随着浅水处的油气逐渐被耗尽，对深水域的开发变得特别的重要。立管起着连接平台和海底井口的作用。立管作为连接海面与海底的一种通道，是现代海洋工程结构系统中的重要组成部分，同时也是薄弱易损的构件之一。立管有很多的技术难题，尤其像超水深立管，它们主要应用在恶劣的海况条件下^[1]。超深水立管有很复杂的动力特征。当参数激励共振发生时，立管会由于过大压力或发生明显疲劳时，导致石油汽溢出并引发环境的污染和巨大的经济损失^{[2, 3]}。最近，研究主要集中于海洋结构的参数激励的不稳定性，例如船的横摇参数激励和spar平台、张力腿的筋腱和立管的参数激励^{[4, 5, 6, 7]} 。在研究当中，假设施加的运动是简谐的并且参考马蒂厄方程。然而，在规则波的作用下研究参数激励只能体现系统的一般运动，这与其在实际随机海况下的运动是完全不同的。

参数激励的不稳定性确实会发生在不规则波中。近几年中，多艘现代船型都经历了由于参数横摇所引起的严重事故^[8]。前人在做张紧立管的振动研究时，主要集中到筋腱或立管的研究中所讨论的参数共振或马蒂厄不稳定性都是在假设张力振动或顶部运动为简谐运动，只是输入简单的三角函数，或者是将不规则波简化为一系列的规则波叠加的形式作为顶部张力的输入函数。这样不能真实的反应出立管的顶部张力的变化情况。实际情况是波浪作用在与顶部张紧力管直接连接的浮式平台上。造成平台的运动，之后平台的运动在带动顶部张紧力管的运动。本文则是计算了平台在不规则波作用下运动情况，并将其作为顶部张紧立管张力的输入函数，计算了顶部张紧立管的稳定性曲线。同时，本文在计算过程中独立推导出在不规则波作用下顶部张紧立管的稳定性曲线的经验公式。

1 理论及方法 1.1 运动响应谱理论

张力腿平台在遭遇不规则波作用时，平台会发生垂荡运动响应。垂荡运动的谱密度为本文所研究的运动响应谱。垂荡运动的运动响应谱计算公式为

$ {S_3}\left( w \right) = S\left( w \right) \cdot {\left| {{f_3}\left( w \right)} \right|^2} $

(1)

式中：S(ω)为不规则波PM谱，|f₃(ω)|为张力腿平台垂荡运动的传递函数。传递函数可以通过SESAM程序软件计算得出。

本文中研究的不规则波谱密度为PM谱。在给出有义波高H_1/3和波浪谱峰周期T_p的情况下，PM波谱的谱密度如图 1所示。S(ω)为

$ S\left( w \right) = A{w^{ - 5}}{{\rm{e}}^{ - Bw - 4}} $

(2)

式中:A=123.9H_s²T^-4,B=495.8T^-4,T=0.711T_p。

因此，在分别得到张力腿平台的垂荡运动的传递函数和不规则波PM谱时，可以直接得出张力腿平台在相应的不规则波作用下垂荡运动的运动响应谱。

不规则波可以由无限多个单元规则波叠加而成，所以在频率由ω_n～ω_n+dω的平均波能，即波能谱密度为

$ S\left( {{w_n}} \right) = \frac{1}{{{\rm{d}}w}}\sum\limits_{{w_n}}^{{w_n} + {\rm{d}}w} {\frac{1}{2}{a_n}^2} $

(3)

如果dω足够小，可以认为波浪频率为ω_n的单元规则波的波幅为a_n。则垂荡运动的运动响应谱与单元规则波幅a_n和波浪频率ω_n的关系式:

$ {S_3}\left( {{w_n}} \right) = \frac{1}{{{\rm{d}}w}}\sum\limits_{{w_n}}^{{w_n} + {\rm{d}}w} {\frac{1}{2}\left( {{a_n}{{\left| {{f_3}\left( {{w_n}} \right)} \right|}^2}} \right)} $

(4)

则张力腿平台在不规则波作用下的垂荡运动的运动响应谱S₃(ω)也可以用无限多个单元规则波叠加而成。令b_n=a_n·|f₃(ω_n)|。因此，顶部张紧立管的顶端在不规则波作用下的参数激励可以表示为

$ \xi \left( t \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}\cos \left( {{w_n}t + {\varepsilon _n}} \right)} $

(5)

式中：单元规则波的波频ω_n与不规则波对应的计算结果相同。

1.2 顶部张紧立管运动响应分析 1.2.1 顶部张紧立管振动模型的建立

当张力腿平台遭遇不规则波作用时，张紧立管的顶部会随着平台的运动而运动。海洋立管顶端通过升沉补偿装置(张紧器)与平台相连，张紧器有2个主要作用：1)给立管提供较大的静顶张紧力，它提供的静张紧力一般设为立管湿重的1.2~1.6倍；2)避免平台升沉产生巨大的时变轴向力，实际上相当于一个连接立管和平台的弹簧。如图 2所示。

将顶部张紧立管假设成浸入水中的一根顶部具有很大张力的细长梁^[10]。立管顶部铰接平台，立管底部固定在土壤中。立管放置于稳定的均匀流中，并且波浪和流的方向不变。

根据基尔霍夫假说，顶部张紧立管的四阶微分平衡方程为^[10]

$ \begin{matrix} M\frac{{{\partial }^{2}}v\left( z,t \right)}{\partial {{t}^{2}}}-f\left( z,t \right)+EI\frac{{{\partial }^{4}}v\left( z,t \right)}{\partial {{t}^{4}}}- \\ \frac{\partial }{\partial z}\left[{{T}_{0}}+\vartriangle k\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{b}_{n}}\cos \left( {{w}_{n}}t+{{\varepsilon }_{n}} \right)\frac{\partial v\left( z,t \right)}{\partial z}} \right]=0 \\ \end{matrix} $

(5)

式中：v(z,t)为立管在水平方向上的位移，立管质量M为单位长度的立管质量，包括立管的材料质量、附加质量和内部流体质量组成，定义为

$ M=\pi Dh{{\rho }_{s}}+0.25\pi {{D}^{2}}{{\rho }_{w}}+{{\rho }_{i}}{{A}_{i}} $

(6)

式中：D为管径，h为壁厚，ρ_s为材料的密度，ρ_w为海水密度，ρ_i为内部流体密度，A_i为内径面积。

式(5)等号左边第2个非线性项为在考虑流的影响时，立管所遭遇的阻尼f(z,t)，定义为

$ f\left( z,t \right)=-0.5{{C}_{d}}{{\rho }_{w}}D\left| \frac{\partial v}{\partial t} \right|\frac{\partial v}{\partial t} $

(7)

式中：C_d为水动力阻尼系数。

式(5)等号左边的第4项为张力T对立管的影响，式中：T₀为立管的静张力，Δk为立管顶端的张力系数。因为张力变化频率与平台垂荡频率相同，则b_n和w_n分别为式(5)的计算结果，φ_n为随机项。

1.2.2 参激振动方程的建立

根据顶部张紧力立管的振动模型，式(5)的边界条件给定如下

$ \left\{ \begin{matrix} v\left( z,t \right)\left| _{z=0}={{v}_{\text{plat}}}\left( t \right) \right. \\ \frac{{{\partial }^{2}}v\left( z,t \right)}{\partial {{z}^{2}}}\left| _{z=0}=0 \right. \\ \end{matrix} \right. $

(8)

式中：v_plat(t)为平台的水平位移。

依据Galerkin的方法，设式(5)解的形式为

$ v\left( z,t \right)=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{q}_{n}}\left( t \right)\sin \left( n\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }z/L \right)} $

(9)

式中：sin(nπz/L)为模态分析中的特征函数，q_n(t)为时间函数。

为了方便处理阻尼的平方项，对式(7)做线性化处理^[11]，得

$ f\left( z,t \right)=-\frac{32}{9{{\pi }^{2}}}{{C}_{d}}{{\rho }_{w}}D{{V}_{nm}}\frac{\partial v}{\partial t}\ $

(10)

式中：V_nm为立管n阶模态的运动速度。

将式(9)代入立管在不规则波和流联合作用下的动力式(5)中，并结合立管在无外激励下的动力平衡方程做进一步化简，得

$ \begin{matrix} \sum\limits_{n}{\left[M\left( {{{\ddot{q}}}_{n}}\left( \tau \right)\vartriangle {{w}^{2}}+\Omega _{n}^{2}{{q}_{n}}\left( \tau \right) \right){{\varphi }_{n}}\left( z \right)+{c}'\varphi \left( z \right){{{\dot{q}}}_{n}}\left( \tau \right)\vartriangle w- \right.} \\ \left. \vartriangle k\frac{\partial }{\partial z}\left( \left( \sum\limits_{m}{\left. \left. {{b}_{m}}\cos \left( m\pi +{{\varphi }_{m}} \right) \right){{{{\varphi }'}}_{n}}\left( z \right) \right){{q}_{n}}\left( \tau \right)} \right. \right) \right]=0 \\ \end{matrix}\ \ $

(11)

式中：τ=Δωt,Δω为频率最小步长，φ_n(z)=sin(nπz/L)，Ω_n为立管自然频率，即Ω_n²=EIn⁴π⁴/L⁴+T₀n²π²/L²/M,c^′为阻尼系数，即c^′=32c_dρ_wDV_nm/(9π²)。

再将式(11)的两边乘以φ_n(z)后沿立管从z=0到z=L积分，化简得

$ \begin{matrix} \begin{matrix} M\left( {{{\ddot{q}}}_{n}}\left( \tau \right)\vartriangle {{w}^{2}}+\Omega _{n}^{2}{{q}_{n}}\left( \tau \right) \right)\int_{0}^{L}{{{\varphi }_{n}}^{2}\left( z \right)\text{d}z+} \\ {c}'\int_{0}^{L}{{{\varphi }_{n}}^{2}\left( z \right)\text{d}z{{{\dot{q}}}_{n}}\left( \tau \right)\vartriangle w-\left( \vartriangle k\sum\limits_{m}{{{b}_{m}}\cos \left( m\tau +{{\varphi }_{m}} \right)} \right).} \\ \end{matrix} \\ \int_{0}^{L}{{{\varphi }_{n}}\left( z \right){{{{\varphi }''}}_{n}}\left( z \right)\text{d}z{{q}_{n}}\left( \tau \right)=0} \\ \end{matrix} $

(12)

将式φ_n(z)=sin(nπz/L)代入式(12),并做进一步化简得

$ \begin{matrix} M{{{\ddot{q}}}_{n}}\left( \tau \right)\vartriangle {{w}^{2}}+{c}'{{{\dot{q}}}_{n}}\left( \tau \right)\vartriangle w+ \\ \left[M\Omega _{n}^{2}-\left( \sum\limits_{m}{{{b}_{m}}\cos \left( m\tau +{{\varphi }_{m}} \right)} \right)\frac{\vartriangle k{{n}^{2}}{{\pi }^{2}}}{{{L}^{2}}} \right]{{q}_{n}}\left( \tau \right)=0 \\ \end{matrix} $

(13)

式(13)为Hill型参数激励振动平衡方程^[12]。直接计算式(13)使结果出现长期项(即永年项)^[13]，会出现较大误差。

令q_n(τ)=exp(-c^′τ/(2M))g(τ)，将该式代入式(14)得：

$ \begin{matrix} \ddot{g}\left( \tau \right)+ \\ \left[\frac{\Omega _{n}^{2}}{\vartriangle {{w}^{2}}}-\frac{{{{{c}'}}^{2}}}{4{{M}^{2}}\vartriangle {{w}^{2}}}-\left( \sum\limits_{m}{{{b}_{m}}\cos \left( m\tau +{{\varphi }_{m}} \right)} \right)\frac{\vartriangle k{{n}^{2}}{{\pi }^{2}}}{\vartriangle {{w}^{2}}M{{L}^{2}}} \right]\cdot \\ g\left( \tau \right)=0 \\ \end{matrix} $

(14)

取

$ \bar{w}=\frac{\Omega _{n}^{2}}{\vartriangle {{w}^{2}}}-\frac{{{{{c}'}}^{2}}}{4{{M}^{2}}\vartriangle {{w}^{2}}};\bar{\varepsilon }\text{=-}\frac{\vartriangle k{{n}^{2}}{{\pi }^{2}}}{2\vartriangle {{w}^{2}}M{{L}^{2}}} $

(15)

则式(14)表示为

$ \ddot{g}\left( \tau \right)+\left[\bar{w}+2\bar{\varepsilon }\sum\limits_{m}{{{b}_{m}}\cos \left( m\tau +{{\varphi }_{m}} \right)} \right]g\left( \tau \right)=0 $

(16)

1.2.3 参激振动方程的求解

应用小参数L-P法，把式(16)的解g(t)和${\bar{w}}$展开为

$ g\left( \tau \right)={{g}_{0}}\left( \tau \right)+\bar{\varepsilon }{{g}_{1}}\left( \tau \right)+{{{\bar{\varepsilon }}}^{2}}{{g}_{2}}\left( \tau \right)+\ldots \ \ \ $

(17)

$ \bar{w}={{{\bar{w}}}_{0}}+\bar{\varepsilon }{{{\bar{w}}}_{1}}+{{{\bar{\varepsilon }}}^{2}}{{{\bar{w}}}_{2}}+\ldots \ $

(18)

将式(17)、(18)代入式(16)，并以${\bar{\varepsilon }}$的次幂排列标准，令${\bar{\varepsilon }}$同次幂的系数为零，得到以下方程组：

$ {{{\ddot{g}}}_{0}}+{{{\bar{w}}}_{0}}{{g}_{0}}=0\ $

(19)

$ \begin{matrix} {{{\ddot{g}}}_{1}}+{{{\bar{w}}}_{0}}{{g}_{1}}= \\ -{{{\bar{w}}}_{1}}{{g}_{0}}-2{{g}_{0}}\sum\limits_{m}{{{b}_{m}}\cos \left( m\tau +{{\varphi }_{m}} \right)} \\ \end{matrix}\ $

(20)

$ {{{\ddot{g}}}_{2}}+{{{\bar{w}}}_{0}}{{g}_{2}}=-{{{\bar{w}}}_{2}}{{g}_{0}}-{{{\bar{w}}}_{1}}{{g}_{1}}-2{{g}_{1}}\sum\limits_{m}{{{b}_{m}}\cos \left( m\tau +{{\varphi }_{m}} \right)} $

(21)

式(19)的解必须是周期为π或2π的周期函数，即

$ {{g}_{0}}=x\cos \left( n\tau +\delta \right)+y\sin \left( n\tau +\xi \right)\ \ n=0,1,2\ldots $

(22)

式中：δ和ζ分别为随机变量。

将式(22)代入式(19)得

$ {{{\bar{w}}}_{0}}={{n}^{2}}\ $

(23)

n=0时，ω-₀=0，则g₀=xcosδ+ysinζ。于是

$ \begin{matrix} {{{\ddot{g}}}_{1}}=-x{{{\bar{w}}}_{1}}\cos \delta -y{{{\bar{w}}}_{1}}\sin \xi - \\ 2\left( x\cos \delta +y\sin \xi \right)\sum\limits_{m}{\frac{{{b}_{m}}}{{{m}^{2}}}\cos \left( m\tau +{{\varepsilon }_{m}} \right)} \\ \end{matrix} $

(24)

因为g₁是周期函数，所以4">\begin{document}${{{\bar w}_1}}$=0。化简式(24),并将g₁代入式(20)得

$ \begin{matrix} {{{\ddot{g}}}_{2}}=-{{{\bar{w}}}_{2}}\left( x\cos \delta +y\sin \xi \right)-2\left( x\cos \delta +y\sin \xi \right)\cdot \\ \sum\limits_{m}{\sum\limits_{k}{\frac{{{b}_{m}}{{b}_{k}}}{{{m}^{2}}}\left[\cos \left( m\tau +k\tau +{{\varepsilon }_{m}}+{{\varepsilon }_{k}} \right)+ \right.}} \\ \cos \left( m\tau -k\tau +{{\varepsilon }_{m}}-{{\varepsilon }_{k}} \right) \\ \end{matrix} $

(25)

同理，令m=k时，消去长期项，得到的边界曲线为

$ {{{\bar{w}}}_{2}}=-2\sum\limits_{m}{\frac{{{b}^{2}}_{m}}{{{m}^{2}}}\ \ } $

(26)

n≠0时，式(19)的通解为式(22)。将式(22)代入式(20)得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{\ddot g}_1} + {n^2}{g_1} = - {{\bar w}_1}\left[{x\cos \left( {n\tau + \delta } \right) + y\sin \left( {n\tau + \xi } \right)\;} \right] - }\\ {2\left[{x\cos \left( {n\tau + \delta } \right) + y\sin \left( {n\tau + \xi } \right)\;} \right] \cdot }\\ {\sum\limits_m {{b_m}\cos \left( {m\tau + {\varphi _m}} \right)} } \end{array} $

(27)

对式(27)做化简得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\ddot g}_1} + {n^2}{g_1} = - x\left[{{{\bar w}_1}\cos \left( {n\tau + \delta } \right) + } \right.}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_m {{b_m}\cos \left( {m\tau + n\tau + {\varepsilon _m} + \delta } \right) + } }\\ {\left. {\sum\limits_m {{b_m}\cos \left( {m\tau - n\tau + {\varepsilon _m} - \delta } \right)} } \right] - } \end{array}}\\ {y\left[{{{\bar w}_1} + \sin \left( {n\tau + \xi } \right) + } \right.} \end{array}}\\ {\sum\limits_m {{b_m}\sin \left( {m\tau + n\tau + {\varepsilon _m} + \xi } \right) - } }\\ {\left. {\sum\limits_m {{b_m}\sin \left( {m\tau - n\tau + {\varepsilon _m} - \xi } \right)} } \right]} \end{array}\; $

(28)

当m=2n时，式(28)消去长期项，得到的边界曲线为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x\left( {{{\bar w}_1} + {b_{2n}}} \right) = 0}\\ {y\left( {{{\bar w}_1} - {b_{2n}}} \right) = 0} \end{array}} \right. $

(29)

当y=0,${{{\bar w}_1}}$=-b_2n时，式(22)求解得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\ddot g}_2} + {n^2}{g_2} = {b_{2n}}{g_1} - {{\bar w}_2}x\cos \left( {n\tau + \delta } \right) + x\sum\limits_m {\sum\limits_k {{b_m}{b_k} \cdot } } }\\ {\left[{ - \frac{1}{{2nm + {m^2}}}\cos \left( {n\tau + m\tau + k\tau + \delta + {\varepsilon _m} + {\varepsilon _k}} \right) - } \right.}\\ {\frac{1}{{2nm + {m^2}}}\cos \left( {n\tau + m\tau - k\tau + \delta + {\varepsilon _m} - {\varepsilon _k}} \right) + } \end{array}}\\ {\frac{1}{{2nm - {m^2}}}\cos \left( {n\tau - m\tau + k\tau + \delta - {\varepsilon _m} + {\varepsilon _k}} \right) + }\\ {\left. {\frac{1}{{2nm - {m^2}}}\cos \left( {n\tau - m\tau - k\tau + \delta - {\varepsilon _m} - {\varepsilon _k}} \right)} \right]} \end{array} $

(30)

当m=k,m+k=2n,k-m=2n,m-k=2n时，消去式(30)出现的长期项，则计算得到随机波浪条件下的稳定性边界曲线：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{\bar w}_2} = \sum\limits_{{m_1}} {\frac{{2{b_{{m_1}}}^2}}{{4{n^2} - m_1^2}} + \sum\limits_{{m_{^2}}} {\sum\limits_{{k_2}} {\frac{{{b_{{m_2}}}{b_{{k_2}}}}}{{2n{m_2} - m_2^2}}} } } - }\\ {\sum\limits_{{m_3}} {\sum\limits_{{k_3}} {\frac{{{b_{{m_3}}}{b_{{k_3}}}}}{{2n{m_3} - m_3^2}} + \sum\limits_{{m_{^4}}} {\sum\limits_{{k_4}} {\frac{{{b_{{m_4}}}{b_{{k_4}}}}}{{2n{m_4} - m_4^2}}} } } } } \end{array} $

(31)

式中：m、k的下标1、2、3、4分别代表满足以上4种条件时的整数值。

当x=0,${{{\bar w}_1}}$=b_2n时，式(22)求解得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\ddot g}_2} + {n^2}{g_2} = }\\ {{b_{2n}}{g_1} - {{\bar w}_2}y\sin \left( {n\tau + \xi } \right) + x\sum\limits_m {\sum\limits_k {{b_m}{b_k} \cdot } } }\\ {\left[{ - \frac{1}{{2nm + {m^2}}}\sin \left( {n\tau + m\tau + k\tau + \xi + {\varepsilon _m} + {\varepsilon _k}} \right) - } \right.}\\ {\frac{1}{{2nm + {m^2}}}\sin \left( {n\tau + m\tau - k\tau + \xi + {\varepsilon _m} - {\varepsilon _k}} \right) + } \end{array}}\\ {\frac{1}{{2nm - {m^2}}}\sin \left( {n\tau - m\tau + k\tau + \xi - {\varepsilon _m} + {\varepsilon _k}} \right) + }\\ {\left. {\frac{1}{{2nm - {m^2}}}\sin \left( {n\tau - m\tau - k\tau + \xi - {\varepsilon _m} - {\varepsilon _k}} \right)} \right]} \end{array} $

(32)

当m=k,m+k=2n,k-m=2n,m-k=2n时，消去式(30)中出现的长期项，可以得到的边界曲线为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{\bar w}_2} = \sum\limits_{{m_1}} {\frac{{2{b_{{m_1}}}^2}}{{4{n^2} - m_1^2}} + \sum\limits_{{m_{^2}}} {\sum\limits_{{k_2}} {\frac{{{b_{{m_2}}}{b_{{k_2}}}}}{{2n{m_2} - m_2^2}}} } } + }\\ {\sum\limits_{{m_3}} {\sum\limits_{{k_3}} {\frac{{{b_{{m_3}}}{b_{{k_3}}}}}{{2n{m_3} + m_3^2}} - \sum\limits_{{m_{^4}}} {\sum\limits_{{k_4}} {\frac{{{b_{{m_4}}}{b_{{k_4}}}}}{{2n{m_4} - m_4^2}}} } } } } \end{array} $

(33)

综上所述，顶部张紧立管在不规则波作用下的不稳定区域边界曲线为

当y=0时，

$ \bar w = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2\sum\limits_m {\frac{{{b^2}_m}}{{{m^2}}}{\varepsilon ^2}\;,\;\;\;n = 0\;} }\\ {{n^2} - {b_{2n}}\varepsilon + \left[{\sum\limits_{{m_1}} {\frac{{2{b_{{m_1}}}^2}}{{4{n^2} - m_1^2}} + } } \right.}\\ {\sum\limits_{{m_{^2}}} {\sum\limits_{{k_2}} {\frac{{{b_{{m_2}}}{b_{{k_2}}}}}{{2n{m_2} - m_2^2}}} } - } \end{array}}\\ {\sum\limits_{{m_3}} {\sum\limits_{{k_3}} {\frac{{{b_{{m_3}}}{b_{{k_3}}}}}{{2n{m_3} + m_3^2}} + } } }\\ {\left. {\sum\limits_{{m_{^4}}} {\sum\limits_{{k_4}} {\frac{{{b_{{m_4}}}{b_{{k_4}}}}}{{2n{m_4} - m_4^2}}} } } \right]{\varepsilon ^2},\;\;n \ne 0} \end{array}} \right. $

(34)

当x=0时，

$ \bar w = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2\sum\limits_m {\frac{{{b^2}_m}}{{{m^2}}}{\varepsilon ^2}\;,\;\;\;n = 0\;} }\\ {{n^2} + {b_{2n}}\varepsilon + \left[{\sum\limits_{{m_1}} {\frac{{2{b_{{m_1}}}^2}}{{4{n^2} - m_1^2}} - } } \right.}\\ {\sum\limits_{{m_{^2}}} {\sum\limits_{{k_2}} {\frac{{{b_{{m_2}}}{b_{{k_2}}}}}{{2n{m_2} - m_2^2}}} } + } \end{array}}\\ {\sum\limits_{{m_3}} {\sum\limits_{{k_3}} {\frac{{{b_{{m_3}}}{b_{{k_3}}}}}{{2n{m_3} + m_3^2}} - } } }\\ {\left. {\sum\limits_{{m_{^4}}} {\sum\limits_{{k_4}} {\frac{{{b_{{m_4}}}{b_{{k_4}}}}}{{2n{m_4} - m_4^2}}} } } \right]{\varepsilon ^2},\;\;n \ne 0} \end{array}} \right.\; $

(35)

计算流程如图 3所示。

2 数值计算 2.1 张力腿平台水动力计算

顶部张紧立管的稳定性边界曲线与不规则波波谱和平台垂荡运动的传递函数有关，所以，利用式(34)求解顶部张紧立管的稳定性边界曲线，首先需要知道不规则波波谱和平台垂荡运动的传递函数。

对于张力腿平台的垂荡传递函数的计算，采用SESAM程序软件进行数值模拟，如图 4。选取浪向角90°时张力腿平台的垂荡运动传递函数，如图 5。

2.2 考虑平台运动响应谱下顶部张紧立管的稳定性分析

在分别得到张力腿平台所遭受的不规则波波谱曲线和垂荡运动的传递函数后，应用式(37)、(38)计算得出顶部张紧立管的稳定性图,如图 5、6所示。

图 6中，横坐标${\bar w}$为无量纲参数，它与立管的自然频率和不规则波的波浪频率有关。稳定性曲线上方为不稳定区域，稳定性曲线下方为稳定区域。其中，不稳定区域随着${\bar w}$的增加呈现出先增大然后迅速增减的趋势。

根据式(34)、(35)可以得出，张紧立管的稳定性曲线与m有直接的关系，其中m为将平台运动响应谱简化为一系列规则波的对应频率。

2.3 运动响应谱对张紧立管的稳定性影响

分别计算出以平台运动响应谱(考虑RAO)和不规则波波谱(不考虑RAO)作为输出函数的张紧立管稳定性图，如图 7所示。

根据图 7所示，是否考虑平台RAO对张紧立管的稳定性有很重要的影响。例如，分别在图中任意选取P₁(5.45,0.362)和P₂(42.06,0.455)两点。则当张紧力管的参激振动平衡方程的2个参数${\bar w}$和ε取在P₁点时，采用考虑RAO的计算方法时，该点位于稳定性区域内，而采用不考虑RAO的计算方法时，该点位于不稳定性区域内。同理，当2个参数${\bar w}$和ε取在P₂点时，采用考虑RAO的计算方法时，该点位于不稳定性区域内，而采用不考虑RAO的计算方法时，该点位于稳定性区域内。因此，采用不同的计算方法时，会对评估张紧立管稳定性的结果造成很大的影响。

出现如图 7所示2种不同的计算结果的最主要原因是在计算张紧立管稳定性曲线时，参数b_m作为输出参数起到很重要的影响。当采用不考虑RAO的计算方法时，参数b_m直接选取为不规则波简化为一系列规则波的幅值；而当采用考虑RAO的计算方法时，参数b_m选取为不规则波简化为一系列规则波的幅值与平台RAO的乘积。

3 结 论

综合分析张力腿平台在不规则波中的运动。计算了张力腿的参数激励运动，得到了如下结论：

1)文中结合了张力腿平台本身运动的RAO及不规则波波浪谱。得出了张力腿平台的运动响应谱，并且利用一系列的规则波叠加的形式来表达运动响应谱。将该部分作为顶部张紧立管的输入部分。

2)应用顶部张紧立管的振动模型，将得到的在不规则波作用下的响应谱输入参激振动模型当中。独立的推导出了一种可以直接得出张紧立管的稳定性曲线的经验公式。

3)最后，在计算时考虑的顶部张紧立管的张紧力并不是直接利用不规则波波谱得出，而是利用与张紧立管连接的平台特性(RAO)得出的运动响应谱作为张紧立管的输出，这样更为直接真实的反应出顶部张紧立管的张紧力的变化。这对评估张紧立管的稳定性提出了更加符合实际情况的方法。