现代制造企业面临着很大的市场竞争，对企业管理水平、市场应变能力的要求也越来越高。对于产品生命周期的研究和利用是企业改进原有产品，发展新产品，正确地制订各项经营策略的一个重要手段^[1-3]。对产品生命周期阶段的划分，目的在于针对不同阶段的产品的生产计划、促销策略、价格策略等采取不同的对策。对产品生命周期特征进行分析并获得产品当前的生命周期阶段后，可以有针对性地采取适合本周期阶段的生产、促销、分销渠道、价格等策略。很多学者对生命周期进行了研究，但是由于局限于对现有产品进行分析，这些方法往往需要较大的数据量和较多的运算^[4-6]。而利用制造系统知识库中原有产品的数据知识进行匹配的方法可以利用原有产品的成熟的决策知识^[7-9]，用较少的数据较快地得到现有产品所需的各项决策。

1 产品的各生命周期的特征量及匹配函数 1.1 产品的各生命周期的特征量及其特征

产品生命周期一般包括4个阶段：投入期、成长期、成熟期和衰退期。产品生命周期阶段的划分主要依据产品在不同的生命周期阶段的特征量特征，例如，在产品投入期，销售量和利润很低，而生产成本和销售成本却较高；在产品成熟期，销售量达到全生命周期的最高值，而成本较低^[10-12]。以销售量、生产成本、销售成本及利润为特征量的4个生命周期阶段的典型特征如表1所示。另外，销售量、生产成本、销售成本及利润在各个阶段的变化情况也都有各自的特征，如表2所示。

定义1 　产品生命周期的特征量

产品生命周期特征量可以定义为4元组序列 $ T =$ $ \{ Q,P,C,G\} $ ，其中， $Q = \{ {q_i}|_{k = 1}^n\} $ ， ${q_i}$ 为产品 $i$ 时段的销售量； $P = \{ {p_i}|_{k = 1}^n\} $ ， ${p_i}$ 为产品 $i$ 时段的生产成本； $C = $ $ \{ {c_i}|_{k = 1}^n\} $ ， ${c_i}$ 为产品 $i$ 时段的销售成本； $G = \{ {g_i}|_{k = 1}^n\} $ ， ${g_i}$ 为产品 $i$ 时段的利润。时段可以依据产品生命周期的特点来划分，生命周期较长的产品的时段可以长一些，k=1, $ \cdots$ , n，表示一个时段内含有的多个基本时间单位。

1.2 特征量匹配函数

为便于分析，假定定义1中的生命周期数据为接近平滑的，如果不接近平滑，进行平滑处理。由此对上述数据构造连续函数，例如对销售量 $Q = \{ {q_i}|_{k = 1}^n\} $ ，构造平滑的连续单峰函数 $Q(t)$ ， $1 {\text{≤}} t {\text{≤}} n$ 使得 $Q(k) \approx {q_i}$ 。在此基础上构造2个函数作为销售量的匹配函数

$ \begin{split} \qquad&\left\{ \begin{array}{l} {{\rm{F}}_{{q_1}}}\left( t \right) = \dfrac{{\left( {Q\left( t \right) - \min \;Q\left( t \right)} \right)}}{{\left( {\max Q\left( t \right) - \min Q\left( t \right)} \right)\max Q\left( t \right)}} + 0.5,\\ F_{q2}\left( t \right) = {Q^2}\left( t \right){\text{。}} \end{array} \right.\\ &\;1 {\text{≤}} t {\text{≤}} n{\text{。}} \end{split} $

其中， $\min Q(t)$ 表示 $t = 1$ 时刻到 $t$ 时刻的产品销售量 $Q(t)$ 的最小值， $\max Q(t)$ 表示 $t = 1$ 时刻到 $t$ 时刻的产品销售量 $Q(t)$ 的最大值。匹配函数 ${F_{q1}}(t)$ 是对数据的变化情况进行匹配，匹配函数 ${F_{q2}}(t)$ 是对数据的量值进行匹配，二者结合可以起到较好的匹配效果。同理可以得到生产成本、销售成本、利润的匹配函数分别为

$ \begin{split} \qquad& \left\{ \begin{array}{l} {F_{p1}}(t) = \dfrac{{(P(t) - \min P(t))}}{{(\max P(t) - \min P(t))\max P(t)}} + 0.5{\text{，}}\\ {F_{p2}}(t) = {P^2}(t){\text{。}} \end{array} \right.\\ &1 {\text{≤}} t {\text{≤}} n{\text{。}} \end{split} $

$ \begin{split} \qquad& \left\{ \begin{array}{l} {F_{c1}}(t) = \dfrac{{(C(t) - \min C(t))}}{{(\max C(t) - \min C(t))\max C(t)}} + 0.5{\text{，}}\\ {F_{c2}}(t) = {C^2}(t){\text{。}} \end{array} \right.\\ &1 {\text{≤}} t {\text{≤}} n{\text{。}} \end{split} $

$ \begin{split} \qquad&\left\{ \begin{array}{l} {F_{g1}}(t) = \dfrac{{(G(t) - \min G(t))}}{{(\max G(t) - \min G(t))\max G(t)}} + 0.5{\text{，}}\\ {F_{g2}}(t) = {G^2}(t){\text{。}} \end{array} \right.\\ &1 {\text{≤}}t {\text{≤}}n{\text{。}} \end{split} $

性质1 　 函数 ${F_{q1}}(t)\! =\! \dfrac{{(Q(t) - \min Q(t))}}{{(\max Q(t) \!-\! \min Q(t))\max Q(t)}} \!+$ $ 0.5 $ 在其定义域内为连续单调非增函数。

证明 　函数 ${F_{q1}}(t)$ 显然是连续的，欲证连续函数为单调非增函数，只须证 ${F_{q1}}^\prime (t) {\text{≤}}0$ 即可，设 $t={t_l}$ 时， $Q(t)$ 取得最大值，即 $\mathop {\max }\limits_{} Q(t) = Q({t_l})$ 。

1) 当 $1 {\text{≤}} t {\text{＜}} {t_l}$ 时， $ \mathop {\max }\limits_{1 - t} Q(t) =$ $ Q(t)$ ， $t \ne 1$ 时， ${F_{q1}}(t) = $ $ \dfrac{{(Q(t) - \min Q(t))}}{{(Q(t) - \min Q(t))Q(t)}} + 0.5$ $ = \dfrac{1}{{Q(t)}} + 0.5$ ， ${F_{q1}}^\prime (t) = - \dfrac{{Q'(t)}}{{{Q^2}(t)}}$ ， $Q'(t) {\text{＞}} 0$ ，故 ${F_{q1}}^\prime (t) {\text{＜}} 0$ ；

2) 当 ${t_l} {\text{≤}} t {\text{≤}}n$ 时，若 $Q(n) {\text{≥}} Q(1)$ ， $\mathop {\max }\limits_{1 - t} Q(t) = Q({t_l})$ ， $\mathop {\min }\limits_{1 \!-\! t} Q(t)\! =\! Q(1) $ ， ${F_{q1}}(t) \!= \!\dfrac{{(Q(t) \!- \!Q(1))}}{{(Q({t_l}) \!- \!Q(1))Q({t_l})}} \!+ \!0.5$ ， $ {F_{q1}}^\prime (t)\!\! =$ $ \dfrac{{Q'({t_l})}}{{(Q({t_l}) - Q(1))Q({t_l})}}$ ，由于此时 $Q'(t) {\text{＜}} 0$ ，故 ${F_{q1}}^\prime (t) {\text{＜}} 0$ ；

3) 当 ${t_l} {\text{≤}} t {\text{≤}}$ $ n$ 时，若 $Q(n) {\text{＜}} Q\;(1)$ ，则必有某 $ {t_a}({t_l} {\text{≤}} $ ${t_a} {\text{≤}} n)$ ，使 $Q({t_a}) = Q\;(1)$ 。当 ${t_l} {\text{≤}} t {\text{≤}} {t_a}$ 时，与2) 相似；当 ${t_a} {\text{＜}} t {\text{≤}} n$ 时， $\mathop {\max }\limits_{1 - t} Q(t) = Q({t_l})$ ， $\mathop {\min }\limits_{1 - t} Q(t) = Q(t)$ ， $ {F_{q1}}(t) =$ $ 0.5$ ， ${F_{q1}}^\prime (t) = 0$ 。命题得证。

2 现有产品和原有产品的特征匹配

对现有产品的销售量数据知识和原有产品的各生命周期阶段销售序列数据知识按照匹配函数的第1式 ${F_{q1}}(t)$ 进行匹配计算，分别与投入期、成长期、成熟期和衰退期进行匹配，可以得到

$ \begin{split} &\qquad\left| {F_{q1}^{}(1) - F_{q1}^u(1)} \right|,\;\left| {F_{q1}^{}(2) - F_{q1}^u(2)} \right|,\; \cdots ,\;\\ &\left| {F_{q1}^{}(n) - F_{q1}^u(n)} \right|,u = 1,2,3,4 {\text{。}} \end{split} $

(1)

$u$ 取1、2、3、4，分别表示产品的投入期、成长期、成熟期和衰退期4个阶段。

对现有产品的销售量数据知识和原有产品的各生命周期阶段销售序列数据知识按照匹配函数的第2式 ${F_{q2}}(t)$ 进行匹配计算，分别与投入期、成长期、成熟期和衰退期进行匹配，分别可以得到序列

$\begin{split} &\qquad \left| {F_{q2}^{}(1) - F_{q2}^u(1)} \right|,\;\left| {F_{q2}^{}(2) - F_{q2}^u(2)} \right|,\; \cdots ,\\ &\;\left| {F_{q2}^{}(n) - F_{q2}^u(n)} \right|,u = 1,2,3,4{\text{。}}\end{split} $

(2)

对式(1)和式(2)分别进行算术平均，可以得到 $T_{q1}^u = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {\left| {F_{q1}^{}(n) - F_{q1}^u(n)} \right|} $ ， $u = 1,2,3,4$ 和 $ T_{q2}^u =$ $ \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {\left| {F_{q2}^{}(n) - F_{q2}^u(n)} \right|} $ ， $u = 1,2,3,4$ 。

同样地，将现有产品的生产成本、销售成本和利润数据知识和原有产品的各生命周期阶段序列数据知识按照匹配函数进行匹配计算，并取算术平均，可以得到

$ \begin{split} &\qquad T_{p1}^u = \dfrac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\left| {F_{p1}^{}(n) - F_{p1}^u(n)} \right|} ,\\ &\qquad T_{p2}^u = \dfrac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\left| {F_{p2}^{}(n) - F_{p2}^u(n)} \right|} ,u = 1,2,3,4{\text{；}} \end{split} $

$ \begin{split} &\qquad T_{c1}^u = \dfrac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\left| {F_{c1}^{}(n) - F_{c1}^u(n)} \right|} ,\\ &\qquad T_{c2}^u = \dfrac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\left| {F_{c2}^{}(n) - F_{c2}^u(n)} \right|} ,u = 1,2,3,4{\text{；}} \end{split} $

$ \begin{split} & \qquad T_{g1}^u = \dfrac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\left| {F_{g1}^{}(n) - F_{g1}^u(n)} \right|} ,\\ &\qquad T_{g2}^u = \dfrac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\left| {F_{g2}^{}(n) - F_{g2}^u(n)} \right|} ,u = 1,2,3,4{\text{。}} \end{split} $

定义2 　现有产品和原有产品的各生命周期阶段的销售量相异度为 ${\rm{DISQ}}(u) = \left(\dfrac{{T_{q2}^u - \min T_{q2}^{}}}{{\max T_{q2}^{} - \min T_{q2}^{}}} + 0.5\right) \times $ $ \sqrt {\dfrac{{T_{q1}^u\! -\! \min T_{q1}^{}}}{{\max T_{q1}^{} \!-\! \min T_{q1}^{}}} + 0.5} $ ，其中， $T_{q1}^{} = \left\{T_{q1}^1,\!T_{q1}^2,\!T_{q1}^3 ,\!\right.$ $\left. { T_{q1}^4} \right\} $ ， $T_{q2}^{} = \left\{ {T_{q2}^1,\;T_{q2}^2,\;T_{q2}^3,\;T_{q2}^4} \right\}$ ， $u = 1,2,3,4$ 。

同理，可以得到现有产品和原有产品的各生命周期阶段的生产成本的相异度为 ${\rm{DISP}}\;(u)\; = $ $\left(\dfrac{{T_{p2}^u - \min T_{p2}^{}}}{{\max T_{p2}^{} - \min T_{p2}^{}}} + 0.5\right)\sqrt {\dfrac{{T_{p1}^u - \min T_{p1}^{}}}{{\max T_{p1}^{} - \min T_{p1}^{}}}+ 0.5 }$ ，其中， $T_{p1}^{} = \left\{ {T_{p1}^1,\;T_{p1}^2,\;T_{p1}^3,\;T_{p1}^4} \right\}$ ， $T_{p2}^{} = \left\{ {T_{p2}^1,\;T_{p2}^2,\;T_{p2}^3,\;T_{p2}^4} \right\}$ ， $u = 1,2,3,4$ 。

现有产品和原有产品的各生命周期阶段的销售成本的相异度为 ${\rm{DISC}}(u) = \left(\dfrac{{T_{c2}^u - \min T_{c2}^{}}}{{\max T_{c2}^{} - \min T_{c2}^{}}} + 0.5\right) \times $ $\sqrt {\dfrac{{T_{c1}^u - \min T_{c1}^{}}}{{\max T_{c1}^{}\; -\; \min T_{c1}^{}}} + 0.5} $ ，其中， $T_{c1}^{} \!\!=\! \left\{ {T_{c1}^1,\!T_{c1}^2,\!T_{c1}^3,\!} \right.$ $\left. {T_{c1}^4} \right\} $ ， $T_{c2}^{} = \left\{ {T_{c2}^1,\;T_{c2}^2,\;T_{c2}^3,\;} \right.$ $\left. {T_{c2}^4} \right\} $ ， $u = 1,2,3,4$ 。

现有产品和原有产品的各生命周期阶段的利润的相异度为 $ {\rm{DISG}}(u) = \left(\dfrac{{T_{g2}^u - \min T_{g2}^{}}}{{\max T_{g2}^{} - \min T_{g2}^{}}} + 0.5 \right) \times $ $\sqrt {\dfrac{{T_{g1}^u - \min T_{g1}^{}}}{{\max T_{g1}^{} - \min T_{g1}^{}}} + 0.5} $ ，其中， $T_{g1}^{} = \left\{ {T_{g1}^1,\;T_{g1}^2,\;T_{g1}^3,} \right.\;$ $ \left. {T_{g1}^4} \right\}$ ， $T_{g2}^{} = \left\{ {T_{g2}^1,\;T_{g2}^2,\;T_{g2}^3,\;T_{g2}^4} \right\}$ ， $u = 1,2,3,4$ 。

在得到现有产品和原有产品的各生命周期阶段的销售量、生产成本、销售成本、利润的相异度后，就可以按照式(3)计算总的匹配度。由于销售量、生产成本、销售成本、利润在现有产品生命周期的判定中的影响有差别，因此对其引入权重系数 ${v_i}$ ， $i = 1,2,3,4$ ， $0 {\text{≤}} {v_i} {\text{≤}} 1$ 。 ${v_1},\;{v_2},\;{v_3},\;{v_4}\;$ ，分别表示销售量、生产成本、销售成本、利润对匹配的影响程度。

定义3 　现有产品与原有产品的总的匹配度定义为

$ \begin{split} &\qquad {\rm{MAT}}(u) = 1 - \left( {v_1^{ - 1}{\rm{DISQ}}(u) + v_2^{ - 1}{\rm{DISP}}(u) + } \right.\\ &\left.{v_3^{ - 1}{\rm{DISC}}(u) + v_4^{ - 1}{\rm{DISG}}(u)} \right)/\Big( {\sum\limits_{u = 1}^4 {\left( {v_1^{ - 1}{\rm{DISQ}}(u) + } \right.} } \Big.\\ &\left.{\left.{v_2^{ - 1}{\rm{DISP}}(u) + v_3^{ - 1}{\rm{DISC}}(u) + v_4^{ - 1}{\rm{DISG}}(u)} \right)} \right),\\ &\;\;{u\rm{ = 1,2,3,4}}{\text{。}} \end{split} $

(3)

现有产品属于匹配度最大值的那个生命周期阶段，而且通常与属于第2大匹配度值的那个生命周期阶段有联系，因此，现有产品的决策可以按照式(4)进行计算。

$ \begin{split} &\qquad{\rm{DCI}}(x)\! =\! \left(1\! -\! \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{{\max {\rm{MAT}}(u) \!-\! \sec \max {\rm{MAT}}(u)}}{{\max {\rm{MAT}}(u)\! -\! \min {\rm{MAT}}(u)}}\right)\right) \times \\ &{\rm{DCI}}({u_{\max }}) + \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{{\max {\rm{MAT}}(u) - \sec \max {\rm{MAT}}(u)}}{{\max {\rm{MAT}}(u) - \min {\rm{MAT}}(u)}}\right) \times \\ & {\rm{DCI}}({u_{\sec \max }}),u = 1,2,3,4 {\text{。}}\end{split} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! $

(4)

式中， ${\rm{DCI}}(x)$ 为现有产品的决策， $\max {\rm{MAT}}(u)$ 和 $\min {\rm{MAT}}(u)$ 分别为 ${\rm{MAT}}(u)$ 的最大值和最小值， $\sec \max $ $ {\rm{MAT}}$ $(u) $ 为与 $\max {\rm{MAT}}(u)$ 相邻且仅次于其的值， ${\rm{DCI}}({u_{\max }})$ 为与 $\max {\rm{MAT}}(u)$ 相对应阶段的决策， ${\rm{DCI}}({u_{\sec \max }})$ 为与 $\sec \max {\rm{MAT}}(u)$ 相对应阶段的决策。

3 算例分析

在得到产品所处的生命周期阶段后，就可以利用云制造知识库中已存在的原有产品的各生命周期特征数据，制定适合本周期阶段的生产、促销、分销渠道、价格等策略。本文以产品促销决策为例说明。

通常的产品促销决策包括广告(电视报纸媒体广告、广告牌等)、公关宣传(记者报道、捐款、研讨会等)、人员推销(销售展示、拜访顾客等)、销售促进(赠品、打折、现金返回等)、直接营销(使用电话、邮寄、电子信箱、因特网直接沟通等)等方法^[13-16]，其优点和缺点如表3所示。

对于具体的某种产品来说，不一定要使用上述的全部促销手段，而应有针对性地选用投入低效果好的促销决策。另外，对于选定的促销决策，在不同的生命周期阶段，具体的促销重点和资金投入的确定也是一个需要注意的问题。在没有采用知识库的系统中，现有产品的促销决策需要重新建立，并在生产销售过程中调整改进，这样就增加了决策时间和成本。而在采用知识库的系统中，可以由知识库中调取原有或同类产品的促销决策知识，加以微调更新，可以大大降低现有产品制定促销决策的时间和成本。

某空调器制造企业在原有产品的基础上开发并生产了一种新型空调，一段时间后，企业希望加强其营销工作，需要进行促销决策。设原有产品的各阶段数据已经存储于知识库，其在知识库中存储的原有产品的全生命周期各阶段典型时期(以月为单位)的销售量、生产成本、销售成本和利润如表4所示。

现有产品一个时期内的销售量、生产成本、销售成本和利润如表5所示。

选取 ${v_1} = 1.10$ ， ${v_2} = 1.00$ ， ${v_3} = 1.05$ ， ${v_4} = 1.05$ ，利用前述匹配方法进行计算可以得到现有产品与原有产品的生命周期各个阶段的匹配度为 ${\rm{MAT}}(1) = 0.78$ ， ${\rm{MAT}}(2) = 0.81$ ， ${\rm{MAT}}(3) = 0.65$ ， ${\rm{MAT}}(4) = 0.76$ 。因此现有产品属于成长期，且邻近投入期一侧，促销决策应以成长期模式为主，同时以投入期特征进行辅助决策。

设其在知识库中存储的原有产品的全生命周期各阶段典型时期的促销方法及其投入资金如表6所示。

利用式(4)经计算可以得到现有产品促销决策为 ${\rm{DCI}}(x) \;= \;\left(1\; -\; \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac {{0.81 - 0.78}}{{0.81 - 0.65}}\right)\right) \;\times \; {\rm{DCI}}({u_{\max }}) \;+ \;\dfrac{1}{2} \;\times$ $ \left( \dfrac{{0.81 \;-\; 0.78}}{{0.81\; -\; 0.65}}\right) \; \times\;{\rm{}}{\rm DCI} ({u_{\sec \max }}) ={\rm{ 0}}{\rm{.91DCI}}({u_{\max }}) \;+\; {{ 0}}{\rm{.09}}\; \times$ ${\rm DCI} ({u_{\sec \max }})$ 。所以现有产品促销应该按照广告投资818万元，公关宣传109万元，销售促进282万元进行。

4 结语

本文提出了一种产品生命周期匹配方法，该方法通过将现有产品部分数据与知识库中原有产品进行匹配以获取现有产品所处的生命周期阶段。它可以充分利用知识库中已有的原有产品的生命周期的特征数据，减少匹配时间和匹配所需的数据量。在匹配完成并获得生命周期阶段数据知识后，可以利用知识库中存储的原有产品的促销数据知识快速得到现有产品所应该采取的促销决策。由于新产品决策的实现需要依赖企业原有产品的知识或数据库，因此本文方法要求企业具有较完善的知识库才能够作出较准确的决策。该方法不仅适用于促销决策，还可以应用于生产管理的其他方面。在未来的研究工作中，可以考虑对方法进行优化，并将其应用到其他决策问题中。