DOI:10.11990/jheu.201501022
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正弦信号的频率估计问题是信号处理领域的一个基本问题，其在雷达、声呐、探测、无线通信以及语音识别等领域被广泛关注和研究[1, 2, 3, 4] 。极大似然估计法(maximum likelihood，ML)算法能够达到克拉美罗限，但是需要进行大量计算[2, 3]，在工程中难以实现。为寻找计算量合适的次优算法，研究者进行了很多探索[3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22]，焦点集中在两个方面：估计的精度和算法实现所需的计算量。最大似然估计是最优估计，其方差接近克拉美罗限(CRLB)[1, 2]，但计算量大无法满足实时处理的要求[5]。Quinn、 Candan等[6, 16, 17]利用FFT系数进行插值计算。Rife、Aboutanios等[1, 18, 19, 20]利用迭代估计频率。为了提高估计性能采用相位校正[21, 22]技术，能够在插值算法中改善算法精度。而迭代法的性能则一定程度上依赖于初值的选取[5, 21]。文献[5]指出当初值落在频率真值5倍克拉美罗限均方根范围之内，迭代法方可获得高性能。设计出新的高精度直接估计法，既可为迭代提供准确初值，也可直接作为频率估计器，具备理论和应用的价值[21]。
利用正弦信号线性(linear prediction，LP)性质及自相关函数，研究者提出了多种算法，如改进协方差(modified covariance，MC)算法[13]、Pisarenko谐波分解法(PHD算法)等 [8]。PHD算法具备实现步骤简单、计算量少等优点，SO等[9, 10]提出了众多改进算法，从改进自相关函数设计的角度，减少估计误差。Rim等[11]则考虑利用更多自相关信息，包括高阶自相关等来进行算法改进。曹燕[4]利用Rim算法作为初值，利用泰勒展开式进行频率细化，获得了更好的精度。本文将利用高阶自相关函数在提高估计精度上的优势[14]与PHD算法的派生形式[12]，进行新估计算法的设计，寻找合适的直接估计算法。
1 基于线性(LP)性质的估计方法 1.1 MC估计法
单一频率实正弦信号模型可表示为
xn=sn+qn，n=1,2,…,N
(1)
s(n)=αcos (ω0n+)
(2)
噪声q(n)为零均值，方差为σq2的高斯白噪声，信号的幅值为α，频率为ω0∈(0,π)，相位∈[0,2π)。
在无噪声的情况下，利用正弦信号的LP性质可以得到
2cos kω0sn－k=sn+sn－2k
(3)
e(n)=x(n)－2cos $\varpi $0x(n－1)+x(n－2)
(4)
$$\eqalign{
& \hat \omega _0^{{\text{MC}}} = \arg \mathop {\min }\limits_{{{\hat \omega }_0}} \left\{ {\sum\limits_{n = 3}^N {2(n)} } \right\} = \cr
& {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{{\sum\limits_{n = 3}^N {x(n - 1)(x(x(n) + x(n - 2))} }}{{2\sum\limits_{n = 3}^N {{x^2}(n - 1)} }}} \right) \cr} $$
(5)
此方法被也就是改进协方差(modified covariance，MC)算法[13]。
1.2 Rim估计法当噪声存在时，MC算法是一个有偏的方法[15]。为了改进MC算法的估计精度，不少文献开展了研究[9, 11]。其中Rim提出基于自相关的频率估计算法[11]。
无噪理想情况下，对式(1)给出的信号模型，定义基于时间平均的自相关函数:
$$\eqalign{
& {r_k} = \frac{1}{{N - k}}\sum\limits_{n = 1}^{N - k} {x(n)} x(n + k) = \frac{{{\alpha ^2}}}{2}\cos (k{\omega _0}) + \cr
& \frac{1}{{N - k}}(\frac{{{\alpha ^2}}}{2}\sum\limits_{n = 1}^{N - k} {\cos } ((2n + k){\omega _0} + 2\Phi )) + \cr
& \sum\limits_{n = 1}^{N - k} {\left[{q(n)s(n + k) + q(n + k)s(n) + q(n)q(n + k)} \right]} \cr} $$
(6)
当N足够大时，式(6)中第二项趋于零，对自相关求数学期望为
$$E({r_k}) \approx \frac{{{\alpha ^2}}}{2}\cos ({\omega _0}k) + {\sigma ^2}{\sigma _{k,0}}$$
(7)
$${r_k} \approx \frac{{{\alpha ^2}}}{2}\cos ({\omega _0}k)$$
(8)
自相关信号的频率与原信号频率相同，即原信号的频率估计问题转化为自相关信号的频率估计问题。同样利用LP性质可得rk+rk+2≈2cos (ω0)rk+1，则对q＞p＞1，观察序列:
$$\sum\limits_{k = p}^q {{r_{k + 1}}({r_k} + } {r_{k + 2}}) \approx 2\cos ({\omega _0})\sum\limits_{k = p}^q {} r_{_{k + 1}}^2$$
(9)
$$\hat \omega _0^{{\text{Rim}}} = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{{\sum\limits_{k = p}^q {{r_{k + 1}}({r_k} + {r_{k + 2}}} }}{{2\sum\limits_{k = p}^q {r_{k + 1}^2} }}} \right)$$
(10)
对Rim算法的性能进行了进一步分析表明，Rim算法在中高信噪比下表现较好。但是由于算法需要进行多个自相关函数计算，因此计算量较大[7]。
2 基于高阶自相关的频率估计方法从基于自相关的频率估计误差分析，自相关阶数越高，性能越好[14]。文献[12]对PHD算法的派生形式进行了研究，提出基于方程求根形式的PHD算法表达。本文算法引入高阶自相关系数，利用LP性质推广PHD派生形式。推导出基于高阶自相关的估计算法。
自相关函数定义由式(6)得到，同时由式(8)可以得到
$$\left\{ {\matrix
{{r_k} \approx \frac{{{\alpha ^2}}}{2}\cos ({\omega _0}k)} \\
{{r_{k + 1}} \approx \frac{{{\alpha ^2}}}{2}\cos ({\omega _0}k + 1)} \\
} \right.$$
(11)
4r2cos3${\hat \omega }$0－2r3cos2${\hat \omega }$0－3r2cos${\hat \omega }$0+r3=0
(12)
${\hat \omega }$0,i=cos－1γi,i=1,2,3
(13)
上述过程都利用了高阶的自相关函数，会带来频率模糊问题。文献[11]和文献[18]提出利用与PHD估计值最近的估计值作为算法的估计值。
从i个${\hat \omega }$0,i中选择最接近真实的频率i*的方法为
$${i^*} = \mathop {\arg \min }\limits_{i \in \left\{ {1,2,3\} } \right.} \left| {{{\hat \omega }_0} - \hat \omega _{\text{0}}^{{\text{phd}}}} \right|$$
(14)
最终，由式(13)、(14)得到本文给出本文算法。注意到，计算${\hat \omega }$0phd需要的r2已经计算出，不需额外计算自相关函数。带入PHD估计式只需比较一次即可。额外的计算负担为4次乘法、2次加法、一次开方和一次比较。相较Rim算法需要计算自相关和多次连加、乘，大大减少了计算量。对比算法计算量统计表1所示。
| 方法 | 加 | 乘 | 除 | 开方 | cos-1 |
| ML | 5N-2 | 5N+9 | 1 | 0 | 0 |
| MC | 3N-8 | 2N-3 | 1 | 0 | 1 |
| PHD | 2N-1 | 2N+3 | 1 | 1 | 1 |
| RPHD | 3N-3 | 2N+5 | 1 | 1 | 1 |
| RIM | (q-p+1)(N+3-(p+q)/2)-2 | (q-p+1)(N+3-(p+q)/2) | 1 | 0 | 1 |
| 本文算法 | 2N+7 | 2N+30 | 3 | 3 | 1 |
第2节提出了利用高阶自相关的估计算法并进行了计算量比较。在本节中，通过理论分析，推导出估计频率${\hat \omega }$0的方差。
由式(12)定义三阶多项式：
f(T)=4r2T3－2r3T2－3r2T+r3
(15)
式(15)的根即对应频率的估计值T*=cos ($_{{\omega _0}}^ \gg $)，利用Taylor展开将f(T*)在T=cos (ω0)一阶展开。
$$\eqalign{
& 0 = f({T^*}) \approx (T) + ({T^*} - T)f'(T)\left| {_{T = COS({\omega _0})}} \right. \Rightarrow \cr
& {({T^*} - T)^2} \approx \frac{{{f^2}(T)}}{{{{\left[{f'(T)} \right]}^2}}}\left| {_{T = COS({\omega _0})}} \right| \Rightarrow \cr
& \operatorname{var} ({T^*}) = {\text{E}}\left\{ {{{\left( {{T^*} - T} \right)}^2}} \right\} \approx {\left. {\frac{{{\text{E}}\left\{ {{f^2}(t)} \right\}}}{{{{\left[{f'(T)} \right]}^2}}}} \right|_{T = COS({\omega _0})}} \cr} $$
(16)
$$\eqalign{
& \operatorname{var} ({T^*}) = {\text{E}}\left\{ {(\cos ({\omega _0}) - \cos {{({{\mathop \omega \limits^ \gg }_0})}^2}} \right\} = \cr
& {\text{E}}\left\{ {4{{\sin }^2}\left( {\frac{{{\omega _0} + {{\mathop \omega \limits^ \gg }_0}}}{2}} \right){{\sin }^2}\left( {\frac{{{\omega _0} - {{\mathop \omega \limits^ \gg }_0}}}{2}} \right)} \right\} \approx \cr
& 4{\sin ^2}({\omega _0}) \cdot \frac{{{\text{E}}\left\{ {{{({\omega _0} - {{\mathop \omega \limits^ \gg }_0})}^2}} \right\}}}{4} \Rightarrow \cr
& \operatorname{var} ({\mathop \omega \limits^ \gg _0}) \approx \frac{{\operatorname{var} ({T^*})}}{{{{\sin }^2}({\omega _0})}} \cr} $$
(17)
利用式(6)进行期望计算，为计算式(16)，可以从式(15)得到
E(f2(T))=cos2(3ω0)·E(r22)+cos2(2ω0)·E(r32)－2E(r32r)·cos(2ω0)cos(3ω0)
(18)
E(f′(T))=2E(r3)·sin(2ω0)－3E(r2)·sin(3ω0)
(19)
$$\eqalign{
& E({r_2}) = \frac{1}{{N - 2}}\left\{ {\sum\limits_{n = 1}^{N - 2} {x(n)x(n + 2)} } \right\} = \cr
& \frac{{{\alpha ^2}}}{2}\cos (2{\omega _0}) + \frac{1}{{N - 2}}(\frac{{{\alpha ^2}}}{2}\sum\limits_{n = 1}^{N - 2} {cos((2n + 2){\omega _0} + 2\Phi )} \cr} $$
(20)
$$\eqalign{
& {\text{E}}({r_3}) = \frac{1}{{N - 3}}{\text{E}}\left\{ {\sum\limits_{n = 1}^{N - 3} {x(n)x(n + 3)} } \right\} = \cr
& \frac{{{\alpha ^2}}}{2}\cos (3{\omega _0}) + \frac{1}{{N - 3}}(\frac{{{\alpha ^2}}}{2}\sum\limits_{n = 1}^{N - 3} {cos((2n + 3){\omega _0} + 2\Phi )} \cr} $$
(21)
$$\eqalign{
& E\left( {r_2^2} \right) = \frac{{{\sigma ^4}}}{{N - 2}} + \cr
& \frac{{{\alpha ^4}{{\left( {\left( {N - 2} \right)\cos \left( {2{\omega _0}} \right) + \sum\limits_{n = 1}^{n - 1} {\cos \left( {\left( {2n + 2} \right){\omega _0} + 2\phi } \right)} } \right)}^2}}}{{4{{\left( {N - 2} \right)}^2}}} + \cr
& \frac{{{\alpha ^2}{\sigma ^2}\left( {N - 2} \right) + \sum\limits_{n = 1}^{N - 2} {\cos \left( {2n{\omega _0} + 2\phi } \right)} }}{{2{{\left( {N - 2} \right)}^2}}} + \cr
& \frac{{{\alpha ^2}{\sigma ^2}\left( {\left( {N - 4} \right)\cos \left( {4{\omega _0}} \right) + \sum\limits_{n = 1}^{N - 4} {\cos \left( {\left( {2n + 4} \right){\omega _0} + 2\phi } \right)} } \right)}}{{{{\left( {N - 2} \right)}^2}}} \cr
& \frac{{{\alpha ^2}{\sigma ^2}\left( {\left( {N - 2} \right) + \sum\limits_{n = 1}^{N - 2} {\cos \left( {\left( {2n + 4} \right){\omega _0} + 2\phi } \right)} } \right)}}{{2{{\left( {N - 2} \right)}^2}}} \cr} $$
(22)
$$\eqalign{
& {\text{E}}(r_3^2) = \frac{{{\sigma ^4}}}{{N - 3}} + \cr
& \frac{{{\alpha ^4}((N - 3)\cos (3{\omega _0}) + \sum\limits_{n = 1}^{N - 3} {\cos ((2n + 3){\omega _0} + 2\Phi ){)^2}} }}{{4{{(N - 3)}^2}}} + \cr
& \frac{{{\alpha ^2}{\sigma ^2}((N - 3) + \sum\limits_{n = 1}^{N - 3} {\cos (2n} {\omega _0} + 2\Phi ))}}{{2{{(N - 3)}^2}}} + \cr
& \frac{{{\alpha ^2}{\sigma ^2}((N - 6)cos(6{\omega _0}) + \sum\limits_{n = 1}^{N - 6} {\cos ((2n} + 6){\omega _0} + 2\Phi ))}}{{{{(N - 3)}^2}}} + \cr
& \frac{{{\alpha ^2}{\sigma ^2}((N - 3) + \sum\limits_{n = 1}^{N - 3} {\cos ((2n} + 6){\omega _0} + 2\Phi ))}}{{2{{(N - 3)}^2}}} \cr} $$
(23)
$$\eqalign{
& E({r_2}{r_3}) = \cr
& \frac{{{\alpha ^4}((N - 2)\cos (2{\omega _0}) + \mathop \Sigma \limits_{n = 1}^{N - 2} \cos ((2n + 2){\omega _0} + 2\Phi ))}}{{4(N - 2)(N - 3)}} \cdot \cr
& \frac{{((N - 3)\cos (3{\omega _0}) + \mathop \Sigma \limits_{n = 1}^{N - 3} \cos ((2n + 3){\omega _0} + 2\Phi ))}}{{4(N - 2)(N - 3)}} + \cr
& \frac{{{\alpha ^2}{\sigma ^2}((N - 3)\cos ({\omega _0}) + \mathop \Sigma \limits_{n = 1}^{N - 3} \cos ((2n + 1){\omega _0} + 2\Phi ))}}{{2(N - 2)(N - 3)}} + \cr
& \frac{{{\alpha ^2}{\sigma ^2}((N - 5)\cos (5{\omega _0}) + \mathop \Sigma \limits_{n = 1}^{N - 5} \cos ((2n + 5){\omega _0} + 2\Phi ))}}{{(N - 2)(N - 3)}} + \cr
& \frac{{{\alpha ^2}{\sigma ^2}((N - 3)\cos ({\omega _0}) + \mathop \Sigma \limits_{n = 1}^{N - 3} \cos ((2n + 5){\omega _0} + 2\Phi ))}}{{2(N - 2)(N - 3)}} \cr} $$
(24)
将结果代入式(18)、(19)，通过略去高次项进行近似，得到方差的精确理论估计：
$$\eqalign{
& {\text{var}}(\mathop {{\omega _0}}\limits^ \gg ) \approx \frac{{{{\cos }^2}(3{\omega _0}) + {{\cos }^2}(2{\omega _0})}}{{SN{R^2}(N - 2)\Delta }} + \cr
& \frac{{2{{\cos }^2}(3{\omega _0})}}{{SNR(N - 2)\Delta }} + \frac{{2{{\cos }^2}(2{\omega _0})}}{{SNR(N - 3)\Delta }} + \cr
& \frac{{2(N - 6)cos(6{\omega _0})co{s^2}(3{\omega _0})}}{{SNR{{(N - 2)}^2}\Delta }} + \cr
& \frac{{2(N - 6)cos(6{\omega _0})co{s^2}(3{\omega _0})}}{{SNR{{(N - 3)}^2}\Delta }} - \cr
& \frac{{4cos{\omega _0}cos(2{\omega _0})cos(3{\omega _0})}}{{SNR(N - 2)\Delta }} - \cr
& \frac{{4cos(2{\omega _0})cos(3{\omega _0})cos(5{\omega _0})(N - 5)}}{{SNR(N - 2)(N - 3)\Delta }} \cr
& \Delta = ((2\cos (3{\omega _0})\sin (2{\omega _0}) - \cr
& 3\cos (2{\omega _0})\sin (3{\omega _0}))sin{\omega _0}{)^2} \cr} $$
(25)
当N值较大时，式(25)的后几项可以进行进一步的简化得到：
$${\mathop{\rm var}} (\mathop {{\omega _0}}\limits^ \gg ) \approx {{{{\cos }^2}(3{\omega _0}) + {{\cos }^2}(2{\omega _0})} \over {SN{R^2}(N - 2)\Delta }}$$
(26)
其结构更加清楚简洁，当然，准确程度受到相应的限制。通过图像可以清楚的对比理论误差式(25)、(26)与估计算法的数值试验的近似程度。
图1显示精确误差公式在SNR=10 dB，N=200时能够较好的匹配试验结果。但注意到式(26)在对式(25)近似时，要求合适的SNR与N值。在对SNR与N取不同值时发现理论误差公式(26)在较大的SNR与较小N值情况下，近似效果较差。
|
| 图1 SNR=10 dB，N=200时均方误差 Fig.1 MSE vs ω0 ／ π , SNR ＝ 20 dB， N ＝ 200 |
图2,图3,图4分别显示增大SNR、长度 N不变，SNR不变、N减小，SNR增大同时N减小三种情况下理论误差公式与试验情况的对比图。
|
| 图2 SNR=20 dB，N=200时均方误差 Fig.2 MSE vsω0/π，SNR=20 dB，N=200 |
|
| 图3 SNR=10 dB，N=40时均方误差 Fig.3 MSE vsω0/π，SNR=10 dB，N=40 |
|
| 图4 SNR=20 dB，N=40时均方误差 Fig.4 MSE vsω0/π，SNR=20 dB，N=40 |
通过表2，清楚的看到式(25)与式(26)的近似程度差别。虽然式(25)结构繁琐，但能够更好的逼近估计误差。在相对低SNR与高数据长度N情况下则能够用式(26)近似。相对于SNR变化，式(26)对于数据长度N变化更加敏感，这与理论分析相吻合。
| SNR=10 dB | SNR=20 dB | |
| N=200 | 好(图1) | 较差(图2) |
| N=40 | 差(图3) | 非常差(图4) |
利用计算机对本文提出的估计算法进行模拟。 并将算法与PHD算法[8]、ML算法[3]、MC算法[13]、IVPHD(improved PHD)算法[9] 、RPHD(reformed PHD)算法[10]、Rim算法[11]进行比较。最后，与CRLB限[2]进行对比。
本文中实信号CRLB限定义为:${\sigma _{{\omega _0}}} = \frac{{12}}{{{\text{SNR}} \cdot N \cdot ({N^2} - 1)}}$ 。其中${\text{SNR}} = \frac{{{\alpha ^2}}}{{2\sigma _q^2}}$，信号的幅值α=2。全部计算都利用Monte Carlo方法进行1000次计算，取平均值。
图5的比较结果显示本文提出的算法明显优于各种PHD算法及其改进IVPHD，RPHD算法等。特别的，在区间(0.35π,0.65π)，最大领先10 dB。注意到在图2,图3,图4中，IVPHD体现出过大的波动性，并且在区间(0.35π,0.65π)内明显差与本文算法(并且差于其他算法)，并在区间外呈现大幅震荡的结果，算法稳定性较差。并且，与计算量最大的Rim算法相比，算法总体上优于Rim算法，特别在区间ω0≤0.2π 和ω0≥0.8π有5 dB以上的优势，并且算法的稳定性很好。
|
| 图5 SNR=20 dB 、 N=200时各算法MSE Fig.5 MSE vsω0/π，SNR=20 dB，N=200 |
|
| 图6 SNR=10 dB 、 N=20时各算法MSE Fig.6 MSE vsω0/π，SNR=10 dB & N=20 |
图7显示本文提出的两种算法，与其他6种算法，在ω0=0.825π,N=20,=0 情况下，MSE 随SNR 变化情况。结果显示算法体现出优势。本文提出的算法全面优于MC、PHD、IVPHD、RPHD，Rim算法。特别是在SNR>10 dB情况下，算法能够接近于CLRB界，相差小于1 dB ，体现了计算量和计算精度很好的综合。
|
| 图7 ω0=0.85π,N=20时各算法MSE Fig.7 MSE vs SNR atω0=0.85π,N=20 |
本文对正弦信号频率估计问题进行研究，通过理论分析和推导，利用正弦信号的LP性质及高阶自相关函数的特点，提出基于高阶自相关的新估计算法：
1)对算法进行计算复杂度比较，相较其他算法，本文算法在计算量上的消耗较小。适用于实时情况；
2)利用泰勒展开式对算法的方差进行理论推导，给出本文算法的估计误差的精确和粗略2种闭合表达式。精确公式能够在各种条件下更准确逼近估计误差。但在N值较大情况下，结构简单的粗略形式表达满足精度要求；
3)对算法的仿真结果表明，本文算法精度性能上优于与之对比的算法，特别是在数据序列较小和中高信噪比情况下能够逼近理论界CRLB。本文提出的估计算法能够综合平衡计算精度和计算量，既能单独作为估计算法，以较小计算量满足精度需求。同时，也能作为频率估计迭代算法的合适初值，进一步提高频率估计算法的性能。
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