array}{l} 1.2\\ 1.4 \end{array} \right]{B_{02}} = \left[ \begin{array}{l} 1.3\\ 1.6 \end{array} \right],\\ f\left( {x\left( k \right)} \right),x\left( {k - {d_1}} \right) = \\ {\left[ {0{\rm{ }}0.5{x_2}\left( {k - {d_1}} \right)0.3{x_1}\left( {k - {d_1}} \right)} \right]^T} \end{array}$

在仿真过程中假设系统的初始状态为 x(-2)=x(-1)=x(0)=[1.8 -5]^T，根据式(2)，取β₀=0.5，β₁=0.3，非线性扰动满足式(2)。时滞分别为d₁=4，权重矩阵分别为Q=I，R=1，凸多面体中λ₁=0.3，λ₂=0.5，则γ(k)=17.325。图 1和图 2分别给出了状态x₁k和x₂k的变化曲线。

图 3是控制器曲线图，可以看出在该控制器的作用下，系统是稳定的而且性能也很好。

4 结论

1) 基于LMI技术及变量变换思想提出了一种min-max鲁棒预测控制算法，将时域为无限时的最小、最大优化问题转换为一类凸优化问题。解决了一类同时带有多重状态时滞、扰动和多面体不确定离散非线性系统的控制器设计问题。

2) 算法通过利用所构造的改进的二次Lyapunov-Krasovskii泛函得到了所设计的控制器存在的新判据。应用LMI技术得到的鲁棒预测控制器，保证了系统的鲁棒稳定性，并分析了控制算法的可行性。

3) 最后的仿真结果表明了该方法的有效可行。