DOI:10.11990/jheu.201501025
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非平稳信号由于具有频率时变、截获概率低等技术特点，因此在雷达、声呐和无线通信领域得到广泛应用[1, 2]。双曲调频(hyperbolic modulation frequency,HFM)信号是一种典型的非平稳信号，在时频平面中呈现双曲线形状，在多径情况下仅造成双曲线的水平移动，而不会造成信号失真，从而能有效地对信号进行时频分析[3]；不仅如此，HFM信号是多普勒不变信号，因此可以将其作为导频信号来计算恶劣水声通信环境中的多普勒偏移，从而实现系统同步[4, 5]。这些优点使得HFM信号成为水下通信以及无线通信领域的研究热点。通过计算信号的瞬时频率来进行HFM信号的检测[6]，可以减少计算量，但是并未给出具体参数估计的过程，因此只能用于HFM信号探测，而不能用于信号解调；采用尺度宽容小波检测器处理HFM信号时[7]，虽然可以在短时间内检测到信号，但是却忽略了目标速度引起的尺度影响，使检测精度降低；目前通信系统中广泛采wavelet-Radon法对HFM信号进行检测，其结果相对准确，但是会引起连带误差[8]。
在信号分析中，为了提高信号处理的效率与速度，总是希望找到一种最稀疏的数据来表示和取代原始数据，从而减少数据处理量，提高信号的检测效率[9]。本文提出一种基于级联原子库参数估计的信号处理方法。该方法是根据信号的相关性进行自适应分解，将信号分解到一组高度冗余的过完备基(即原子库)上进行。用来表示信号的过完备基可以自适应地根据信号本身的特点灵活选取。
1 双曲调频信号(HFM)
发射信号为矩形包络的双曲调频信号:
$$u(t) = {1 \over {\sqrt T }}rect({t \over T}) \bullet \exp \{ - j[2\pi k\ln (1 - {1 \over {{t_0}}})]\} $$
(1)
HFM信号的调频规律为双曲函数:
$${f_1}(t) = {k \over {{t_0} - t}}$$
(2)
由式(2)可以看出，HFM信号的调频率是一条双曲线，下面通过建立级联原子库来进行信号的参数估计。
2 级联原子库虽然单个的原子库已经是过完备的，但其是由一个函数离散化得出的，具有单一结果，通常只适合分解一类信号，进行单一参数的估计。若分解多分量信号并进行多参数估计，单个原子库分解必然会有一些局限，导致分解后的稀疏度不高。而使用级联原子库进行稀疏分解则能很好的解决这个问题。
常用的单一类型原子库主要有频率原子、时间尺度原子以及时频原子,用这三类原子库进行组合即可得到级联原子库。构造级联原子库时，需要充分考虑信号的特点，由信号的特点来选择合适的原子库组成级联原子库[10]。本文所选取的级联原子库是时间尺度原子和时频原子。
2.1 时间尺度原子
设信号为f，在尺度s，位置µ的时间尺度变换可以定义为下面的形式:
$$Wf(\mu ,s) = \smallint _{ - \infty }^{ + \infty }f\left( t \right){1 \over {\sqrt s }}\psi \left( {{{t - \mu } \over s}} \right)dt$$
(3)
设信号为f，其长度为N，D为过完备原子库，g为原子库中经归一化的原子$\left\| g \right\| = 1$，信号分解时，在过完备原子库D中选择与信号f(t)最匹配的原子，其选择原则为内积最大，设第一个最匹配原子为g1 ,则
$$\left| {\left\langle {f,{g_1}} \right\rangle } \right| = \matrix{
{\sup } \cr
{g \in D} \cr
} \left| {\left\langle {f,g} \right\rangle } \right|$$
(4)
已知原子满足归一化条件，因此，信号f可以分解为两部分:原子g1上的分量和残差R[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]f，即
$$f = \left\langle {f,{g_1}} \right\rangle {g_1} + {R^1}f$$
(5)
然后对每次匹配的残差进行分解，直到终止条件，若对信号分解了 n 次，则可以表示成
$$f = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {\left\langle {{R^k}f,{g_{rk}}} \right\rangle } {g_{rk}} + {R^n}f$$
(6)
通过时间尺度原子和时频原子构建关于参数 k 和 t0 的原子库:
$$\eqalign{
& \left( {\matrix{
{{g_r}\left( {{s_1},{\tau _1}} \right)} & \cdots & {{g_r}\left( {{s_1},{\tau _m}} \right)} \cr
\vdots & \ddots & \vdots \cr
{{g_r}\left( {{s_n},{\tau _1}} \right)} & \cdots & {{g_r}\left( {{s_n},{\tau _m}} \right)} \cr
} } \right)˜ \cr
& \left( {\matrix{
{{g_s}\left( {{s_1},{\tau _1}} \right)} & \cdots & {{g_s}\left( {{t_{10}},{k_n}} \right)} \cr
\vdots & \ddots & \vdots \cr
{{g_s}\left( {{t_{OM}},{k_1}} \right)} & \cdots & {{g_s}\left( {{t_{OM}},{k_n}} \right)} \cr
} } \right) \cr} $$
(7)
对水下宽带主动系统而言，相关处理方法是利用回波与发射波的相似性来完成信号的检测与参数估计，这与建立时间尺度原子库是相符合的。所以，可以通过建立时间尺度原子库的方法进行参数估计。图1是参数估计流程图。
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| 图1 参数估计流程图 Fig.1 The flow chart of parameter estimation |
利用级联原子库法和wavelet-Radon法来进行参数估计对比。
信道参数设置为:信噪比SNR=0 dB，最大频偏fd=5 Hz，功率衰落 A=-10 dB ，时延S=10 s；设双曲调频信号的具体形式为
$$u(t) = \sqrt {20} \times rect\left( {20t} \right)\exp \left\{ { - j\left[ {2\pi klm\left( {1 - {t \over {{t_0}}}} \right)} \right]} \right\}$$
(8A)
接收信号如图2所示。由图2可以看出信号完全淹没在噪声中。对比图3和图4、图5和图6可以看出，利用级联原子库进行参数估计时，参数峰值聚集度较高，因此参数估计的准确性更高。 图3~6给出了SNR=0 dB时两种方法的处理结果。
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| 图2 SNR=0dB时域信号 Fig.2 The time domain signal of SNR=0 dB |
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| 图3 基于wavelet-Radon的 t0 估计 Fig.3 The estimation of t0 based on wavelet-Radon |
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| 图4 基于级联原子库的 t0 估计 Fig.4 The estimation of t0 based on cascade atom library |
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| 图5 基于wavelet-Radon的 k Fig.5 The estimation of k based on wavelet-Radon |
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| 图6 级联原子库的 k 估计 Fig.6 The estimation of k based on cascade atom library |
下面通过水池实验来进行进一步的验证。 实验在长15 m，宽5 m的水池中进行，换能器和水听器之间的距离为8 m。流程如图7所示。系统参数设置为:采样率66 kHz，中心频率11 kHz，带宽4 kHz，偏置设置为0.35；共进行6次实验，每次传输200帧数据，共 1 200组样本。
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| 图7 水池实验过程示意图 Fig.7 The process of pool experiment |
工控机A输出HFM信号，待估计参数设置为:k=4 770，t0=2。图8为工控机B从水池中接收到的信号，可以看出信号噪声的能量在整个时间段内都比较大。实验中，使用均方根误差作为参数估计准确度的衡量标准。均方根误差的表达式为
$$RMSE = \sqrt {{{\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {x - {x_0}} \right)} } \over n}} $$
(8B)
将级联原子库法和wavelet-Radon法进行对比验证，结果如表1所示。
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| 图8 接收信号 Fig.8 The received signal |
| 级联原子库 | wavelet-Radon | |
| k | 4770 | 4770 |
| RMSE(k) | 3.257 | 10.232 |
| t0 | 2 | 2 |
| RESE(t0) | 0.056 | 0.091 |
由表1可知，采用级联原子库法得到的参数k和t0的均方根误差皆小于wavelet-Radon法，通过建立级联原子库进行参数估计的方法，误差约为wavelet-Radon法的1/3。其原因是:wavelet-Radon法需要根据t0的估计结果来估计k，造成连带误差；而级联原子库法是同时进行参数k和t0的估计，因此不存在连带误差，从而提高了信号参数估计的精度。
6 结论根据HFM信号频域的双曲特性，本文提出了基于级联原子库的HFM信号参数估计方法，并与常用的 wavelet-Radon法进行了对比。结果表明:
1)采用该方法可以同时估计信号的初始频率和调频率，减少由于信号初始频率误差而导致的调频率准确度降低的现象，相较于常用的wavelet-Radon法，本方法具有更高的检测精度。
2)该方法可以使信号获得非常简洁的表达(即稀疏表示)，减少了数据处理量，加快了计算速度。
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