由于船舶运动具有大惯性、时滞、非线性等特点，因此船舶航向控制是一个复杂的非线性不确定性系统的控制问题。伴随着控制理论的日趋发展，近年来，各种控制技术不断的应用于船舶航向控制领域^{[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]}。同时，由于船舶舵机无法实现阶跃操舵，故还应考虑舵机伺服系统特性^[8]。

但现阶段上述控制技术都只限于连续时间系统,而离散系统可以比连续系统更为真实描述控制系统的实际问题。但由于存在因果关系冲突等问题,许多先进的控制技术不能直接应用了离散控制系统,至今鲜有文献针对航向离散非线性控制系统开展研究^{[9, 10]}。然而,在上述方法中,由于多个逼近器的使用,使得控制器的复杂程度与计算负担会随着系统阶数的增加而迅速增大,即存在“计算量膨胀”的问题。

本文针对考虑舵机特性的船舶航向离散非线性控制系统,提出了一种新的复杂程度小、计算负担小的自适应神经网络控制方法。在进行后推控制设计之前,原船舶航向离散系统通过变换得到等价的能够预测变量的前向预测系统。在整个设计的中间步骤，虚拟控制律并不需要实际实现，而是保留其未知部分并进入到下一设计步骤。在设计过程的最后一步，通过使用单一神经网络对系统的所有未知部分进行在线逼近，给出了一个实际的自适应控制律。稳定性分析证明闭环系统的所有信号是一致最终有界的,最后运用“育鲲”轮数据进行仿真研究证明了所提方法的有效性。

1 问题描述

在连续系统中,船舶航向非线性控制系统数学模型中舵角 δ和航向φ之间的关系可以描述为

$\ddot \phi + \frac{1}{T}H\dot \phi {\text{ = }}\frac{K}{T}\delta $

(1)

式中：K为船舶的回转性指数,T为船舶的跟从性指数，H($\dot \phi $)为$\dot \phi $的非线性函数,可以近似表示为

$$H(\dot \phi ) = {a_1}\dot \phi + {a_2}{\dot \phi ^3} + {a_3}{\dot \phi ^5} + \cdot \cdot \cdot $$

(2)

式中：a_i(i=1,2,3,…)为船舶非线性系数,是实值常数。

为了贴近于实际应用以获得良好航向控制性能的角度,不应忽略船舶舵机系统无法实现阶跃操舵的特性,通常船舶舵机特性可用下述模型表示^[11]:

$$\dot \delta = - \frac{1}{{{T_E}}}\delta + \frac{{{K_E}}}{{{T_E}}}{\delta _E}$$

(3)

式中：δ_E是舵机的命令舵角,T_E和K_E是舵机的时间常数和控制增益。

定义x₁=$\phi $,x₂=${\dot \phi }$,x₃=δ以及u=δ_E,式(1)～(3)经过离散化,得到严反馈形式的考虑舵机特性的船舶航向离散非线性控制系统数学模型：

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_1}(k + 1) = {x_2}k)} \\ {{x_2}(k + 1) = {f_2}({x_2}(k)) + {g_2}{x_3}(k)} \\ {{x_3}(k + 1) = {f_3}({x_3}(k)) + {g_3}u(k)} \\ {{y_k} = {x_1}(k)} \end{array}} \right.\]

(4)

式中：x_i∈Rⁱ,i=1,2,3是系统的状态变量;u(k)∈R和y_k(k)∈R分别是系统的输入与输出; 函数f₂(x₂(k))=－(1/T)(a₁x₁(k)+a₂x₂³(k)),f₃(x₃(k))= －(1/T_E)x₃(k);参数g₂=K/T,g₃=K_E/T_E。一般情况下,g₂和g₃均为正数且均小于1。

本文的控制目标是设计一种简单易行的自适应控制器,使得 :1)系统(4)输出信号y_k能够跟踪一个已知且有界的跟踪信号y_d(k),且跟踪误差任意小; 2)闭环系统的所有信号都全局一致最终有界。

假设1 跟踪信号y_d(k)∈Ω_y,∀k ＞0光滑且已知，其中Ω_y:={χχ=x₁}。

2 径向基神经网络

在控制工程领域,径向基神经网络由于其优异的逼近性能常被用于处理模型中的非线性方程。本文利用径向基神经网络逼近平滑函数h(z):R^q→R:

hnn(z)=WTS(z)

(5)

式中：l ＞1代表节点数,W=[w₁ w₂ … w_l]^T∈R^l是权重向量, z∈Ω_z$ \subset $R^q是输入向量, S(z)=[ s₁(z) s₂(z),…,s_l(z)]^T∈R^l代表激活函数,s_i(z)(i=1,2,…,l)通常采用高斯函数：

$${s_i}(z) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi \eta _i^2} }}\exp \left( { - \frac{{{{\left( {z - {u_i}} \right)}^{\text{T}}}\left( {z - {u_i}} \right)}}{{2\eta _i^2}}} \right)$$

(6)

式中:μ_i=[μ_i1 μ_i2 … μ_iq]^T代表中心值,η_i代表高斯函数宽度。

可以证明径向基神经网络能在紧集Ω_z$ \subset $R ^q上以任意精度逼近联系函数h( z):

h(z)= W*T SS(z)+ εz,∀z∈Ωz

(7)

式中：W^*是理想权重常数,ε_z是神经网络逼近误差。

理想权重向量W^*是为了方便分析而人为定义的量。特别的,W^*被定义为对所有的z∈Ω_z$ \subset $R^q使$\left| \varepsilon \right|$最小的W的值:

\[{{\text{W}}^*}: = \arg \mathop {\min }\limits_{W \in {R^l}} \left\{ {\mathop {\sup }\limits_{z \in \Omega z} \left| {h(z) - {{\text{W}}_{\text{T}}}S(z)} \right|} \right\}\]

(8)

通常,理想神经网络权重W^*是未知的,需要被估计。在本文中,定义${\hat W}$是理想神经网络权重 W^*的估计值。

考虑径向基神经网络的激活函数及其输入向量,下述神经网络特性^[12]将会被用于证明闭环系统的稳定性: λ_max[S( z)S^T(z)] ＜1,S^T(z)S(z) ＜1

假设2 在紧集Ω_z$ \subset $R ^q中,理想神经网络权重W^*满足‖W^*‖≤w_n,其中w_n是一个正的常数。

3 控制器设计

通过观察可以发现,当采用后推技术构造严反馈形式的考虑舵机特性的船舶航向离散非线性系统(4)的控制器时,存在着因果关系冲突的问题,无法进行后推控制设计。从而需要将系统转换成适合后推控制设计的特别形式。因此,可将系统(4)通过变化得到其等价形式^[13]:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_1}(k + 3) = {x_2}(k + 2)} \\ {{x_2}(k + 2) = {F_2}(\mathop {{x_3}(k)) + {g_2}{x_3}(k + 1)}\limits^{} } \\ {{x_3}(k + 1) = {F_3}(\mathop {{x_3}(k)) + {g_3}u(k)}\limits^{} } \\ {{y_k} = {x_1}(k)} \end{array}} \right.\]

(9)

式中，${\bar x_3}$(k)=[x₁(k) x₂(k) x₃(k)]^T,F₂(${\bar x_3}$(k))是一个高度非线性的未知函数。得到系统(9)不存在因果关系冲突的问题。

现采用单一神经网络,对考虑舵机特性的船舶航向离散非线性系统(9)进行后推控制设计。设计过程分为3部: 前2步分别设计2个虚拟控制率,第3步给出实际的自适应控制率。

为了控制设计和分析的方便，令 F₂(k)=F₂(${\bar x_3}$(k)),f₃(k)=f₃(${\bar x_3}$(k))

步骤1) 定义误差η₁(k)=x₁(k)－y_d(k),则

η1(k+3)=x1(k+3)－yd(k+3)= x2(k+2)－yd(k+3)

(10)

选取α₂(k+2)为式(10)的虚拟控制率,如果选取

α2(k+2)=yd(k+3)

(11)

则误差η₁(k+3)=0,定义误差

η2(k+2)=x2(k+2)－α2(k+2)

(12)

将式(11)代入式(12),则

x2(k+2)=η2(k+2)+α2(k+2)= η2(k+2)+yd(k+3)

(13)

将式(13)代入式(10),则

η1(k+3)=η2(k+2)(14)

(14)

步骤2)对于误差η₂(k)=x₂(k)－α₂(k),有

η2(k+2)=x2(k+2)－α2(k+2)= g2x3(k+1)+F2(k)－α2(k+2)

(15)

选取α₃(k+1)为式(15)的虚拟控制率,如选取

α3(k+1)=－[F2(k)－α2(k+2)]/g2

(16)

则误差η₂(k+2)=0,定义误差

η3(k+1)=x3(k+1)－α3(k+1)

(17)

将式(16)代入式(17),则

x3(k+1)=η3(k+1)+α3(k+1)= η3(k+1)－[F2(k)－α2(k+2)]/g2

(18)

将式(18)代入式(15),则

η2(k+2)=g2η3(k+1)

(19)

步骤3)对于误差η₃(k)=x₃(k)－α₃(k),有

η3(k+1)=x3(k+1)－α3(k+1)= g3u(k)+f3(k)－α3(k+1)

(20)

很明显，如果选取

u(k)=u*(k)=－[f3(k)－α3(k+1)]/g3

(21)

则误差η₃(k+1)=0。由于F₂(k)是未知函数，不能构造虚拟控制u^*(k)。因此,本文采用径向基神经网络逼近u^*(k):

u*(k)=W*T S(z(k))+εz(z(k)) z(k)=[${\bar x_3}$T(k) yd(k+3)]T∈Ωz$ \subset $R4

(22)

然后选取实际控制率:

u(k)=${{\rm{\hat W}}}$TS( z(k))

(23)

及其权重自适应率:

${{\rm{\hat W}}}$T(k+1)=${{\rm{\hat W}}}$(k)－Γ[S(z(k))η1(k+1)+σ${{\rm{\hat W}}}$(k)]

(24)

将式(23)代入式(20),则

η3(k+1)=g3${{\rm{\hat W}}}$T(k)S( z(k))+f3(k)－α3(k+1)

(25)

在等式(25)右边则加减g₃u^*(k)并代入式(22),有

η3(k+1)=g3${{\rm{\hat W}}}$T(k)S(z(k))+f3(k)－α3(k+1)+ u*(k)－g3[W*T(k)S(z(k))+εz(z(k))]

(26)

将式(21)代入式(26)有

η3(k+1)=g3[${{\rm{\tilde W}}}$T(k)S (z(k))－εz]

(27)

定理1 对给定的ε_z＞0,设W为径向基神经网络的理想权重。则由系统(9),实际控制率(23)和自适应率(24)构成的闭环系统对于任意有界的初始条件是一致最终有界的，并且可以通过调整参数使得跟踪误差收敛于原点的一个小邻域内。

选取闭环系统的Lyapunov预选函数:

V=η12(k)Γ+$\sum\limits_{i = 2}^3 {\eta _i^2} $(k)+${{\rm{\tilde W}}}$T(k)Γ－1${{\rm{\tilde W}}}$(k)

(28)

式(28)差分有 ΔV=[η₁²(k+1)－η₁²(k)]Γ+$\sum\limits_{i = 2}^3 {[\eta _i^2} $(k+1)－η²_i(k)]+ ${{\rm{\tilde W}}}$^T(k+1)Γ^－1${{\rm{\tilde W}}}$(k+1)－${{\rm{\tilde W}}}$^T(k)Γ^－1${{\rm{\tilde W}}}$(k)= －η₁²(k)Γ－(1－Γ)η²₂(k)－(1－g²₂)η₃²(k)+ η₃²(k+1)－2${{\rm{\tilde W}}}$^T(k)[S(z(k))η₁(k+1)+ σ${{\rm{\hat W}}}$(k)]+[S(z(k))η₁(k+1)+σ${{\rm{\hat W}}}$(k)]^TΓ× [S(z(k))η₁(k+1)+σ${{\rm{\hat W}}}$(k)]= －η₁²(k)Γ－(1－Γ)η²₂(k)－(1－g²₂)η₃²(k)+ [g₃${{\rm{\tilde W}}}$^T(k) S(z(k))]2－2g₃${{\rm{\tilde W}}}$^T(k)S(z(k))ε_z+ g₃²ε_z²－2${{\rm{\tilde W}}}$^T(k)S(z(k))η₁(k+1)- 2σ${{\rm{\tilde W}}}$^T(k)${{\rm{\hat W}}}$(k)+S^T(z(k))ΓS(z(k))× η₁²(k+1)+2σ${{\rm{\hat W}}}$^T(k)ΓS(z(k))η₁(k+1)+ σ²${{\rm{\hat W}}}$^T(k)Γ${{\rm{\hat W}}}$(k)≤ －η₁²(k)Γ－(1－Γ)η²₂(k)－(1－g²₂)η₃²(k)+ [₃^g${{\rm{\tilde W}}}$^T (k)S(z(k))]2+2g₃${{\rm{\tilde W}}}$^T (k)S(z(k))ε_z+ g₃²ε_z²+2${{\rm{\tilde W}}}$^T(k)S(z(k))η₁(k+1)- 2σ${{\rm{\tilde W}}}$^T(k) ${{\rm{\hat W}}}$(k)+ S^T(z(k))ΓS(z(k))× η₁²(k+1)+2σ${{\rm{\hat W}}}$^T(k)ΓS(z(k))η₁(k+1)+ σ²${{\rm{\hat W}}}$^T(k)Γ${{\rm{\hat W}}}$(k) 已知 S^T( z(k))S(z(k))＜l, S^T(z(k))ΓS(z(k))≤$\bar \gamma $l, 2g₃${{\rm{\tilde W}}}$^T(k) S(z(k))ε_z≤l‖${{\rm{\tilde W}}}$(k)‖²+g₃²ε_z², 2${{\rm{\tilde W}}}$^T(k) S(z(k))η₁(k+1)≤ ‖${{\rm{\tilde W}}}$(k)‖²/$\bar \gamma $+$\bar \gamma $lη₁²(k+1) 2ε_zη₁(k+1)≤$\bar \gamma $η₁²(k+1)+ε_z²/$\bar \gamma $, 2σ${{\rm{\hat W}}}$^T(k)ΓS( z(k))η₁(k+1)≤ $\bar \gamma $lη₁²(k+1)+σ²$\bar \gamma $‖${{\rm{\hat W}}}$(k)‖², 2${{\rm{\tilde W}}}$^T(k)${{\rm{\hat W}}}$(k)=‖${{\rm{\tilde W}}}$(k)‖²+‖${{\rm{\hat W}}}$(k)‖²－‖W^*‖²

可以得到 ΔV≤－$\bar \gamma $η₁²(k)－ρη²₂(k)－(1－g²₂)η₃²(k)- σ(1－2σ$\bar \gamma $)‖${{\rm{\hat W}}}$(k)‖+β 其中,ρ=1－$\bar \gamma $－3$\bar \gamma $l,β=2g₃²ε_z²－σ‖W^*‖²。由于船舶特性，g₂的绝对值小于1,如果选取如下控制参数:

0 ＜$\bar \gamma $ ＜$\frac{1}{{1 + 3l}},\sigma ＜ \frac{1}{{2\bar \gamma }}$

(29)

则当跟踪误差η₁(k)＞$\sqrt \beta $时,V≤0。这表明跟踪误差η₁(k)、η₂(k)和η₃(k)有界并收敛于紧集Ω_η$ \subset $R,其中Ω_η:={χχ≤$\sqrt \beta $}。因此，闭环系统的所有信号一致最终有界。

4 计算机仿真算例

现以大连海事大学远洋教学实习船“育鲲”轮为例进行仿真研究,以验证所提控制方法的有效性。

选择跟踪信号时，选取能够代表某一实际性能要求的数学模型 ^[8]:

$\phi $m(k+2)+0.1m(k+1)+ 0.002 5m(k)=0.002 5r(k)

(30)

式中：$\phi $_m(k)表征了船舶航向的理想系统性能。 $\phi $_r(k)=(sign(sin(πk/500))+1) π/12是一个经过处理的输入信号,其取值为0°～30°,周期为500 s。

已知“育鲲”轮航向离散非线性系统数学模型参数 a₁=1,a₂=30,K=0.2,T=64,舵机特性参数K_E=1,T_E=2.5。

在仿真中,选择径向基神经网络含有25个节点(即l=25),其中心μ_i(i=1,…,l)平均分布在[－4,4]×[－4,4],宽度η_i=2(i=1,…,l),初始权重${{\rm{\hat W}}}$(0)=0。选取控制器参数Γ=0.1,σ=0.08，系统初始条件选取为 x(0)=[0 0 0]^T。

利用Matlab进行仿真,仿真结果见图1, 图2, 图3, 图4。

通过仿真研究可知该算法与传统的离散神经网络自适应控制算法的时间复杂度大致相同，约为线性阶O(n),但本文所提出的算法的时间频度T(n)约为51n,而传统的算法的时间频度T(n)约为151n,由此可以看出,针对同一仿真对象,本文所提算法只需花费传统算法1/3的时间。

4 结束语

本文针对考虑舵机特性的船舶航向离散非线性控制系统，提出了一种新的复杂程度小、计算负担小的自适应神经网络控制方法。该控制设计方法有效地减轻控制系统存在的“计算量膨胀”问题,并具有控制器结构简单,控制参数少,易于工程实现等优点。闭环系统的所有信号通过稳定性分析证明是一致最终有界的。计算机仿真结果证明了该控制设计方法的有效性。