无人机目前已在军事侦察、搜索、救援、监视等领域已得到广泛应用。但一些需要与目标物体接触的高级任务，则对无人机的精确控制提出了更高的要求，例如着陆、栖息(perching)、物体抓取、空中加油、移动目标拦截、空中对接等。不仅需要精确的空间位置控制，还需要精确的时间控制(即机动完成时间)。近年来，一些学者对此类问题进行了研究，譬如斯坦福大学将无人机降落在面墙上^[1]；麻省理工学院将固定翼无人机栖息在电线上^[2]；宾夕法尼亚大学设计了一个带有机械臂抓取目标的四旋翼无人机^[3]，并可模拟鸟儿栖息和降落^[4]；犹他大学利用被动机制设计了可以栖息在不同形状物体上的无人机^[5]；及最近出现的基于tau理论的四旋翼无人机栖息制导和控制策略^{[6, 7, 8]}。这些研究进一步促进了无人机导航、制导和控制(GNC)的发展，其方法可以分为两大类：(1)基于空间位置信息的传统方法；(2)基于视觉信息的仿生学的方法。传统的GNC方法的主要缺点是需要明确的位置和/或速度信息，因此需要装备专门的位置传感器(如GPS、激光雷达)。此类传感器不仅价格昂贵，而且精确地测量或计算位置信息也并非易事,有时甚至不可实现(如室内环境)。仿生学法则主要使用视觉信息，而非直接的位置/速度信息。生物学家在研究鸟类以及其它动物捕获目标的行为时发现，他们使用视觉来预测碰撞时间time-to-contact(TTC，或称time-to-collision、time-to-closure)并以次规划和调整自己的行为^[9]。TTC定义为预计接近目标的剩余时间，它蕴含了动物与目标之间的相对运动关系。对动物的此一感知机制的研究已经进行了几十年并得到大量有价值的成果。在此基础上Lee 进一步总结TTC的控制机制，提出了tau理论^{[10, 11]}，指出tau原理是动物接触控制运动的普遍机制。由此建立起来的基于tau理论和TTC的仿生学方法优点是只需要一个摄像机传感器，便可以直接得到TTC，而不需要复杂的位置和/或速度的测量或计算。另外传统的无人机路径规划技术^{[12, 13]}，要么无法控制无人机的飞行时间，要么则需要复杂的时间优化算法。而基于tau理论的制导律可实现在指定时间内位置、速度、加速度同时平滑收敛至任意小量，且计算简单。由于以上优点，近年来得到了研究人员的关注，并在四旋翼无人机上进行了栖息飞行规划^[8]、着陆^[6]的研究和实验。Farid^[7]全面总结了基于tau理论的制导与控制方法，并设计了两种tau控制律，但未给出稳定性证明，也未考虑扰动的影响。

本文考虑外部风扰动的影响，设计了一种具有稳定性证明的四旋翼鲁棒控制器，并进行了着陆仿真验证。

1 Tau理论基础 1.1 TTC测量

设摄像机离目标距离为z，与目标的碰撞时间TTC定义为距离与速度的比值，计算方程为：

${T_c} = - z/\dot z$

(1)

图 1显示了通过小孔成像模型的摄像机计算TTC的基本原理^[14]。设z为摄像机离目标的距离，f为摄像机焦距，S为目标实际大小，可通过视觉系统获得目标在图像中的大小C及图像的膨胀率$\dot C$。则有以下关系：

$C = Sf/z$

(2)

一阶导数为

$\dot C = - \dot zSf/{z^2}$

(3)

由可得到

${T_c} = - z/\dot z = C/\dot C$

可见TTC的计算不依赖于相机参数和目标大小、位置，而这些信息实际中通常难以获取，这大大降低了测量的难度。但实际上由原始图像得到TTC仍需要复杂的图像处理和计算。但近年来，随着机器视觉技术的发展，在目标检测、提取、识别和跟踪等领域已取得了巨大的进步^[15]，具体的四旋翼无人机通过特征点识别并跟踪目标的方法可参考文献[6]；另外文献[16]介绍对比了3种不同估计TTC的方法；并且目前已经有了用于四旋翼的微型二维光流传感器产品^{[17, 18]}。本文的重点是研究基于视觉的控制方法，而非具体的视觉处理方法，故对图像处理不做深入介绍，感兴趣的读者可参考以上相关文献。

1.2 固定tau-dot策略

TTC反映了动物接近目标剩余时间的预测，在Lee的tau理论中，使用tau代替动物视觉系统的TTC，并总结了动物利用tau的几种制导机制。定义tau为^[10]；

$\tau = z/\dot z$

(4)

则tau的变化率为：

$\dot \tau = 1 - z\ddot z/{\dot z^2}$

(5)

根据tau的变化率不同可以实现不同的机动策略，最基本的是固定tau-dot策略：即保持tau的变化率不变$\dot \tau $_ref=k，则由非线性一阶微分方程计算得到位置z及其时间微分(速度v=$\dot z$和加速度a=$\ddot z$)如下：

$\left\{ \begin{gathered} z = {z_0}\left( {1 + kt/{\tau _0}} \right)1/k \hfill \\ \dot z = {v_0}\left( {1 + kt/{\tau _0}} \right)1/k - 1 \hfill \\ \ddot z = \left( {v_0^2/{z_0}} \right)\left( {1 + kt/{\tau _0}} \right)1/k - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

(6)

在实际工程中为避免直接使用微分参考信号，可用τ_ref=kt+τ₀代替微分参考信号$\dot \tau $_ref=k^[7]。更多的tau策略以及对于不同参数和初始条件对系统动态的影响，在文献[7, 8]中有详尽分析，本文不再赘述。在此只引用以下重要结论：

当满足初始条件τ₀=z₀/$\dot z$₀ < 0、0 < k≤0.5时，动态系统可在有限时间T=-τ₀/k同时z,$\dot z$,$\ddot z$→0

本文采用固定tau策略生成期望运动规划策略，接下来主要研究适用于四旋翼无人机的tau控制方法以实现所需的栖息/着陆任务。

1.3 鲁棒tau控制器设计与稳定性分析

tau域的控制是一个较新的领域，当前研究较少，仍有诸多未解决的问题。最近Farid设计了两种控制律：使用增益调度混杂tau控制律和非线性增益调度比例tau控制律^[7]。并进行了大量的仿真以分析其控制性能。然而却并没有从理论上进行稳定性证明和分析。本文使用Lyapunov方法设计一种存在外部风扰动影响仍能稳定跟踪参考输入的tau控制律。

考虑双积分系统：

$\ddot z = u + \Delta ,\tau = z/\dot z$

(7)

式中: u为控制输入，Δ为未知有界扰动|Δ| < δ_d，τ为测量值，τ_ref=kt+τ₀为参考输入。

tau的一阶导数为：

$\dot \tau = 1 - z\ddot z/{\dot z^2} = 1 - \tau \left( {u + \Delta } \right)/\dot z$

(8)

设误差e=τ-τ_ref取Lyapunov函数为：

$$ V = {e^2}/2$

微分得：

$\dot V = e\left( {\dot \tau - {{\dot \tau }_{{\text{ref}}}}} \right) = - \frac{z}{{{{\dot z}^2}}}e\left( {u + \Delta - \frac{{1 - k}}{\tau }\dot z} \right)$

假设1：$\dot z$∈Η，Η为闭紧集；则速度$\dot z$有界，|$\dot z$| < δ_v

假设2：假设z₀ < 0，对于视觉着陆/栖息问题，由于摄像机始终位于目标点一侧，若z₀ < 0则z < 0保持不变，于是有sign($\dot z$)=-sign(τ)。

设计控制律：

$u = - \frac{{{k_1}}}{{\left| \tau \right|}}e - \left( {{k_2} + {k_3}\frac{{1 - k}}{{\left| \tau \right|}}} \right){\text{sign}}\left( e \right)$

(9)

设k₁>0，k₂>δ_d，k₂>δ_v，则有

$\begin{gathered} \dot V = - \frac{z}{{{{\dot z}^2}}}e\left( {u + \Delta - \frac{{1 - k}}{\tau }\dot z} \right){\text{ < }} \hfill \\ \frac{{z{k_1}}}{{{{\dot z}^2}\left| \tau \right|}}{e^2} + \frac{z}{{{{\dot z}^2}}}{\text{sign}}\left( e \right)e \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered}$

系统稳定得证，τ→τ_ref。

注：观察控制律可发现前半部分-k₁e/|τ|等同于Farid设计的非线性比例tau控制律，1/|τ|项的作用是实现一个连续的增益调度控制器^[7]，以改善tau控制器的性能。而后半部分$ - \left( {{k_2} + {k_3}\frac{{1 - k}}{{\left| \tau \right|}}} \right){\text{sign}}\left( e \right)$则是针对外部扰动和内部状态不确定性的鲁棒项，保证了系统对外部未知有界扰动的鲁棒性。

2 四旋翼无人机模型

本文研究的四旋翼无人机结构如图 2所示。图中：{w₁,w₂,w₃}为惯性参考坐标系；{b₁,b₂,b₃}为机体参考坐标系。b₁,b₂位于四个旋翼中心确定的平面内，分别与四旋翼无人机的两轴重合，设b₁为机头方向。第三轴b₃与b₁,b₂满足右手定则。

定义变量如下：m∈R为四旋翼无人机(以下简称无人机)质量； J∈R^3×3为相对机体坐标系的转动惯量矩阵； R∈SO(3)从机体坐标系到惯性坐标系的转换矩阵； Ω∈R³无人机在机体中的角速度； x∈R³无人机质心在惯性坐标系中的位置矢量； v∈R³无人机质心在惯性坐标系中的速度矢量； τ_i∈R由第i个螺旋桨产生的关于b₃轴的力矩； f∈R总体升力大小； M∈R³机体坐标系内的总体力矩矢量； Δ_x∈R³为风扰动。

假设以合力f∈R和力矩矢量M∈R³作为四旋翼无人机系统的控制输入。则四旋翼无人机的运动方程可表示为

$\left\{ \begin{gathered} \dot x = v \hfill \\ \dot v = g{e_3} - \frac{f}{m}R{b_3} + {\Delta _x} \hfill \\ \dot R = R\hat \Omega \hfill \\ J\hat \Omega + \Omega \times J\Omega = M \hfill \\ \end{gathered} \right.$

(10)

式中：hat映射$\hat .$:R³→SO(3)定义为使得$\hat xy$=x×y对任意x,y∈R³均成立的映射关系；hat映射的逆映射表示为vee映射$\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{.} $:SO(3)→R³。

3 四旋翼无人机tau控制器设计 3.1 控制系统结构

由于四旋翼无人机自身欠驱动的动力学特点，四旋翼无人机的平移运动需通过改变姿态来实现，且系统转动运动的状态量相对于平移运动是相对独立的，可进行解耦，分别设计用于控制位置的tau控制器和姿态控制器，即飞行器控制中常用的内外姿态控制+外环质心控制的控制系统结构^[19]。本文所设计的控制系统结构如图 3所示。

分别设计tau位置控制器和SO(3)姿态控制器，之间增加一个姿态提取算法由位置控制器输出的平移加速度指令u生成期望姿态R_d(t)和期望角速度Ω_d(t)。

3.2 位置控制器设计

设位置控制器输出u=[u₁,u₂,u₃],考虑到四旋翼无人机常用的高度测量设备如气压表测量的是绝对高度，而非与地面的相对高度；超声波则测量范围有限，且对地表反射面要求较高；因而z垂直通道可装备朝下的摄像机，则u₃采用式所示的tau控制律。

由于本文主要考虑着陆的升降控制，为简化问题，假设x-y的位置、速度可得到，并以x通道为例设计滑模控制器如下：

设${e_{\dot x}} = x,{\dot e_x} = {v_x}$

计滑模面为：

${S_x} = c{e_x} + {\dot e_x}$

(11)

取滑模趋近律为

${\dot S_x} = - {k_1}{S_x} - {k_2}\operatorname{sgn} \left( {{S_x}} \right)$

(12)

其中c,k₁,k₂>0。

令$\dot S$_x=0可求得系统的等效控制量，最终可得到x通道的控制器

${u_1} = - c{\dot e_x} - {k_1}{S_x} - {k_2}\operatorname{sgn} \left( {{S_x}} \right)$

(13)

同样可得y通道控制器

${u_2} = - c{\dot e_y} - {k_1}{S_y} - {k_2}\operatorname{sgn} \left( {{S_y}} \right)$

(14)

3.3 期望姿态提取

由位置控制器输出u提取合力输出f和期望姿态R_d：

设F_des=m(ge₃-u),将期望的升力矢量F_des投影至机体轴b₃得到合力输出

$f = {F_{{\text{des}}}} \cdot R{b_3}$

(15)

F_des的方向即为的机体轴期望的方向b_3,des，有

${b_{{\text{3,des}}}} = \frac{{{F_{{\text{des}}}}}}{{\left\| {{F_{{\text{des}}}}} \right\|}}$

设期望的偏航角为ψ_d，则

${b_{{\text{yaw,des}}}} = {\left[{\cos {\psi _d}\sin {\psi _d}0} \right]^{\text{T}}}$

计算得到

${b_{{\text{2,des}}}} = \frac{{{b_{{\text{3,des}}}} \times {b_{{\text{yaw,des}}}}}}{{\left\| {{b_{{\text{3,des}}}} \times {b_{{\text{yaw,des}}}}} \right\|}},{b_{{\text{1,des}}}} = {b_{{\text{2,des}}}} \times {b_{{\text{3,des}}}}$

假设b_3,des×b_yaw,des≠0(b_3,des×b_yaw,des=0为唯一奇点)，则可得到

${R_d} = \left[{{b_{{\text{1,des}}}}{b_{{\text{2,des}}}}{b_{{\text{3,des}}}}} \right]$

(16)

当对飞行器最大姿态角及升降加速度有限制要求时，可通过设计饱和函数u_sat=sat(u)来限制虚拟指令的u的范围。进而保证生成的R_d,f在期望范围内。约束函数计算如下：

约束1(姿态角)：考虑便于直观理解，使用欧拉角表示约束姿态，设最大姿态角为${\theta _{\max }};\left| {{\theta _d}} \right| \leqslant {\theta _{\max }},{\theta _{\max }} \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$。

约束2(升降加速度)：为避免自由落体运动，需要约束升降加速度小于重力加速度g，设|u₃|≤a_max，a_max∈(0,g)。

当u=[u₁,u₂,u₃]^T满足约束方程时，则满足约束1和约束2：

$\left\{ \begin{gathered} \frac{{\sqrt {u_1^2 + u_2^2} }}{{\left| {{u_3}} \right|}} \leqslant \tan {\theta _{\max }} \hfill \\ - {a_{\max }} \leqslant {u_3} \leqslant {a_{\max }} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

(17)

为简化分析，假设升降加速度较小，可将约束方程适当放大，得到：

$\left\{ \begin{gathered} \left| {{u_1}} \right| \leqslant \frac{{\sqrt 2 }}{2}g\tan {\theta _{\max }} \hfill \\ \left| {{u_2}} \right| \leqslant \frac{{\sqrt 2 }}{2}g\tan {\theta _{\max }} \hfill \\ \left| {{u_3}} \right| \leqslant {a_{\max }} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

(18)

为满足约束条件，设计饱和函数：

$sat\left( {x,U} \right) = \left\{ \begin{gathered} U,x > U \hfill \\ x,- U \leqslant x \leqslant U,U \in \left( {0,- \infty } \right) \hfill \\ - U,x < - U \hfill \\ \end{gathered} \right.$

令

${u_{sat}} = \left[{{u_{sat1}}{u_{sat2}}{u_{sat3}}} \right]$

(19)

式中：${u_{1,{\text{sat}}}} = {\text{sat}}\left( {{u_1},\frac{{\sqrt 2 }}{2}g\tan {\theta _{\max }}} \right),{u_{2,{\text{sat}}}} = {\text{sat}}\left( {{u_2},\frac{{\sqrt 2 }}{2}g\tan {\theta _{\max }}} \right),{u_{3,{\text{sat}}}} = {\text{sat}}\left( {{u_3},{a_{\max }}} \right)$

此时由u_sat按照所生成的R_d,f满足姿态角约束1以及升降速度约束2。

3.4 滑模姿态控制器设计与稳定性分析

设计的SO(3)滑模姿态控制器,设计滑模面为：

$S = C{e_R} + {\dot e_R}$

(20)

取滑模趋近律为

$\dot S = - {K_1}S - {K_2}\operatorname{sgn} \left( S \right)$

(21)

式中：$\begin{gathered} S = {\left[{{s_1}\left( t \right){s_2}\left( t \right){s_3}\left( t \right)} \right]^{\text{T}}},\operatorname{sgn} \left( S \right) = {\left[{\operatorname{sgn} \left( {{s_1}} \right)\operatorname{sgn} \left( {{s_2}} \right)\operatorname{sgn} \left( {{s_3}} \right)} \right]^{\text{T}}},\hfill \\ {K_1} = {\text{diag}}\left( {{k_{11}},{k_{12}},{k_{13}}} \right) \in {{\text{R}}^{3 \times 3}},{K_2} = {\text{diag}}\left( {{k_{21}},{k_{22}},{k_{23}}} \right) \in \hfill \\ {{\text{R}}^{3 \times 3}} \hfill \\ \end{gathered} $，且k_1i,k_2i>0,i=1,2,3。

根据滑模控制设计步骤，令$\dot S$=0可求得系统的等效控制量，结合所设计的趋近律，最终可得到如下的控制器

$\begin{gathered} M = - J{E^{ - 1}}\left\{ {\left( {CE + \dot E} \right){e_\Omega } + {K_1}S + {K_2}\operatorname{sgn} \left( S \right)} \right\} \hfill \\ + \Omega \times J\Omega + J{\alpha _d} \hfill \\ \end{gathered} $

(22)

式中：$\dot E = \frac{1}{2}\left( {{\text{tr}}\left( {{\delta _d}} \right)I - {\delta _d}} \right){e_\Omega },{\delta _d} = {R^{\text{T}}}{R_d}{\Omega _d} - \hat \Omega {R^{\text{T}}}{R_d}$

假设K₂取值时满足以下条件

${k_{2i}} \geqslant {\left\| E \right\|_F}{\left\| {{J^{ - 1}}} \right\|_F}{\left| {{\Delta _R}} \right|_\infty }$

下证姿态子系统稳定性。

证明：选取Lyapunov函数为

$V = \frac{1}{2}{S^{\text{T}}}S \geqslant 0$

对所设计的Lyapunov函数求导，并将所设计的控制器代入可得

$\begin{gathered} \dot V = {S^{\text{T}}}\dot S = {S^{\text{T}}}\left( {C{{\dot e}_R} + {{\ddot e}_R}} \right) = \hfill \\ {S^{\text{T}}}\left( {C{{\dot e}_R} + \dot E{e_\Omega } + E{{\dot e}_\Omega }} \right) = {S^T} \hfill \\ \left( {CE{e_\Omega } + \dot E{e_\Omega } + E\left( {{J^{ - 1}}\left( { - \Omega \times J\Omega + M + {\Delta _R}} \right) - {\alpha _d}} \right)} \right) \hfill \\ \leqslant {S^{\text{T}}}{K_1}S - {S^{\text{T}}}\left( {{K_2}\operatorname{sgn} \left( S \right) - {{\left\| E \right\|}_F}{{\left\| {{J^{ - 1}}} \right\|}_F}{\Delta _R}} \right) \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} $

表明系统是全局渐近稳定的，证毕。

4 仿真

设目标无人机的转动惯量

$J = \left[\begin{gathered} 0.43{\text{ }}0{\text{ }}0 \hfill \\ {\text{ }}0{\text{ }}0.43{\text{ }}0 \hfill \\ {\text{ }}0{\text{ }}0{\text{ }}1.02 \hfill \\ \end{gathered} \right] \times {10^{ - 2}}{\text{kg}} \cdot {{\text{m}}^{\text{2}}}$

为验证控制器在风场中抗扰动的性能，设风扰动为高斯白噪声Δ_x=[d₁d₂d₃]^T,d₁,d₂,d₃∈N(0,0.5²),采样周期0.1s。质量m=0.455 kg。分别验证无人机垂直着陆和3D飞行着陆两种机动形式下的控制效果,仿真结果如下。

4.1 tau控制器对比仿真

仿真对比两种tau控制器的性能，令无人机期望着陆位置为在目标上方10m处飞行x₀=[0 0 -10]^T、v₀=[0 0 1]^T

仿真时长设定为T=22s。

一个图，分若干子图。给出总图题及各子图题首先使用Farid设计的增益调度比例tau控制器(简称比例tau控制器)^[7]进行高度控制，然后使用本文设计的鲁棒tau控制器进行对比仿真。可发现二者都能实现平稳的着陆如图 4和图 5。但由于扰动的影响，比例tau控制器的tau跟踪效果如图 4a，速度变化如图 4c相对较差。而鲁棒tau控制器则能较好的克服外部的扰动，实现较好的tau跟踪控制和较平缓的速度下降如图 5。

4.2 3D着陆

下验证tau控制器在3D着陆中的效果，设无人机期望着陆位置为在目标上方飞行x₀=[-5 -7 -10]^T、v₀=[0 0 1]^T。高度通道采用控制鲁棒tau控制器，x-y通道使用滑模控制器。可发现tau控制器能实现平滑的软着陆轨迹如图 6a，速度收敛如图 6d。但在初始阶段当无人机存在x-y运动时会对z通道产生耦合影响，此问题需在未来进一步研究解决。

5 结论

通过对比仿真，相比于之前的tau控制律，本文提出的控制律具有以下优点：

(1)跟踪精度更高；无论是对期望的tau指令，还是所期望的速度，跟踪精度都要优于之前的tau控制律。

(2)速度波动更小；因而可以实现更平稳的降落飞行。

(3)对外部扰动鲁棒性更好；抗扰动能力强是本文所设计的控制律的主要优点，也是现实飞行中所需要克服的主要问题。

但使用一阶滑模控制的缺点是存在输出颤振现象，在后续工作中将进一步设计高阶滑模控制器以得到连续的输出，消除颤振。另外，还需要继续研究多通道耦合的tau控制器设计，以及实用的图像处理和视觉信息提取方法。