近年来，基于混沌理论的识别和预测方法在水声信号处理领域得到深入而广泛的应用^{[1, 2, 3]}。混沌预测方法适用于处理看似随机，实则准确定性的信号。在混沌时间序列的非线性自适应预测方法中，Volterra滤波器的输出是线性函数，易于通过现有工具来分析其性能，且物理意义明确，可以用来表征几乎所有的非线性动力学系统。混沌时间序列的Volterra自适应预测方法，根据当前获得的数据和预测误差来不断修正模型中的参数，并且可以自适应的跟踪相空间的吸引子^[4]。常规的二阶Volterra滤波器预测方法计算简单^{[5, 6]}，但收敛速度依赖于输入信号的频谱;同时对初值敏感性较强，在应用中存在合理选择参数的问题，这也增加了其在Volterra模型应用中的困难^{[7, 8]}。本文应用Kalman滤波器估计Volterra核的方法对两种水面目标信号进行短期预测，并将结果与常规的Volterra滤波器预测方法进行了对比分析，并对个别船只单一工况的情况进行了分析。

对于混沌时间序列xn,n=1,2,…,N，根据延迟坐标法进行相空间重构^[9]，得到重构相空间点为

用Volterra级数展开式表示输出信号y(n)为

由上式可知，Volterra滤波器是非线性自适应FIR滤波器，其系数矢量及输入信号矢量分别为

对于Volterra自适应滤波器，传统算法采用归一化最小均方(normalized least mean square,NLMS)准则，NLMS算法可描述如下：

利用Kalman滤波算法对Volterra级数核进行递推估计，由于模型参数是时变的，因此将参数估计过程视为非平稳过程，引入过程噪声ν(n)，假设Volterrra级数核的状态方程是随机游动模型：

令${\hat{H}}$(n)=${\hat{H}}$(n∣x_n)表示n时刻U(n)所作的参数的估计，g(n)是Kalman滤波器增量，为一维向量，新息过程αn为标量。

基于Kalman滤波算法的Volterra级数核估计过程如下，由嵌入维数p=1+m+m(m+1)/2(m为嵌入维数)；计算时刻n=m+1,m+2,m+3,…,N+1时的以下各式:

计算过程中需预先假定：

1)ε(n)的方差σ_ε²；

2)ν(n)的方差q(本文中取q=10^－4)；

3)c=2(很小的正数)。

对于ε(n)的方差σ_ε²无法通过精确的数学模型求得，但根据实际经验，自适应滤波器输出的信噪比通常非常高，因此本文以0.001到0.01乘以{x(t),t=p+1,p+2,…,N}的方差作为σ_ε²。

以Lorenz模型输出的x分量为例,进行算法仿真研究。采用四阶Runge-Kutta算法积分方法解Lorenz方程组，积分步长0.01，剔除过渡点，取2 000点作为实验数据。按照式(18)归一化成均值为0，振幅为1的时间序列

对测试样本信号进行一步预测。信混比定义为信号和混沌背景的功率比(signal chaos ratio，SCR)^[10]

预测结果如图1～3所示。3是信混比SCR=-10 dB时的自适应Volterra滤波器对Lorenz序列加瞬态信号的预测结果与误差。其中图1(a)为训练样本的真实值和预测值，一步预测相对误差Perr1=8.8×10^－3；图1(b)为测试样本的一步预测误差，一步预测相对误差Perr1=5.3×10^－3。图2是信混比SCR=－20 dB时Volterra滤波器对测试样本的预测与误差，其对应的预测相对误差分别为Perr2=3.8×10^－3；图3是SCR=－40 dB时预测结果，一步预测均方误差Perr2=3.4×10^－3。

图1 SCR=-10 dB时Volterra一步预测 Fig.1 Prediction result of Volterra filter when SCR=-10 dB

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图2 SCR=-20 dB时Volterra一步预测结果 Fig.2 Prediction result of Volterra filter when SCR=-20 dB

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图3 SCR=-40 dB时Volterra一步预测结果 Fig.3 Prediction result of Volterra filter when SCR=-40 dB

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由图1～3的对比可知，在信混比SCR=-10 dB，SCR=-20 dB和SCR=－40 dB的情况下均可由一步预测误差检测到正弦脉冲信号。随着信混比的增加，预测误差变小。在信混比SCR低于-40 dB的情况将较难检测到信号。常规的自适应Volterra滤波器，预测误差受到系数初值的影响，容易陷入局部极小值。所以可以利用常规的Volterra级数滤波器的误差进行脉冲信号检测，但是预测性能较差。

图4(a)表示的是信混比SCR=－10 dB的情况下，改进的Volterra滤波器的自适应预测结果，图4(b)为新息α(n)，即MMSE意义下的一步预测误差。图5和图6分别为信混比SCR=－25 dB和SCR=－35 dB的情况下，改进的Volterra滤波器的自适应预测结果和新息过程αn。通过对图4～6分析，基于Kalman滤波器估计Volterra核的自适应预测方法预测误差较小。与常规的Volterra自适应预测结果的对比，改进方法具有一定的稳健性，适用于信混比很低的情况，而可利用后者检测脉冲信号。

图4 SCR=-10 dB改进方法的预测结果 Fig.4 The prediction result of modified method when SCR=-10 dB

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图5 SCR=-25 dB改进方法的预测结果 Fig.5 The prediction result of modified method when SCR=-25 dB

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图6 SCR=-35 dB改进方法的预测结果 Fig.6 The prediction result of modified method when SCR=-35 dB

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选取两类水面目标信号，目标1是商船目标，目标2为水面传送机，两类目标存在明显的差异性。对两类水面目标信号进行短时预测，研究两类目标信号混沌特征量的提取，探讨如何利用提取的混沌特征量实现对水面目标信号的分类。

相空间重构是混沌时间序列预测的基础。根据延迟坐标相空间重构法，相空间重构技术的关键在于选取合适的延迟时间τ和嵌入维数m。本文分别应用平均互信息法(AMI)和改进的伪最邻近点^[11]方法估计延迟时间τ和嵌入维数m。

图7为水面目标1的量测数据曲线。图8为目标1测试数据的平均互信息对时间间隔(0~100)的曲线。由于平均互信息I(τ)表征的是延迟时间为τ的两观测样本非线性统计关联程度。选取平均互信息曲线第一个最小值作为相空间重构的参数，从而在保证延迟坐标之间的统计独立性，故选取τ=14T_s作为最优的延迟时间参数。应用改进的伪最邻近点方法^[11]估计最小嵌入维数结果如图9。

图7 水面目标1的测试数据曲线 Fig.7 Curve of test data of Target 1

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图8 目标1的平均互信息曲线 Fig.8 The AMI curve of Target 1

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图9 目标1信号的嵌入维数选取 Fig.9 The embedding dimension of Target 1

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图10和图11分别为应用Volterra自适应滤波器(方法1)和改进的Volterra滤波器方法(方法2)对水面目标1预测的结果。方法1和方法2的一步预测相对误差如表1所示。

图10 常规Volterra方法预测目标1的误差 Fig.10 Prediction errors of Volterra filter for target 1

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图11 改进方法预测目标1 Fig.11 Prediction errors of improved method for target 1

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图12 目标1的非线性特征提取 Fig.12 Nonlinear features of Target 1

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两种方法均能根据训练数据有效的预测目标1信号的趋势，改进的Volterra滤波器的预测精度高于常规的二阶Volterra滤波。随着预测步数的增加，当步数n≥500时，Volterra自适应滤波器预测方法的预测误差增大，出现预测值和真实值的“错位”偏差，这是由非线性系统的初值敏感性引起的。而改进方法由于做了准平稳化的平均效果，对初值的敏感性降低，而抗瞬态干扰的能力增强。根据两种方法的特点，Volterra自适应滤波可应用于去信号趋势项和降噪；而Kalman滤波器估计Volterra核的改进方法则可应用于较长时间信号的预测。

为了进一步验证改进算法的适用性，还对水面目标2的量测信号进行了分析。相空间重构参数延迟时间τ=20，嵌入维数m=5。如图13和图14，通过对比两种方法的预测结果，可知基于Kalman滤波器估计Volterra核的自适应预测方法获得更小的预测误差。

图13 常规Volterra滤波器方法预测目标2 Fig.13 Prediction errors of Volterra filter for Target 2

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图14 改进方法预测目标2 Fig.14 Prediction errors of improved method for Target 2

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通过多次的仿真实验可知，影响Volterra滤波器预测精度的参数包括测试数据长度，系数矩阵W的初值和μ值。预测数据不能过长，由于非线性时间序列对初值是敏感的，初始的小误差积累会引起一段序列之后的大误差；系数矩阵W的初值选取，系数矩阵的初值对预测效果影响较大，本文选取O矩阵；收敛因子μ的选取与预测结果关系很大，μ值的改变会引起预测值与真实值之间的“错位偏差”。后续可以分析如何优化参数μ的选取从而改进预测结果。

判断一个动力学系统是否是混沌的重要标准就是吸引子的关联维数D和最大Lyapunov指数λ₁；若D为分数且λ₁>0，则该系统为混沌系统。关联维数D表征吸引子空间结构的复杂性程度，它给出奇异吸引子上混沌运动过程中自由度的估计。Lyapunov指数描述了吸引子邻近点的指数分离，是混沌系统对于初值敏感依赖性的定量判别。

分别采用小数据量法和GP算法^[12]估计最大Lyapunov指数和关联维数。将改进方法输出的预测序列替代原实验数据，提取其最大Lyapunov指数λ₁和关联维数D。通过小数据量法对目标1和目标2的预测序列求最大Lyapunov指数，距离对数平均数yi与步数i关系分别如图12(a)和图15(a)所示。由最小二乘法拟合近似线性段的斜率，可得目标1和目标2的预测序列的最大Lyapunov指数分别为150.92和165.34大于零，验证了目标1和目标2的预测序列具有混沌特性且该特征可分。依据GP算法，依次取m=3、4、5、6、7，分别对目标1和目标2的预测序列进行相空间重构，绘制关联积分对数关系曲线lnCr-lnr。如图12(b)和15(b)所示，最佳嵌入维数m=6和m=5时的拟合斜率分别为目标1和目标2的吸引子关联维数，D=0.35和D^'=0.24。由于关联维数为分数，且两类目标显著不同，再次验证了两组信号的非线特性可分。

图15 目标2的非线性特征提取 Fig.15 Nonlinear features of Target 2

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混沌作为非线性系统的一种重要的运动形态，揭示了非线性系统内在的特殊规律。提取目标信号的最大Lyapunov指数λ₁和关联维数D，联合时域波形结构特征、时频特征等等，即可构建目标特征不变量矢量。为目标分类识别提供依据。

本文利用了平均互信息方法和改进的伪邻近点法(Cao方法)估计延迟时间和嵌入维数，进行了相空间重构；在此基础上，应用Kalman滤波器估计Volterra核的方法对两种水面目标信号进行短期预测，并将结果与常规的Volterra滤波器预测方法进行了对比分析；根据改进方法输出的预测序列，分别提取了非线性特征最大Lyapunov指数和关联维数。得到了以下结论：

1)自适应Kalman滤波算法在迭代过程中从时间平均意义上改进了Volterra级数核的估计过程，预报误差较常规方法有显著降低；

2)改进的滤波算法在多步之后仍保持较小的预测误差，预测结果稳定，收敛性好，鲁棒性强；

3)提取的两类水面目标信号的最大Lyapunov指数和关联维数验证了两种水面目标信号具有混沌特性，且非线性可分。

未来的研究工作将着眼于如何提高预测精度，实现有效的多步预测，这对提取目标信号，信号检测和识别将有很大益处。