随着市场竞争的增加，现实中制造商和零售商面临的不确定因素和盈利压力也随之加大，在考虑利益的同时，不得不考虑风险承受能力。Rockafeller等^[1-2]提出用条件风险价值(CVaR)度量风险。很多学者对如何选择有效的度量风险的方法进行了广泛的研究^[3-5]，通过多种契约机制组合研究供应链是近年来的研究热点。文献[6-9]分别考察和研究了回购契约、收益共享契约和成本分摊契约等多种契约的定价和订货策略机制。文献[10-13]基于CVaR准则研究了风险规避对供应商和零售商决策行为的影响。黄晶等^[14]讨论了基于CVaR和供应商承诺回购的供应链决策模型，指出通过设计合理的供应链契约，存在最优回购率和最优银行贷款利率，以此缓解供应链的资金约束。

然而，作为度量方法，CVaR在一定程度上克服了VaR方法的缺点，但CVaR准则仅度量了低于分位数收益的平均值，而忽略了高于分位数的部分收益，使得决策者预期收益也有所降低^[15]。文献[16]采用均值–CVaR方法，通过建立批发价格契约模型，研究了不同价格契约对供应链收益的影响。陈宇科等^[17]运用均值–CVaR方法，构建成本分摊契约模型，讨论了闭环供应链的协调问题，指出均值–CVaR方法更能提高供应链渠道的最优决策水平。

近年来，资源环境问题日益突出，有关供应链的社会责任问题和供应链协同创新问题受到广泛关注。朱庆华^[18]从传统企业、再生企业以及整条供应链3个角度对可持续供应链协同管理与创新的研究进行了梳理，并提出可持续供应链创新的研究方向。影响供应链创新机制的因素较复杂，消费者的消费偏好，产品生命周期的缩短，替代产品的多元化以及市场的不确定性等都会使企业为了保持供应链竞争优势，不断地进行技术创新投入。学术界从企业、供应链和利益相关者3个层次开展研究，取得了有价值的结果。Gilbert等^[19]考察研究了供应商机会主义行为与销售商创新投入对供应链策略的影响。Gupta等^[20]通过建立上游制造商创新投入补偿模型，研究了使供应链产品成本降低的策略机制。田巍等^[21]利用CVaR度量准则研究了零售商不同风险偏好下混合渠道供应链创新协作策略。

基于此，本文推广了Gilbert等^[19]的创新模型。针对传统的零售渠道，在文献[16-17]的基础上采用均值–CVaR方法来度量风险规避的零售商，构建在随机需求下回购契约供应链创新模型。虽然本文的研究是建立在上述文献的基础上，但却有着很大不同，具体表现如下。1) 文献[16-17]运用均值–CVaR的方法，通过定价和订货策略研究了价格契约供应链和成本分摊供应链。本文建立了制造商创新投入的供应链模型，运用均值–CVaR的方法探讨了回购契约供应链的最优订购量和协调性。结果表明，均值–CVaR方法比CVaR度量准则更能提高零售商的订货量，同时指出零售商的风险规避程度影响供应链的创新和需求，当零售商喜好风险，将增大制造商的创新投入度，供应链渠道的总需求增加。2) 由于标准的回购契约会导致零售商有过度订购的风险，考虑到供应链的实际运营情况，通过对回购商品数量有条件地限制改进标准的回购契约供应链，采用CVaR风险度量准则和均值–CVaR方法联合度量风险规避的零售商。研究表明，在一定条件下，改进的制造商创新投入回购契约能使供应链达到协调。本文给出了制造商创新投入的回购契约供应链决策者在分散决策和联合决策时最优决策的解析表达式，最后结合数值算例验证了回购契约供应链创新协调机制的有效性。

1 模型假设与风险度量准则 1.1 基本假设和符号说明

1) 考虑由一个制造商与一个零售商构成的二级供应链。制造商供给单位产品成本为 $c$ 的商品，单位批发价为 $w$ ，单位商品市场零售价为 $p$ ，且满足 $c {\text{＜}} w {\text{＜}} p$ 。

2) 商品的市场需求 $x$ 是不确定的，用随机变量 $X$ 表示，其分布函数和密度函数分别记为 $F(x)$ 和 $f(x)$ ，对一切 $x \in R$ 有 $f(x) {\text{＞}} 0$ 。

3) 供应链使用回购契约进行协调，零售商只有一次订购机会，设其订购量为 $q$ ，过度需求无缺货损失。制造商与零售商协商对剩余商品进行回购，约定每单位回购商品价格为 $b$ ，且 $b {\text{＜}} w$ 。

4) 考虑制造商风险中性，追求期望收益最大化，零售商风险规避，其风险价值用“均值–CVaR”方法度量。

1.2 制造商技术创新假设

为了刺激消费者的需求，实现利润最大化，制造商往往在生产过程中会进行技术改进和创新。考虑到制造商为降低生产运营成本，提高产品竞争力，通过技术改进和创新投入，降低单位产品生产成本，本文主要关注零售商的风险偏好对制造商创新投入力度的影响。参考文献[19-21]，利用幂函数构造制造商创新投入函数。假设制造商每投资 $\varphi (t)$ 可将单位产品成本降低 $ts$ (其中， $0 {\text{≤}} t {\text{＜}} 1$ ， $s {\text{＜}} c$ )， $s$ 为制造商技术创新投入使得单位产品成本最大减少的量。不失一般性，假设 $\varphi (t) = k{t^2}$ 。这里 $t$ 是决策变量， $t$ 越大说明制造商创新投入度就越高； $k$ 为投资函数的系数，为正常数。 $k$ 越大，说明创新投入的成本就越大。为了便于计算，文中假设 $2kbf(q) {\text{＞}} {s^2}$ ，此条件在实际中不难满足。

根据上述假设，在制造商创新投入后供应链系统、零售商和制造商的利润函数分别为

$\qquad\pi (q,t) = (p - c + ts)q - p{(q - x)^ + } - k{t^2},$

(1)

$\qquad{\pi _{\rm r}}(q) = (p - w)q + (b - p){(q - x)^ + },$

(2)

$\qquad{\pi _{\rm{m}}}(q,t) = (w - c + ts)q - b{(q - x)^ + } - k{t^2}{\text{。}}$

(3)

其中，符号 $ {(x)^ + } = \max \{ x,0\}$ 。

1.3 CVaR风险度量准则

CVaR是对风险度量和控制的准则，由VaR度量准则发展而来，Rockafller等^[1]证明了CVaR良好的运算特性。CVaR度量了低于 $\;\beta $ 分位数以下部分收益的平均值，且忽略利润超出该分位数的部分。在CVaR度量模型下，零售商的条件风险价值为

$ \begin{split} &\qquad{\rm{CVaR}}({\pi _{\rm{r}}}( \cdot )) = E[{\pi _{\rm r}}( \cdot )|{\pi _{\rm r}}( \cdot ) {\text{≤}} {\rm{VaR}}({\pi _{\rm r}}( \cdot ))] = \\ &\dfrac{1}{\beta }\int_{{\pi _{\rm r}}( \cdot ) {\text{≤}} {\rm VaR}({\pi _{\rm r}}( \cdot ))} {{\pi _{\rm r}}} ( \cdot )f(x){\rm d}x{\text{。}}\end{split}$

(4)

其中， $\;\beta \in (0,1]$ 称为风险规避因子，是对零售商风险规避程度的度量。 $\;\beta $ 越小，零售商越规避风险， $\;\beta = 1$ 时，零售商是风险中性的。文献[2]给出了CVaR的等价定义

$\qquad{\rm{CVaR}}({\pi _{\rm{r}}}( \cdot )) = \mathop {\max \{ }\limits_{v \in R} v + \frac{1}{\beta }E[\min \{ {\pi _{\rm r}}( \cdot ) - v,0\} ]{\rm{\} }}{\text{。}}$

(5)

1.4 均值–CVaR的定义

根据CVaR的定义，不难得出CVaR准则会使决策者的目标过于保守。因为在CVaR准则下，当 $\beta $ 较小时，使零售商忽略了很大一部分收益；当 $\beta $ 很大时，却没有真正反映出零售商风险规避的程度，采用均值–CVaR方法，可以将风险规避决策者的期望利润最大化。均值–CVaR方法的计算公式为

$\qquad G(\pi ( \cdot )) = \lambda E(\pi ( \cdot )) + (1 - \lambda ){\rm{CVaR}}(\pi ( \cdot )){\text{。}}$

(6)

其中， $G(\pi ( \cdot ))$ 为均值–CVaR的目标函数； $E(\pi ( \cdot ))$ 为风险中性的期望收益； ${\rm{CVaR}}(\pi ( \cdot ))$ 为CVaR度量准则下的收益； $\lambda $ 是权重， $\lambda \in [0,1]$ 。当 $\lambda = 0$ 时，表示决策者非常厌恶风险，不考虑预期收益，只考虑CVaR度量下的收益；当 $0 {\text{＜}} \lambda {\text{＜}} 1$ 时，决策者同时考虑了预期收益和CVaR度量下的收益，此时目标函数 $G(\pi ( \cdot ))$ 是凹函数；当 $\lambda = 1$ 时，决策者是风险中性的。

2 联合决策模型

在集权决策下，假设制造商作为供应链系统的核心，它以实现整个供应链系统收益最大化为目标支配双方决策。供应链系统面临的问题是选择最优订购量和最佳创新投入度实现供应链系统期望收益的最大化，即

$\begin{split} &\qquad \mathop {\max }\limits_{q,t} E(\pi (q,t)) = \mathop {\max }\limits_{q,t} \left[ {(p - c + ts)q - k{t^2} - p\int_0^q ( q - } \right. \\ &. {x)f(x){\rm{d}}x} ] {\text{。}} \end{split}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!$

(7)

因为 $\dfrac{{{\partial} E(\pi) }}{{{\partial} q}} = p - c + ts - pF(q)$ ， $\dfrac{{{\partial} E(\pi) }}{{{\partial} t}} = sq - 2kt$ ，所以

$ \qquad \frac{{{{\partial} ^2}E(\pi) }}{{{\partial} {q^2}}} \!=\! -\! pf(q),\frac{{{{\partial} ^2}E(\pi) }}{{{\partial} {t^2}}}\! = \! - \!2k, \frac{{{{\partial} ^2}E(\pi) }}{{{\partial} q \partial t}} \!= \!\frac{{{\partial ^2}E(\pi) }}{{\partial t\partial q}} \!=\! s{\text{。}} $

因此供应链系统期望收益函数 $E(\pi (q,t))$ 的Hessian矩阵为

$ \begin{split} \qquad{ H}{\rm{ = }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial {q^2}}}E\left( \pi \right)}&{\dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial q\partial t}}E\left( \pi \right)}\\ {\dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial t\partial {{q}}}}E\left( \pi \right)}&{\dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial {t^2}}}E\left( \pi \right)} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - pf\left( q \right)}&s\\ s&{ - 2k} \end{array}} \right){\text{。}}\end{split} $

又因为 $\left| {{H_1}} \right| = - pf(q) {\text{＜}} 0$ ， $\left| {{H_2}} \right| = 2kpf(q) - {s^2}$ ，当 $2kbf(q) {\text{＞}} {s^2}$ 时， $\left| {{H_2}} \right| {\text{＞}} 0$ ，所以Hessian矩阵负定，于是 $E(\pi (q,t))$ 是关于 $q$ 和 $t$ 的联合凹函数。由一阶条件 $\dfrac{{{\partial} E(\pi) }}{{{\partial} q}} = 0$ ， $\dfrac{{{\partial} E(\pi) }}{{{\partial} t}} = 0$ 可得

$ \qquad{q^ * } = {F^{ - 1}}\left(\frac{{p - c + ts}}{p}\right),{t^ * } = \frac{{sq}}{{2k}}{\text{。}} $

(8)

式(8)表明，联合决策下的最优决策 ${q^ * }{\text{和}}{t^ * }$ 是 $s $ $\left( {0 {\text{＜}} s {\text{＜}} c} \right)$ 的单调增函数，是关于 $k$ 的单调减函数，且 ${q^ * } \in [{F^{ - 1}}\left(\dfrac{{p - c}}{p}\right),{F^{ - 1}}\left(\dfrac{{p - c + s}}{p}\right))$ 。当 $k$ 确定的情况下， $s$ 越大，反映制造商创新潜能较大，但是由于 $s$ 远小于投资函数系数 $k$ ，其对 ${q^ * }{\text{和}}{t^ * }$ 的影响较小，因此是否进行创新投入主要受到 $k$ 的制约。 $k$ 衡量了制造商创新投入的难易程度，其大小与制造商的运营规模、技术设备和管理水平等相关。随着 $k$ 增大，降低单位产品成本所付出的投资代价就越大，为了规避风险，制造商创新投入力度就变小，因而单位产品的成本就增大，为避免造成供应链系统的利润损失，订货量相应地减少，当 $k$ 较大时， ${t^ * } \to 0$ ，即制造商不再创新投入，此时 ${q^ * } = {F^{ - 1}}({{(p - c)} / p})$ 。

3 制造商创新投入的回购契约模型

在现实中，由于制造商创新投入要先期进行，制造商首先确定批发价 $w$ 和技术创新投入水平 $t$ ，然后零售商通过市场需求分析确定订购量 $q$ 和零售价 $p$ 。根据Stackelberg动态博弈，采取逆向推导法建立模型。

3.1 基于CVaR度量准则下的最优决策

根据CVaR的定义，风险规避的零售商的目标函数为

$ \begin{split} &\qquad\mathop {\max }\limits_q \;\{ {\rm{CVaR}}({\pi _{\rm{r}}}(q))\} = \mathop {\max }\limits_q \mathop {\max }\limits_{v \in {\rm{R}}} {\rm{\{ }}v +\frac{1}{\beta }E[\min \{ {\pi _{\rm{r}}}(q)- \\ &v,0\} ]\}{\text{。}} \end{split}$

根据参考文献[1-2]的求解方法，可得零售商基于CVaR度量准则的最优订购量为

$\qquad{q_1} = {F^{ - 1}}\left(\beta \frac{{p - w}}{{p - b}}\right){\text{。}}$

(9)

将式(9)代入式(3)，得到制造商的期望利润函数为

$ \qquad E({\pi _{\rm m}}(q,t)) = (w - c + ts){q_1} - k{t^2} - b\int_0^{{q_1}} {({q_1} - x)f(x){\rm d}x} {\text{。}} $

上式对 $t$ 求一阶导数，解得

$\qquad{t_1} = \frac{{s{q_1}}}{{2k}}{\text{。}}$

(10)

从而风险规避零售商基于CVaR度量准则下的期望利润函数为

$\qquad{E_1}({\pi _{\rm r}}({q_1})) = (p - w){q_1} + (b - p)\int_0^{{q_1}} {({q_1} - x)f(x){\rm d}x} {\text{。}}$

式(9)和式(10)表明，基于CVaR准则下的最优决策 ${q_1}$ 和 ${t_1}$ 是 $\beta $ 的单调增函数。说明零售商的风险规避程度影响供应链的需求和制造商的创新投入。当零售商喜好风险时，将增加订货量以获取更大的期望收益，相应地会激励制造商增大创新投入，力求提高边际收益。

根据Gan等^[22]的供应链契约协调理论，要实现供应链协调，要求分权供应链系统应该达到集权供应链系统运作的绩效，因此，分散决策时零售商的最优订购量与联合决策时供应链系统的最优订购量相同且各自利润大于等于零。结合式(8)—式(10)可知，实现供应链渠道协调，要求 $\pi ( \cdot ) = {\pi _{\rm r}}( \cdot ) + {\pi _{\rm m}}( \cdot )$ ，且 ${q_1} = {q^ * },{t_1} = {t^ * }$ ，由此可得出推论1。

推论1 　当 $\dfrac{c}{p} {\text{＞}} 1 - \beta \dfrac{{p - w}}{{p - b}}$ 时，存在 ${q_1}$ 和 ${t_1}$ 使得 ${q_1} = {q^ * }$ ， ${t_1} = {t^ * }$ 且 $\pi ({q^ * },{t^ * }) = {\pi _{\rm r}}({q_1},{t_1}) + {\pi _{\rm m}}({q_1},{t_1})$ ，即回购契约能够使供应链协调；当 $\dfrac{c}{p} {\text{＜}} 1 - \beta \dfrac{{p - w}}{{p - b}}$ 时，可得 ${q_1} {\text{＜}} 0$ ，表明回购契约不能使供应链协调。

3.2 基于均值–CVaR方法下的最优决策

根据均值–CVaR的定义，可得零售商的目标函数

$\qquad G({\pi _{\rm r}}(q)) = \lambda E({\pi _{\rm r}}(q)) + (1 - \lambda ){\rm CVaR}({\pi _{\rm r}}(q)){\text{。}}$

(11)

命题1 　在分散决策下，基于均值–CVaR方法的最优订购量 $q_1^ * $ 和 $t_1^ * $ 为

$ \begin{split} \qquad& t_1^ * \!\!\!=\!\!\! \dfrac{{sq_1^ * }}{{2k}},\\ &\;q_1^ * \!\!\!=\!\!\! \left\{ \begin{array}{l} {F^{ - 1}}\left( {\dfrac{{p \!-\! w}}{{(p - b)\left(\lambda \!+\! \dfrac{{1 - \lambda }}{\beta }\right)}}} \right),q \!{\text{＜}}\! {F^{ - 1}}(\beta ){\text{；}} \\ {F^{ - 1}}\left( {1 - \dfrac{{w - b}}{{\lambda (p \!-\! b)}}} \right),q {\text{≥}} {F^{ - 1}}(\beta ){\text{。}} \\ \end{array} \right. \end{split} \!\!\!\!\!\!\!$

(12)

推论2 　由命题1可得出以下结论。

1) 当 $q {\text{≥}} {F^{ - 1}}(\beta )$ 时，基于均值–CVaR方法下的最优决策 $q_1^ * $ 和 $t_1^ * $ 与风险规避因子 $\beta $ 无关；当 $q {\text{＜}} {F^{ - 1}}(\beta )$ 时， $q_1^ * $ 和 $t_1^ * $ 是 $\beta $ 的单调增函数。这表明均值–CVaR方法下，零售商的风险偏好对订货量的影响是有限度的，当订货量超过 ${F^{ - 1}}(\beta )$ 时风险偏好不再起作用。

2) 对任意 $\beta \in (0,1]$ ， $\lambda \in (0,1]$ ，风险规避的零售商在均值–CVaR度量方法下比CVaR准则下的订购量更大，即 $q_1^ * {\text{＞}} {q_1}$ 。

3) 对于任何固定 $\beta \in (0,1]$ 时，最优订购量 $q_1^ * $ 是权重 $\lambda $ 的单调增函数。说明零售商的期望收益权重越大，风险收益权重就越小，相应的最优订购量越多；当 $\lambda \to 1$ 时，零售商的最优订购量 $q_1^ * $ 接近于风险中性的最优水平，当 $\lambda \to 0$ 时， $q_1^ * $ 接近于 ${q_1}$ 。

证明：显然，当 $q {\text{≥}} {F^{ - 1}}(\beta )$ 时， $q_1^ * $ 是权重 $\lambda $ 的增函数，与风险规避因子 $\;\beta $ 无关；当 $q {\text{＜}} {F^{ - 1}}(\beta )$ 时， $\dfrac{{p - w}}{{(p - b)\left(\lambda + \dfrac{{1 - \lambda }}{\beta }\right)}}$ 分别是 $\lambda $ 和 $\beta $ 的增函数，又因分布函数 $F(x)$ 是增函数，所以由式(12)可得出结论1)成立。对任意 $\beta \in (0,1]$ ， $\lambda \in (0,1]$ ，因为仅当 $ q {\text{＜}}$ $ {F^{ \!-\! 1}}(\beta )$ 时， ${q_1} \!\!\!=\!\!\! {F^{ \!-\! 1}}\left(\beta \dfrac{{p - w}}{{p \!-\! b}}\right)$ 才成立，此时有 $\dfrac{{p\! -\! w}}{{(p \!-\! b)\left(\lambda \! +\! \dfrac{{1 \!- \!\lambda }}{\beta }\right)}} {\text{＞}} \beta \dfrac{{p \!-\! w}}{{p\! -\! b}}$ ，所以 $q_1^ * {\text{＞}} {q_1}$ ；当 $q {\text{≥}} {F^{ - 1}}(\beta )$ 时，显然 $q_1^ * {\text{＞}} {q_1}$ ，故结论2)成立。根据模型假设和结论1)、2)的证明，结论3)不难得出。

推论2表明：1) 对任意 $\beta \in (0,1]$ ， $\lambda \in (0,1]$ ，相比较CVaR度量准则，风险规避的零售商在均值–CVaR下的最优订购量更多，说明权重能加大零售商的订购量；2) 零售商的风险规避程度对其订购量的影响是有界限的，当订购量超过临界值时，风险偏好不再对最优订购量产生影响。

推论3 　对于由风险中性制造商和均值–CVaR方法度量的零售商构成的供应链系统，在制造商创新投入的回购契约下，

1) 当 ${\phi _1} \;{\text{＜}}\; 1$ ，且 $c \;{\text{＞}}\; p(1 \;-\; \beta {\phi _1})$ 时，其中 ${\phi _1} \;= $ $\dfrac{{p - w}}{{(p - b)[1 + (\beta - 1)\lambda ]}}$ ，制造商创新投入回购契约能使供应链协调；

2) 当 $1 - {\phi _2} {\text{≥}} \beta $ ，且 $c {\text{＞}} p{\phi _2}$ 时，其中 ${\phi _2} = \dfrac{{w - b}}{{\lambda (p - b)}}$ ，制造商创新投入回购契约能使供应链协调。

证明：要实现供应链协调，必须满足 $E(\pi ({q^ * },{t^ * })) = $ $E({\pi _{\rm r}}(q_1^ * )) + E({\pi _{\rm m}}(q_1^ * ,t_1^ * ))$ ，且 $q_1^ * \!\!=\!\! {q^ * }$ ， $t_1^ * \!\!=\!\! {t^ * }$ 。若 $q {\text{＜}} {F^{ - 1}}(\beta )$ ，令 ${\phi _1} = \dfrac{{p - w}}{{(p - b)[1 + (\beta - 1)\lambda ]}}$ ，求解得 ${\phi _1} {\text{＜}} 1$ ，且 $q_1^ * = \dfrac{{2k}}{{{s^2}}}\times$ $[p(\beta {\phi _1} - 1) + c]$ 。当 $c {\text{＞}} p(1 - \beta {\phi _1})$ 时，存在 $q_1^ * {\text{＞}} 0$ 使得 $E(\pi ({q^ * },{t^ * })) = E({\pi _{\rm r}}(q_1^ * )) + E({\pi _{\rm m}}(q_1^ * ,t_1^ * ))$ 成立，从而能使供应链达到协调。同理，若 $q {\text{≥}} {F^{ - 1}}(\beta )$ ，可得当 $1 - {\phi _2} {\text{≥}} \beta $ ，且 $c {\text{＞}} p{\phi _2}$ 时，制造商创新投入回购契约才能使供应链达到协调。

4 改进的制造商创新投入回购契约模型

回购契约存在过度订购的潜在风险，CVaR准则使决策目标过于保守，因此，制造商与零售商达成如下回购契约安排：零售商的订购量小于 ${q_1}$ 时，制造商对零售商剩余商品全部回购，当零售商的订购量大于 ${q_1}$ 时，制造商对零售商剩余商品按不低于 $\theta $ $(0 {\text{＜}} \theta {\text{＜}} 1)$ 比例的份额进行回购， $\theta = 1$ 对应标准的回购契约。在这一契约安排下，零售商与制造商的利润函数如下。

$\qquad{\pi _{\rm r}} = \left\{ \begin{array}{l} (p - w)q + (b - p){(q - x)^ + },q {\text{≤}} {q_1}{\text{；}} \\ (p - w)q + (b\theta - p){(q - x)^ + },q {\text{＞}} {q_1}{\text{。}} \\ \end{array} \right.$

(13)

$\qquad{\pi _{\rm m}} \!\!=\!\! \left\{ \begin{array}{l} (w - c + ts)q - b{(q - x)^ + } - k{t^2},q {\text{≤}} {q_1}{\text{；}} \\ (w - c + ts)q - b\theta {(q - x)^ + } - k{t^2},q {\text{＞}} {q_1}{\text{。}} \\ \end{array} \right.$

(14)

命题2 　在分散决策时，基于CVaR和均值–CVaR联合度量方法下的最优订购量 $q_2^ * $ 和 $t_2^ * $ 为

$ \qquad t_2^ * = \frac{{sq_2^ * }}{{2k}},$

$ \qquad q_2^ * \! =\! \left\{\!\!\!\! \begin{array}{l} {F^{ - 1}}\left(\beta \dfrac{{p - w}}{{p - b}}\right),q {\text{≤}} {q_1}{\text{；}} \\ {F^{ - 1}}\left(\! {\dfrac{{p - w}}{{(p\! - \!b\theta )\left(\lambda \! + \!\dfrac{{1\! -\! \lambda }}{\beta }\right)}}} \!\right),{q_1} \!{\text{＜}}\! q \!{\text{＜}}\! {F^{ - 1}}(\beta ){\text{；}} \\ {F^{ - 1}}\left( {1 - \dfrac{{w - b\theta }}{{\lambda (p - b\theta )}}} \right),{F^{ - 1}}(\beta ) {\text{≤}} q{\text{。}} \\ \end{array} \right.\!\!\!\!\!\! $

(15)

式(15)表明，当 $\theta \in (0,1)$ 时， $q_2^ * {\text{＜}} q_1^ * $ ，说明对回购数量的限制能够降低零售商的订购量，因此，制造商可以通过对回购比例 $\theta $ 的合理制定，达到对风险的控制和对决策者收益的均衡。

推论4 　对于由风险中性制造商和风险规避的零售商构成的供应链系统，在改进的制造商创新投入的回购契约下，有如下结论。

1) 当 $c {\text{＞}} p(1 - \beta {\eta _1})$ 时，其中 ${\eta _1} = \dfrac{{p - w}}{{p - b}}$ ，供应链能够协调。

2) 当 $ {\eta _1} {\text{＜}} {\eta _2} {\text{＜}} 1, c {\text{＞}} p(1 - \beta {\eta _2}) $ 时，其中 ${\eta _1} = \dfrac{{p - w}}{{p - b}}$ ， ${\eta _2} = \dfrac{{p - w}}{{(p - b\theta )[1 + (\beta - 1)\lambda ]}}$ ，供应链能够协调。

3) 当 $ 1 - {\eta _3} {\text{≥}} \beta, c {\text{＞}} p{\eta _3} $ 时，其中 ${\eta _3} = \dfrac{{w - b\theta }}{{\lambda (p - b\theta )}}$ ，供应链能够协调。

推论4刻画了改进的制造商创新投入的回购契约供应链协调满足的条件。结果表明通过对回购商品数量有条件地限制改进标准的回购契约供应链，采用CVaR风险度量准则和均值–CVaR方法联合度量风险规避的零售商，在满足一定条件下，改进的制造商创新投入回购契约能使供应链达到协调。

限于篇幅，命题1、命题2以及推论4的证明略。

5 数值算例

下面通过算例分析说明风险规避因子 $\beta $ 和权重 $\lambda $ 对供应链最优决策的影响。

假设产品市场需求 $x$ ~ $N$ ( $1\;000$ ， $100$ )，模型中其他各参数取值如下： $p = 50$ ， $w = 35$ ， $b = 25$ ， $c = 30$ ， $k = 5\;000$ ， $s = 5$ 。将各参数代入式(8)，得联合决策下的最优水平 ${q^ * } = 998.721$ ， ${t^ * } = 0.499$ 。

1) 基于CVaR度量准则下的最优决策。

${q_1}$ 、 ${t_1}$ 是分散决策时在CVaR准则下的最优决策水平， $\beta $ 对 ${q_1}$ 和 ${t_1}$ 的影响如图1和图2所示。

从图1和图2可以看出，订货量 ${q_1}$ 和创新投入度 ${t_1}$ 受到规避因子 $\beta $ 的影响。 ${q_1}$ 和 ${t_1}$ 是关于 $\beta $ 的增函数，这说明零售商的风险规避程度影响供应链，零售商喜好风险将使得供应链系统的最优水平增加。

2) 基于CVaR和均值–CVaR的决策分析。

${q_1}$ 和 ${t_1}$ 是分散决策时CVaR准则下的最优策略， $q_1^ * $ 和 $t_1^ * $ 是均值–CVaR方法下的最优策略。在2种度量方法下， $\beta $ 和 $\lambda $ 对最优策略的影响如图3和图4。

从图3和图4可以看出，2种准则下，供应链系统的最优决策水平受风险规避因子 $\beta $ 和权重 $\lambda $ 共同影响，最优订购量和创新投入度是风险规避因子 $\beta $ 和权重 $\lambda $ 的增函数。式(9)是在 $q {\text{＜}} {F^{ - 1}}(\beta )$ 时得出的^[1-2]。当 $q {\text{＜}} {F^{ - 1}}(\beta )$ 时，比较式(9)与式(12)，可知 ${q_1} {\text{＜}} q_1^ * $ , ${t_1} {\text{＜}} t_1^ * $ 。图3和图4也证实CVaR准则使决策目标过于保守，相比较CVaR度量准则，风险规避的零售商在均值–CVaR方法下的最优订购量更多。

3) 基于CVaR和均值–CVaR下的供应链协调。

${q^ * }$ 和 ${t^ * }$ 是联合决策时供应链系统的最优订购量和最优创新投入度。 ${t_1}$ 为CVaR准则下的最优创新投入水平， $q_1^ * $ 为均值–CVaR方法下的零售商最优订货水平。图5和图6给出在 $q {\text{＜}} {F^{ - 1}}(\beta )$ 时基于CVaR和均值–CVaR方法下供应链系统的协调。

从图5可以得出，在CVaR度量准则下，存在 ${t_1} = {t^ * }$ ，说明在 $q {\text{＜}} {F^{ - 1}}(\beta )$ 时存在供应链协调，这也验证了推论1。从图6可以得出，在均值–CVaR方法下，存在 $q_1^ * = {q^ * }$ ，即在 $\beta \in (0,1]$ ， $\lambda \in [0,1)$ 时，分散决策下零售商的订购量能够等于联合决策时的订购量，说明在 $q {\text{＜}} {F^{ - 1}}(\beta )$ 时存在供应链协调，这也验证了推论3。

6 结束语

本文运用均值–CVaR的方法研究了回购契约供应链创新协调问题。运用CVaR度量准则和均值–CVaR的方法分别构建风险规避零售商的利润函数，分析指出CVaR准则使决策目标过于保守，相比较CVaR度量准则，风险规避的零售商在均值–CVaR方法下的最优订购量更多，说明权重能加大零售商的订购量。研究表明，零售商的风险规避程度影响供应链的创新和需求，当零售商喜好风险，将使制造商的创新投入度增大，供应链渠道的总需求增加。

从供应链的运营实际来看，回购契约虽可以消除规避效应，但零售商面临市场需求不确定导致过度订购的风险，制造商面临盲目创新投入和大量回购而导致期望收益减少的风险。通过对回购商品数量的限制改进回购契约供应链创新模型，采用CVaR风险度量准则和均值–CVaR方法联合度量风险规避的零售商。结果表明，对回购数量的限制能够约束零售商过度订购的风险，而且在一定条件下改进的回购契约能够协调供应链。

本文研究结果表明，回购的比例和零售商风险偏好的程度对供应链的优化和协调问题有一定的影响，选择合适的回购比例和适当的评估供应链成员的风险追求水平对提高供应链的效率有很大帮助，这也为决策者考虑回购契约决策时提供了参考依据。然而，随着技术的进步和消费者对产品要求的提高，传统的销售渠道已不能满足销售需求，网络直销对传统销售产生很大冲击，与此同时，新产品的研发和替代产品的多元化缩短了产品寿命周期，使得制造商面临现金流短缺的问题，因此多渠道供应链的融资模式成为进一步的研究方向。