DOI:10.11990/jheu.201412079
, , , , , , , , 2. Beijing Institute of Space Long March Vehicle, Beijing 100191, China
近年，基于贝叶斯框架的非线性滤波和估计得到了深入研究，特别是基于高斯概率密度函数假设下的高斯近似滤波[1]。其中，扩展卡尔曼滤波(EKF)是目前应用最广泛的滤波方法，其通过对当前时刻状态估计的局部线性化来实现一阶近似，但是当系统非线性程度较高以及噪声较大时，EKF的估计性能随之下降[2]。为了提高EKF的估计性能，一类基于点的高斯近似滤波得到越来越多的关注，例如不敏卡尔曼滤波(UKF)、高斯-厄米特积分滤波(GHQF)以及容积卡尔曼滤波(CKF)等,相对于EKF，它们无需计算微分且可以获得更高阶的估计精度。在贝叶斯框架下，这些滤波方法仅在计算高斯权值积分的方式上不同，即采用的数值积分规则不同。UKF通过使用一组Sigma点经非线性函数传递后的加权和来近似状态的概率密度函数，其估计精度可以达到三阶[3, 4, 5]。但由于UKF的中心Sigma点权值为负值，容易导致滤波数值特性不稳定甚至发散。GHQF采用高斯-厄米特积分规则来近似高斯积分，可以获得任意阶的估计精度[6, 7]。但是GHQF由于积分点数和计算复杂度随着维数指数增长，容易发生维数爆炸问题，很难被应用到实际问题中[7]。针对高维系统的状态估计问题，Arasaratnam等基于三阶球面-相径容积规则提出了CKF[8, 9, 10]，并得到广泛应用[11, 12, 13, 14]。因为CKF使用的所有点权值相同且为正数，因此其值稳定性优于UKF。但是CKF估计精度仍然有限且算法存在一些缺陷。例如，CKF无法准确计算一些简单多项式函数的高斯权值积分，如x12x22，其中x1和x2是高斯随机向量函数的两个元素。为了克服CKF的缺点，需要更高阶的CKF来取得更高精度的估计结果。文献[15, 16, 17]基于Genz积分方法和矩匹配法分别推导了任意阶球面规则和相径规则，建立了可获取任意阶精度的高阶容积规则并应用于二维空间目标跟踪问题中，得到了优于传统CKF的估计精度。
本文针对CKF估计精度有限的问题提出了高阶容积卡尔曼滤波，推导了五阶球面-相径容积规则来近似高斯权值积分，在五阶容积规则的基础上建立高阶容积卡尔曼滤波算法模型和计算流程，并应用于三维空间中的机动目标跟踪系统。
1 高阶球面-相径容积规则 1.1 高斯权值积分近似方法
考虑如下非线性离散时间动力学系统：
${x_k} = f({x_{k - 1}}) + {v_{k - 1}}$
(1)
${y_k} = h({x_k}) + {w_k}$
(2)
对于高斯假设下的非线性动力学系统，将贝叶斯估计基本理论与任意阶容积规则相结合，可推导出任意阶容积卡尔曼滤波方法。任意阶CKF与其他一般的高斯近似滤波方法结构相同，但使用任意阶球面-相径容积规则来计算高斯权值积分式I=∫Rng(x)N(x;0,I)dx的近似值。 其中，g(x)为一般非线性函数，N(x;0,I)表示零均值、协方差为I的高斯分布。
在容积规则中，考虑如下积分[9]：
| $I(g) = \int_{{{\text{R}}^n}} {g(x)\exp ( - x{\text{T}}x){\text{dx}}} $ | (3) |
令x=rs，则式(3)可转换到球面-相径的坐标系统中，有
$I(g) = \int_0^\infty {\int_{{U_n}} {g(rs){r^{n - 1}}\exp ( - {r^2}} } ){\text{d}}\sigma (s)dr$
(4)
容易看出，式(4)包含两种积分：球面积分$\int_{{U_n}} {{g_s}} d\sigma (s)$和相径积分$\int_0^\infty {{g_r}{{(r)}^{n - 1}}\exp ( - {r^2})dr} $，权重函数分别是${w_g}(s) = 1$和${w_g}(r) = {(r)^{n - 1}}\exp ( - {r^2})$。容积卡尔曼滤波的球面-相径容积规则就是基于这两种积分的结合[8, 9, 10]，则式(4)可近似表达为
$\sum\limits_{i = 1}^{{N_r}} {\sum\limits_{j = 1}^{{N_s}} {{w_r},{w_{s,j}}g({r_i}{s_j})} } $
(5)
| $\int_{{{\text{R}}^n}} {g(x)N(x;0,I} )dx \approx \frac{1}{{{\pi ^{n/2}}}}\sum\limits_{i = 1}^{{N_r}} {\sum\limits_{j = 1}^{{N_s}} {{w_{r,i}}} } {w_{s,j}}g(\sqrt 2 {r_i}{s_j})$ | (6) |
采用不同阶数的容积规则，并根据该规则选取不同容积点和权值，式(6)可得到不同的积分结果。目前，三阶球面-相径容积规则已经得到广泛的关注，下面给出五阶球面-相径容积规则。
1.2 五阶球面-相径容积规则
文献[15, 16]对球面规则进行了详细推导。由Genz积分方法[18, 19]，五阶球面规则满足:
$\begin{gathered}
{I_{{U_n}}},5({g_s}) = {\varpi _{s1}}\sum\limits_{j = 1}^{n(n - 1)/2} {(({g_s}(s_j^ + } ) + gs( - s_j^ + ) + {g_s}(s_j^ - ) + \hfill \\
{g_s}(s_j^ - )) + {\varpi _{s2}}\sum\limits_{j = 1}^n {({g_s}(} {e_j}) + {g_s}( - {e_j})) \hfill \\
\end{gathered} $
(7)
$\{ s_j^ - \} = \{ \sqrt {1/2} ({e_k} + {e_l}):k ＜ l,k,l = 1,2, \cdot \cdot \cdot ,n\} $
(8)
$\{ s_j^ + \} = \{ \sqrt {1/2} ({e_k} + {e_l}):k ＜ l,k,l = 1,2, \cdot \cdot \cdot ,n\} $
(9)
${\varpi _{s1}} = {A_n}/n(n + 2)$
(10)
${\varpi _{s2}} = (4 - n){A_n}/n(n + 2)$
(11)
| $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{w_{r,1}}r_1^0 + {w_{r,2}}r_2^0 = \Gamma (n/2)/2} \\ {{w_{r,1}}r_1^2 + {w_{r,2}}r_2^2 = n\Gamma (n/2)/4} \\ {{w_{r,1}}r_1^4 + {w_{r,2}}r_2^4 = (n/2)(n/2) + 1)\Gamma (n/2)/2} \end{array}} \right.$ | (12) |
选择r1为自由变量并令r1=0，解式(12)，可得五阶相径规则的点和权值为
| $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{r_1} = 0} \\ {{r_2} = \sqrt {n/2 + 1} } \end{array}} \right.$ | (13) |
| $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{w_{r,1}} = n\Gamma (n/2)(n + 2)} \\ {{w_{r,2}} = n\Gamma (n/2)(2(n + 2))} \end{array}} \right.$ | (14) |
结合式(6)、(7)、(13)和(14)，可以得到满足分布为x,～N(x;0,I)的五阶球面-相径容积规则Nr=2,Ns=2n2：
$\begin{gathered}
\int_{{R^n}} {g(x)N(x;0,I){\text{d}}x \approx \frac{1}{{{\pi ^{n/2}}}}} \sum\limits_{i = 1}^{{N_r}} {\sum\limits_{j = 1}^{{N_s}} {{w_{r,i}}{w_{s,j}}g(2{r_i}{s_j}) = } } \hfill \\
\frac{2}{{n + 2}}g(0) + \frac{1}{{{{(n + 2)}^2}}}\sum\limits_{j = 1}^{n(n - 1)/2} {[g(\beta \cdot s_j^ + } ) + g( - \beta \cdot s_j^ + )] + \hfill \\
\frac{1}{{{{(n + 2)}^2}}}\sum\limits_{j = 1}^{n(n - 1)/2} {[g(\beta \cdot s_j^ - } ) + g( - \beta \cdot s_j^ - )] + \hfill \\
\frac{{4 - n}}{{2{{(n + 2)}^2}}}\sum\limits_{j = 1}^n {[g(\beta \cdot {e_j}} ) + g( - \beta \cdot {e_j})] \hfill \\
\end{gathered} $
(15)
对于更一般的高斯分布N(x;${\hat x}$,P)，五阶球面-相径容积规则如下：
$\begin{gathered}
\int_{{R^{_n}}} {g(x)N(x;\hat x,P){\text{d}}x} = \int_{{R^{_n}}} {g(sx + \hat x)N(x;0,I){\text{d}}x} \approx \hfill \\
\frac{1}{{{{(n + 2)}^2}}}\sum\limits_{j = 1}^{n(n - 1)/2} {[g(\beta S \cdot s_j^ + } + \hat x) + \hfill \\
[g( - \beta S \cdot s_j^ + + \hat x)] + \hfill \\
\frac{1}{{{{(n + 2)}^2}}}\sum\limits_{j = 1}^{n(n - 1)/2} {[g(\beta S \cdot s_j^ - } + \hat x) + \hfill \\
[g( - \beta S \cdot s_j^ - + \hat x)] + \hfill \\
\frac{{4 - n}}{{2{{(n + 2)}^2}}}\sum\limits_{j = 1}^n {[g(\beta S \cdot {e_j}} + \hat x) + \hfill \\
g( - \beta S \cdot {e_j} + \hat x)] + \frac{{2g(\hat x)}}{{n + 2}} \hfill \\
\end{gathered} $
(16)
根据式(8)、(9)、(13)、(14)、(16)可得到高阶容积卡尔曼滤波HCKF(五阶)的具体实现步骤。HCKF算法步骤同三阶CKF算法基本相同，只是在积分点和权值选取上有区别，HCKF采用2n2+1个容积点。针对非线性系统(1)~(2)，假设k时刻的状态向量x满足xk～N(xk;${\hat x}$k,Pk)，则HCKF具体算法如下：
1)计算容积点xk,i(i=0,1,…,2n2)。
xk,i=${\hat x}$k+Skξi
(17)
${\xi _i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{[00 \cdot \cdot \cdot 0]}^{\text{T}}},i = 0} \\
{\beta S_j^ + ,i = 1,2, \cdot \cdot \cdot n(n - 1)/2} \\
{ - \beta S_{i - n(n - 1)/2}^ + ,} \\
{i = n(n - 1)/2 + 1,n(n - 1)/2 + 2, \cdot \cdot \cdot ,n(n - 1)} \\
{\beta S_{i - n(n - 1)}^ - ,} \\
{i = n(n - 1) + 1,n(n - 1) + 2, \cdot \cdot \cdot ,3n(n - 1)/2} \\
{ - \beta S_{i - 3n(n - 1)/2}^ - ,} \\
{i = 3n(n - 1)/2 + 1,3n(n - 1)/2 + 2, \cdot \cdot \cdot ,2n(n - 1)} \\
{\beta e_{i - 2n(n - 1)}^{},} \\
{i = 2n(n - 1) + 1,2n(n - 1) + 2, \cdot \cdot \cdot ,n(2n - 1)} \\
{ - \beta e_{i - n(2n - 1)}^{},} \\
{i = n(2n - 1) + 1,n(2n - 1) + 2, \cdot \cdot \cdot ,2{n^2}}
\end{array}} \right.$
(18)
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{s_j^ + = \sqrt {1/2} ({e_p} + {e_q}),p ＜ q,pq = 1,2, \cdot \cdot \cdot ,n} \\
{s_j^ - = \sqrt {1/2} ({e_p} + {e_q}),p ＜ q,pq = 1,2, \cdot \cdot \cdot ,n}
\end{array}} \right.$
(19)
2)计算经状态方程传递后的容积点χk+1/k,i:
| ${x_{k + 1/k,i}} = f({x_{k,i}})$ | (20) |
3)计算k+1时刻的状态预测值${{\hat x}_{k + 1/k}}$:
${{\hat x}_{k + 1/k}} = \sum\limits_{i = 0}^{2n2} {{w_i}{x_{k + 1/k,i}}} $
(21)
| ${w_i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2/n + 2,i = 0} \\ {1/{{(n + 2)}^2},i = 1,2 \cdot \cdot \cdot ,2n(n - 1)} \\ {(4 - n)/{{(n + 2)}^2},} \\ {i = 2n(n - 1) + 1,2n(n - 1) + 2, \cdot \cdot \cdot ,2{n^2}} \end{array}} \right.$ | (22) |
4)估计k+1时刻的状态误差协方差阵Pk+1/k。
| ${\sum\limits_{i = 0}^{2n2} {{w_i}({x_{k + 1/k,i}} - {{\hat x}_{k + 1/k}}){{({x_{k + 1/k,i}} - {{\hat x}_{k + 1/k}})}^T} + {Q_k}} }$ | (23) |
5)计算更新后的状态容积点xk+1/k,i: 其中，${P_{k + 1/k}} = {S_{k + 1/k}}S_{k + 1/k}^{\text{T}}$。
| ${x_{k + 1/k,i}} = {S_{k + 1/k}}{\xi _i} + {{\hat x}_{k + 1/k}},i = 0,1, \cdot \cdot \cdot ,2{n^2}$ | (24) |
6)计算经过测量方程传递的容积点yk+1,i：
yk ＋1，i ＝ h（xk ＋1／ k，i ）
(25)
7)计算k+1时刻的测量预测值${\hat y}$k+1：
${{\hat y}_{k + 1}} = \sum\limits_{i = 0}^{2n2} {{w_i}{y_{k + 1,i}}} $
(26)
8)估计k+1时刻的测量误差协方差阵Pk+1yy和一步预测互相关协方差阵Pk+1/kxy：
$P_{k + 1}^{yy} = \sum\limits_{i = 0}^{2n2} {{w_i}({y_{k + 1,i}}} - {{\hat y}_{k + 1}}){({y_{k + 1,i}} - {{\hat y}_{k + 1}})^{\text{T}}} + {R_k}$
(27)
$P_{k + 1}^{yy} = \sum\limits_{i = 0}^{2n2} {{w_i}({x_{k + 1/k,i}}} - {{\hat x}_{k + 1/k}}){({y_{k + 1,i}} - {{\hat y}_{k + 1}})^{\text{T}}}$
(28)
9)计算k+1时刻的滤波增益矩阵Kk+1：
| ${K_{k + 1}} = P_{k + 1/k}^{xy}{(P_{k + 1}^{yy})^{ - 1}}$ | (29) |
10)计算k+1时刻的状态估计值${\hat x}$k+1：
${{\hat x}_{k + 1}} = {{\hat x}_{k + 1/k}} + {K_{k + 1}}({y_{k + 1}} - {{\hat y}_{k + 1}})$
(30)
11)估计k+1时刻的状态误差协方差阵Pk+1。
${P_{k + 1}} = {P_{k + 1/k}} - {K_{k + 1}}P_{k + 1}^{yy}K_{k + 1}^{\text{T}}$
(31)
给定初始条件${\hat x}$0|0,P0|0，按照以上计算流程即可进行高阶容积滤波。
3 数值仿真为了表明高阶容积卡尔曼滤波算法的优越性能，将高阶容积滤波(五阶CKF)应用到三维空间中的目标跟踪系统中，并与不敏卡尔曼滤波(UKF)和传统容积滤波(三阶CKF)进行对比。
定义地面坐标系o-xyz的原点位于地面，ox指向东向，oy指向北向，oz与ox和oy成右手系，指向天向。假设目标在坐标系o-xyz中等高度机动飞行，目标跟踪系统动力学模型如下[9, 16, 17]： ${X_k} = f({X_{K - 1}}) + {v_{k - 1}}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} 1&{\frac{{\sin (\Omega T)}}{\Omega }}&0&{\frac{{ - \cos (\Omega T)}}{\Omega }}&0&0&0 \\ 0&{\cos (\Omega T)}&0&{ - \sin (\Omega T)}&0&0&0 \\ 0&{\frac{{1 - \cos (\Omega T)}}{\Omega }}&1&{\frac{{\sin (\Omega T)}}{\Omega }}&0&0&0 \\ 0&{\sin (\Omega T)}&0&{\cos (\Omega T)}&0&0&0 \\ 0&0&0&0&1&T&0 \\ 0&0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0&1 \end{array}} \right]{X_{k - 1}} + {v_{k - 1}}$ 式中：${X_k} = {\left[ {x\dot xy\dot yz\dot z\Omega } \right]^{\text{T}}}$为k时刻的目标状态，${\left[ {xyz} \right]^{\text{T}}}$和${\left[ {\dot x\dot y\dot z} \right]^{\text{T}}}$分别为目标的位置和速度矢量；Ω为目标转弯角速度且未知；T为连续两次测量的时间间隔；vk－1为零均值的系统高斯白噪声，其协方差为Qk－1。Q=diag(M1,M1,M1,M2) 式中：$M1 = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{q_1}{T^3}/3}&{{q_1}{T^2}/2} \\ {{q_1}{T^2}/2}&{{q_1}T} \end{array}} \right]$,M2=q2T,q1和q2是与系统噪声强度相关的标量。
假设测量雷达固定在地面坐标系原点，获取对目标的相对距离r、高低角η和方位角θ信息。假设目标的测量向量为y=[r θ η]T，满足：$\begin{gathered} {y_k} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{r_k}} \\ {{\theta _k}} \\ {{\eta _k}} \end{array}} \right] = h({X_k}) + {w_k} = \hfill \\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt {x_k^2 + y_k^2 + z_k^2} } \\ {a\tan ({y_k}/{x_k})} \\ {a\tan ({z_k}/\sqrt {x_k^2 + y_k^2} } \end{array}} \right] + {w_k} \hfill \\ \end{gathered} $ 式中：w为测量噪声，其协方差阵R为$R = {\text{diag}}(\sigma _r^2,\sigma _\theta ^2,\sigma _\beta ^2)$ 式中σr、σθ、σβ是雷达测量噪声的标准差。
仿真进行100次蒙特卡洛打靶实验，并令每次打靶的初始状态估计${\hat X}$0|0由满足均值为X0、协方差为P0|0的高斯正态分布N(${\hat X}$0;${\hat X}$0|0,P0|0)随机生成。同时，采用UKF、三阶CKF与五阶CKF三种滤波方法对目标跟踪并对位置均方根误差、速度均方根误差和转速均方根误差进行对比。定义位置均方根误差为$\sqrt {\frac{{\sum\limits_{i = 1}^N {({{(x_k^i - \hat x_k^i)}^2} + {{(y_k^i - \hat y_k^i)}^2} + {{(z_k^i - \hat z_k^i)}^2})\frac{1}{2}} }}{2}} $式中：(xki,yki,zki)和(${\hat x_k^i}$,${\hat y_k^i}$,${\hat z_k^i}$)分别是第i次打靶中第k时刻的目标真实位置分量和估计值，N为打靶次数。同理可得速度均方根误差RMSEvel和转速均方根误差RMSEomg。在每一次打靶中所有滤波方法的初始状态相同，打靶时间为100 s。
图1为目标飞行的平面轨迹和雷达位置，“I”表示轨迹起点，“F”表示轨迹终点，“★”为雷达位置。图2,图3,图4分别给出了三种滤波方法对目标位置估计均方差、速度估计均方差和转速估计均方差的对比结果。由于0~40 s内三种滤波方法得到估计结果差别不大，故没有显示在图2,图3,图4中。由仿真结果可知，三阶CKF与UKF的估计精度较为接近并且三阶CKF精度稍高于UKF。五阶CKF的估计精度均高于UKF和三阶CKF，且数值稳定性更好。说明高阶球面-相径容积规则可以较大提高高斯权值积分的计算精度，进而提高滤波精度，体现了高阶球面-相径容积规则在估计精度方面的优越性。
|
| 图1 目标飞行的平面轨迹和雷达位置 Fig.1 The plane trajectory of the target and the radar's position |
|
| 图2 目标位置的估计均方根误差 Fig.2 The RMSE of the target position estimation |
|
| 图3 目标速度的估计均方根误差 Fig.3 The RMSE of the target velocity estimation |
|
| 图4 目标转速的估计均方根误差 Fig.4 The RMSE of the target turn rate estimation |
| 参数项 | 取值 |
| 基本仿真参数 | T=1,q1=0.1 m2/s3，Ω=－3 (°)/s，q2=1.75×10－4/s3 |
| 测量噪声标准差 | σr=10 m，σθ=$\sqrt {10} $mrad，ση=$\sqrt {10} $mrad |
| 目标初始状态X0 | X0=[1 000 m 300 m/s 1 000 m 0 m/s 2 000 m 0 m/s －3(°)/s]T |
| 初始状态协方差矩阵P0|0 | P0|0=diag(100 m2,10 m2/s2,100 m2,10 m2/s2,100 m2,10 m2/s2,100 (mrad/s)2) |
图5对比了10次随机打靶中各滤波方法计算所消耗的CPU时间。其中三阶CKF采用的容积点数最少，为14个容积点，因此算法计算量最小、运行时间最短。而基于高阶球面-相径容积规则的五阶CKF由于在时间更新和测量更新计算中采用99个容积点，提高了计算复杂度，因此算法运算时间最长。
|
| 图5 3种滤波方法的执行时间 Fig.5 Execution time of the three methods |
表2给出了三种滤波方法对目标位置、速度、转速的均方根误差均值以及算法的容积点数和平均执行时间。
| 参数项 | UKF | 三阶CKF | 五阶CKF |
| 位置精度/m | 17.38 | 16.66 | 14.82 |
| 速度精度/(m·s-1) | 8.55 | 7.95 | 6.04 |
| 转速精度/((°)·s-1) | 0.99 | 0.92 | 0.86 |
| 积分点数 | 15 | 14 | 99 |
| 平均执行时间/s | 0.042 | 0.036 | 0.242 |
可以清楚看到，五阶CKF的估计精度明显优于其他两种滤波方法。但是相对于UKF和三阶CKF，五阶CKF采用的容积点数较多，运算时间较长。由此可知，五阶CKF在取得较高估计精度的同时，计算量的代价相对较大，特别是在系统状态向量维数n较高的情况下，其使用的容积点数几乎是三阶CKF的n倍。因此，五阶CKF适用于滤波时间间隔较长或对滤波实时性要求不高的高精度滤波系统中。此次仿真中五阶CKF算法的运算时间与滤波时间间隔相差较大，可以满足实时性需求。
4 结论本文针对传统容积卡尔曼滤波估计精度有限的问题，在基于点的高斯近似滤波框架下，提出高阶容积卡尔曼滤波算法HCKF。该算法采用Genz积分方法和矩匹配法分别推导出任意阶的球面规则和相径规则，以此构造高阶球面-相径容积规则。通过数学仿真可以得出以下结论：
1)对于三维空间中的机动目标跟踪问题，高阶CKF可获得优于UKF和传统CKF的估计精度和数值稳定性，表明高阶球面-相径容积规则可以较大提高高斯权值积分的计算精度，进而提高滤波精度，体现了高阶球面-相径容积规则在估计精度方面的优越性。
2)由于HCKF采用的容积点数量为2n2+1(n为状态向量维数)，可知当状态向量维数较大时，采用的容积点较多，计算量相对CKF和UKF较大。因此，作者的下一个研究思路是通过降低状态向量维数或观测向量维数的方法在保持HCKF估计精度的同时明显减小算法计算量。
3)本文研究的HCKF是基于五阶球面-相径容积规则。实际上，采用不同阶数的球面规则和相径规则，就可以得到不同精度的容积规则。因此，一个可行的研究思路是设计更高阶的球面-相径容积滤波算法并对其分析。
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