相关数据表明，产成品物流成本占销售额的5%~11%，运输成本与库存成本作为物流成本的主要组成部分，两者之间存在“效益背反”的现象。一方面企业为了实现运输成本的降低采取较大规模的运输，而较大规模的运输却带来了货物在节点环节的大量停顿与仓储，从而导致库存成本的上升；另一方面为了减少库存成本，企业采用小批量多频次的运输却导致了运输配送成本的上升^[1]。在现实中，不同运输方式对运输成本产生直接影响^[2]：铁路运输与水路运输以其单位运输成本较低要明显优于公路运输，但是铁路运输需要较大的固定投入与较大组织成本不能满足客户灵活性的要求^[3]。如何依据不同运输方式来解决物流成本优化问题，成为当前物流管理的一个热点问题^[4]。

本文所研究领域涉及多式运输范畴，国内外学者围绕多式联运问题已经作了大量研究，Van Schijndel等^[5]在一项对荷兰运输公司的调查中显示，在运输公司中有将近10%的运输车辆会遇到交通拥堵，而由于拥堵带来的成本占运输成本的7%，这将使得多式联运成为物流供应商的首要选择。Johnson等^[6]在生物燃料供应链的运输方式选择问题的研究中，建立了包括基础设施、原料采购、运输、存储成本的物流成本模型，研究表明在持续性运输情况下铁路更适用于短距离运输。Seo等^[7]在研究从中国重庆出口笔记本电脑到荷兰鹿特丹的运输路线选择问题中，建立了以运输成本、转移成本、运输时间、港口拥挤等附加费用的多目标运输模型，研究表明铁路运输优于水路运输。Zeng等^[8]在我国汽车物流仍然以公路运输为主的现实背景下研究了商用车多式联运的问题，在运输成本、运输时间、运输能力存在约束的条件下建立了以物流成本最小化的目标函数，并通过遗传算法解决了该运输方式选择问题。成本固然是选择运输方式的主要的原因，但是上述文献并没有同时考虑库存成本和运输成本。各种运输方式因为其服务距离、服务效率、运输批量和运输成本的差异对供货过程中的库存成本和运输成本有不同的影响。为了平衡库存成本和运输成本的矛盾，本文从仓储和运输一体化角度考虑系统成本。仓储和运输一体化就是在选择运输方式进行供货时，既考虑货物的运输成本，又考虑仓储地库存成本，在保证供货的同时降低系统成本。

在平衡库存成本和运输成本的相关研究中，Larson^[9]研究了考虑安全库存的库存和运输物流成本模型，并通过该模型确定经济运输批量和最优运输方式。Hoberg等^[10]基于快速运输和慢速运输相结合的库存控制模型，分别从确定性需求和随机需求的角度研究了不同订货量和库存值组合。Stenius等^[11]研究了一种基于运输排放和库存控制的配送系统，通过对不同运输数量下的成本和排放进行评价，再与库存控制相结合从而在成本和排放方面对库存和运输决策进行联合优化，Speranza等^[12]通过建立混合整数规划模型确定固定运输路线运输不同产品的频次来降低库存成本和运输成本。Ji等^[13]、Venkatadri等^[14]分别研究了由供应商、制造商和客户组成的三阶段供货系统以及物联网中模拟整合情况下如何平衡库存成本和运输成本。葛显龙等^[15]将补货周期和补货量相结合，从物流供应链视角研究了库存与运输整合优化问题，并利用云遗传算法解决该问题。本论文是基于Roorda 等^[3]研究的库存控制与货运选择模型：该论文将经济订货批量模型运用到货运选择问题中，在考虑车辆装载量约束下建立库存成本和运输成本的物流成本模型。本文将以该模型为基础，在铁路运输和公路运输均存在运输批量约束的前提下同时考虑运输成本和库存成本，并探讨不同条件下运输方式选择问题。

1 问题描述与基本假设

本文研究的是仓储和运输联合决策一体化运作系统，系统由仓储与运输2个子系统组成，仓储子系统按照经济订货批量模式(如图1)进行集货，当集中货物数量达到一个最高水平时，运输子系统按照这样的水平(批量)将所有货物运输(配送)到需求地。为了实现仓储与运输的无缝对接，以及保证一体化系统最小库存成本，单个周期内仓储的库存最大值与运输批量相等。为研究问题分析需要，作如下假设。

假设1 　仓储子系统的集货速率为d，同时集货速率也反映一体化系统服务对象货物的到达速率，因此d可以理解为系统的需求速率，假设需求率固定为常量。

假设2 　仓储子系统集货的最大库存水平为s，单位库存持有成本为h,参照经济订货批量模式运作，库存成本为 ${C_{\rm h}} = \dfrac{{hs}}{2}$ 。

假设3 　运输子系统有铁路与公路2种运输方式(用数字下标1表示铁路和2表示公路)。假设运输方式i的单位运输成本为c_i，固定成本为b_i,运输批量为x_i，车辆的容量为K_i；由于铁路运输方式的单位运输成本要低于公路单位运输成本，固定成本高于公路运输方式，火车的容量大于汽车，因此c₁＜c₂，b₁＞b₂，K₁＞K₂，令Δ=c₂−c₁，Δ＞0。令α_i=b_i/K_i表示运输方式i满载成本费率，由于铁路具有批量运输优势，设α₁＜α₂。

假设4 　运输成本是运输批量的线性函数C_t= b_i+c_ix_i。

2 运输批量及方式决策 2.1 不考虑装载量限制运输决策

单一运输方式是一体化系统只能选择一种运输方式运输所有货物，即只采用铁路运输或者是只采用公路运输。因为仓储子系统集货的最大库存水平为s，故每次运输的批量为x_i(x_i=s)的货物，根据假设4，单次运输成本为b_i+c_ix_i。当需求率为d时，运输批量为x_i，需要运输d/x_i次，运输成本为C_t=d(b_i+c_ix_i)/x_i。所以运输批量为x_i时单一运输方式的系统成本为 ${C_{\rm{h}}} + {C_{\rm{t}}} = \dfrac{{hs}}{2} + \dfrac{d}{{{x_i}}}\left( {{b_i} + {c_i}{x_i}} \right)$ ，其中x_i=s，故系统成本为

$\quad\quad\min{Z_i} = \frac{{{x_i}}}{2}h + \frac{{d{b_i}}}{{{x_i}}} + d{c_i}\text{。}$

(1)

根据目标函数性质，很容易看出函数具有凸函数性质，由一阶条件

$\quad\quad\frac{{\text{∂} {Z_{\rm{i}}}}}{{\text{∂} {x_i}}} = \frac{1}{2}h - \frac{{d{b_i}}}{{x_i^2}} = 0,$

容易得到如下命题。

命题1 　不考虑运输方式装载量限制条件下一体化系统最优运输量与最小成本为

$\quad\quad{x_i}^* = \sqrt {\frac{{2d{b_i}}}{h}} ,$

$\quad\quad Z_i^* = \sqrt {2dh{b_i}} + d{c_i}{\text{。}}$

命题1表明在不考虑运输方式装载量限制(或车辆容量足够大时)，一体化系统的最优运输量与EOQ模型吻合，且最优运输量与固定成本(b_i)、物流需求率(d)、库存持有成本(h)相关，却与单位运输成本c_i无关，系统的总成本与上述4个因素有关。根据假设可以知道，2种不同运输方式的固定成本与单位成本存在一定差异，由此带来2种运输方式总成本大小的不同，作为物流运输管理者应该选择哪种运输方式使得总物流成本更小，给出下面的推论。

推论1 　当0＜d≤d₁时，Z₁^*≥Z₂^*；当d＞d₁时，Z₁^*＜Z₂^*，其中，

$\quad\quad{d_1} = \frac{{2h{{\left( {\sqrt {{b_1}} - \sqrt {{b_2}} } \right)}^2}}}{{{\varDelta ^2}}}\text{。}$

证明 　根据命题1知， $Z_1^* = \sqrt {2dh{b_1}} + d{c_1}$ ， $ Z_2^* =$ $ \sqrt {2dh{b_2}} + d{c_2}$ 。令 $ f\left( d \right) \!=\! Z_1^* \!-\! Z_2^* \!=\!\! \sqrt {2dh{b_1}} + d{c_1} \!\!-\!\! \sqrt {2dh{b_2}} -$ $ d{c_2} = \sqrt {2dh} \left( {\sqrt {{b_1}} - \sqrt {{b_2}} } \right) - d{\rm{\varDelta }}$ ，有f(0)=0； $f_d' = $ $\dfrac{{\left( { - \sqrt {{b_2}} + \sqrt {{b_1}} } \right)\sqrt {2h} }}{{2\sqrt d }} - {\rm{\varDelta }}$ ， $f''\left( d \right) = \dfrac{{\left( {\sqrt {{b_2}} - \sqrt {{b_1}} } \right)\sqrt {2h} }}{{4d\sqrt d }}$ ，根据假设b₁＞b₂，所以 $f''\left( d \right) {\text{＜}} 0$ ，函数f(d)为凹函数，f'(d)单调递减，f(d)函数在d＞0区间表现为先增后减趋势。由f(d)表达式可以看出d→∞时， $\sqrt {2dh} \left( {\sqrt {{{\rm{b}}_1}} -}\right. $ $\left.{ \sqrt {{{\rm{b}}_2}} } \right) {\text{＜}} d{\rm{\varDelta }}$ ，即f(d→∞)＜0，根据介值定理，在d＞0区间存在零点，令 $ f\left( d \right) = \sqrt {2dh} \left( {\sqrt {{b_1}} - \sqrt {{b_2}} } \right) -$ $ d{\rm{\varDelta }} = 0$ ，得到 ${d_1} = \dfrac{{2h{{\left( {\sqrt {{b_1}} - \sqrt {{b_2}} } \right)}^2}}}{{{{\rm{\varDelta }}^2}}}$ ，此时 $f'\left( {{d_1}} \right) = - \dfrac{1}{2}{\rm{\varDelta }} {\text{＜}} $ $ 0$ ，f(d)在d₁点附近单调递减，因此当d≤d₁， $f\left( d \right) {\text{≥}} $ $ f\left( {{d_1}} \right) = 0$ ；d＞d₁时， $f\left( d \right) {\text{＜}} f\left( {{d_1}} \right) = 0$ 。即当0＜d≤d₁，Z₁^*≥Z₂^*；d＞d₁时，Z₁^*＜Z₂^*，推论得证。

推论1说明,在没有车辆容量限制或其车辆容量限制无限大时，铁路运输和公路运输在不同需求范围内运输方式选择不同(图2所示)：当物流需求率d≤d₁情况下，公路运输成本更小(Z₂^*≤Z₁^*)；而随着物流需求量的增大，铁路运输的总成本要低于公路运输(Z₁^*≤Z₂^*)。产生这种现象的主要原因是铁路运输的单位运输成本(c₁)低于公路运输，但每一次的固定成本(b₁)却高于公路运输，因为运输规模与需求量没有达到相应的规模时，铁路运输优势无法显现，这种现象很好解释了现实中大规模或大宗物资采取铁路运输的优势。

同时从推论1还可以看出，当物流需求率达到d=d₁时，铁路与公路运输无差异，2种运输方式物流总成本相等，这种无差异运输方式明显与特定的需求率相关，从推论中d₁的取值可以得到推论2。

推论2 　 $\dfrac{{\text{∂} {d_1}}}{{\text{∂} h}} {\text{＞}} 0,\dfrac{{\text{∂} {d_1}}}{{\text{∂} \varDelta }} {\text{＜}} 0$

推论2说明使铁路运输和公路运输无差异的物流需求率d₁随着货物单位库存持有成本(h)的增加而增加，这表现为无差异物流需求率d₁在图2中向右移动，即适用公路运输的物流需求率的门槛增加；同时无差异的物流需求率d₁随着铁路运输与公路运输的单位运输成本差值(Δ)的增加而减小，这表现为无差异物流需求率d₁在图2中向左移动，即适用铁路运输的物流需求率的门槛降低，这是因为当Δ增加时，说明公路运输的单位运输成本(c₂)增加或者是铁路运输的单位运输成本(c₁)减小，使得铁路运输的竞争优势更明显。

2.2 考虑装载量限制的运输决策

参照上文，考虑运输车辆装载量限制的系统成本如下：

$\quad\quad\begin{array}{l} {\rm{min}}\; {Z_i} = \dfrac{{{x_i}}}{2}h + \dfrac{{d{b_i}}}{{{x_i}}} + d{c_i},\\ {\rm{s}}.{\rm{t}}.\;\;{x_i} {\text{≤}} {K_i} \text{。}\end{array}$

命题2 　考虑运输方式装载量限制条件下一体化系统最优运输批量与最小成本为

$\quad\quad\begin{array}{l} {x_i}^* = {\rm min}\left\{ {\sqrt {2d{b_i}/h} ,{K_i}} \right\}\text{，}\\ Z_i^* = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt {2dh{b_i}} + d{c_i},\;\;\;\;\;\;d{\text{≤}} \dfrac{{h{K_i}}}{{2{\alpha _i}}};}\\ {\dfrac{{h{K_i}}}{2} + d\left( {{c_i} + {{\rm{\alpha }}_{\rm{i}}}} \right),\;\;\;\;d {\text{＞}} \dfrac{{h{K_i}}}{{2{\alpha _i}}}{\text{。}}} \end{array}} \right. \end{array}$

(2)

证明 根据目标函数构造Lagrange函数

$\quad\quad L\left( {{x_i},\lambda } \right) = \frac{{{x_i}}}{2}h + \frac{{d{b_i}}}{{{x_i}}} + d{c_i} + \lambda \left( {{K_i} - {x_i}} \right),$

对 $L\left( {{x_i},\lambda } \right)$ 分别求x_i，λ的一阶导数，得到

$\quad\quad\frac{{\text{∂} L\left( {{x_i},\lambda } \right)}}{{\text{∂} {x_i}}} = \frac{1}{2}h - \frac{{d{b_i}}}{{x_i^2}} - \lambda = 0,$

$\quad\quad\frac{{\text{∂} L\left( {{x_i},\lambda } \right)}}{{\text{∂} {\rm{\lambda }}}} = {K_i} - {x_i} = 0\text{。}$

根据KKT条件，存在 ${K_i} {\text{≥}} \sqrt {2d{b_i}/h} $ 或 $d {\text{≤}} \dfrac{{K_i^2h}}{{2{b_i}}} = $ $ \dfrac{{h{K_i}}}{{2{\alpha _i}}},\lambda = 0$ ，原函数存在内点最优解 ${x_i}^* = \sqrt {2d{b_i}/h} $ ，此时 $Z_i^* = \sqrt {2dh{b_i}} + d{c_i}$ ；当 ${K_i} {\text{＜}} \sqrt {2d{b_i}/h} $ 或 $d {\text{＞}} \dfrac{{K_i^2h}}{{2{b_i}}} =$ $ \dfrac{{h{K_i}}}{{2{\alpha _i}}}$ 时，λ＞0,原函数存在角解 ${x_i}^* = {K_i}$ ，且 $Z_i^* = \dfrac{{h{K_i}}}{2} +$ $ d\left( {{c_i} + {{\rm{\alpha }}_{\rm{i}}}} \right)$ ，由此得 ${x_i}^* = {\rm min}\left\{ {\sqrt {2d{b_i}/h} ,{K_i}} \right\}$ ，得到式(2)的结论，命题2得证。

命题2表明系统最小成本是关于物流需求率的分段函数，即对于不同的需求规模，最小系统成本有不同的取值。当最优运输批量小于运输车辆容量时，最优运输批量和物流需求率、固定运输成本和单位库存持有成本相关；且最优运输批量随着物流需求率和固定运输成本的增加而增加，随着单位库存持有成本的增加而减少。这是因为固定成本与运输批量没有关系，当固定运输成本高时，较大的运输量可以分摊固定运输成本。另外系统的最小成本也是随着物流需求率、固定运输成本、单位库存持有成本和单位运输成本的增加而增加。

推论3 　考虑运输方式装载量限制条件下，运输方式选择按如下策略选择。

1)当 ${K_1} {\text{≥}} 2\left( {{{\rm{b}}_1} - \sqrt {{b_1}{b_2}} } \right)/{\rm{\varDelta }}$ 且 ${K_2} {\text{≥}} 2\left( {\sqrt {{b_1}{b_2}} - {b_2}} \right)/{\rm{\varDelta }}$ 时，Z₁^*与Z₂^*大小参照推论1决策；

2)当 ${K_1} {\text{＜}} 2\left( {{{\rm{b}}_1} - \sqrt {{b_1}{b_2}} } \right)/{\rm{\varDelta}}\text{，}{K_2} {\text{＜}} 2\left( {\sqrt {{b_1}{b_2}} - {b_2}} \right)/{\rm{\varDelta }}$ 且 ${K_1} - {K_2} {\text{＞}} \dfrac{{4{{\left( {\sqrt {{b_1}} - \sqrt {{b_2}} } \right)}^2}\left( {{\rm{\varDelta }} + {\alpha _2} - {\alpha _1}} \right)}}{{{\varDelta ^2}}}$ 时，存在当d＜d₂时，Z₁^*＞Z₂^*，当d＞d₂时，Z₁^*＜Z₂^*，其中，

$\quad\quad{d_2} = \frac{{h\left( {{K_1} - {K_2}} \right)}}{{2\left( {{\rm{\varDelta }} + {\alpha _2} - {\alpha _1}} \right)}}\text{；}$

3)当 ${K_1} {\text{＞}} 2\left( {{b_1} - \sqrt {{b_1}{b_2}} } \right)/\varDelta ,{K_2} {\text{＜}} 2\left( {\sqrt {{b_1}{b_2}} - {b_2}} \right)/{\rm{\varDelta }}$ ， $\dfrac{{{K_1} \!-\! {K_2}}}{{K_1^2}} {\text{＜}} \dfrac{{\varDelta \!+\! {{\rm{\alpha }}_2}}}{{{b_1}}}$ 且 $\dfrac{{2\left( {{b_1} \!- \!\sqrt {{b_1}{b_2}} } \right) \!-\! 2{{\left( {\sqrt {{b_1}} \!-\! \sqrt {{b_2}} } \right)}^2}\left( {1\!+\! {{\rm{\alpha }}_2}} \right)}}{{{\varDelta ^2}}} $ ${\text{＞}} {K_2} $ 时，存在d＜d₃时，Z₁^*＞Z₂^*，当d＞d₂时，Z₁^*＜Z₂^*，其中，

$\quad\quad{d_3} = \frac{{h{{\left( {\sqrt {{b_1}} + \sqrt {{b_1} - {b_2} - {\rm{\varDelta }}{K_2}} } \right)}^2}}}{{2{{\left( {{\rm{\varDelta }} + {\alpha _2}} \right)}^2}}}\text{。}$

证明见附录1。

推论3说明当铁路运输和公路运输的装载容量在不同范围时，使得铁路运输或公路运输无差异的物流需求率也在变化，主要表现在以下几个方面。

1) 当铁路运输和公路运输的装载容量分别满足 ${K_1} {\text{≥}} 2\left( {{{{b}}_1} - \sqrt {{b_1}{b_2}} } \right)/{\rm{\varDelta }}$ ， ${K_2}{\text{≥}}2\left( {\sqrt {{b_1}{b_2}} - {b_2}} \right)/{\rm{\varDelta }}$ 时，符合推论1运输车辆的装载容量无限大的情况，因此运输选择决策也参考推论1。

2) 当铁路运输和公路运输的装载容量满足 ${K_1} {\text{＜}} 2\left( {{{{b}}_1} - \sqrt {{b_1}{b_2}} } \right)/{\rm{\varDelta ,}}{K_2} {\text{＜}} 2(\sqrt {{b_1}{b_2}} - {b_2})/{\rm{\varDelta }}$ 且 ${K_1} - {K_2} {\text{＞}} $ $\dfrac{{4{{\left( {\sqrt {{b_1}} - \sqrt {{b_2}} } \right)}^2}\left( {{\rm{\varDelta }} + {\alpha _2} - {\alpha _1}} \right)}}{{{\varDelta ^2}}}$ ，即2种运输方式的装载容量均存在上限时，d=d₂为铁路运输和公路运输的无差异物流需求率，此时仓储和运输一体化系统对选择何种运输方式不敏感；当物流需求率d＜d₂，公路运输优于铁路运输，当物流需求率d＞d₂，铁路运输优于公路运输。

3) 在铁路运输和公路运输的装载容量满足 ${K_1} {\text{＞}} 2\left( {{b_1} - \sqrt {{b_1}{b_2}} } \right)/\varDelta ,{K_2} {\text{＜}} 2(\sqrt {{b_1}{b_2}} - {b_2})/{\rm{\varDelta }},\dfrac{{{K_1} - {K_2}}}{{K_1^2}} {\text{＜}} \dfrac{{\varDelta + {{\rm{\alpha }}_2}}}{{{b_1}}}$ 且 $\dfrac{{2\left( {{b_1} - \sqrt {{b_1}{b_2}} } \right) - 2{{\left( {\sqrt {{b_1}} - \sqrt {{b_2}} } \right)}^2}\left( {1 + {{\rm{\alpha }}_2}} \right)}}{{{\varDelta ^2}}} {\text{＞}} {K_2}$ ，即铁路运输的装载容量无限大，公路运输的装载容量在一定范围内的前提下，当物流需求率d=d₃时，采用铁路运输的系统成本和采用公路运输的系统成本相同，此时系统对选择何种运输方式不敏感；当物流需求率d＞d₃，系统应该采用铁路运输；当物流需求率d＜d₃时，系统应该采用公路运输。另外由d₃＜d₂可以发现，当铁路运输和公路运输的装载容量均有最大限制时，适用铁路运输的物流需求率大于当铁路运输的装载容量无限大且公路运输的装载容量一定时适用铁路运输的物流需求率，这说明铁路运输相对于公路运输的竞争优势主要在于火车的装载容量远远大于汽车的装载容量，使得铁路运输可以通过规模经济降低运输成本从而获得更多的物流运输。

综上所述，铁路运输和公路运输都是在各自的优势下适用不同范围的物流需求率，只是不同条件下对应的无差异物流需求率不同。对仓储和运输一体化系统而言，在进行仓储与运输的联合决策时，不应该只考虑运输方式的成本要素，因为低运输成本会导致库存成本增加，而低库存成本又会导致较高的运输成本，所以应该在库存成本和运输成本之间实现平衡，即从物流需求率与运输方式的运输批量、单位库存成本、单位运输成本等因素之间的特定关系角度选择合适的运输方式。

3 算例分析

为验证本文的结论，接下来进行数值仿真分析，参数设置分别如下：h=5，c₁=1.6，c₂=2.5，K₁=1 500，K₂=300，b₁=3 000，b₂=900。根据maple计算并得到如下分析。

根据不考虑车辆容量限制的系统成本如图3所示，从图形结果来看，铁路运输和公路运输的系统成本随着物流需求率的增加而增加，当物流需求率d＜7 577时，采用铁路运输的系统成本大于采用公路运输的系统成本，即公路运输优于铁路运输；当物流需求率d＞7 577时，采用铁路运输的系统成本小于采用公路运输的系统成本，即铁路运输优于公路运输；当物流需求率d=7 577时，2种运输方式产生的系统成本相同，这与推论1相符，这实际上也说明选择何种运输方式与特定物流需求率相关。

4 结论

运输方式选择对仓储与运输一体化系统的成本产生重要影响。本文参照经济订货批量模型，考虑运输工具存在装载量限制的前提下，实现库存成本和运输成本的平衡。通过单一运输方式中铁路运输和公路运输的比较发现：当铁路和公路运输的最优运输批量小于运输车辆的限制时，2种运输方式的最优运输批量和系统最小成本随着物流需求率、固定运输成本等因素的增加和增加，随着单位库存持有成本的增加而减少；无论是否考虑运输车辆限制，铁路运输和公路运输的竞争优势所适用的物流需求率的范围不同；最后不同策略下的无差异需求率是随着单位库存持有成本的增加而增加，体现了适用铁路运输或公路运输的物流需求规模的变化。对物流管理者而言，综合考虑库存成本和运输成本是选择何种运输方式的重要因素，同时也应该根据物流需求规模做出运输方式决策。

附录1

推论3证明。

根据命题2，Z₁^*，Z₂^*存在2个取值区间，主要取决于d或K_i取值区间,当 $d {\text{≤}} \dfrac{{hK_i^2}}{{2{b_i}}}$ 时， $Z_i^* =\sqrt {2dh{b_i}} +$ $ d{c_i}$ ，反之 $Z_i^* = h{K_i}/2 + d({\alpha _i} + {c_i})$ 。又根据假设 ${\dfrac{{{d_1}}}{K}_1} < \dfrac{{{d_2}}}{{{K_2}}}$ , K₁＞K₂，因此 $hK_1^2/2{b_1} {\text{＞}} hK_2^2/2{b_2}$ ；根据推论1中Z₁^*，Z₂^*的交点d₁知，d₁与 $hK_1^2/2{b_1}\text{，}hK_2^2/2{b_2}$ 存在3种关系。

1) $hK_1^2/2{b_1} {\text{＞}} hK_2^2/2{b_2}\! {\text{≥}}\! {d_1}$ 。即当 $d\! {\text{＞}} \!hK_1^2/2{b_1} \!{\text{＞}}\!hK_2^2/ $ $ 2{b_2} \!{\text{≥}}\! {d_1}$ 时， $Z_1^* = \dfrac{{h{K_1}}}{2} + d\left( {{c_1} + {{\rm{\alpha }}_1}} \right),Z_2^* = \dfrac{{h{K_2}}}{2} + d\left( {{c_2} + {{\rm{\alpha }}_2}} \right)$ ，2种运输方式的装载容量足够大时，容量对总成本不产生影响，此时2种运输方式的总成本曲线按照命题1结论在d₁点相交。结论与推论1相同，即 $\dfrac{{hK_1^2}}{{2{b_1}}} {\text{≥}} {d_1} = \dfrac{{2h{{\left( {\sqrt {{b_1}} \!\! -\!\! \sqrt {{b_2}} } \right)}^2}}}{{{\varDelta ^2}}}$ ，得到 ${K_1} {\text{≥}} 2\left( {{{\rm{b}}_1} \!\!-\!\! \sqrt {{b_1}{b_2}} } \right)/{\rm{\varDelta }}$ ，同理得 ${K_2} {\text{≥}} 2\left( {\sqrt {{b_1}{b_2}} - {b_2}} \right)/{\rm{\varDelta }}$ ；

2) ${d_1} {\text{＞}} hK_1^2/2{b_1} {\text{＞}} hK_2^2/2{b_2}$ 。即当 $d {\text{＜}} hK_2^2/2{b_2} {\text{＜}} $ $ hK_1^2/2{b_1} {\text{＜}} {d_1}$ 时(如图4所示)，根据推论1有Z₁^*＞Z₂^*，当 $d {\text{＞}} {d_1} {\text{＞}} hK_1^2/2{b_1} {\text{＞}} hK_2^2/2{b_2}$ 时， ${{Z}}_1^* \!=\! \dfrac{{h{K_1}}}{2} + d\left( {{c_1} \!+ {{\rm{\alpha }}_1}} \right)$ ， ${{Z}}_2^* = \dfrac{{h{K_2}}}{2} + d\left( {{c_2} + {{\rm{\alpha }}_2}} \right)$ ，令 $ g\left( d \right) = {{Z}}_2^* - {{Z}}_1^* = \dfrac{{h({K_2} - {K_1})}}{2} +$ $ d\left( {\varDelta + {{\rm{\alpha }}_2} - {{\rm{\alpha }}_1}} \right)$ ， $\dfrac{{\text{∂} g\left( d \right)}}{{\text{∂} d}} = \varDelta +$ $ {{\rm{\alpha }}_2} - {{\rm{\alpha }}_1}$ 。根据假设α₂＞α₁，有 $\dfrac{{\text{∂} g\left( d \right)}}{{\text{∂} d}} {\text{＞}} 0$ ，故g(d)在d＞d₁范围内单调递增，由 $g\left( {{d_1}} \right) = - \dfrac{{h({K_1} \!-\! {K_2})}}{2} \!+\! {d_1}\left( {\varDelta \!+\! {{\rm{\alpha }}_2} \!-\! {{\rm{\alpha }}_1}} \right) {\text{＜}} 0$ ，推出 $ {K_1} - {K_2} {\text{＞}} $ $\dfrac{{4{{\left( {\sqrt {{b_1}} - \sqrt {{b_2}} } \right)}^2}\left( {{\rm{\varDelta }} + {\alpha _2} - {\alpha _1}} \right)}}{{{\varDelta ^2}}}$ ，又d→∞，g(d)→∞，故g(d)在d＞d₁范围内存在零点。当令 $g\left( d \right) = Z_2^* -$ $ Z_1^* = 0$ ，求得 ${d_2} = \dfrac{{h\left( {{K_1} - {K_2}} \right)}}{{2\left( {{\rm{\varDelta }} + {\alpha _2} - {\alpha _1}} \right)}}$ 。可知，当d₁＜d＜d₂时，g(d)＜0， $Z_2^*{\text{＜}}Z_1^* $ ，同理，d＜d₂， $Z_2^*{\text{＜}}Z_1^* $ ，当d＞d₂时，g(d)＞0, $ Z_2^*{\text{＞}}Z_1^*$ 。由 ${d_1} {\text{＞}} hK_1^2/2{b_1} {\text{＞}} hK_2^2/2{b_2}$ ， $ g(d_1){\text{＜}}$ 0，推出 ${K_1} {\text{＜}} 2\left( {{{{b}}_1} - \sqrt {{b_1}{b_2}} } \right)/{\rm{\varDelta }}\text{，}{K_2} {\text{＜}} 2\left( {\sqrt {{b_1}{b_2}} - {b_2}} \right)/{\rm{\varDelta }}$ 且 ${K_1} - {K_2} {\text{＞}} \dfrac{{4{{\left( {\sqrt {{b_1}} - \sqrt {{b_2}} } \right)}^2}\left( {{\rm{\varDelta }} + {\alpha _2} - {\alpha _1}} \right)}}{{{\varDelta ^2}}}$ 。

3) $hK_1^2/2{b_1} {\text{＞}} {d_1} {\text{＞}} hK_2^2/2{b_2}$ 。当 $d {\text{＜}} hK_2^2/2{b_2} {\text{＜}} {d_1}$ 时(如图4所示)，根据推论1有Z₁^*＞Z₂^*；当 $ hK_2^2/2{b_2} {\text{＜}}$ $ {d_1}\; {\text{＜}}\; d \;{\text{＜}}\; hK_1^2/2{b_1}$ ， ${{Z}}_1^* = \sqrt {2dh{b_1}} \;+\; d{c_1}$ ， ${{Z}}_2^* = \dfrac{{h{K_2}}}{2} + $ $ d\left( {{c_2} + {{\rm{\alpha }}_2}} \right)$ , 令 $ G\left( d \right) = {{Z}}_1^* - {{Z}}_2^* = \sqrt {2dh{b_1}} + d({c_1} - {c_2} - {{\rm{\alpha }}_2}) -$ $ \dfrac{{h{K_2}}}{2}$ , $\dfrac{{\text{∂} G\left( d \right)}}{{\text{∂} d}} \!=\! \dfrac{{h{b_1}}}{{\sqrt {2dh{b_1}} }} \!-\! {{\rm{\alpha }}_2} \!-\! \varDelta $ , $\dfrac{{\text{∂} {G^2}\left( d \right)}}{{\text{∂} {d^2}}}\! = \!- \dfrac{{h{b_1}}}{{2d\sqrt {2dh{b_1}} }} {\text{＜}}$ $ 0$ ，G(d)在 ${d_1} {\text{＜}} d {\text{＜}} hK_1^2/2{b_1}$ 范围内为凹函数并呈现先递增后递减的趋势，G'(d)单调递减，由G(d₁)＞0，推出 $\dfrac{{2\left( {{b_1} - \sqrt {{b_1}{b_2}} } \right) - 2{{\left( {\sqrt {{b_1}} - \sqrt {{b_2}} } \right)}^2}\left( {1 + {{\rm{\alpha }}_2}} \right)}}{{{\varDelta ^2}}} {\text{＞}} {K_2}$ ，由 $G\left( {hK_1^2/2{b_1}} \right) {\text{＜}} 0$ 推出 $\dfrac{{{K_1} - {K_2}}}{{K_1^2}} {\text{＜}} \dfrac{{\varDelta + {{\rm{\alpha }}_2}}}{{{b_1}}}$ ，根据介值定理G(d)在 ${d_1} {\text{＜}} d {\text{＜}} hK_1^2/2{b_1}$ 范围内存在零点，令G(d)=0，求得 ${d_3} = \dfrac{{h{{\left( {\sqrt {{b_1}} + \sqrt {{b_1} - {b_2} - {\rm{\varDelta }}{K_2}} } \right)}^2}}}{{2{{\left( {{\rm{\varDelta }} + {\alpha _2}} \right)}^2}}}$ ，综上可知，当d₁＜d＜d₃时， $Z_1^*{\text{＞}}Z_2^* $ ；当 ${d_3} {\text{＜}} d {\text{＜}} hK_1^2/2{b_1}$ 时， $Z_1^*{\text{＜}}Z_2^* $ ；同理当d₃＜d时， $Z_1^*{\text{＜}}Z_2^* $ 。根据 $ hK_1^2/2{b_1} {\text{＞}} {d_1}{\text{＞}}$ $ hK_2^2/2{b_2}$ , 得 ${K_1} {\text{＞}} 2\left( {{b_1}\! -\! \sqrt {{b_1}{b_2}} } \right)/\varDelta $ , ${K_2} {\text{＜}} 2\left( {\sqrt {{b_1}{b_2}} \!-\! {b_2}} \right)/{\rm{\varDelta }}$ , 由G(d₁)＞0, $G\left( {hK_1^2/2{b_1}} \right) {\text{＜}} 0$ ，推出 $\dfrac{{{K_1} - {K_2}}}{{K_1^2}} {\text{＜}} \dfrac{{\varDelta + {{\rm{\alpha }}_2}}}{{{b_1}}}$ ， $\dfrac{{2\left( {{b_1} - \sqrt {{b_1}{b_2}} } \right) - 2{{\left( {\sqrt {{b_1}} - \sqrt {{b_2}} } \right)}^2}\left( {1 + {{\rm{\alpha }}_2}} \right)}}{{{\varDelta ^2}}} {\text{＞}} {K_2}$ ，证毕。