21世纪，随着计算机、控制、传感器和通信技术的快速发展，水面无人船(unmanned surface vehicle, USV) 的研究和应用也得到了迅速发展。2014年，劳斯莱斯公司宣布将在十年之内研制成无人货船并可进行远程操控。船舶实现无人驾驶或远程操控，关键技术在于船舶运动控制的智能化和网络化。近年来，网络控制系统(networked control system, NCS) 在船舶自动航行装备中的应用已引起不少学者的关注^[1-2]。船舶实现网络远程控制必定涉及卫星通信，其中网络诱导时延问题不可避免，而且不同于常规控制系统中的时延，需要特殊考虑处理。针对网络时延和控制系统的性能要求，许多研究人员提出了各种控制方法，以减小网络时延的影响或对网络时延进行有效地补偿。

实际NCS具有时延是普遍的，而且通常时延具有不确定性，如果设计时忽视时延的影响，可能会导致系统不稳定。文献[3]运用增广状态向量法，将具有时延的闭环系统变成一个无时延的时变系统或定常系统。该方法直观易于理解，并且结构简单容易工程实现，但只适用于具有周期性时延的NCS。文献[4]通过设计一个时延补偿器来补偿时延对系统的影响，将时变系统转化为时不变系统。该方法进一步拓展了时延补偿器的应用范围，可用于具有有界非周期性时延的NCS。文献[5]中提出了一种基于Lyapunov稳定性理论和线性矩阵不等式技术的、考虑系统有限时间控制性能的动态反馈控制方法。尽管该方法简单易行，由于Lyapunov-Krasovskii能量函数和对其泛函的求导过程必然导致最终得到的控制律极度复杂甚至难以获得，即复杂度爆炸问题。文献中对于该类问题进行了线性处理，通过构建鲁棒控制保证了整个闭环系统控制性能，这也导致最终设计结果具有一定的保守性。针对以上问题，文献[6]进一步提出一种改进的Wirtinger不等式设计方法以降低执行控制律的保守性。

为了解决针对时延非线性系统中复杂度爆炸问题，文献[7]针对一般严反馈系统给出了一种自适应动态面控制技术，避免了不同自由度虚拟控制的反复求导，一定程度上解决了该类问题。与此类似，文献[8]则在原有算法的基础上引入了连续封装函数和双曲正切函数，避免了对虚拟控制律的反复求导，最终达到对时延不确定的有效补偿。

综上所述，本文试图基于自适应神经网络方法，从根源上解决复杂度爆炸问题。该算法不同于传统的Backstepping方法。首先将每一子系统中时延不确定部分纵向传递至第n个子系统，然后只需在实际控制律中引入单一径向基神经网络进行在线补偿，避免随着系统维数增加导致需要在线学习的神经网络过多，以致算法难以工程应用。基于船舶远程航向保持控制系统进行了仿真实验。

1 问题描述

海事卫星是集全球海上常规通信、遇险与安全通信、特殊与战备通信于一体的实用性高科技产物。海事卫星已升级到符合3G标准的第四代系统，全面兼容WCDMA 3G标准。Inmarsat公司是目前唯一提供全球范围内卫星移动通信的运营商，推出了先进通信功能的宽带全球区域网络(broadband global area network, BGAN) 系统。图 1给出了基于BGAN网络的船舶远程遥控逻辑结构图。

本文研究从实际问题出发，首先对海事卫星通信网络的传输时延性能进行实际测试，通过分析卫星通信时延特性，同时考虑船舶航向保持的非线性，提出一种鲁棒自适应神经网络控制方案，从而解决此类具有不确定时延的一般严格反馈系统的鲁棒自适应控制问题。本节通过两种方式对海事卫星通信网络的传输时延性能进行测试。

第一种方式是通过船舶上实际装备的Globe iFusion系统，在航行中分别测试不同海域船舶节点至大连和北京某节点的往返时延(round trip time, RTT) 性能。具体测试情况见表 1。

第二种方式是通过实验室的BGAN Explorer 710设备，测试其到大连和北京某节点之间的RTT性能, 测试时选择标准IP数据。

由表 1和表 2可以看出海事卫星通信网络时延具有不确定性，同时考虑船舶航向保持的非线性，因此研究如下具有不确定时延的一般严格反馈系统：

$ \left\{ \begin{align} & {{{\boldsymbol{\dot{x}}}}_{i}}={{f}_{i}}\left( {{{\boldsymbol{\bar{x}}}}_{i}} \right)+{{g}_{i}}\left( \text{ }{{{\boldsymbol{\bar{x}}}}_{i}} \right)\text{ }{{\boldsymbol{x}}_{i+1}}+{{h}_{i}}\left( \text{ }{{{\boldsymbol{\bar{x}}}}_{\tau i}} \right) \\ & {{{\dot{x}}}_{n}}={{f}_{n}}\left( x \right)+{{g}_{n}}\left( x \right)u+{{h}_{n}}({{x}_{\tau }}) \\ \end{align} \right. $

(1)

其中，x _i=[x ₁ x₂ … x _i]^T表示系统状态变量矩阵，y=x₁∈R为输出变量，u∈ R为输入变量，f_i(·), g_i(·) 和h_i(·) 为未知的非线性连续函数，h_i(x_τi) 用于描述系统中时延变量对系统动态的影响; X=[x₁ x₂ … x_n]^T，x_τi=x_i(t-τ_i)，x _τi=[x_τ1 x_τ2 … x_τi]^T，i=1, 2, …，n-1。

假设1  未知虚拟控制增益函数g_i(·) 仅限于在一定的范围内，如

$ 0 < {{\underline{g}}_{_{i}}}\le \left| {{g}_{i}}\left( \cdot \right) \right|\le {{{\bar{g}}}_{i}}\left( {{{\boldsymbol{\bar{x}}}}_{i}} \right) < \infty $

(2)

其中，g_i和g_i(x_i) 是正的常数下限和上限参数。

假设1用于说明非线性系统(1) 具有系统增益不确定，对于实际船舶系统，更一般地描述为g_i(·) > 0，即存在关系g_i≤g_i(·)≤g_i(x_i)。

假设2  参考信号y_d和它的i阶导数y_d⁽ⁱ⁾, (i=1, 2, …, n) 连续且有界。

假设3  对于系统时延动态函数h_i(

x_τi)，存在正函数Q_lⁱ(x_τi)，满足

$ {{h}_{i}}(\text{ }{{{\boldsymbol{\bar{x}}}}_{\tau i}})\le \sum\limits_{l=1}^{i}{Q_{l}^{i}}(\text{ }{{\boldsymbol{x}}_{\tau i}}) $

(3)

定理1^[9]  (万能逼近定理)：一定存在给定的NNs和ε > 0，满足

$ f\left( \boldsymbol{Z} \right)=\text{ }{{\boldsymbol{W}}^{\text{T}}}~\boldsymbol{S}\left( \boldsymbol{Z} \right)+\delta \text{ }\left( \boldsymbol{Z} \right),\left| \delta \text{ }\left( \boldsymbol{Z} \right) \right|\le \varepsilon $

(4)

其中，W=[w₁ w₂ … w_i]^T为权重向量，l > 1表示神经网络节点数，激活函数向量S(Z)=[S₁ (Z) S₂(Z) … S_l (Z)]^T，s_i=ξexp $\left[ -\frac{{{(Z-{{\mu }_{i}})}^{\text{T}}}(Z-{{\mu }_{i}})}{2\eta _{i}^{2}} \right]$, u_i为中心值，η_i为扩展宽度，(i=1, 2, …, l)。

引理1^[11]  对于给定的RBF NNs，设ρ_i=$\frac{1}{2}$·min_i≠j‖ μ_i-μ _j‖，q表示输入向量Z的维数，η为高斯函数宽度，则不等式成立：

$ \|\boldsymbol{S}\left( \boldsymbol{Z} \right)\|\le \sum\limits_{k=0}^{\infty }{3q}{{\left( k+2 \right)}^{q-1}}\text{exp}(-2{{\rho }^{2}}{{k}^{2}}/\eta ):={{S}^{*}} $

(5)

定义1

$ {{K}_{i,j}}=\sum\limits_{1\le {{l}_{1}} < {{l}_{2}}\ldots {{l}_{j}}\le i}{\left( {{k}_{{{l}_{1}}}}{{k}_{{{l}_{2}}}}\ldots {{k}_{{{l}_{j}}}} \right)},l=1,2,\ldots ,i,\text{ }j\le i $

(6)

例如：K_{2, 1}=k₁+k₂; K_{3, 2}=k₁k₂+k₂k₃+k₁k₃满足：

$ \left\{ \begin{align} & {{k}_{i}}{{K}_{i-1,j}}+{{K}_{i-1,j+1}}={{K}_{i,j+1}} \\ & {{k}_{i}}{{K}_{i-1,i-1}}={{K}_{i,i}} \\ & {{k}_{i}}={{K}_{i,1}} \\ \end{align} \right. $

(7)

2 控制器设计

本文首先利用Backstepping设计方法将第n步之前的未知非线性项纵向传递到第n步，通过构造Lyapunov-Krasovskii函数对不确定时延进行补偿，然后再用RBF NNs进行逼近，以达到对系统不确定时延的有效镇定。为了应用Backstepping方法设计控制器，做如下坐标变换：

$ \left\{ \begin{align} & {{z}_{1}}={{x}_{1}}-{{y}_{d}} \\ & {{z}_{i}}={{x}_{i}}-{{\alpha }_{i-1}},\left( i=2,\ldots ,n \right) \\ \end{align} \right. $

(8)

式中α_i-1, (i=2, …, n) 为第(i-1) 步中的虚拟控制变量。

2.1 设计第1步

首先对变量z₁求导数得

$ {{{\dot{z}}}_{1}}={{f}_{1}}({{x}_{1}})+{{g}_{1}}({{x}_{1}}){{x}_{2}}+{{h}_{1}}({{x}_{\tau 1}})-{{{\dot{y}}}_{d}} $

(9)

定义Lyapunov函数V_z1为

$ {{V}_{z1}}=\frac{1}{2}z_{1}^{2} $

(10)

由假设3可得不等式关系(11) 用于后续控制器设计分析：

$ {{z}_{1}}{{h}_{1}}({{x}_{\tau 1}})\le \left| {{z}_{1}} \right|{{Q}_{1}}({{x}_{\tau 1}})\le \frac{1}{2}z_{1}^{2}+\frac{1}{2}{{[{{Q}_{1}}({{x}_{\tau 1}})]}^{2}} $

(11)

为了处理式(9) 中的不确定时延项，在式(10) 的基础上进一步构建Lyapunov-Krasovskii函数为

$ {{V}_{1}}={{V}_{z1}}+{{V}_{U1}} $

(12)

其中${{V}_{U1}}=\int_{t-{{\tau }_{1}}}^{t}{\frac{1}{2}}{{[{{Q}_{1}}({{x}_{\tau 1}})]}^{2}}\text{d}s$[Q₁(x_τ1)]²ds用于补偿时延对非线性系统动态影响。

结合式(9) 和(11)，对Lyapunov-Krasovskii函数V₁进行求导，并整理为

$ \begin{align} & \ \ \ {{{\dot{V}}}_{1}}\le {{z}_{1}}\left[ {{f}_{1}}\left( {{x}_{1}} \right)+{{g}_{1}}\left( {{x}_{1}} \right){{\alpha }_{1}}-{{{\dot{y}}}_{d}}+\frac{1}{2}{{z}_{1}} \right]+ \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {{z}_{1}}{{g}_{1}}({{x}_{1}}){{z}_{2}}+\frac{1}{2}[{{Q}_{1}}({{x}_{\tau 1}})]2\le \\ & {{z}_{1}}[{{g}_{1}}({{x}_{1}}){{F}_{1}}({{x}_{1}})-{{{\dot{y}}}_{d}}+{{g}_{1}}({{x}_{1}}){{\alpha }_{2}}]+{{z}_{1}}{{g}_{1}}({{x}_{1}}){{z}_{2}}+ \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ [1-2\text{tan}{{\text{h}}^{2}}(\frac{{{z}_{1}}}{{{\eta }_{1}}})]{{U}_{1}} \\ \end{align} $

(13)

其中：F₁(x₁)=g₁^-1(x₁) $[{{f}_{1}}({{x}_{1}})+\frac{2}{{{z}_{1}}}\text{tan}{{\text{h}}^{2}}(\frac{{{z}_{1}}}{{{\eta }_{1}}})+\frac{1}{2}{{z}_{1}}]$, ${{U}_{1}}=\frac{1}{2}{{[{{Q}_{1}}({{x}_{1}})]}^{2}}$。需要强调，式(7) 中，当z=0时$\frac{1}{z}\text{tan}{{\text{h}}^{2}}\left( \frac{z}{\eta } \right)$是有理的，并且通过RBF NNs可进行有效逼近。

根据Lyapunov稳定性理论，选取式(14) 所示的虚拟控制量

$ {{\alpha }_{2}}=-{{k}_{1}}{{z}_{1}}+{{{\dot{y}}}_{d}}-{{F}_{1}}({{x}_{1}}) $

(14)

式中：k₁ > 0为设计参数。

将式(14) 代入式(13) 可整理得

$ \begin{align} & {{{\dot{V}}}_{1}}\le -[{{k}_{1}}{{\underline{g}}_{1}}-{{({{{\bar{g}}}_{1}}-1)}^{2}}y_{d}^{2}]z_{1}^{2}+{{z}_{1}}{{g}_{1}}({{x}_{1}}){{z}_{2}}+ \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{4}+[1-2\text{tan}{{\text{h}}^{2}}(\frac{{{z}_{1}}}{{{\eta }_{1}}})]{{U}_{1}} \\ \end{align} $

(15)

因此，第2个误差变量z₂可表示为

$ {{z}_{2}}={{x}_{2}}-{{\alpha }_{2}}={{x}_{2}}-{{{\dot{y}}}_{d}}+{{K}_{1,1}}({{x}_{1}}-{{y}_{d}})+{{\mathscr{F}}_{1}}\left( \cdot \right) $

(16)

式中：K_{1, 1}=k₁, $\mathscr{F}$₁(·)=F₁(x₁)。

2.2 设计第i(2≤i≤n-1) 步

第i步误差变量z_i为

$ \begin{align} & {{z}_{i}}={{x}_{i}}-y_{d}^{(i-1)}+\sum\limits_{j=1}^{i-1}{\left[ {{K}_{i-1}}_{,j}\left( {{x}_{i-j}}-{{y}^{(i-1-j)}}_{d} \right) \right]}+ \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {{\mathscr{F}}_{i-1}}\left( \cdot \right) \\ \end{align} $

(17)

式中：$\mathscr{F}$_i-1(·)=$\mathscr{F}$(x_i-1, y_d^(i-2)) 用于描述系统中前i-1个子系统的未知非线性累加项。

根据式(1)，z_i的导数ż_i可整理为

$ \begin{align} & {{{\dot{z}}}_{i}}={{f}_{i}}({{{\bar{x}}}_{i}})+{{g}_{i}}({{{\bar{x}}}_{i}}){{x}_{i+1}}+{{h}_{i}}({{{\bar{x}}}_{\tau i}})-{{{\dot{y}}}^{(i)}}_{d}+ \\ & \sum\limits_{j=1}^{i-1}{[{{K}_{i-1}}_{,j}({{g}_{i-j}}({{{\bar{x}}}_{i-j}}){{x}_{i+1-j}}+{{f}_{i-j}}({{{\bar{x}}}_{i-j}})+} \\ & \ \ \ \ \ \ {{h}_{i-j}}({{{\bar{x}}}_{\tau (i-j)}})-y_{d}^{(i-j)})]+ \\ & \ \ \sum\limits_{j=1}^{i-1}{[\frac{\partial {{\mathscr{F}}_{i-1}}}{\partial {{x}_{j}}}({{g}_{j}}({{{\bar{x}}}_{j}}){{x}_{j+1}}+{{f}_{j}}({{{\bar{x}}}_{j}})+} \\ & \ \ \ \ \ \ {{h}_{j}}({{{\bar{x}}}_{\tau j}}))]+\sum\limits_{j=0}^{i-2}{(\frac{\partial {{\mathscr{F}}_{i-1}}}{\partial y_{d}^{(j)}}{{{\dot{y}}}^{(j)}}_{d})} \\ \end{align} $

(18)

与第1步类似，选取Lyapunov-Krasovskii函数V_i为

$ {{V}_{i}}=\frac{1}{2}z_{i}^{2}+{{V}_{Ui}} $

(19)

且${{V}_{Ui}}=\sum\limits_{k=1}^{i}{\int_{t-{{\tau }_{k}}}^{t}{\frac{1}{2}}}{{\left[ Q_{k}^{i}\left( x\left( s \right) \right) \right]}^{2}}\text{d}s+\sum\limits_{j=1}^{i-1}{\sum\limits_{k=1}^{j}{\int_{t-{{\tau }_{k}}}^{t}{{{\left[ Q_{k}^{i}\left( x\left( s \right) \right) \right]}^{2}}}}}\text{d}s$

$ {{{\dot{V}}}_{Ui}}={{U}_{i}}-\sum\limits_{k=1}^{i}{\frac{1}{2}}{{\left[ Q_{k}^{i}({{x}_{{{\tau }_{k}}}}) \right]}^{2}}-\sum\limits_{j=1}^{i-1}{\sum\limits_{k=1}^{j}{{{[Q_{k}^{i}({{x}_{{{\tau }_{k}}}})]}^{2}}}} $

(20)

其中，

$ {{U}_{i}}=\sum\limits_{k=1}^{i}{\frac{1}{2}}{{\left[ Q_{k}^{i}({{x}_{k}}) \right]}^{2}}+\sum\limits_{k=1}^{i-1}{\sum\limits_{k=1}^{j}{{{\left[ Q_{k}^{i}({{x}_{k}}) \right]}^{2}}}} $

(21)

对V_i进行求导，进一步可整理出：

$ \begin{align} & {{{\dot{V}}}_{i}}\le {{z}_{i}}~{{f}_{i}}+{{g}_{i}}{{\alpha }_{i}}-y_{d}^{(i)}+\sum\limits_{j=1}^{i-1}{{{K}_{i-1,j}}}\left[ {{g}_{i-1}}{{x}_{i+1-j}}+{{f}_{i-j}}-y_{d}^{(i-j)} \right]+ \\ & \ \ \ \ \sum\limits_{j=1}^{i-1}{{{K}_{i-1,j}}}\frac{\partial {{\mathscr{F}}_{i-1}}}{\partial {{x}_{j}}}\left( {{g}_{j}}{{x}_{j+1}}+{{f}_{j}} \right)+\sum\limits_{j=0}^{i-2}{\frac{\partial {{\mathscr{F}}_{i-1}}}{\partial y_{d}^{(j)}}}y_{d}^{(j)}+\sum\limits_{k=1}^{i}{\frac{1}{2}}{{z}_{i}}+ \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sum\limits_{j=1}^{i-1}{\sum\limits_{k=1}^{j}{\frac{1}{2}}}{{z}_{i}}{{\left[ {{K}_{i-1,j}} \right]}^{2}}+\sum\limits_{j=1}^{i-1}{\sum\limits_{k=1}^{j}{\frac{1}{2}}}{{z}_{i}}{{\left[ \frac{\partial {{\mathscr{F}}_{i-1}}}{\partial {{x}_{j}}} \right]}^{2}}+ \\ & \ \ \ \ \ \ \frac{2}{{{z}_{i}}}\text{tan}{{\text{h}}^{2}}\left. \left( \frac{{{z}_{i}}}{{{\eta }_{i}}} \right){{U}_{i}} \right\}+{{z}_{i}}{{g}_{i}}{{z}_{i+1}}+\left[ 1-2\text{tan}{{\text{h}}^{2}}\left( \frac{{{z}_{i}}}{{{\eta }_{i}}} \right) \right]{{U}_{i}}~ \\ \end{align} $

(22)

选取F_i(x_i, y_d^(i-1)) 用于描述系统传递非线性不确定部分:

$ \begin{align} & \ \ \ \ \ \ {{F}_{i}}\left( {{{\bar{x}}}_{i}},\bar{y}_{d}^{(i-1)} \right)=g_{i}^{-1}\left( {{{\bar{x}}}_{i}} \right)\{{{f}_{i}}\left( \cdot \right)+ \\ & \ \ \ \ \sum\limits_{j=1}^{i-1}{[{{K}_{i-1}}_{,j}{{g}_{i-j}}\left( \cdot \right)}{{x}_{i+1-j}}+{{f}_{i-j}}\left( \cdot \right)-y_{d}^{(i-j)}- \\ & {{g}_{i-j}}\left( \cdot \right)({{x}_{i+1-j}}-y_{d}^{(i-j)})+\frac{\partial {{\mathscr{F}}_{i-1}}}{\partial {{x}_{j}}}({{g}_{j}}\left( \cdot \right){{x}_{j+1}}+{{f}_{j}}\left( \cdot \right))]+ \\ & \ \ \ \sum\limits_{j=0}^{i-2}{(\frac{\partial {{\mathscr{F}}_{i-1}}}{\partial y_{d}^{(j)}}\dot{y}_{d}^{(j)})}+\sum\limits_{k=1}^{i}{\frac{1}{2}}{{z}_{i}}+\sum\limits_{j=1}^{i-1}{\sum\limits_{k=1}^{i}{\frac{1}{2}}}{{z}_{i}}{{[{{k}_{i-1,j}}]}^{2}}+ \\ & \ \ \ \ \ \ \ \sum\limits_{j=1}^{i-1}{\sum\limits_{k=1}^{i}{\frac{1}{2}}}{{z}_{i}}{{[\frac{\partial {{\mathscr{F}}_{i-1}}}{\partial {{x}_{j}}}]}^{2}}+\frac{2}{{{z}_{i}}}\text{tan}{{\text{h}}^{2}}(\frac{{{z}_{i}}}{{{\eta }_{i}}}){{U}_{i}}\} \\ \end{align} $

(23)

根据式(22) 的补偿需求，构建虚拟控制变量α_i+1为

$ \begin{align} & \ \ \ \ \ {{\alpha }_{i+1}}=-{{k}_{i}}{{z}_{i}}+y_{d}^{(i)}- \\ & \sum\limits_{j=1}^{i-1}{{{K}_{i-1,j}}}[{{x}_{i+1-j}}-y_{d}^{(i-j)}]-{{F}_{i}}({{{\bar{x}}}_{i}}) \\ \end{align} $

(24)

其中:k_i > 0为设计参数。

为了进一步完成控制器设计，根据定义1通过演绎可得到对等关系:

$ \begin{align} & {{k}_{i}}({{x}_{i}}-y_{d}^{(i-j)})+{{k}_{i}}\sum\limits_{j=1}^{i-1}{[{{K}_{i-1,j}}({{x}_{i-j}}-y_{d}^{(i-1-j)})]}+ \\ & \sum\limits_{j=1}^{i-1}{[{{K}_{i-1,j}}({{x}_{i+1-j}}-y_{d}^{(i-j)}))]}=\text{ }{{K}_{i,1}}({{x}_{i}}-y_{d}^{(i-j)})+ \\ & \ \ \ {{K}_{i-1,i-1}}{{k}_{i}}({{x}_{1}}-{{y}_{d}})+{{K}_{i-1,1}}({{x}_{i}}-y_{d}^{(i-j)})+ \\ & \ \ \ \sum\limits_{j=1}^{i-2}{[({{k}_{i}}{{K}_{i-1,j}}+{{K}_{i-1,j+1}})({{x}_{i-j}}-y_{d}^{(i-1-j)})]}= \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sum\limits_{j=1}^{i}{[{{K}_{i,j}}({{x}_{i+1-j}}-y_{d}^{(i-j)})]} \\ \end{align} $

(25)

结合式(24) 和式(25) 整理得第i+1个误差变量z_i+1为

$ \begin{align} & \ \ \ \ \ \ {{z}_{i+1}}={{x}_{i+1}}-{{\alpha }_{i+1}}={{x}_{i+1}}-\dot{y}_{d}^{(i)}+ \\ & \ \ \ \ \ \ \sum\limits_{j=1}^{i}{[{{K}_{i,j}}({{x}_{i+1-j}}-y_{d}^{(i-j)})]}+{{\mathscr{F}}_{i}}\left( \cdot \right)= \\ & \ \ \ {{x}_{i+1}}-y_{d}^{(i)}+({{k}_{i}}{{\mathscr{F}}_{i-1}}+{{F}_{i}})+{{k}_{i}}({{x}_{i}}-y_{d}^{(i-j)})+ \\ & \sum\limits_{j=1}^{i-1}{{{K}_{i-1,j}}}({{x}_{i-j}}-y_{d}^{(i-1-j)})+\sum\limits_{j=1}^{i-1}{{{K}_{i+1,j}}}({{x}_{i+1-j}}-y_{d}^{(i-j)})= \\ & \ \ \ \ \ \ \ {{x}_{i+1}}-y_{d}^{(i)}+\sum\limits_{j=1}^{i}{{{K}_{i,j}}}({{x}_{i+1-j}}-y_{d}^{(i-j)})+{{\mathscr{F}}_{i}}\left( \cdot \right) \\ \end{align} $

(26)

其中$\mathscr{F}$_i(·)=$\mathscr{F}$_i(x_i, y_d^(i-1))=k_i $\mathscr{F}$_i-1+$\mathscr{F}$_i。

2.3 设计第n步

为了能够获取实际系统可执行的控制律，接下来的设计首先按照上述方式演绎出不确定系统所需的期望控制器，然后利用RBF NNs逼近n阶子系统累加未知非线性项$\mathscr{F}$_n(·)，最终获取可实际执行的控制律。

与第i步类似，选择Lyapunov-Krasovskii函数V_n=z_n²/2+V_Un，其对应的导数可以演绎为

$ \begin{align} & \ \ \ \ \ \ {{{\dot{V}}}_{n}}\le {{z}_{n}}~\left\{ {{g}_{n}}\left( x \right)u+{{f}_{n}}\left( x \right) \right.-y_{d}^{(n)}+ \\ & \ \ \ \ \sum\limits_{j=1}^{n-1}{{{K}_{n-1,j}}}\left[ {{g}_{n-1}}{{x}_{n+1-j}}+{{f}_{n-j}}-y_{d}^{(n-j)} \right]+ \\ & \sum\limits_{j=1}^{n-1}{\frac{\partial {{\mathscr{F}}_{n-1}}}{\partial {{x}_{j}}}}{{\left( {{g}_{j}}{{x}_{j+1}}+f \right)}_{j}}+\sum\limits_{j=1}^{n-2}{\frac{\partial {{\mathscr{F}}_{n-1}}}{\partial y_{d}^{(j)}}}y_{d}^{(j)}+\sum\limits_{k=1}^{i}{\frac{1}{2}}{{z}_{n}}+ \\ & \ \ \ \ \sum\limits_{j=1}^{n-1}{\sum\limits_{k=1}^{i}{\frac{1}{2}}}{{z}_{n}}{{\left[ {{K}_{n-1,j}} \right]}^{2}}+\sum\limits_{j=1}^{n-1}{\sum\limits_{k=1}^{i}{\frac{1}{2}}}{{z}_{n}}{{\left[ \frac{\partial {{\mathscr{F}}_{n-1}}}{\partial {{x}_{j}}} \right]}^{2}}+ \\ & \ \ \ \ \ \frac{2}{{{z}_{n}}}\text{tan}{{\text{h}}^{2}}\left. \left( \frac{{{z}_{n}}}{{{\eta }_{n}}} \right){{U}_{n}} \right\}+\left[ \text{ }1-2\text{tan}{{\text{h}}^{2}}\left( \frac{{{z}_{n}}}{{{\eta }_{n}}} \right) \right]{{U}_{n}} \\ \end{align} $

(27)

其中，

$ {{U}_{n}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{2}}{{\left[ Q_{k}^{n}({{x}_{k}}) \right]}^{2}}+\sum\limits_{j=1}^{n-1}{\sum\limits_{k=1}^{j}{{{\left[ Q_{k}^{i}({{x}_{k}}) \right]}^{2}}}} $

(28)

选取F_n(·) 用于描述式(29) 所示的非线性部分。

$ \begin{align} & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {{F}_{n}}\left( \cdot \right)={{g}_{n}}{{\left( \cdot \right)}^{-1}}\{{{f}_{n}}\left( \cdot \right)+ \\ & \ \ \ \sum\limits_{j=1}^{n-1}{[{{K}_{n-1,j}}}({{g}_{n}}_{-j}\left( \cdot \right){{x}_{n+1-j}}+{{f}_{n-j}}\left( \cdot \right)-y_{d}^{(n-j)})- \\ & {{g}_{n}}\left( \cdot \right)({{x}_{n+1-j}}-y_{d}^{(n-j)})+\frac{\partial {{\mathscr{F}}_{n-1}}}{\partial {{x}_{j}}}({{g}_{j}}\left( \cdot \right){{x}_{j}}_{+1}+{{f}_{j}}\left( \cdot \right))]+ \\ & \ \ \ \ \sum\limits_{j=0}^{n-2}{\frac{\partial {{\mathscr{F}}_{n-1}}}{\partial y_{d}^{(j)}}}\dot{y}_{d}^{(j)}+\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{2}}{{z}_{n}}+\sum\limits_{j=1}^{n-1}{\sum\limits_{k=1}^{j}{\frac{1}{2}}}{{z}_{n}}{{[{{k}_{n-1,j}}]}^{2}}+ \\ & \ \ \ \ \ \ \ \sum\limits_{j=1}^{n-1}{\sum\limits_{k=1}^{j}{\frac{1}{2}}}{{z}_{n}}{{[\frac{\partial {{\mathscr{F}}_{n-1}}}{\partial {{y}_{j}}}]}^{2}}+\frac{2}{{{z}_{n}}}\text{tan}{{\text{h}}^{2}}(\frac{{{z}_{n}}}{{{\eta }_{n}}}){{U}_{n}}\} \\ \end{align} $

(29)

因此，设计对非线性时延系统产生有效补偿的期望控制输入为

$ \begin{align} & {{u}^{*}}=y_{d}^{(n)}-{{k}_{n}}\left( {{x}_{n}}-y_{d}^{(n-1)} \right)-{{k}_{n}}\sum\limits_{j=1}^{n-1}{\left[ {{K}_{n-1,j}}\left( {{x}_{n-j}}-y_{d}^{(n-1-j)} \right) \right]}- \\ & \ \ \ \ \ \sum\limits_{j=1}^{n-1}{[{{K}_{n-1,j}}({{x}_{n+1-j}}-y_{d}^{(n-j)})]}-({{k}_{n}}{{F}_{n-1}}\left( \cdot \right)+{{\mathscr{F}}_{n}}\left( \cdot \right))= \\ & \ \ \ \ \ \ \ y_{d}^{(n)}-\sum\limits_{j=1}^{n}{[{{K}_{n,j}}({{x}_{n+1-j}}-y_{d}^{(n-j)})]}-{{\mathscr{F}}_{n}}\left( \cdot \right) \\ \end{align} $

(30)

式中：$\mathscr{F}$_n(·)=$\mathscr{F}$_n(x_n, y_d^(n-1))=k_n$\mathscr{F}$_n-1(·)+F_n(·) 为未知的累加非线性函数，包含整个系统的非线性不确定项。

根据万能逼近定理和引理1，引入一个RBF NNs $^{\hat{\ }} \mathscr{F}$_n(·) 用于逼近整个系统的非线性不确定部分$\mathscr{F}$_n(·)，其输入向量Z=[X^T y_d^{(n-1) T}]^T∈Ω^2n-1(Ω^2n-1是一个紧集)。因此，可以得到如式(31) 的实际控制律。式(32) 为设计的RBF NNs权重的自适应律。

$ {{u}_{n}}=y_{d}^{(n)}-\sum\limits_{j=1}^{n}{{{k}_{n,j}}}\left[ {{x}_{n+1-j}}-y_{d}^{(n-j)} \right]-{{{\boldsymbol{\hat{W}}}}^{\text{T}}}\boldsymbol{S}\left( \boldsymbol{Z} \right) $

(31)

$ \boldsymbol{\overset{.}{\mathop{{\hat{W}}}}}\,=\boldsymbol{\mathit \Gamma} \left[ \boldsymbol{S}{{\left( {\boldsymbol{\bar{Z}}} \right)}_{{{z}_{1}}}}-\rho (\boldsymbol{\hat{W}}-{{{\boldsymbol{\hat{W}}}}_{0}}) \right] $

(32)

其中，Γ=Γ^T > 0, ρ > 0均为参数矩阵。

3 稳定性分析

定理2  考虑具有不确定时延的非线性系统(1)，利用本文所提出的控制律(31) 和自适应律(32) 构建闭环控制系统。如果系统初始状态满足存在常数Δ > 0，使$\sum\limits_{i=1}^{n}{{{V}_{i}}}+\frac{1}{2}{{g}_{n}}~{{{\boldsymbol{\tilde{W}}}}^{\text{T}}}~{{\boldsymbol{\mathit \Gamma} }^{-1}}~\boldsymbol{\tilde{W}}\le 2\Delta $。通过适当地调整控制参数k₁, k₂, …, k_n, Γ和ρ，本文所提出的控制策略能够有效镇定被控对象且保证闭环系统所有状态信号满足半全局一致最终有界。

证明：构建整个闭环控制系统的Lyapunov-Krasovskii函数如式(33) 所示

$ V=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{V}_{i}}}+\frac{1}{2}{{g}_{n}}{{{\boldsymbol{\tilde{W}}}}^{\text{T}}}{{\boldsymbol{\mathit \Gamma }}^{-1}}~\boldsymbol{\tilde{W}} $

(33)

根据Young’s不等式，可以得到以下放缩关系用于整个系统的稳定性分析：

$ \begin{align} & {{z}_{i}}{{g}_{i}}{{z}_{i+1}}\le {{g}_{i}}(\cdot )z_{i}^{2}+\frac{1}{4}{{g}_{i}}(\cdot )z_{i+1}^{2},{{\delta }_{{{z}_{n}}{{g}_{n}}}}(\cdot )\le g_{n}^{2}z_{n}^{2}+\frac{{{\varepsilon }^{2}}}{4}, \\ & \ \ -{{\boldsymbol{{\tilde{W}}}}^{\text{T}}}S(\bar{Z}){{z}_{n}}{{g}_{n}}+\boldsymbol{\tilde{W}}{{~}^{\text{T}}}\boldsymbol{S}(\bar{Z}){{z}_{1}}{{g}_{n}}-\boldsymbol{\tilde{W}}{{~}^{\text{T}}}\boldsymbol{\tilde{W}}{{g}_{n}}\le \\ & \ \ {{g}_{n}}\boldsymbol{S}{{*}^{2}}z_{n}^{2}+\frac{{{g}_{n}}}{4}\boldsymbol{\tilde{W}}{{~}^{\text{T}}}\boldsymbol{\tilde{W}}~+{{g}_{n}}\boldsymbol{S}{{*}^{2}}{{z}_{1}}^{2}+\frac{{{g}_{n}}}{4}\boldsymbol{\tilde{W}}{{~}^{\text{T}}}\boldsymbol{\tilde{W}}~- \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{\rho {{g}_{n}}}{2}{{\left\| \boldsymbol{\tilde{W}}~ \right\|}^{2}}+\frac{{{g}_{1}}}{2}\left\| {\boldsymbol{\tilde{W}}} \right\|{{~}^{2}} \\ \end{align} $

(34)

对Lyapunov-Krasovskii函数V进行求导可得

$ \begin{align} & \ \ \dot{V}\le \left( {{k}_{1}}{{g}_{1}}-{{\left( {{g}_{1}}-1 \right)}^{2}}\dot{y}_{n}^{2}-{{g}_{1}}\left( \cdot \right)-{{g}_{n}}{{S}^{*2}} \right)z_{1}^{2} \\ & \ \ \ -\sum\limits_{i=2}^{n-1}{\left( {{k}_{i}}{{g}_{i}}-{{({{y}_{i}}-1)}^{2}}y{{_{d}^{(i)}}^{2}}-\frac{5}{4}{{g}_{i}}\left( \cdot \right) \right)}z_{i}^{2}- \\ & \left( {{k}_{n}}{{g}_{n}}-{{({{g}_{n}}-1)}^{2}}y{{_{d}^{(n)}}^{2}}-\frac{1}{4}{{g}_{n}}-{{g}_{n}}{{S}^{*2}}-g_{n}^{2} \right)Z_{n}^{2}- \\ & \ \ \ \frac{\rho {{g}_{n}}}{2}-\frac{{{g}_{n}}}{2}{{{\tilde{W}}}^{\text{T}}}~\tilde{W}+\frac{n}{4}+\frac{{{\varepsilon }^{2}}}{4}+\frac{\rho {{g}_{n}}}{2}\|W{{\|}^{2}}+ \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sum\limits_{i=1}^{n}{\left[ 1-2\text{tan}{{\text{h}}^{2}}(\frac{{{z}_{i}}}{{{\eta }_{i}}}) \right]}{{U}_{i}} \\ \end{align} $

(35)

通过适当调整设计参数，可以保证满足式(36) 的关系。

$ \begin{align} & \ \ \ {{k}_{1}}=g_{1}^{-1}\left( {{\alpha }_{0}}+\left( {{g}_{1}}-1 \right)y_{d}^{2}+{{g}_{1}}\left( \cdot \right)+{{g}_{n}}{{S}^{*2}} \right) \\ & \ \ \ \ \ {{k}_{i}}=g_{1}^{-1}\left( {{\alpha }_{0}}+{{({{g}_{i}}-1)}^{2}}y{{_{d}^{(i)}}^{2}}+\frac{5}{4}{{g}_{i}}\left( \cdot \right) \right) \\ & {{k}_{n}}=g_{1}^{-1}\left( {{\alpha }_{0}}+({{g}_{n}}-1)y{{_{d}^{(n)}}^{2}}+\frac{1}{4}{{g}_{n}}\left( \cdot \right)+{{g}_{n}}{{S}^{*2}}+g_{n}^{2} \right) \\ & \alpha =\text{min}\left\{ 2{{\alpha }_{0}};\frac{\rho -1}{{{\lambda }_{\text{max}}}\left[ {{\boldsymbol{\mathit \Gamma} }^{-1}} \right]} \right\},l=\frac{n}{4}+\frac{{{\varepsilon }^{2}}}{4}+\frac{\rho {{\underline{g}}_{n}}}{2}\|\boldsymbol{W}{{\|}^{2}} \\ \end{align} $

(36)

因此，式(35) 可进一步整理为

$ \dot{V}\le -\alpha V+\sum\limits_{i=1}^{n}{\left[ 1-2\text{tan}{{\text{h}}^{2}}\left( \frac{{{z}_{i}}}{{{\eta }_{i}}} \right) \right]}{{U}_{i}} $

(37)

基于Lyapunov稳定性理论，易证整个闭环系统中所有变量满足半全局一致最终有界。

4 仿真实验及结果分析

以大连海事大学科研实习船“育鲲”轮为被控对象进行仿真，其数学模型参数见文献[12]。风浪干扰采用高斯白噪声驱动的马尔科夫随机过程进行模拟^[10]，海洋干扰力对船舶艏向角的影响等效为干扰舵角输入进入到船舶航向保持控制系统中。本节采用船舶航向保持响应型非线性数学模型作为设计模型，利用本文所提出算法得到控制律如式(38) 所示。控制参数设置为k₁=0.03, k₂=9, Γ=1.0, ρ=1.2；采用的RBF NNs具有l=25个网络节点，RBF采用式(3) 所示的高斯函数，放大因子 ξ=0.1，宽度η=0.71，中心μ_j分布在论域{μ_i|i=1, …, l}_ψ×r=-0.174 rad, 0.174 rad× -0.07 rad/s, 0.7 rad/s上。

$ \begin{align} & {{u}_{n}}={{{\ddot{\psi }}}_{r}}-\left( {{k}_{2}}+{{k}_{1}} \right)\left( r-{{{\dot{\psi }}}_{r}} \right)-{{k}_{2}}{{k}_{1}}\left( \psi -{{\psi }_{r}} \right)-{{{\boldsymbol{\tilde{W}}}}^{\text{T}}}\boldsymbol{S}(\boldsymbol{Z}), \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Z={{\left[ \psi \ \ r\ \ {{\psi }_{r}}\ \ {{{\dot{\psi }}}_{r}} \right]}^{\text{T}}} \\ \end{align} $

(38)

图 2(a)给出了表 1中船舶在台湾海峡时至北京的网络时延实际测试结果，图 2(b)给出了该仿真实验中对672~1 497 ms不确定时延的模拟结果。通过对比可知，仿真实验中对不确定时延的模拟与实测时延非常相近。通过以上模拟构建卫星通信网络环境以对本文所提算法进行测试，具有一定的可信性。

为了验证该算法的有效性，该实验中对比控制器为式(38) 中去掉NNs补偿后的控制律。图 3为仿真实验过程中利用马尔科夫过程描述的6级海洋环境干扰等效舵角情况。图 4(a)和(b)给出6级海况下不同时延条件时船舶航向曲线和舵角曲线。仿真结果显示，本文所提算法能够有效抑制系统状态变量测量时延和模型不确定的影响，在不同时延条件下航向跟踪控制效果基本不变。该实验中，船舶输出航向均能够在70 s以后稳定，最终无静差地跟踪参考航向。去掉控制律中单一神经网络补偿后，船舶航向保持控制进入稳态后存在一定静差，而需求控制舵角能量基本不变。图 5给出了神经网络权重在线学习情况。可以看出，神经网络能够随着闭环系统趋于稳定完成对网络权重的在线学习，最终趋于稳定，通过逼近模型中时延非线性部分实现对系统中状态变量测量时延的有效补偿。以上结果验证了本文中鲁棒自适应控制策略的有效性。

5 结论

通过实际测试分析海事卫星通信网络时延特性，以大连海事大学科研实习船“育鲲”轮作为被控对象进行仿真试验。结果表明，在恶劣海况下，该控制策略能够有效补偿系统状态反馈通信时延的影响，对模型摄动和外界干扰具有较好的鲁棒性能。

该算法具有计算量小、易于工程应用的优点，对海上船舶通过海事卫星进行远程操纵具有重要的现实工程意义。