柔性紧耦合多机器人联合吊运系统是多机器人系统的重要分支，现阶段关于柔性紧耦合多机器人联合吊运系统的研究虽然刚刚起步，但已逐渐成为研究热点。在文献[1]中利用 Kaman K-MAX 全尺寸无人直升机来实现吊运操作。Markus Bernard等^[2]利用两架小型无人直升机做了吊运实验。 I.Maza等^{[3, 4]}用三架小型无人直升机进行了吊运控制实验 。Nathan Michael等^[5]考虑了被吊运物的稳定性及静力学平衡，讨论了多机吊运系统的空间配置。随后，Qimi Jiang等^[6]建立了多机吊运系统的逆运动学模型。Peng Cheng 等^[7]探讨了利用多台地面移动机器人协调拖曳一个物体在光滑平整室内地面上运动，在考虑了干摩擦力和拉紧力约束的情况下，建立了系统的微分运动方程，讨论了不同系统配置下的配平条件。赵志刚等在UG/ADAMS/MATLAB三个软件联合控制虚拟仿真平台的基础上，建立了虚拟仿真实验平台，并利用三台工业机器人/运动控制卡/上位机/物体位姿追踪器搭建了实体实验平台，初步探讨了紧耦合多机器人联合协同吊运同一重物系统的特点和多机器人之间合适分配对被吊运重物的操作力，对系统的运动学和动力学建模进行了初步探索^{[8, 9, 10, 11]}。可以看出，柔性紧耦合多机器人联合吊运系统的文献只有为数不多的几篇，所涉及的研究工作仅从硬件和软件结构上讨论了系统所涉及的基本问题，虽然尝试对系统进行控制，但并没有从根本对系统进行模型和稳定性分析，无法指导实际应用。

多机器人联合吊运系统的运动学逆解是系统进行一系列研究的基础，对整个系统的研究有着至关重要的作用。郑亚青等^[12]探讨了三种构型的六自由度绳牵引门式起重机器人的运动学位置逆解。Bin Zi等^[13]对三台吊车同时吊运一个重物进行了逆解分析。可以看出，关于多机器人联合吊运的运动学逆解，基本是对特定构型的系统进行探讨，没有形成通用的体系。

文中以三台工业机器人为例，建立了系统运动学模型,对系统逆运动学进行分析,建立了虚拟控制仿真系统。进行仿真计算，并对结果进行了分析。

1 多机器人联合吊运系统构型

多机器人联合吊运系统是3台三自由度的机器人通过绳索吊运重物构成，如图 1所示。

建立空间固定坐标系o-xyz，建立机器人根部坐标系o_i-xyz，2个坐标系的初始姿态相同；机器人的根部相对于固定坐标系o-xyz的坐标为x_i^g,y_i^g,z_i^g；机器人的臂长为a_i1,a_i2,a_i3；绳索长度为l_i；机器人末端P₁、P₂、P₃相对于机器人根部坐标系o_i-xyz的坐标为x_i^',y_i^',z_i^'，相对于坐标系o-xyz的坐标为x_i,y_i,z_i；物体相对于固定坐标系的坐标x,y,z。其中i=1,2,3分别对应3台机器人。

在重物的质心建立重物体坐标系o_g-xyz如图 2所示，它们的初始姿态始终也相同。

3根绳索与重物的连接点J₁、J₂、J₃相对于重物体坐标系的坐标为x_i^**,y_i^**,z_i^**，当3个欧拉角j₁,j₂,j₃为零时，3个连接点坐标为x_i^*,y_i^*,z_i^*。

2 系统运动学建模

吊运系统的运动学，在初始参数已知的情况下，即已知机器人的关节角θ_i1,θ_i2,θ_i3，求解吊运重物的位姿x,y,z,φ₁,φ₂,φ₃,建立被吊重物位姿与机器人关节角的关系式。

2.1 单个机器人运动学模型

设定机器人3个关节角θ_i1,θ_i2,θ_i3，通过D-H坐标变化得到机器人末端相对于机器人根部坐标系o_i-xyz的位置坐标为

$ \left[\begin{matrix} x_{i}^{'} \\ y_{i}^{'} \\ z_{i}^{'} \\ \end{matrix} \right]=\left[\begin{matrix} {{c}_{i1}}{{c}_{i2}}{{c}_{i3}}{{\alpha }_{i3}}-{{c}_{i1}}{{s}_{i2}}{{s}_{i3}}{{\alpha }_{i3}}+{{c}_{i1}}{{c}_{i2}}{{\alpha }_{i2}} \\ {{s}_{i1}}{{c}_{i2}}{{c}_{i3}}{{\alpha }_{i3}}-{{s}_{i1}}{{s}_{i2}}{{s}_{i3}}{{\alpha }_{i3}}+{{c}_{i2}}{{s}_{i2}}{{\alpha }_{i2}} \\ {{s}_{i1}}{{c}_{i3}}{{\alpha }_{i3}}+{{c}_{i2}}{{s}_{i3}}{{\alpha }_{i3}}+{{s}_{i2}}{{\alpha }_{i2}}+{{\alpha }_{i1}} \\ \end{matrix} \right]\ $

(1)

式中：c_i1、c_i2、c_i3是机器人3个关节角的余弦值；s_i1、s_i2、s_i3是机器人的3个关节角的正弦值。通过坐标转换，得到3台机器人末端相对固定坐标系o-xyz的坐标为

$ \left[{{x}_{i}},{{y}_{i}},{{z}_{i}} \right]=\left[{{x}_{i}}^{g},{{y}_{i}}^{g},{{z}_{i}}^{g} \right]+\left[{{x}_{i}}^{'},{{y}_{i}}^{'},{{z}_{i}}^{'} \right]\ $

(2)

2.2 多机器人吊运系统运动学模型

由单个机器人的运动学模型，解得已知机器人的关节角，得到机器人末端相对于固定坐标系的坐标。建立吊运系统的运动学模型即是建立物体位姿关于机器人末端点坐标的函数关系表达式。

2.2.1 吊运系统的位移约束

定义绳向量是结点坐标减去相对应的机器人末端点坐标。绳向量满足矢量封闭原理如图 2所示，在三角形P₁GJ₁、P₂GJ₂、P₃GJ₃中存在关系式P_iJ_i等于P_iG与GJ_i之和：

$ {{P}_{i}}{{J}_{i}}={{P}_{i}}G+G{{J}_{i}} $

(3)

式中：

$ {{P}_{i}}G=\left( x,y,z \right)-\left( {{x}_{i}},{{y}_{i}},{{z}_{i}} \right) $

(4)

$ G{{J}_{i}}={{T}_{z}}\left( {{\varphi }_{3}} \right){{T}_{y}}\left( {{\varphi }_{2}} \right){{T}_{x}}\left( {{\varphi }_{1}} \right){{j}_{i}} $

(5)

其中，T_x(φ₁)、T_y(φ₂)、T_z(φ₃)分别为3个转动矩阵：

$ \begin{matrix} {{T}_{z}}\left( {{\varphi }_{3}} \right)=\left| \begin{matrix} c{{\varphi }_{3}}\ \ -s{{\varphi }_{3}}\ \ 0 \\ s{{\varphi }_{3}}\ \ \ c{{\varphi }_{3}}\ \ \ 0 \\ 0\ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ 1 \\ \end{matrix} \right| \\ {{T}_{y}}\left( {{\varphi }_{2}} \right)=\left| \begin{matrix} c{{\varphi }_{2}}\ \ \ 0\ \ \ s{{\varphi }_{2}} \\ 0\ \ \ \ \ 1\ \ \ \ \ 0 \\ -\ s{{\varphi }_{2}}\ \ 0\ \ \ c{{\varphi }_{2}} \\ \end{matrix} \right| \\ {{T}_{x}}\left( {{\varphi }_{1}} \right)=\left| \begin{matrix} 1\ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ 0 \\ 0\ \ \ c{{\varphi }_{1}}\ \ -s{{\varphi }_{1}} \\ 0\ \ s{{\varphi }_{1}}\ \ \ c{{\varphi }_{1}} \\ \end{matrix} \right| \\ {{j}_{i}}={{\left( {{x}_{i}}^{*},{{y}_{i}}^{*},{{z}_{i}}^{*} \right)}^{\text{T}}} \\ \end{matrix} $

在吊运系统中，绳索的长度始终不变，根据向量模的性质存在如下关系式：

$ {{P}_{i}}{{J}_{i}}\cdot {{P}_{i}}{{J}_{i}}^{\text{T}}={{\left\| {{P}_{i}}{{J}_{i}} \right\|}^{2}} $

(6)

其中||P_iJ_i||为绳索的长度。将式(4)、(5)代入式(3)，再将式(3)代入式(6)中，建立位移约束关系式，进而提供了3组关于物体位姿x,y,z,φ₁,φ₂,φ₃与机器人末端P₁,P₂,P₃坐标x_i,y_i,z_i的关系式(结点坐标x_i^*,y_i^*,z_i^*以及绳索长度l_i为对应的参数)。

2.2.2 吊运系统的速度关系

定义绳速度是结点J_i相对于P_i点的速度，由于绳长不变，绳速度V_i与绳向量P_iJ_i的方向垂直。从图 3中可以得到结点J_i相对于P_i点的速度V_i就是绳向量P_iJ_i的导数。可以得到下列关系式：

$ {{P}_{i}}{{J}_{i}}\cdot {{P}_{i}}^{\cdot }{{J}_{i}}=0 $

(7)

式中：

$ {{P}_{i}}^{\cdot }{{J}_{i}}={{P}_{i}}^{\cdot }G+{{G}_{i}}^{\cdot }{{J}_{i}} $

(8)

$ {{P}_{i}}^{\cdot }G=\left( \dot{x},\dot{y},\dot{z} \right)-\left( {{{\dot{x}}}_{i}},{{{\dot{y}}}_{i}},{{{\dot{z}}}_{i}} \right) $

(9)

$ {{G}^{\cdot }}{{J}_{i}}=\hat{\omega }G{{J}_{i}} $

(10)

其中，

$ \hat{\omega }=\left| \begin{matrix} 0\ \ -{{\omega }_{z}}\ \ {{\omega }_{y}} \\ {{\omega }_{z}}\ \ 0\ \ -{{\omega }_{x}} \\ -{{\omega }_{y}}\ \ {{\omega }_{x}}\ \ 0 \\ \end{matrix} \right|=-{{{\hat{\omega }}}^{\text{T}}} $

将关系式(9)、(10)代入式(8)，再将式(3)、(8)代入式(7)，建立吊运系统的速度关系。进而得到了3组关于物体位姿x,y,z,φ₁,φ₂,φ₃与机器人末端P₁、P₂、P₃坐标x_i,y_i,z_i的关系式(结点坐标x_i^*,y_i^*,z_i^*以及绳索长度l_i为相应的参数)。

2.2.3 机器人末端位移约束

在多机器人联合吊运过程中，由于多解的存在，使多机器人的运动学逆解比较复杂，本文中限定机器人末端轨迹为直线，如图 3所示，从而使所建模型只有单一逆解。由于直线的方程为一般方程，可以具体的、系统的、全面的分析多机器人联合吊运过程。当3台机器人的末端的位移为直线时，可以列出机器人末端位移的方程:

$ \left\{ \begin{matrix} {{x}_{i}}={{m}_{i}}{{T}_{i}}+{{a}_{i}} \\ {{y}_{i}}={{n}_{i}}{{T}_{i}}+{{b}_{i}} \\ {{z}_{i}}={{r}_{i}}{{T}_{i}}+{{c}_{i}} \\ \end{matrix} \right.\ $

(11)

式中：m_i、n_i、r_i、a_i、b_i、c_i分别为一般直线的参数。位移直线必须在相对应的单个机器人的可行域内，单台机器人的可行域是机器人末端点在空间可以达到空间范围，可以限定直线的参数范围保证线段在所对应的可行域内。在本文的求解时，假定参数满足以上条件。

2.2.4 吊运系统动力学方程

通过单机器人运动学模型可以得到机器人末端关于机器人关节角的函数，结合位移约束方程组和速度关系方程组解得重物的位姿表达式和绳向量。可以将绳索受力分解为竖直分力F_i^z、水平分力F_i^x、F_i^y，其中竖直分力F_i^z与重力一起决定着重物的沿z轴的加速度、绕x轴、y轴的转动角加速度；水平分力F_i^x、F_i^y决定着重物沿x轴、y轴的加速度和绕z轴的转动角加速度。根据牛顿-欧拉公式，可得到下列关系式：

$ \left\{ \begin{matrix} F_{1}^{z}+F_{2}^{z}+F_{3}^{z}-mg=m\ddot{z} \\ F_{1}^{z}y_{1}^{*}+F_{2}^{z}y_{2}^{*}+F_{3}^{z}y_{3}^{*}={{{\ddot{\varphi }}}_{1}}{{J}_{X}} \\ F_{1}^{z}x_{1}^{*}+F_{2}^{z}x_{2}^{*}+F_{3}^{z}x_{3}^{*}={{{\ddot{\varphi }}}_{2}}{{J}_{Y}} \\ \end{matrix} \right. $

(12)

式(12)可得出了三根绳索的竖直分力大小。已知绳索受力的方向和竖直分力大小，根据相似三角形原理，得到绳索的受力大小。根据力的合成与分解，得到水平分力的大小与方向：

$ {{F}_{i}}=F_{i}^{z}+F_{i}^{x}+F_{i}^{y} $

(13)

水平分力F_i^x、F_i^y提供重物沿x轴、y轴平动的加速度和绕z轴转动的角加速度：

$ \left\{ \begin{matrix} F_{1}^{x}+F_{2}^{x}+F_{3}^{x}=m\ddot{x} \\ F_{1}^{y}+F_{2}^{y}+F_{3}^{y}=m\ddot{y} \\ \sum\limits_{i=1}^{3}{F_{i}^{x}y_{i}^{*}+\sum\limits_{i=1}^{3}{F_{i}^{y}x_{i}^{*}={{J}_{Z}}{{{\ddot{\varphi }}}_{3}}}} \\ \end{matrix} \right. $

(14)

式中：J_X、J_Y、J_Z分别为重物绕x轴、y轴、z轴的转动惯量，m为物体的质量，$ {\ddot{x}} $、$ {\ddot{y}} $、$ {\ddot{z}} $分别为沿x轴、y轴、z轴的平动加速度,$ {{{\ddot{\varphi }}}_{1}} $、$ {{{\ddot{\varphi }}}_{2}} $、$ {{{\ddot{\varphi }}}_{3}} $分别为绕x轴、y轴、z轴的转动角加速度。

3 系统逆运动学分析

吊运系统物体有六个自由度的运动，包括三个平移运动和三个旋转运动。从任务出发，并考虑分析的方便性，限定机器人末端轨迹为直线，这样逆运动学求解过程不再有耦合性，可将系统运动直接分解为六个子运动。假设被吊运物体在欧拉角为零的初始点开始运动，可以得到以下的结果。由于单个机器人的逆运动学相对比较成熟，这里不再进行讨论，重点探讨机器人末端位置和被吊运物体位姿之间的关系式。

3.1 平动时逆运动学分析

被吊运物体从欧拉角都为零的初始点开始运动，假设当其沿一个轴平动时，在其他轴上的运动为零，同时三个欧拉角始终为零。v_x为沿x轴的速度，v_y为沿y轴的速度，v_z为沿z轴的速度。可以分别得到物体单向平移运动时机器人末端位置关于物体运动期望值的关系式。

被吊运物沿x轴平动时，机器人末端坐标(x_i,y_i,z_i)(i=1,2,3)如下：

$ \left\{ \begin{matrix} {{x}_{i}}={{m}_{i}}\frac{\left( \int\limits_{0}^{t}{{{v}_{x}}\text{d}t-{{a}_{i}}+x_{i}^{*}} \right)\left( {{v}_{x}}-{{m}_{i}} \right)+{{n}_{i}}\left( {{b}_{i}}-y_{i}^{*} \right)+{{r}_{i}}\left( {{c}_{i}}-z_{i}^{*} \right)}{\left( {{v}_{x}}-{{m}_{i}} \right){{m}_{i}}-n_{i}^{2}-r_{i}^{2}}+{{a}_{i}} \\ {{y}_{i}}={{n}_{i}}\frac{\left( \int\limits_{0}^{t}{{{v}_{x}}\text{d}t-{{a}_{i}}+x_{i}^{*}} \right)\left( {{v}_{x}}-{{m}_{i}} \right)+{{n}_{i}}\left( {{b}_{i}}-y_{i}^{*} \right)+{{r}_{i}}\left( {{c}_{i}}-z_{i}^{*} \right)}{\left( {{v}_{x}}-{{m}_{i}} \right){{m}_{i}}-n_{i}^{2}-r_{i}^{2}}+{{b}_{i}} \\ {{z}_{i}}={{r}_{i}}\frac{\left( \int\limits_{0}^{t}{{{v}_{x}}\text{d}t-{{a}_{i}}+x_{i}^{*}} \right)\left( {{v}_{x}}-{{m}_{i}} \right)+{{n}_{i}}\left( {{b}_{i}}-y_{i}^{*} \right)+{{r}_{i}}\left( {{c}_{i}}-z_{i}^{*} \right)}{\left( {{v}_{x}}-{{m}_{i}} \right){{m}_{i}}-n_{i}^{2}-r_{i}^{2}}+{{c}_{i}} \\ \end{matrix} \right. $

被吊运物沿y轴平动时，机器人末端坐标(x_i,y_i,z_i),(i=1,2,3)如下：

$ \left\{ \begin{matrix} {{x}_{i}}={{m}_{i}}\frac{{{m}_{i}}\left( x_{i}^{*}-{{a}_{i}} \right)+\left( \int\limits_{0}^{t}{{{v}_{y}}\text{d}t-{{b}_{i}}+y_{i}^{*}} \right)\left( {{n}_{i}}-{{v}_{y}} \right)+{{r}_{i}}\left( z_{i}^{*}-{{c}_{i}} \right)}{m_{i}^{2}+r_{i}^{2}+\left( {{v}_{y}}-{{n}_{i}} \right)\left( -{{n}_{i}} \right)}+{{a}_{i}} \\ {{y}_{i}}={{n}_{i}}\frac{{{m}_{i}}\left( x_{i}^{*}-{{a}_{i}} \right)+\left( \int\limits_{0}^{t}{{{v}_{y}}\text{d}t-{{b}_{i}}+y_{i}^{*}} \right)\left( {{n}_{i}}-{{v}_{y}} \right)+{{r}_{i}}\left( z_{i}^{*}-{{c}_{i}} \right)}{m_{i}^{2}+r_{i}^{2}+\left( {{v}_{y}}-{{n}_{i}} \right)\left( -{{n}_{i}} \right)}+{{b}_{i}} \\ {{z}_{i}}={{r}_{i}}\frac{{{m}_{i}}\left( x_{i}^{*}-{{a}_{i}} \right)+\left( \int\limits_{0}^{t}{{{v}_{y}}\text{d}t-{{b}_{i}}+y_{i}^{*}} \right)\left( {{n}_{i}}-{{v}_{y}} \right)+{{r}_{i}}\left( z_{i}^{*}-{{c}_{i}} \right)}{m_{i}^{2}+r_{i}^{2}+\left( {{v}_{y}}-{{n}_{i}} \right)\left( -{{n}_{i}} \right)}+{{c}_{i}} \\ \end{matrix} \right. $

被吊运物沿z轴平动时，机器人末端坐标(x_i,y_i,z_i),(i=1,2,3)如下：

$ \left\{ \begin{matrix} {{x}_{i}}={{m}_{i}}\frac{{{m}_{i}}\left( x_{i}^{*}-{{a}_{i}} \right)-{{n}_{i}}\left( y_{i}^{*}+{{b}_{i}} \right)+\left( \int\limits_{0}^{t}{{{v}_{y}}\text{d}t-{{c}_{i}}+z_{i}^{*}} \right)\left( {{r}_{i}}-{{v}_{z}} \right)}{m_{i}^{2}+n_{i}^{2}+\left( {{v}_{z}}-{{r}_{i}} \right)\left( {{r}_{i}} \right)}+{{a}_{i}} \\ {{y}_{i}}={{n}_{i}}\frac{{{m}_{i}}\left( x_{i}^{*}-{{a}_{i}} \right)-{{n}_{i}}\left( y_{i}^{*}+{{b}_{i}} \right)+\left( \int\limits_{0}^{t}{{{v}_{y}}\text{d}t-{{c}_{i}}+z_{i}^{*}} \right)\left( {{r}_{i}}-{{v}_{z}} \right)}{m_{i}^{2}+n_{i}^{2}+\left( {{v}_{z}}-{{r}_{i}} \right)\left( {{r}_{i}} \right)}+{{b}_{i}} \\ {{z}_{i}}={{r}_{i}}\frac{{{m}_{i}}\left( x_{i}^{*}-{{a}_{i}} \right)-{{n}_{i}}\left( y_{i}^{*}+{{b}_{i}} \right)+\left( \int\limits_{0}^{t}{{{v}_{y}}\text{d}t-{{c}_{i}}+z_{i}^{*}} \right)\left( {{r}_{i}}-{{v}_{z}} \right)}{m_{i}^{2}+n_{i}^{2}+\left( {{v}_{z}}-{{r}_{i}} \right)\left( {{r}_{i}} \right)}+{{c}_{i}} \\ \end{matrix} \right. $

3.2 旋转时逆运动学分析

当被吊运物体绕某一轴转动时，假定绕其他轴的角速度、角度都为零，同时三个轴向位移始终为零。ω₁为沿x轴的角速度，ω₂为沿y轴的角速度，ω₃为沿z轴的角速度。可以分别得到物体单向旋转运动时机器人末端位置关于物体运动期望值的关系式。

被吊运物绕x轴转动时，机器人末端坐标(x_i,y_i,z_i),(i=1,2,3)如下：

$ \left\{ \begin{matrix} {{x}_{i}}={{m}_{i}}\frac{{{M}_{i}}}{{{N}_{i}}}+{{a}_{i}} \\ {{y}_{i}}={{n}_{i}}\frac{{{M}_{i}}}{{{N}_{i}}}+{{b}_{i}} \\ {{z}_{i}}={{r}_{i}}\frac{{{M}_{i}}}{{{N}_{i}}}+{{c}_{i}} \\ \end{matrix} \right. $

$ \begin{matrix} {{M}_{i}}={{m}_{i}}\left( x_{i}^{*}-{{a}_{i}} \right)+\left( {{n}_{i}}-y_{i}^{*}s{{\varphi }_{1}}{{\omega }_{1}}+z_{i}^{*}c{{\varphi }_{1}}{{\omega }_{1}} \right)\cdot \\ \left( y_{i}^{*}c{{\varphi }_{1}}-{{b}_{i}}-z_{i}^{*}s{{\varphi }_{1}} \right)+\left( {{r}_{i}}-y_{i}^{*}c{{\varphi }_{1}}{{\omega }_{1}}+z_{i}^{*}s{{\varphi }_{1}}{{\omega }_{1}} \right) \\ \end{matrix} $

$ \begin{matrix} {{N}_{i}}=m_{_{i}}^{2}\left( -{{n}_{i}} \right)\left( -{{n}_{i}}+y_{i}^{*}s{{\varphi }_{1}}{{\omega }_{1}}-z_{i}^{*}c{{\varphi }_{1}}{{\omega }_{1}} \right)+ \\ \left( -{{r}_{i}} \right)\left( -{{r}_{i}}+y_{i}^{*}c{{\varphi }_{1}}{{\omega }_{1}}+z_{i}^{*}s{{\varphi }_{1}}{{\omega }_{1}} \right) \\ \end{matrix} $

被吊运物沿y轴转动时，机器人末端坐标(x_i,y_i,z_i),(i=1,2,3)如下：

$ \left\{ \begin{matrix} {{x}_{i}}={{m}_{i}}\frac{{{M}_{i}}}{{{N}_{i}}}+{{a}_{i}} \\ {{y}_{i}}={{n}_{i}}\frac{{{M}_{i}}}{{{N}_{i}}}+{{b}_{i}} \\ {{z}_{i}}={{r}_{i}}\frac{{{M}_{i}}}{{{N}_{i}}}+{{c}_{i}} \\ \end{matrix} \right. $

$ \begin{matrix} {{M}_{i}}=\left( {{m}_{i}}-x_{i}^{*}s{{\varphi }_{2}}{{\omega }_{2}}-z_{i}^{*}c{{\varphi }_{2}}{{\omega }_{2}} \right)\left( -{{a}_{i}}+x_{i}^{*}c{{\varphi }_{2}}+ \right. \\ \left. z_{i}^{*}s{{\varphi }_{2}} \right)+{{n}_{i}}\left( -{{b}_{i}}+y_{i}^{*} \right)+\left( {{r}_{i}}-x_{i}^{*}c{{\varphi }_{2}}{{\omega }_{2}}-z_{i}^{*}s{{\varphi }_{2}}{{\omega }_{2}} \right) \\ \end{matrix} $

$ \begin{matrix} {{N}_{i}}=\left( -{{m}_{i}} \right)\left( -{{m}_{i}}+x_{i}^{*}s{{\varphi }_{2}}{{\omega }_{2}}+z_{i}^{*}c{{\varphi }_{2}}{{\omega }_{2}} \right)+n_{i}^{2}+ \\ \left( -{{r}_{i}} \right)\left( {{r}_{i}}-x_{i}^{*}c{{\varphi }_{2}}{{\omega }_{2}}-z_{i}^{*}s{{\varphi }_{2}}{{\omega }_{2}} \right) \\ \end{matrix} $

被吊运物绕z轴转动时，机器人末端坐标(x_i,y_i,z_i),(i=1,2,3)如下：

$ \left\{ \begin{matrix} {{x}_{i}}={{m}_{i}}\frac{{{M}_{i}}}{{{N}_{i}}}+{{a}_{i}} \\ {{y}_{i}}={{n}_{i}}\frac{{{M}_{i}}}{{{N}_{i}}}+{{b}_{i}} \\ {{z}_{i}}={{r}_{i}}\frac{{{M}_{i}}}{{{N}_{i}}}+{{c}_{i}} \\ \end{matrix} \right. $

$ \begin{matrix} \begin{matrix} {{M}_{i}}=\left( {{m}_{i}}-x_{i}^{*}s{{\varphi }_{3}}{{\omega }_{3}}+y_{i}^{*}c{{\varphi }_{3}}{{\omega }_{3}} \right)\left( -{{a}_{i}}-x_{i}^{*}c{{\varphi }_{3}}- \right. \\ \left. y_{i}^{*}s{{\varphi }_{3}} \right)+\left( {{n}_{i}}-x_{i}^{*}c{{\varphi }_{3}}{{\omega }_{3}}-y_{i}^{*}s{{\varphi }_{3}}{{\omega }_{3}} \right)\left( -{{b}_{i}}+ \right. \\ \end{matrix} \\ \left. x_{i}^{*}s{{\varphi }_{3}}+y_{i}^{*}c{{\varphi }_{3}} \right)+{{r}_{i}}\left( -{{c}_{i}}+z_{i}^{*} \right) \\ \end{matrix} $

$ \begin{matrix} {{N}_{i}}=\left( -{{m}_{i}} \right)\left( -{{m}_{i}}+x_{i}^{*}s{{\varphi }_{3}}{{\omega }_{3}}-y_{i}^{*}c{{\varphi }_{3}}{{\omega }_{3}} \right)+ \\ \left( -{{n}_{i}} \right)\left( -{{n}_{i}}+x_{i}^{*}c{{\varphi }_{3}}{{\omega }_{3}}+y_{i}^{*}s{{\varphi }_{3}}{{\omega }_{3}} \right)+r_{i}^{2} \\ \end{matrix} $

4 仿真实验

由于缆系式紧耦合多机器人系统比较复杂，出于安全和成本的考虑，利用UG/ADAMS/ MATLAB 建立虚拟控制仿真系统。系统运动控制虚拟仿真结构如图 4 所示。

首先在 UG 中绘制系统三维图形，并导入到 ADAMS 中，其中绳索建模时，应用100段小圆柱刚体，每段小圆柱刚体之间由球铰连接，实现虚拟系统中绳索的建模，则建立的虚拟系统如图 5所示。然后利用 MATLAB/Simulink 设计控制系统，最后利用 ADAMS 和 MATLAB/Simulink 之间的接口构成一个闭环虚拟仿真系统。

在控制仿真过程中，ADAMS 中多机虚拟模型的输出变量为各机器人位姿测量值，是进入 MATLAB 控制系统的输入变量；而 MATLAB 控制系统的输出变量为各机器人控制输入，也是返回到 ADAMS中的输入变量，可控制各机器人的位姿，进而调整被操作物的位姿到期望值，至此，就完成了一个闭环控制仿真循环。

在仿真时设定初始参数aⁱ¹=120 mm,aⁱ²=80 mm,aⁱ³=60 mm,l_i=150 mm,k₁=1.1,k₂=0.46,k₃=0.5,x₁^*=-3.4 mm,x₂^*=0 mm,x₃^*=3.4 mm,y₁^*=-2 mm,y₂^*=-4 mm,y₃^*=-2 mm,z₁^*=-0 mm,z₂^*=-0 mm,z₃^*=-0 mm,θ_i1=2π,θ_i2=2π,θ_i3=2π,x_i1^g=-161 mm,x_i2^g=80 mm,x_i3^g=80 mm,y_i1^g=0 mm,y_i2^g=140 mm,y_i3^g=-140 mm,z_i1^g=0 mm,z_i2^g=0 mm,z_i3^g=0 mm。

根据表 1中的参数，给定被吊运物体的期望运动，利用前文所述的逆运动学方程求解得到机器人末端坐标，并把机器人末端坐标加载到虚拟系统平台上，然后测量得到被吊运物体的实际运动。对比期望值与实测值，可以看出建立运动学模型的正确性与UG/ADAMS/MATLAB 建立虚拟控制仿真系统的合理性。

图 6(a)、(b)、(c)分别是物体沿x、y、z平动的期望值与实测值对比；图 6(d)、(e)、(f)分别是物体绕x、y、z转动的期望值与实测值对比。经过对物体位姿的三个平动和三个转动的期望值与实测值对比，验证运动学模型的正确性以及UG/ADAMS/MATLAB 建立虚拟控制仿真系统在精度允许的范围内的合理性。

由图可看出，平动时期望值与实测值拟合度很高，但转动时两者有较大的偏差，这可能是由于虚拟仿真系统建模时的简化导致的，接下来搭建实体实验平台进一步对所建模型进行验证。

5 结论

通过对紧耦合多机器人联合吊运系统逆运动学求解，完成了以下工作：

1) 建立了多机器人联合吊运系统的运动学模型及动力学模型，分析了逆运动学，得到了显示表达式。

2) 利用UG/ADAMS/MATLAB 建立了虚拟控制仿真系统实验平台并验证了模型的准确性。

逆运动学的研究是多机器人联合吊运系统的轨迹规划、路径跟踪等方面研究的基础，这是接下来要进一步研究的方向。