DOI:10.11990/jheu.201411029
, ,
, , 2. Aeronautical Science and Technology Research Institute of COMAC, Beijing 102211, China
计算气动声学已经被广泛应用于预测各类流噪声的产生与传播[1]。当前计算气动声学主要可以分为两类：一是基于lighthill声类比理论，将流噪声方程类比为含有源项(四极子、偶极子、单极子)的经典声波动方程，然后应用成熟的经典声学方法求解流噪声。另一类通过对可压缩欧拉方程、N-S方程进行流体量和声学量的变量分解，得到流噪声的脉动速度和压力的控制方程组后联立求解流噪声。第一类方法由lighthill在1952年提出[2]，并由Curle[3] 、Ffowcs Williams等[4]、Farassat等[5]加以推广。第一类方法通过格林函数(广义格林函数)等理论直接建立声源和远场声学测点的关系，计算简单、耗费资源少，适用于远场流噪声计算。第二类方法可以进行近场流噪声计算，流场、声场具有相同计算域，远程预测耗费资源较大。第二类方法主要分为线性化欧拉法(Linearized Euler Equations，LEE)和流声分解法(Viscous/Acoustic splitting method，VASM)。LEE法由Bogey and Bailly提出，假设流动为小幅无黏流动，将声学控制方程简化为线性欧拉方程求解[6] Hardin等[7]提出流声分解法的思想，将低速不可压流动的声传播过程分为低速不可压流动方程叠加声传播方程。Shen W Z [8]等进一步研究流声分解思想，并对Hardin和Pope的进行了修正。流声分解法认为低马赫数流可近似成不可压缩流，将可压缩N-S方程组变量在低马赫数下分解为不可压流体量和声扰动量，采用两步法，通过迭代求解不可压N-S方程组得到流体量，求解声扰动方程组得到声场扰动量。Shen W Z采用流声分解法成功计算马赫数0.2，雷诺数200情况下单圆柱绕流的噪声分布。Shen W Z[9]推导出含有大涡模拟湍流作用项的流声分解法方程。倪大明[10]采用基于非结构化同位网格和有限体积法的流声分解法完成了单圆柱在马赫数0.2时层流(雷诺数200)和湍流(雷诺数4.6×e6)的声场分布计算。
本文以自主开发的通用流体力学数值模拟软件GTEA为平台，采用流声分解法计算低雷诺数(Re=100)时二维并列双圆柱管束的绕流流场和声场分布，通过比较不同圆心距系数(圆柱间中心距与圆柱直径之比)S=1.1，1.7，3.0下的双圆柱绕流流场和声场的不同之处，研究流场分布形式同声场分布之间的关系。
1 流声分解法控制方程与数值实现 1.1 控制方程牛顿流体的可压缩N-S方程组由连续方程、动量方程、绝热等熵状态方程组成：
| $\partial \rho /\partial t+\nabla \cdot \left( \rho u \right)=0$ | (1) |
| $\begin{align} & \partial \left( \rho u \right)/\partial t+\nabla \cdot \left( \rho uu \right)=\nabla \cdot \left( \mu \nabla u \right)- \\ & \nabla p-\nabla \left( \frac{2}{3}\mu \nabla \cdot u \right)+\nabla \cdot \left[ \mu {{\left( \nabla u \right)}^{\text{T}}} \right] \\ \end{align}$ | (2) |
| $\partial \rho /\partial t={{c}^{2}}\partial \rho /\partial t$ | (3) |
式中：p、u、ρ、μ、c分别为控制体的压力、速度矢量、密度、黏性系数和声速。
在低速流(Ma＜0.3)时，流体的可压缩性较小，声场反向散射对流场解的影响也较小。
基于上述事实，流声分解法作出假设将牛顿流体可压N-S方程的中的p、u、ρ分解为流场压力P、速度矢量U、密度ρ0以及声扰动压力p′、速度矢量u′、密度ρ′之和的形式即：
| $p=P\left( x,y,z,t \right)+P'\left( x,y,z,t \right)$ | (4) |
| $u\left( x,y,z,t \right)=U\left( x,y,z,t \right)+u'\left( x,y,z,t \right)$ | (5) |
| $\rho ={{\rho }_{0}}+\rho '\left( x,y,z,t \right)$ | (6) |
将式(4)-(6)代入到式(1)-(3)，并结合不可压N-S方程得到：
| $\partial \rho '/\partial t+\nabla \cdot \left( {{\rho }_{0}}u'+\rho 'U+\rho u' \right)=0$ | (7) |
| $\begin{align} & \partial \left( {{\rho }_{0}}u'+\rho 'U+\rho 'u' \right)/\partial t+\nabla \cdot \left( {{\rho }_{0}}Uu' \right)+ \\ & \nabla \cdot \left[ \left( {{\rho }_{0}}u'+\rho 'U+\rho 'u' \right)\left( U+u' \right) \right]= \\ & \nabla \cdot \left[ \mu \nabla u'+\mu {{\left( \nabla u' \right)}^{\text{T}}} \right]-\nabla \left( \rho '+\frac{2}{3}\nabla \cdot u' \right) \\ \end{align}$ | (8) |
| $\partial P/\partial t+\partial p'/\partial t={{c}^{2}}\partial p'/\partial t$ | (9) |
定义声学中间矢量A=ρ0u′+ρ′U+ρ′u′，代入到(7)-(9)，得到：
| $\partial \rho '/\partial t+\nabla \cdot A=0$ | (10) |
| $\partial A/\partial t+\nabla \cdot \left[ A\left( U+u' \right) \right]=\nabla \cdot \left( \mu /\rho \nabla A \right)+S$ | (11) |
| $\partial p'/\partial t-{{c}^{2}}\partial \rho '/\partial t=-\partial P/\partial t$ | (12) |
式中：S为源项，有
| $\begin{align} & S=\nabla \cdot \left[ \frac{\mu }{\rho }{{\left( \nabla A \right)}^{\text{T}}} \right]-\left[ \nabla \left( p'+\frac{2}{3}\mu \nabla \cdot u' \right) \right.+ \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left. \nabla \cdot \left( {{\rho }_{0}}Uu' \right)+\nabla \cdot R \right] \\ & R=\frac{\mu }{\rho }\left[ \left( U+u' \right)\nabla \rho '+\rho '\nabla U \right]+ \\ & \ \ \ \ \ \ \frac{\mu }{\rho }{{\left[ \left( U+u' \right)\nabla \rho '+\rho '\nabla U \right]}^{\text{T}}} \\ \end{align}$ |
将式(12)带入到式(9)中，可得：
| $\frac{1}{{{c}^{2}}}\partial p'/\partial t+\nabla \cdot A=-\frac{1}{{{c}^{2}}}\partial P/\partial t$ | (13) |
式(11)和式(13)即为流声分解法的控制方程，其中的流场量P、U、ρ0均作为已知量由流场计算得到。上述控制方程与流场控制方程具有相似结构(源项不同)，计算时同样采用SIMPLEC算法求解，计算得到声扰动压力p′、声学中间矢量A后，根据声学中间矢量A和扰动速度矢量u′的关系求出扰动速度矢量u′，根据式(14)更新ρ′.具体可以参考文献[10]。
| ${{\rho }^{',n}}={{\rho }^{',n-1}}=\frac{{{p}^{',n}}+{{p}^{',n}}-{{p}^{',n-1}}-{{p}^{',n-1}}}{1.5{{c}^{2}}{{\left| ^{n-1}-0.5{{c}^{2}} \right|}^{n-2}}}$ | (14) |
式中：上角标n代表当前时刻变量值，n-1、n-2分别代表上一时刻和上两时刻变量值。固体壁面采用无滑移边界，即矢量A=0，边界的ρ′，p′由内部单元中心值外插得到。为了消除外部边界上的声波反射对内部计算声场的影响，本文采用采用Tam-DRP辐射边界[16]：
| $\left( \frac{1}{\left( c+{{u}_{n}} \right)}\frac{\partial }{\partial t}+f\left( \theta ,\varphi \right)+n\frac{1}{r} \right)\left[ \begin{align} & \rho ' \\ & u' \\ & p' \\ \end{align} \right]=0$ | (15) |
式中： un为可压缩法向速度，f(θ,φ)为ə/ər和ə/əxj转换系数，r为边界面中心到声源距离，n对于二维问题取1/2。
1.2 数值实现本文中流声分解法的数值实现是在自主开发的GTEA计算多物理场软件中完成的，实现方法参见文献[10]。计算时首先进行不可压流场计算；当流场趋于稳定后，激活流声分解法命令，进行不可压流场和流声分解法声场同时计算。其中流场稳定所需的时间mid可以通过经验公式16简单判定：
| $\text{mid}\ll 3L/\left| U \right|$ | (16) |
式中：L为计算区域在平行于流速方向的长度，丨U丨为流速U的模。
2 计算方法验证首先以单圆柱绕流为验证算例，建立二维模型，计算雷诺数Re=200，马赫数Ma=0.2时二维单圆柱绕流的流场声场分布，说明本方法计算圆柱绕流噪声问题的可行性。
2.1 计算模型及网格划分为了观测单圆柱绕流噪声的传播过程，本算例计算区域取为Ω={(x,y):0.5D≤$\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$≤100D}，D=1m为圆柱直径.计算模型如图 1所示，介质为空气，密度ρ0为1.204kg/m3。
|
| 图 1 计算模型示意图 Fig. 1 Schematic diagram of calculation model |
采用GTEA软件中的压力修正SIMPLE算法求解圆柱绕流的层流流场，采用流声分解法求解圆柱绕流产生的气动噪声。流场、声场采用同一套结构化网格计算，总网格数量为32172，最内层网格尺寸为0.005D。流场计算时左半外圆周边界采用速度入口边界，右半外圆周边界采用压力出口边界；声场计算时左右半外圆周边界均采用Tam-DRP辐射边界，内部圆柱面采用全反射边界，声学监测点坐标取为A(0 m，20 m)、B(10m，0 m)。计算时间步长0.0025s，总计算时间15s。
2.2 流场计算结果及分析当计算区域流场趋于稳定时，二维单圆柱绕流流场的涡量分布如图 2所示。从涡量分布图中可以看到在单圆柱绕流的尾迹区域，漩涡自圆柱面上下侧交替性的产生并向外传播。
|
| 图 2 涡量云图!--中文标题--> Fig. 2 vorticity contour computed for flow past a circular cylinder |
单圆柱绕流的升力系数Cl和阻力系数Cd变化曲线及与文献[11]对比如图 3所示。计算表明，单圆柱绕流的平均阻力系数Cd为1.31，与Henderson[11]计算出的1.33接近。升力系数Cl的周期为0.0766s，即频率约为13.0Hz，阻力系数Cd的周期为0.0383s，即频率约为26.1Hz。
|
| 图 3 升力系数、阻力系数随时间变化图 Fig. 3 Time history of lift and drag coefficients |
流场趋于稳定时，即可开始二维单圆柱绕流的声场计算。声场趋于稳定后，监测点A、B声压随时间变化曲线如图 4所示。
|
| 图 4 监测点声压曲线随时间变化图 Fig. 4 Sound pressure distribution of moniter point in time |
监测点A的曲线与Shen W Z数据相比，周期相同，幅值略大。对A、B两点声压曲线进行快速傅立叶变换(FFT)(图 5)。
|
| 图 5 监测点声压曲线随频率变化图 Fig. 5 Sound pressure distribution of moniter point in frequency |
A点最大声压级对应频率为13.0Hz，与升力系数频率相对应，B点最大声压级对应频率为26.1Hz,与阻力系数频率相对应。
单圆柱绕流噪声的声压分布如图 6所示。可以看到，单圆柱绕流所产生的气动噪声在远场处以上下对称的形式按照声速向外传播，具有明显的偶极子声源分布形式。而在近场区域，圆柱后侧区域会有一带状以交替脉动形式向外传播的压力扰动。这部分压力扰动并不以声速传播，而是按照流速向下游传递，离开湍流区域后很快削减消失，也就是物理上典型的“拟声现象”(图 7)。
|
| 图 6 声压随时间变化图 Fig. 6 Picture of instantaneous acoustic field |
|
| 图 7 拟声区域示意图图 Fig. 7 domain controlled by pseudosound |
根据所得声学数据，取半径r=15D和r=60D的圆周，可作出声压级指向性图(图 8)。为考虑流速对指向性图的影响，需修正半径r计算公式。在有流状态下，单圆柱绕流所产生的声波将以c+un的速度,即$c\left[1+Ma\left(x/\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right)\right]$向外传播，因此半径r的修正公式为：
| $r=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}/\ \left( 1+Ma\left( x/\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right) \right)$ | (17) |
|
| 图 8 t=7.5175s声压指向性云图 Fig. 8 Directivity pattern of circular cylinder noise radiation (t=7.5175s) |
从图 8中可以看出，单圆柱绕流所产生的声场在远场的声压指向性云图呈“8”字形分布，与偶极子声源的指向性云图相一致；而在近场，由于近场涡波动传播所引起的拟声现象的存在，指向性云图不再呈现“8”字形分布，而在涡传播位置处出现拐角形成两个不对称的突起，这部分突起与此时刻流场涡量分布相对应。采用基于GTEA软件的流声分解法即可以准确计算出低雷诺数、低马赫数下单圆柱绕流所诱发的气动噪声向远场传播的整个过程，又能准确描绘单圆柱绕流近场涡传播所引起的拟声现象，适用于圆柱绕流噪声计算。
3 并列双圆柱流场声场数值计算针对并列双圆柱绕流噪声问题，建立二维模型，计算雷诺数Re=100时，不同圆心距系数(S=1.1，1.7，3.0)的等直径双圆柱绕流的流场和声场分布，分析双圆柱绕流流场结构形式对双圆柱绕流噪声的影响。
3.1 计算模型及网格模型双圆柱绕流的计算模型与单圆柱绕流的模型相近，计算区域取为Ω={(x,y):$\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\ $≤100D},介质为空气，密度ρ0=1.204kg/m3。各算例网格数量均控制在4万左右，并确保的近圆柱面第一层网格厚度为0.005D。流场计算时左边界采用速度入口边界，右边界采用压力出口边界；声场计算时左右边界均采用Tam-DRP无反射边界，内部双圆柱面采用全反射边界，时间步长取为0.0025s，总计算时间为15s。计算时来流Ma=0.1。
3.2 变圆心距系数S流场计算结果S=1.1算例流场ma分布如图 9所示。S=1.1时，双圆柱间的流动间隙仅为0.1D，相当狭小，从图 9中可以看到，流动间隙中只有极少流体流过。从图 10的涡量变化图中可以看到，S=1.1时双圆柱绕流的涡量场与单钝体的涡量场相类似，尾流区自上圆柱上边缘和下圆柱下边缘交替脱落的漩涡清晰可见，而两圆柱间流动间隙处则没有任何漩涡产生。S=1.1时，双圆柱绕流上、下圆柱的升力系数Clup、Cllow，如图 11所示。
|
| 图 9 S=1.1近场马赫数分布图 Fig. 9 Mach number contour computed for S=1.1 |
|
| 图 10 S=1.1涡量随时间变化图 Fig. 10 vorticity contour computed for S=1.1 |
|
| 图 11 S=1.1上下圆柱升力系数变化图 Fig. 11 Time history of lift coefficients，S=1.1 |
Clup、Cllow的周期均为0.285s。采用基于GTEA平台的流声分解法计算出的上下圆柱升力系数与Liang采用高精度格式[12]计算出来的结果相较，周期相同，幅值略小。
S=1.7时，双圆柱间的流动间隙为0.7D，有明显的来流从中通过，但由于流通面积较小，使得间隙流速激增引起流场扰动，诱使上圆柱下表面和下圆柱上表面有漩涡产生、脱落，其涡量变化如图 12所示。
|
| 图 12 S=1.7涡量变化图 Fig. 12 vorticity contour computed for S=1.7 |
从图 12中可以看到，双圆柱的上下表面均交替有涡产生，但这四组涡并非按照独立的四条轨迹传播，四条传播轨迹间不断出现交汇、掺混和分离。按照由上到下的顺序将四组涡分别称之涡1、涡2、涡3和涡4。
图 13中可以看出，四组涡的传递过程中交替出现涡2和涡3占优的现象。当涡2占优时，涡1和涡3间被完整的分割开来，彼此之间无涡的交汇产生，涡1相对独立的向前传递，而涡3由于较小，很快在传播过程中消散掉。涡2和涡4之间则出现交汇现象，相互间的作用越来越强，逐渐形成涡带向前传递。直至如b所示，涡2和涡4产生的漩涡融合成一个4D尺度的大涡向前传递。在涡2和涡4产生的涡融合前后，涡3取代涡2占优，使得涡2和涡4之间的关系中断，不再发生交汇现象。在涡3占优后，涡1和涡3产生的漩涡逐渐发生交汇现象，两者产生的涡融合成一大涡向前传播，并使的涡2又取代涡3占优，继续重复上述过程。
|
| 图 13 S=1.7上下圆柱阻力系数分布图 Fig. 13 Time history of drag coefficients S=1.7 |
从上述涡流场的变化过程描述可以看出，S=1.7时双圆柱绕流的流场相当混乱和复杂，这也直接导致上下圆柱的升力系数和阻力系数变化规律与单圆柱绕流截然不同，上下圆柱的阻力系数变化没有周期性(图 13)。
S=3.0算例流场涡量变化如图 14所示。S=3.0时，双圆柱间的流动间隙达到2D，大量流体从间隙处流过。此时流体流经双圆柱所产生的涡量场相互独立，几乎互不干扰，直到尾流区5D以后的区域，才会有涡的干涉现象出现。S=3.0上下圆柱的阻力系数如图 15所示，可以看到上下圆柱的阻力系数的周期相同，均为0.173s，但相位差180°，其平均阻力系数均为1.395。
|
| 图 14 S=3.0涡量变化图 Fig. 14 vorticity contour computed for S=3.0 |
|
| 图 15 S=3.0上下圆柱阻力系数分布图 Fig. 15 Time history of drag coefficients S=3.0 |
S=1.1,t=8.16s声压分布如图 16所示。S=1.1双圆柱绕流所产生的气动噪声在远场处的仍以与偶极子声源相类似的形式向外传播。但与单圆柱绕流噪声相比，在噪声由近场向远场扩散的过程中，声压在近场处的对称性有所减弱，不再以两个上下对称的半圆柱形式向外传播，而变成以轴对称具有旋流特征的形式向远场传递。S=1.1双圆柱绕流与单圆柱绕流相比，尾流区拟声现象不明显。t=8.16s，S=1.1双圆柱在半径r=5D、r=15D和r=60D处的声压级指向性图，如图 17所示。
|
| 图 16 S=1.1，t=8.16s声压分布图 Fig. 16 Picture of acoustic field S=1.1 t=8.16s |
|
| 图 17 S=1.1，t=8.16s声压指向性云图 Fig. 17 Directivity pattern of circular cylinder noise radiation S=1.1 t=8.16s |
对比图 8和17可以发现，S=1.1双圆柱绕流所产生的拟声现象区域较小，仅在r=5D的声压指向性云图中由于拟声现象导致在21°和-42°(318°)涡传播位置处出现拐角形成两个不对称的突起。r=15D和r=60D，S=1.1双圆柱绕流噪声的声压指向性云图都具有偶极子声场的分布特征，呈现具有一定倾斜角度的“8”字形分布，但是倾斜方向和倾斜角度均有差异。比较r=15D和r=60D还可看出，S=1.1双圆柱绕流所引起的气动噪声具有一定的旋流特征。从r=15D到r=60D，随着r的增大，“8”字形声场的对称轴将沿逆时针旋转。由于不同时刻，S=1.1双圆柱绕流噪声的声压分布会发生明显改变，因此不同时刻所绘制的声压指向性云图旋转特性也会不同.
比较单圆柱绕流和S=1.1双圆柱绕流的涡量分布(图 2和图 10)。单圆柱绕流尾流区的漩涡自圆柱体脱落后，仍近似沿流速方向向下游传播，其运行轨迹呈单一带状分布。而S=1.1双圆柱绕流尾流区的漩涡自上下圆柱分离点脱落后，分别沿与流速呈正负5°左右倾角方向向下游传播，运行轨迹明显呈现两条带状分布。正由于S=1.1双圆柱绕流尾流区的漩涡沿与流速呈正负5°倾角方向传播，使得S=1.1双圆柱绕流远场声压指向性云图不再呈现上下对称形式分布，而是呈现具有一定倾斜角度的“8”字形分布。也正由于S=1.1双圆柱绕流尾流区漩涡的传播方向在与流速呈+5°到-5°交替变化，使得S=1.1双圆柱绕流远场声压指向性云图具有一定的旋转特性。
S=1.7算例的声场分布和流场分布一样都是相当混乱的。从计算出的声压分布来看，S=1.7时双圆柱绕流所产生的声场并不具有任何周期性，其典型时刻声压云图分布如图 18所示。S=1.7时双圆柱绕流产生的声场不再是典型的偶极子分布，而是类似多极子分布。从t=6.575s声压分布可以看出，不仅仅在双圆柱附近会有声源向外发声，而且在双圆柱后侧也有声源在向外发声。这与流场分析时，涡2、涡4，涡1、涡3产生的漩涡会发生融合，形成4D尺寸的大涡相对应。此时双圆柱绕流产生的噪声，是由双圆柱上下面脱落的涡和尾流场融合产生的大涡共同作用的结果。t=6.71s时刻，S=1.7双圆柱在r=10D、r=25D、r=52D和r=85D处的声压指向性云图如图 19所示。
|
| 图 18 S=1.7声压随时间变化图 Fig. 18 Instantaneous acoustic field chart S=1.7 |
|
| 图 19 S=1.7，t=6.71s声压指向性云图 Fig. 19 Directivity pattern of circular cylinder noise radiation S=1.7 t=6.71s |
注意到r=10D时的指向性云图，即t=6.71s时刻，S=1.7双圆柱绕流刚刚产生并向外传播的声场不同于偶极子分布，而具有明显的四个瓣儿形突起，显出多极子分布特性。而r=52D、r=85D，即S=1.7双圆柱绕流在t=6.71s前产生并扩散至r=52D、r=85D处的声场则具有明显的偶极子“8”字形分布。显然随着流场中不断有融合的4D尺度的大涡出现，S=1.7时双圆柱绕流所产生的声场也不断在偶极子“8“字形分布和多极子的多瓣儿形分布间转化。
S=3.0算例t=5.320s的声压分布如图 20所示。
|
| 图 20 S=3.0, t=5.320s声压分布云图 Fig. 20 Distribution diagram of acoustic field S=3.0 t=5.320s |
由于S=3.0时，双圆柱间的流场区域较大，上下圆柱的流场在4D范围以内相互独立，均有稳定漩涡从圆柱上下表面交替脱落，并沿流动方向传播扩散。因此在S=3.0时，双圆柱绕流产生的声场与单圆柱绕流产生的的声场相类似，均为典型的偶极子声场。t=5.320s时，S=3.0双圆柱绕流在r=5D、r=60D处的声压指向性云图如图 21所示。
|
| 图 21 S=3.0, t=5.320s声压指向性云图 Fig. 21 Directivity pattern of circular cylinder noise radiation S=3.0, t=5.320s |
在远场处r=60D，S=3.0双圆柱绕流产生的气动噪声呈典型的“8”字形偶极子分布。r=5D时，会在正负30°左右的区域产生四个突起，而这正与湍流场中，上下圆柱上下表面四组漩涡轨迹相对应，属于拟声现象。
4 结论基于分解理论的气动噪声流声分解方法可以很好地应用于单/多圆柱绕流产生的噪声的预测。
低雷诺数下，并列双圆柱绕流随着中心距系数S的增加，其流动形式逐步由单钝体绕流形式(S=1.1)向混合形式(S=1.7)和稳定流形式(S=3.0)过渡。
单钝体绕流形势下，双圆柱绕流产生的声场呈倾斜“8”字形偶极子分布，并由于流场中产生的漩涡朝与流动方向呈正负5度夹角方向扩散而具有一定的旋转特性。混合形式下，由于流场中上下圆柱产生的漩涡存在大量的干涉，破碎，融合现象，其声场分布的周期性不明显，并随着流场中融合大涡的出现，声场分布也不断由偶极子“8“字形分布向多极子的多瓣儿形分布转化。稳定流形式下，由于涡量场沿流动方向呈稳定双带状分布，双圆柱绕流产生的声场呈规则的正“8”字形分布。
| [1] | SHEN Wenzhong, MICHELSEN J A, NØRKАR SØRENSEN J. A collocated grid finite volume method for aeroacoustic computations of low-speed flows[J]. Journal of computational physics, 2004, 196(1): 348-366. |
| [2] | LIGHTHILL M J. On sound generated aerodynamically. I: General theory[C]//Proceedings of the Royal Society A. London: 1952. |
| [3] | CURLE N. The influence of solid boundaries upon aerodynamic sound[J]. Proceedings of the Royal society of London: series a, mathematical and physical sciences, 1955, 231(1187): 505-514. |
| [4] | FFOWCS WILLIAMS J E, HAWKINGS D L. Sound generation by turbulence and surfaces in arbitrary motion[J]. Proceedings of the Royal society of London: series a, mathematical and physical sciences, 1969, 264(1151): 321-342. |
| [5] | FARASSAT F. Theory of noise generation from moving bodies with and application to helicopter rotors. NASA Technical Report R-451, L-10379[R]. Washington, DC: NASA, 1975. |
| [6] | BOGEY C, BAILLY C, JUV? D. Computation of flow noise using source terms in linearized Euler's equations[J]. AIAA journal, 2002, 40(2): 235-243. |
| [7] | HARDIN J C, POPE D S. An acoustic/viscous splitting technique for computational aeroacoustics[J]. Theoretical and computational fluid dynamics, 1994, 6(5): 323-340. |
| [8] | SHEN Wenzhong, N-OACUTE J, S-OACUTE R. Comment on the aeroacoustic formulation of Hardin and pope[J]. AIAA journal, 1999, 37(1): 141-143. |
| [9] | SHEN Wenzhong, SØRENSEN J N. Aero-acoustic modelling using large eddy simulation[J]. Journal of physics, 2007, 75: 012085. |
| [10] |
倪大明, 张文平, 明平剑. 低速湍流中气动噪声预测方法[J]. 科技导报, 2013, 31(32): 15-19. NI Daming, ZHANG Wenping, MING Pingjian. A prediction method for low-speed turbulent flow noise[J]. Science and technology review, 2013, 31(32): 15-19. |
| [11] | HENDERSON R D. Details of the drag curve near the onset of vortex shedding[J]. Physics of fluids, 1995, 7(9): 2102-2104. |
| [12] | LIANG Chunlei, PREMASUTHAN S, JAMESON A. High-order accurate simulation of low-Mach laminar flow past two side-by-side cylinders using spectral difference method[J]. Computers and structures, 2009, 87(11/12): 812-827. |