经济全球化的发展使得供应链的系统日趋复杂，并面临着各种天灾人祸，旧的供应链系统表现非常脆弱，原有协调很容易被打破。因此采用不同的供应链契约来重新恢复供应链协调是本领域常用的方法。数量弹性契约是常用的一种供应链契约，常应用于生产提前期长且市场需求波动较大的短周期易逝品供应链中。传统的数量弹性契约可以很好地解决由于需求波动造成的市场需求随机和市场价格随机等问题，但却无法应对市场批发价的波动，因此需要引入新的工具来稳定波动的批发价。期权契约是主要用来提高投资效率、规避风险的金融衍生工具，是指在特定时间内以约定执行价格买卖一定数量交易品种的权利。由于它的风险规避作用，从而被学者引入到供应链风险管理领域。期权契约本身就是为了应付风险而产生的，在应对风险或突发事件也就比其他契约更具有优势，因此可以引入期权来稳定波动的批发价。当突发事件造成批发价上涨或下降时，零售商以约定的期权执行价在期权购买量的范围内灵活订货，或通过差价补偿的方式弥补价格下降的损失。

借助期权等金融工具来进行供应链管理已成为当前研究的热点问题之一。已有多位学者引入期权来进行供应链协调的研究^[1-6]。文献[1]首先对由单一的零售商和供应商所构成的两级供应链系统进行了研究。文献[2]对供应链契约中使用看涨期权来提供柔性的风险进行了分析。文献[3]进一步研究提出了期权契约协调机制下，发现零售商可退货的采购策略优于供应商采购策略。文献[4]考虑了需求随机下单零售商和单供应商组成的二级供应链,对期权契约与传统契约下的供应链最优订货与生产决策进行了比较分析。文献[5]将实物期权契约引入到由政府和供应商组成的非营利性供应链中,提出了基于实物期权契约的应急物资采购模型。以上文献大多研究的是单向期权问题，还有部分学者对双向期权进行了研究^[6-9]。文献[6]在生产量和市场需求均随机的情况下，建立了双向期权契约机制下供应链成员之间的博弈决策模型。文献[7]研究了市场环境改变引起市场需求变化的双向期权供应链协调问题。文献[8]研究了零售商可以获得风险规避银行的无限额贷款,分别探讨了看跌期权、看涨期权和双向期权契约下零售商融资的最优策略。文献[9]对季节性短寿命周期产品供应链进行了研究,构建了双向期权契约机制下的供应链博弈模型,得出了零售商的最佳采购策略与供应商的最优生产计划。以上文献中的参与者的风险态度均为风险中性。文献[10]则探讨了销售商风险规避的混合采购决策模型。

数量弹性契约应用于由于突发事件造成市场需求波动的供应链协调问题，已有多位学者对此展开了研究。文献[11]最早建立了单周期的数量弹性模型协调供应链。文献[12]针对静态需求和随机需求两种情况下，从零售商动态订购视角研究了数量弹性契约如何协调供应链。以上的研究都仅考虑了市场价格稳定的条件，但是突发事件的影响势必会导致市场价格发生随机波动。文献[13]在假定市场需求与价格都发生变化的条件下,研究多因素扰动的应急数量弹性契约协调供应链的问题。文献[14]在文献[13]的基础上讨论了零售商厌恶风险对供应链协调的影响。

以上文献大多是单独使用期权契约或数量弹性契约协调供应链。也有许多学者将供应链契约结合起来使用。文献[15]将期权契约与回购契约相融合，研究了三级供应链的协调问题。文献[16]将期权契约与数量弹性契约结合起来协调供应链。从现有文献来看，还没有在突发事件造成市场价格和批发价波动的前提下，将期权契约与数量弹性契约相融合起来协调供应链的研究。因此，本文考虑在突发事件造成市场价格和批发价均为随机的情形下，将双向期权与数量弹性契约相结合，寻找在新的契约下供应链实现协调的约束条件。

1 价格稳定条件下的应急数量弹性契约 1.1 参数假设

下面先探讨在突发事件下市场价格稳定的应急数量弹性契约如何协调供应链。

假设1　设商品市场需求随机、市场价格稳定、供应链上的商品为易逝品及短周期产品，市场需求的分布函数为 $F(x)$ 和密度函数为 $f(x)$ 。

假设2　供应链中供销双方不隐瞒生产成本和销售成本等信息，即信息对称。

假设3　供销双方最终的单位商品残值 $v$ 相等。

假设4　供销双方对待风险的态度均为风险中性。

模型中设供应商给零售商供货的单位批发价为w；g_s、g_r和 $g = {g_{\rm r}} + {g_{\rm s}}$ 为供销双方及整个供链的缺货单位成本；c_s、c_r和 $c = {c_{\rm r}} + {c_{\rm s}}$ 为供销双方及整个供链的单位生产成本，未售出产品的单位边际残值为v， ${p_0}$ 为市场均衡价格。 $ q $ 为零售商的订货量； $Q = (1 + \alpha )q$ 表示零售商的最大提货量或供应商的最大供货量；零售商最少提货量为 $(1 - \beta )q$ ， $\alpha $ 、 $\beta $ 分别为上行和下行弹性系数，表示零售商在实际取货时可上调或下调的比例，上述参数满足如下关系： $1 {\text{≥}} \alpha {\text{≥}} $ $ 0,1 {\text{≥}} \beta {\text{≥}} 0,g {\text{＜}} v {\text{＜}} c {\text{＜}} w {\text{＜}} {p_0}$ ；市场需求 $x$ 为连续非负的随机变量， $G(x),g(x)$ 分别为不引起市场价格变化的突发事件发生时市场需求的分布函数和密度函数，且 ${\mu _{\rm G}} = E(x) = \int_0^x {} g(x){\rm{d}}x$ ； ${\pi _i}(i {\text{为}}\rm r,s,h)$ 、 $\pi _i^{\rm{c}},(i {\text{为}}\rm r,s,h)$ 和 $\pi _i^{\rm u}(i {\text{为}} \rm r,s,h)$ 分别表示供销双方和整个供应链在无突发事件、有突发事件但价格稳定和突发事件造成价格随机时的期望收益。 $\hat \pi _i^{\rm c}(i {\text{为}}\rm r,s,h)$ 、 $\hat \pi _i^{\rm u}(i {\text{为}}\rm r,s,h)$ 是调整协调后的 $\pi _i^{\rm c}(i {\text{为}} \rm r,s,h)$ 、 $\pi _i^{\rm u}(i {\text{为}} \rm r,s,h)$ 。上标 $ * $ 表示取得最优量。 ${\lambda _1}$ 表示市场需求增大时( ${N_{\rm G}}(q) {\text{＞}} {Q^*}$ )每增加一单位产量将增加的额外成本； ${\lambda _2}$ 表示市场需求缩小时( ${N_{\rm G}}(q) {\text{＜}} {Q^*}$ )单位处理成本。

1.2 模型运作

根据数量弹性契约运行机理(详见文献[13])，期望销售量为 ${S_{\rm G}}(q) = q(1 + \alpha ) - \displaystyle\int_0^{q(1 + \alpha )} {G(x){\rm d}x} $ ，供应商给零售商的供货量为 ${N_{\rm G}}(q) \!=\! {S_{\rm G}}(q) \!+\! \displaystyle\mathop \int \nolimits_0^{q(1 \!- \beta )} G(x){\rm d}x{\text{ }}$ ，零售商期末期望库存量为 ${I_{\rm G}}(q) = \displaystyle\mathop \int \nolimits_0^{q(1 - \beta )} G(x){\rm d}x$ ，供应商期末期望剩余库量为 $I_{\rm G}^{\rm s}(q) = \displaystyle\int_{q(1 - \beta )}^{q(1 + \alpha )} {G(x){\rm d}x} = q(1 + \alpha ) -$ $ {S_{\rm G}}(q) - \displaystyle\mathop \int \nolimits_0^{q(1 - \beta )} G(x){\rm d}x$ ，供应链期末缺货量为 ${L_{\rm G}}(q) = $ $ {\mu _{\rm G}} - {S_{\rm G}}(q)$ 。据此可得零售商的期望收益函数为

$\begin{split} &\quad\quad \pi _{\rm r}^{\rm c} = {p_0}{S_{\rm G}}(q) + v{I_{\rm G}}(q) - w{N_{\rm G}}(q) - {c_{\rm r}}{N_{\rm G}}(q) - {g_{\rm r}}{L_{\rm G}}(q) =\\ & ({p_0} - w + {g_{\rm r}} - {c_{\rm r}}){S_{\rm G}}(q) - (w - v + {c_{\rm r}})\displaystyle\mathop \int \nolimits_0^{(1 - \beta )q} G(x){\rm d}x - {g_{\rm r}}{\mu _{\rm G}}{\text{。}} \end{split} $

(1)

供应商的期望收益函数为

$\begin{split} & \quad\quad \pi _{\rm s}^{\rm c} = w{N_{\rm G}}(q) - {c_{\rm s}}q(1 + \alpha ) + vI_{\rm G}^{\rm s}(q) - {g_{\rm s}}{L_{\rm G}}(q) -\\ & {\lambda _1}{({N_{\rm G}}(q) - {Q^*})^+ } -{\lambda _2}{({Q^*} - {N_{\rm G}}(q))^+ } = (w - v + {g_{\rm s}}){S_{\rm G}}(q) -\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\\ & (v - w)\int_0^{(1 - \beta )q} {G(x){\rm d}x - {g_{\rm s}}{\mu _{\rm G}}} - ({c_{\rm s}} - v)q(1 + \alpha ) - \\ &{\lambda _1}{({N_{\rm G}}(q) - {Q^*})^+ } - {\lambda _2}{({Q^*} - {N_{\rm G}}(q))^+ }{\text{。}} \end{split} $

(2)

供应链的期望收益函数为

$\begin{split} &\quad\quad \pi _{\rm h}^{\rm c} = ({p_0} - v + g - {c_{\rm r}}){S_{\rm G}}(q) - {c_{\rm r}}\int_0^{(1 - \beta )q} {G(x){\rm d}x} - \\ &({c_{\rm s}} - v)q(1 + \alpha ) - g{\mu _{\rm G}} - {\lambda _1}{({N_{\rm G}}(q) - {Q^*})^+ } -\\ & {\lambda _2}{({Q^*} - {N_{\rm G}}(q))^+ }{\text{。}} \end{split} $

(3)

当突发事件发生后不影响价格时，供应链此时的最优订货量大于基准契约下的最优订货量，零售商的期望收益函数与整体供应链的期望收益函数不成仿射关系，仍然采用原来的数量弹性契约会使供应链失去平衡。当突发事件发生后市场价格稳定，市场规模发生变化，即 ${N_{\rm G}}(q) {\text{＞}} {Q^*}$ 或者 ${N_{\rm G}}(q) {\text{＜}} {Q^*}$ 时，将 $w$ 调整为

$\begin{split}&\quad\quad{\hat w^{\rm c}} = \frac{{\left[(1 - \eta )({p_0} + g) - {g_{\rm s}} - {c_{\rm r}} + \eta ({c_{\rm r}} + v)\right]{S_{\rm G}}(q) }}{{\displaystyle\int_0^{(1 - \beta )q} {G(x){\rm d}x + {S_{\rm G}}(q)} }}+\\ &\frac{ \left[(\eta - 1){c_{\rm r}} + v\right]\displaystyle\int_0^{(1 - \beta )q} {G(x){\rm d}x + \eta ({c_{\rm s}} - v)q(1 + \alpha ) } }{{\displaystyle\int_0^{(1 - \beta )q} {G(x){\rm d}x + {S_{\rm G}}(q)} }}+\\ &\frac{ \eta \left[{\lambda _1}{{({N_{\rm G}}(q) - {Q^*})}^ + } + {\lambda _2}{{({Q^*} - {N_{\rm G}}(q))}^ + }\right]} {{\displaystyle\int_0^{(1 - \beta )q} {G(x){\rm d}x + {S_{\rm G}}(q)} }}{\text{。}} \end{split}$

(4)

式中 $\eta $ 为整体供应链收益分配给零售商的比例。

供应链实现了协调。(具体证明见参考文献[13])

2 价格随机条件下的应急数量弹性契约 2.1 参数假设

本部分探讨突发事件造成市场价格随机下的数量弹性契约。以最简单的二级供应链为研究对象，供应链按数量弹性契约进行合作，在突发事件下，市场价格随市场供需变化而波动,即 $ {\rm d}p = [{p_0} + $ $a(x - Q)]{\rm d}x$ (见参考文献[13-14])，其中 $a$ 为市场规模系数， $Q$ 为供应商最大生产量，寻找供应链协调时的约束条件。此时市场需求的分布函数和密度函数变为H(x)和 $h(x)$ 。

2.2 模型运作

根据上述模型运作方式，零售商的期望购买产品量为

$\begin{split} &\quad\quad {N_{\rm H}}(q) = \int_0^{(1 - \beta )q} {(1 - \beta )qh(x){\rm d}x + }\int_{(1 - \beta )q}^{(1 + \alpha )q} {xh(x){\rm d}x +}\\ & { \int_{(1 + \alpha )q}^\infty {(1 + \alpha )qh(x){\rm d}x} }= {S_{\rm H}}(q) + \mathop \int \nolimits_0^{q(1 - \beta )} H(x){\rm d}x{\text{。}} \end{split}$

(5)

价格随机的零售商期望利润函数为

$\begin{split}&\quad\quad \pi _{\rm r}^{\rm u} = \int_0^{(1 - \beta )q} \left\{{ w (} 1 - \beta )q + \nu \left[(1 + \alpha )(q + m) -\right.\right.\\ &\left.\left (1 - \beta )q\right]\right\} h(x){\rm d}x + \int_{(1 - \beta )q}^{(1 + \alpha )q} \left\{ w x + \nu \left[( 1 + \alpha )(q + m) -x\right]\right\}\times \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \\ & h(x){\rm d}x + \int_{(1 + \alpha )q}^{(1 + \alpha )(q + m)} \left\{ {w _2}( 1 + \alpha )q + \nu \left[(1 + \alpha )(q + m) - x \right] \right.+\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \\ &\left({w _{\rm ec}} + {w _0})\left[x - (1 + \alpha )q\right]\right\} h(x){\rm d}x + \int_{(1 + \alpha )(q + m)}^\infty \left\{{ {w _2}(} 1 + \alpha )q +\right.\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\\ &({w _{\rm ec}} + {w _0})(1 + \alpha )m - {g_{\rm s}}\left.\left[x - (1 + \alpha )(q + m)\right]\right\} h(x){\rm d}x -\\ &{c_{\rm s}}(1 + \alpha )(q + m){\text{。}}\end{split} $

(6)

其中，w₂为未来市场看涨时的批发价，w_ec为看涨期权执行价格，w_o为零售商从供应商处购买看涨期权的单位期权价格。

供应链价格随机的供应商的期望利润函数为

$\begin{split} &\quad\quad\pi _{\rm s}^{\rm u} = \int_0^{(1 - \beta )q} {\left[w(1 - \beta )q + v(1 + \alpha - 1 + \beta )q\right]} h(x){\rm d}x +\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \\ &\int_{(1 - \beta )q}^{(1 + \alpha )q} {\left\{ wx + v\left[(1 + \alpha )q - x\right]\right\} } h(x){\rm d}x-\\ & \int_{(1 + \alpha )q}^\infty {\left[w(1 + \alpha )q\right]h(x){\rm d}x} - \int_{(1 + \alpha )q}^\infty {{g_{\rm s}}} \left[x - (1 + \alpha )q\right]h(x){\rm d}x - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\\ & {c_{\rm s}}(1 + \alpha )q- {\lambda _1}{({N_{\rm H}}(q) - {Q^*})^ + } - {\lambda _2}{({Q^*} - {N_{\rm H}}(q))^ + }=\\ & w{N_{\rm H}}(q) + v\left[(1 + \alpha )q - {N_{\rm H}}(q)\right] - {c_{\rm s}}(1 + \alpha )q - {g_{\rm s}}{L_{\rm H}}(q) - \\ &{\lambda _1}{({N_{\rm H}}(q) - (1 + \alpha ){Q^*})^+ } - {\lambda _2}((1 + \alpha ){q^*} - {N_{\rm H}}(q)){\text{。}} \end{split}$

(7)

供应链的期望收益函数为

$\begin{split} & \quad\quad \pi _{\rm h}^{\rm u} = ({p_0} + a(x - Q) + g - v){S_{\rm H}}(q) + (v - {c_{\rm s}})q(1 + \alpha ) -\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\\ &{c_{\rm r}}{N_{\rm H}}(q) - {\mu _{\rm H}}g - {\lambda _1}({N_{\rm H}}(q) - {Q^*}) - {\lambda _2}({Q^*} - {N_{\rm H}}(q)) = \\ & ({p_0} + g - v - {c_r}){S_{\rm H}}(q) - {\mu _{\rm H}}g - {c_{\rm r}}\displaystyle\mathop \int \nolimits_0^{q(1 - \beta )} H(x){\rm d}x -\\ &({c_{\rm s}} - v)q(1 + \alpha ) + A - B{\text{。}} \end{split} $

(8)

其中：

$\begin{split} &\quad\quad A = \int_0^{(1 + \alpha )q} {a{x^2}h(x){\rm d}x} - \int_0^{(1 + \alpha )q} {ax(1 + \alpha )qh(x){\rm d}x} + \\ & \int_{(1 + \alpha )q}^\infty {ax(1 + \alpha )qh(x){\rm d}x} - \int_{(1 + \alpha )q}^\infty {a{{(1 + \alpha )}^2}{q^2}h(x){\rm d}x}, \end{split} $

$\quad\quad B = {\lambda _1}{({N_{\rm H}}(q) - {Q^*})^ + } + {\lambda _2}{({Q^*} - {N_{\rm H}}(q))^ + }]{\text{。}}$

假设上下行弹性系数 $\alpha {\text{、}}\!\!\!\beta $ 为固定常数，由供应链上下节点企业的谈判能力决定。当 ${N_{\rm H}}(q) {\text{＞}} {Q^*}$ 时，对式(8)求 $ q $ 的一阶和二阶偏导数得：

$\begin{split} & \quad\quad \frac{{\partial \pi _{\rm h}^{\rm u}}}{{\partial q}} = \int_0^{(1 - \beta )q} \left\{ \left\{ {p_0} + a\left[x - (1 + \alpha )(q + m)\right]\right\}\right. x + \\ &\nu \left[(1 + \alpha )(q + m) - x\right] -{c_{\rm r}}(1 - \beta )q\} h(x){\rm d}x + \\ & \int_{(1 - \beta )q}^{(1 + \alpha )(q + m)}\left\{ \left\{ {p_0} + a\left[x - (1 + \alpha )(q + m)\right]\right\} \right.x +\\ &\left.\nu \left[(1 + \alpha )(q + m) - x\right] - {c_{\rm r}}x\right\} h(x){\rm d}x + \\ & \int_{(1 + \alpha )(q + m)}^\infty \left\{ \left\{ {p_0} + a\left[x - (1 + \alpha )(q + m)\right]\right\} (1 + \alpha )(q + m) \right.-\\ &\left.{c_{\rm r}}(1 + \alpha )(q + m) - g\left[x - (1 + \alpha )(q +m)\right]\right\} h(x){\rm d}x -\\ &{c_{\rm s}}(1 + \alpha )(q + m), \end{split} $

(9)

$\begin{split} &\quad\quad \frac{{{\partial ^2}\pi _{\rm h}^{\rm u}}}{{\partial {q^2}}} = - {(1 + \alpha )^2}({p_0} + g - v - {c_{\rm r}} - {\lambda _1})h((1 + \alpha )q) -\\ &({c_{\rm r}} \!+\! {\lambda _1}){(1 \!-\! \beta )^2}h((1 \!-\! \beta )q) \!-\! 2a{(1 \!+\! \alpha )^2}(1 \!-\! H((1 \!+\! \alpha )q)) {\text{＜}} 0{\text{。}} \end{split} $

(10)

由此可得式(10)小于0，为凹函数，即存在唯一 $\hat q_1^*$ 使得期望利润最优， $\hat q_1^*$ 是下述超越方程的解。

$\begin{split} & \quad\quad ({p_0} + g - v - {c_{\rm r}} - {\lambda _1})(1 + \alpha )(1 - H((1 + \alpha )q) -\\ &({c_{\rm s}} - v) (1 + \alpha ) - ({c_{\rm r}} + {\lambda _1}) (1 - \beta )H(q(1 - \beta )) + a(1 + \\ & \alpha ){\mu _{\rm H}} - 2a{(1 + \alpha )^2}q + 2a(1 + \alpha )\int_0^{(1 + \alpha )q} {H(x){\rm d}x} = 0 {\text{。}} \end{split} $

(11)

同理当供大于求时，最优订货量 $\hat q_2^*$ 是下述超越方程的解：

$\begin{split} &\quad\quad ({p_0} + g - v - {c_{\rm r}} + {\lambda _2})(1 + \alpha )[1 - H((1 + \alpha )q)] -\\ &({c_{\rm s}} - v) (1 + \alpha ) - ({c_{\rm r}} - {\lambda _2}) (1 - \beta )H(q(1 - \beta )) +a(1 +\\ & \alpha ){\mu _{\rm H}} - 2a{(1 +} { \alpha )^2}q + 2a(1 + \alpha )\int_0^{(1 + \alpha )q} {H(x){\rm d}x} = 0 {\text{。}} \end{split} $

(12)

将 $\hat q_1^*$ 、 $\hat q_2^*$ 分别代入 $\pi _{\rm h}^{\rm u}$ 即可得到供应链最大利润。

3 价格随机条件下基于双向期权的应急期权弹性契约模型

突发事件造成市场价格和批发价随机波动，价格随机波动的方向往往难以预测，人们对价格变化方向的预测错误将会对供应链收益造成巨大的损失。此时一般可用双向期权来平衡波动的批发价。零售商和供应商共同协商制定双向期权弹性契约，共同应对市场价格和市场需求波动带来的风险。

在上述数量弹性契约的基础上，双向期权将看涨期权与看跌期权结合。在看涨期权中，假设当且仅当市场需求大于最大订货量，即大于 $(1 + \alpha )q$ 时市场成看涨趋势，此时零售商从供应商处购买看涨期权(其中期权购买量为 $m$ ，单位期权价格为 ${w_0}$ )。若市场需求大于 $(1 + \alpha )q$ 时，未来市场看涨，则批发价由w变为 ${w_2}$ 。此时零售商以看涨期权约定的执行价格 ${w_{\rm ec}}$ 在区间 $[0,(1 + \alpha )m]$ 灵活购买数量最多为 $(1 + \alpha )m$ 的商品(此时 ${w_2} {\text{≥}} {w_{\rm ec}}{\text{≥}} {w_0}$ )，即零售商可以在 $[(1 - \beta )q, $ $(1 + \alpha )(q + m)]$ 的区间范围内从供应商处灵活订货。此时市场价格满足 ${\rm d}p = [{p_0} + a(x - (1 + \alpha )(q + m))]{\rm d}x$ 。而在看跌期权中当预测到未来市场需求可能低于最小订货量 $(1 - \beta )q$ 时，市场将成看跌趋势。同样为了应对市场批发价的波动，零售商与供应商协商达成看跌期权契约。此时，价格仍遵循随供需关系的变化而变化。供应商与零售商在期初共同制定看跌期权的执行价格 ${w_{\rm ep}}$ ，零售商购买期权后可以在 $[(1 - \beta )(q - m),(1 + \alpha )q]$ 之间灵活订货。当未来市场成看跌趋势，市场批发价变为 ${w_1}({w_{\rm ep}} {\text{≥}} {w_1} {\text{≥}} {w_0})$ ，单位期权购买价格为 ${w_0}$ 。采用看跌期权弹性契约时，约定供应商必须以看跌期权执行价与实际市场批发价的差价，即 ${w_{\rm ep}} - {w_1}$ 给零售商作为补贴。执行量根据实际市场需求在 $[0,(1 - \beta )m]$ 之间灵活选择。

在双向期权模式下供应链的最大提货量和最小提货量分别为 $(1 + \alpha )(q + m)$ 和 $(1 - \beta )(q - m)$ ，即零售商可在区间范围为 $[(1 - \beta )(q - m),(1 + \alpha )(q + m)]$ 之间灵活提货。对于市场的看涨和看跌趋势，零售商可分别在 $[0,(1 + \alpha )m]$ 和 $[0,(1 - \beta )m]$ 的范围内灵活执行期权。此时双向期权的单位期权价格 $w_0^1$ 大于单向期权时的价格 ${w_0}$ 。供应链按上述看涨期权弹性契约与看跌期权弹性契约结合运行。此时市场需求的概率分布函数和密度函数分别为 $F(x) $ 和 $f(x) $ 。

根据供应链运行模式得到零售商期望利润函数为

$\begin{split}&\quad\quad \pi _{\rm r}^{\rm d} = \int_0^{(1 - \beta )(q - m)} \left\{ \left\{{p_0} + a\left[x - (1 + \alpha )q\right]\right\} x +\right.\\ &\nu \left[(1 - \beta )(q - m) - x\right] + ({w _{{\rm ep}}} - {w _1} - {w _0})(1 - \beta )m - \\ & \left.({c_{\rm r}} + {w _1})(1 - \beta )(q - m)\right\} f(x){\rm d}x + \int_{(1 - \beta )(q - m)}^{(1 - \beta )q} \left\{ \left\{ {p_0} + a[x -\right.\right. \\ &\left.\left.(1 + \alpha \right)q]\right\} x + ({w _{{\rm ep}}} - {w _1} - {w _0})\left[(1 - \beta )q - x\right] - \\ & \left({c_{\rm r}} + {w _1})x\right\} f(x){\rm d}x + \int_{(1 - \beta )q}^{(1 + \alpha )q} \left\{ \left\{ {p_0} + a\left[x - (1 + \alpha )q\right]\right\}\right. x -\\ &({c_{\rm r}} + w )x\} f(x){\rm d}x + \int_{(1 + \alpha )q}^{(1 + \alpha )(q + m)} \left\{\left\{ {p_0} + a[x - (1 + \right.\right. \\ & \left.\alpha )(q + m)]\right\} x - ({w _{{\rm ec}}} + {w _0})[x - (1 + \alpha )q] -{c_{\rm r}}x - \\ & {w _2}(1 + \alpha )q\} f(x){\rm d}x + \int_{(1 + \alpha )(q + m)}^\infty \left\{ \left\{ {p_0} + a\left[x - (1 + \alpha )(q + \right.\right.\right. \\ & \left.\left.m)\right]\right\} (1 + \alpha )(q + m) - ({w _{{\rm ec}}} + {w _0})(1 + \alpha )m - \\ &{c_{\rm r}}(1 \!+\! \alpha )(q + m) \!-\! {w _2}(1 \!+\! \alpha )q \!-\! {g_{\rm r}}\left.\left[x \!-\! (1 \!+\! \alpha )(q + m)\right]\right\} f(x){\rm d}x{\text{。}} \end{split} $

(13)

供应商期望利润函数为

$\begin{split} & \quad\quad \pi _{\rm s}^{\rm d} = \int_0^{(1 - \beta )(q - m)} {\{ {w _1}(} 1 - \beta )(q - m) + \nu [(1 + \alpha )(q + m) -\\ &(1 - \beta )(q - m)] - ({w _{{\rm ep}}} - {w _1} - {w _0})(1 -\beta )m\} f(x){\rm d}x + \\ & \int_{(1 - \beta )(q - m)}^{(1 - \beta )q} {\{ {w _1}x + \nu [(} 1 + \alpha )(q + m) - x] - ({w _{{\rm ep}}} - {w _1} -\\ & {w _0})[(1 - \beta )q - x]\} f(x){\rm d}x + \int_{(1 - \beta )q}^{(1 + \alpha )q} {\{ w x + \nu [(} 1 + \alpha )(q + \\ & m) - x]\} f(x){\rm d}x + \int_{(1 + \alpha )q}^{(1 + \alpha )(q + m)} {\{ {w _2}(} 1 + \alpha )q + ({w _{{\rm ec}}} + {w _0})[x - \\ & (1 + \alpha )q]\} f(x){\rm d}x + \int_{(1 + \alpha )(q + m)}^\infty {\{ {w _2}(} 1 + \alpha )q + ({w _{{\rm ec}}} + {w _0})\times \\ & (1 + \alpha )m - {g_{\rm s}}[x - (1 + \alpha )(q + m)]\} f(x){\rm d}x -{c_{\rm s}}(1 + \alpha )(q + m){\text{。}} \end{split} $

(14)

供应链整体期望利润函数为

$\begin{split} &\quad\quad\pi _{\rm h}^{\rm d} = \int_0^{(1 - \beta )(q - m)} {\{ \{ } {p_0} + a[x - (1 + \alpha )(q + m)]\} x + \\ &\nu [(1 + \alpha )(q + m) - x] - {c_{\rm r}}(1 - \beta )(q - m)\} f(x){\rm d}x + \\ & \int_{(1 - \beta )(q - m)}^{(1 + \alpha )(q + m)} {\{ \{ } {p_0} + a[x - (1 + \alpha )(q + m)]\} x +\\ &\nu [(1 + \alpha )(q + m) - x] - {c_{\rm r}}x\} f(x){\rm d}x + \int_{(1 + \alpha )(q + m)}^\infty {\{ \{ } {p_0} + \\ & a[x - (1 + \alpha )(q + m)]\} (1 + \alpha )(q + m) - {c_{\rm r}}(1 + \alpha )(q + m) - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\\ &g_{\rm h}[x - (1 + \alpha )(q + m)]\} f(x){\rm d}x - {c_{\rm s}}(1 + \alpha )(q + m) {\text{。}} \end{split} $

(15)

3.1 价格随机条件下弹性系数为常量时的最优决策

命题1　在价格随机的条件下，当弹性系数为常量时，采用双向期权数量弹性契约，存在最优的订货和期权决策，二级供应链能够实现协调。

证明 　当契约中的上行与下行弹性系数 $\alpha {\text{、}}\!\beta $ 是固定的常数时，对上式 $\pi _{\rm h}^{\rm d}$ 分别求q与 $m$ 的一阶偏导和二阶偏导得：

$\begin{split} &\quad\quad\frac{{\partial \pi _{\rm h}^{\rm d}}}{{\partial_{\rm q}}} = [\nu - {p_0} - {g_{\rm h}} + {c_{\rm r}} + 2a(1 + \alpha )(q + m)]\times\\ & (1 + \alpha )F[(1 + \alpha )(q + m)] - {c_{\rm r}}(1 - \beta )F[(1 - \beta )(q - m)] + \\ & ({p_0} - {c_{\rm h}} + {g_{\rm h}})(1 + \alpha ) - 2a{(1 + \alpha )^2}(q + m) + a(1 + \alpha )\times\\ &\left[\int_{(1 + \alpha )(q + m)}^\infty x f(x){\rm d}x - \int_0^{(1 + \alpha )(q + m)} x f(x){\rm d}x\right], \end{split} $

(16)

$\begin{split} & \frac{{{\partial ^2}\pi _{\rm h}^{\rm d}}}{{\partial {q^2}}} = (\nu - {p_0} - {g_{\rm h}} + {c_{\rm r}}){(1 + \alpha )^2}f[(1 + \alpha )(q + m)] -\\ &{c_{\rm r}}{(1 - \beta )^2}f[(1 - \beta )(q - m)] - 2a{(1 + \alpha )^2}[1 - \\ &F[(1 + \alpha )(q + m)]] {\text{＜}} 0, \end{split} $

(17)

$\begin{split} &\quad\quad\frac{{\partial \pi _{\rm h}^{\rm d}}}{{\partial m}} = [\nu - {p_0} - {g_{\rm h}} + {c_{\rm r}} + 2a(1 + \alpha )(q + m)]\times\\ &(1 + \alpha )F[(1 + \alpha )(q + m)] + {c_{\rm r}}(1 - \beta )F[(1 - \beta )(q - m)] + \\ & ({p_0} - {c_{\rm h}} + {g_{\rm h}})(1 + \alpha ) - 2a{(1 + \alpha )^2}(q + m) + a(1 + \alpha )\times\\ &\left[\int_{(1 + \alpha )(q + m)}^\infty x f(x){\rm d}x - \int_0^{(1 + \alpha )(q + m)} x f(x){\rm d}x\right], \end{split} $

(18)

$\begin{split} &\quad\quad \frac{{{\partial ^2}\pi _{\rm h}^{\rm d}}}{{\partial {m^2}}} = (\nu - {p_0} - {g_{\rm h}} + {c_{\rm r}}){(1 + \alpha )^2}f[(1 + \alpha )(q + \\ &m)] -{c_{\rm r}}{(1 - \beta )^2}f[(1 - \beta )(q - m)] - 2a{(1 + \alpha )^2}[1 - \\ &F[(1 + \alpha )(q + m)] {\text{＜}} 0 {\text{。}}\end{split} $

(19)

由此可见，上述二阶偏导 $\dfrac{{{\partial ^2}\pi _{\rm h}^{\rm d}}}{{\partial {q^2}}}$ 、 $\dfrac{{{\partial ^2}\pi _{\rm h}^{\rm d}}}{{\partial {m^2}}}$ 小于0，为凹函数，存在唯一的最优解 $q_3^*$ 、 $m_3^*$ ，且 $q_3^*$ 、 $m_3^*$ 分别是式(20)和(21)的解。

$\begin{split} &\quad\quad [\nu - {p_0} - {g_{\rm h}} + {c_{\rm r}} + 2a(1 + \alpha )(q + m)](1 + \alpha )\times\\ &F[(1 + \alpha )(q + m)] + {c_{\rm r}}(1 - \beta )F[(1 - \beta )(q - m)] + ({p_0} - \\ & {c_{\rm h}} + {g_{\rm h}})(1 + \alpha ) - 2a{(1 + \alpha )^2}(q + m) + a(1 + \alpha )\times\\ &\left[\int_{(1 + \alpha )(q + m)}^\infty x f(x){\rm d}x - \int_0^{(1 + \alpha )(q + m)} x f(x){\rm d}x\right] = 0 , \end{split} $

(20)

$\begin{split} &\quad\quad [\nu - {p_0} - {g_{\rm h}} + {c_{\rm r}} + 2a(1 + \alpha )(q + m)](1 + \alpha )\times\\ &F[(1 + \alpha )(q + m)] - {c_{\rm r}}(1 - \beta )F[(1 - \beta )(q - m)] + ({p_0} - \\ & {c_{\rm h}} + {g_{\rm h}})(1 + \alpha ) - 2a{(1 + \alpha )^2}(q + m) + a(1 + \alpha )\\ &\left[\int_{(1 + \alpha )(q + m)}^\infty x f(x){\rm d}x - \int_0^{(1 + \alpha )(q + m)} x f(x){\rm d}x\right] = 0{\text{。}} \end{split} $

(21)

再将 $q_3^*$ 、 $m_3^*$ 代入式(13)、(14)和(15)可得到供应链上各成员的最大利润。说明此时供应链能实现协调，证毕。

3.2 价格随机条件下弹性系数为变量时的最优决策

假设契约参数 $\alpha {\text{、}}\!\beta $ 并非是固定的常数，而是影响决策的变量，研究是否有最优的订购量 $\hat q_3^*$ 以及 $\alpha{\text{、}}\!\beta $ ，让系统整体利润最大。

命题2 　在价格随机条件下，当上行弹性系数 $\alpha $ 为变量时，双向期权数量弹性契约下的供应链存在最优的 $\alpha $ 。

对 $\pi _{\rm h}^{\rm d}$ 求 $\alpha $ 的一阶及二阶偏导数：

$\begin{split} &\quad\quad \frac{{\partial \pi _{\rm h}^{\rm d}}}{{\partial \alpha }} = [\nu - {p_0} - {g_{\rm h}} + {c_{\rm r}} + 2a(1 + \alpha )(q + m)]\\ &(q + m)F[(1 + \alpha )(q + m)] + ({p_0} - {c_{\rm h}} + {g_{\rm h}})(q + m) - \\ & 2a(1 + \alpha ){(q + m)^2} + a(q + m)\left[\int_{(1 + \alpha )(q + m)}^\infty x f(x){\rm d}x -\right.\\ &\left.\int_0^{(1 + \alpha )(q + m)} x f(x){\rm d}x\right], \end{split} $

(22)

$\begin{split}&\quad\quad \frac{{{\partial ^2}\pi _{\rm h}^{\rm d}}}{{\partial {\alpha ^2}}} = (\nu - {p_0} - {g_{\rm h}} + {c_{\rm r}}){(q + m)^2}f[(1 + \alpha )(q + m)] - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\\ & 2a{(q + m)^2}[1 - F[(1 + \alpha )(q + m)]] {\text{＜}} 0 {\text{。}}\end{split}$

(23)

由式(23)小于0，说明式(22)是一个上凸的函数，也就是存在最优的上行弹性系数 $\alpha $ 。可以设式(22)等号右边的式子为 $f(\alpha )$ ，则式(23)右边的式子为 $f'(\alpha )$ ，由于 $f'(\alpha ) < 0$ ，说明 $f(\alpha )$ 是关于 $\alpha $ 的递减函数，所以 $\alpha $ 取小值时， $f(\alpha )$ 取得最大值为0，同时 $\pi _{\rm h}^{\rm d}$ 取得最大值。证毕。

命题3 　价格随机条件下，当下行弹性系数 $\beta $ 为变量时，双向期权数量弹性契约下的供应链不存在最优的 $\beta $ ，也不存在最优的订货决策，但存在最优的供货决策。

证明 　首先对 $\pi _{\rm h}^{\rm d}$ 求 $\beta $ 的一阶及二阶偏导数：

$\quad\quad\frac{{\partial \pi _{\rm h}^{\rm d}}}{{\partial \beta }} = {c_{\rm r}}(q - m)F[(1 - \beta )(q - m)],$

(24)

$\quad\quad\frac{{{\partial ^2}\pi _{\rm h}^{\rm d}}}{{\partial {\beta ^2}}} = - {c_{\rm r}}{(q - m)^2}f[(1 - \beta )(q - m)] {\text{＜}} 0{\text{。}}$

(25)

若供应链系统中存在最优的下行弹性系数 ${\;\beta ^*}$ ，则上述一阶偏导必为0，并且二阶偏导小于0。但根据实际问题，由于 ${c_{\rm r}} {\text{＞}} 0,q$ 不等于 $m$ 。若式(24)为0，那么必有 $\beta = 1$ 。此时式(25)也为0。据此不能判断 $\beta $ 存不存在最优值。

若式(24)存在最优值，那么 $\beta = 1$ 。将 $\beta = 1$ 代入 $\dfrac{{\partial \pi _{\rm h}^{\rm d}}}{{\partial q}}$ 、 $\dfrac{{{\partial ^2}\pi _{\rm h}^{\rm d}}}{{\partial {q^2}}}$ 与 $\dfrac{{\partial \pi _{\rm h}^{\rm d}}}{{\partial m}}$ 、 $\dfrac{{{\partial ^2}\pi _{\rm h}^{\rm d}}}{{\partial {m^2}}}$ ，可得到：

$\begin{split} &\quad\quad\frac{{\partial \pi _{\rm h}^{\rm d}}}{{\partial q}} = \frac{{\partial \pi _{\rm h}^{\rm d}}}{{\partial m}} = [\nu - {p_0} - {g_{\rm h}} + {c_{\rm r}} + 2a(1 + \alpha )(q + m)]\times\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\\ &(1 + \alpha )F[(1 + \alpha )(q + m)] + ({p_0} - {c_{\rm h}} + {g_{\rm h}})(1 + \alpha ) - \\ & 2a{(1 + \alpha )^2}(q + m) + a(1 + \alpha )\left[\int_{(1 + \alpha )(q + m)}^\infty x f(x){\rm d}x -\right.\\ &\left.\int_0^{(1 + \alpha )(q + m)} x f(x){\rm d}x\right] , \end{split} $

(26)

$\begin{split}&\quad\quad\frac{{{\partial ^2}\pi _{\rm h}^{\rm d}}}{{\partial {q^2}}} = - ({p_0} - \nu - {c_{\rm r}} + {g_{\rm h}}){(1 + \alpha )^2}f[(1 + \alpha )(q + m)] -\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \\ &2a{(1 + \alpha )^2}[1 - F[(1 + \alpha )(q + m)]] {\text{＜}} 0,\end{split}$

(27)

$\begin{split}&\quad\quad\frac{{{\partial ^2}\pi _{\rm h}^{\rm d}}}{{\partial {m^2}}} = - ({p_0} - \nu - {c_{\rm r}} + {g_{\rm h}}){(1 + \alpha )^2}f[(1 + \alpha )(q + m)] -\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\\ & 2a{(1 + \alpha )^2}[1 - F[(1 + \alpha )(q + m)] {\text{＜}} 0{\text{。}}\end{split}$

(28)

由式(27)和(28)可知，当 $\beta = 1$ 时，式(26)等于0时，q和 $m$ 存最优值 ，此时

$\begin{split} &\quad\quad [\nu - {p_0} + {c_{\rm r}} - {g_{\rm h}} + 2a(1 + \alpha )(q + m)]F[(1 + \alpha )(q + m)] +\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\\ &{p_0} - {c_{\rm h}} + {g_{\rm h}} - 2a(1 + \alpha )(q + m) + a\left[\int_{(1 + \alpha )(q + m)}^\infty {xf(x){\rm d}x} -\right.\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \\ & \left. \int_0^{(1 + \alpha )(q + m)} {xf(x){\rm d}x} \right] = 0 {\text{。}} \end{split} $

(29)

因为式(29)只有一个式子，不可能同时求出最优的 $\alpha $ 、q和m，若将 $(1 + \alpha )(q + m)$ 看成一个整体 $Q$ 时，则可求最优的 $Q$ 值。因为 $F(Q)$ 为 $Q$ 的函数,故式(29)为 $Q = (1 + \alpha )(q + m)$ 的一元方程。如果上述方程有解，则有唯一的最优解 ${\hat Q^*}$ ，即供应链有唯一的最优供货量，同时存在多个最优的 ${q^*}$ 、 ${\alpha ^*}$ 、 ${m^*}$ 组合，它们受约束于 $(1 + {\hat \alpha ^*})(\hat q_3^* + {\hat m^*}) = {\hat Q^*}$ 。上述研究表明：下行弹性系数在供应链协调决策中作用不大，同时表明不存在最优的订货量，但存在最优的供货量。

4 算例分析

假设某种应急物资，市场稳定状态下单位市场零售价 ${p_0} = 120$ 元，边际生产成本 ${c_{\rm s}} = 50$ 元，市场批发价 $w = 70$ 元，零售商单位销售成本 ${c_{\rm r}} = 30$ 元，单位产品残值 $v = 20$ 元，供、售双方的缺货单位成本分别为 ${g_{\rm s}} = 2$ 元与 ${g_{\rm r}} = 3$ 元。市场规模系数 $a = 0.004$ 。当市场成看跌趋势时实际批发价为 ${w_1} = 55$ 元，看跌期权执行价格 ${w_{{\rm ep}} = 65}$ 元；当市场成看涨趋势时 ${w_2} = $ 85元，看涨期权执行价格 ${w_{{\rm ec}}} = 75$ 元， ${w_0} = 5$ 元。现实情况下，可能有以下几种情形：

1) 在无突事发事件下，价格稳定时，市场需求服从 $X \sim N(10\;000,{300^2})$ 的正态分布；

2) 在突发事件下，价格稳定且市场需求增加时，市场需求服从 $X \sim N(12\;000,{300^2})$ 的正态分布；

3) 在突发事件下，价格稳定且市场需求降低时，市场需求服从 $X \sim N(8\;000,{300^2})$ 的正态分布；

4) 在突发事件下，价格随机且市场需求增加时，市场需求服从 $X \sim N(20\;000,{300^2})$ 的正态分布；

5) 在突发事件下，价格随机且市场需求降低时，市场需求服从 $X \sim N(6\;000,{300^2})$ 的正态分布。

当弹性系数为常量时，令 $\alpha = 0.3,\beta = 0.2$ ，当市场需求增大时批发价格上涨，市场需求减小时批发价格下降。以下以Wolfram Mathematica为工具，分别针对无突发事件、突发事件在基准契约下引起价格稳定、价格随机，在双向期权契约下突发事件引起价格随机，分别计算各种情况下的各个最优利润及是否协调的情况。接着又讨论了价格随机条件下弹性系数的变化对供应链整体的影响，相关数据计算结果见表1~3。

1) 根据表1可知，当突发事件未使价格随机波动且市场需求扩大时，对混合契约调整后，供销双方和系统整体期望利润分别增长15.43%, 15.98%, 15.45%;当突发事件使价格随机波动且市场需求扩大时，对混合契约调整后，供销双方和系统整体的期望利润分别上涨112.13%, 110.02%, 111.43%。

2) 根据表1可知，当突发事件未使价格随机波动且市场需求减小时，契约调整后，供销双方和系统整体期望利润各降低32.21%,30.95%,31.42%；当突发事件使价格随机波动且造成市场需求减小时，用契约调整后，供销双方和系统整体期望利润各降低63.91%,61.45%,62.37%。

3) 根据表1可知，当突发事件引起批发价随机波动并导致市场需求增大时，与无突发事件下相比，若采用双向期权弹性契约，零售商的收益增加52.71%，供应商的收益增加7.41%，供应链整体收益增加21.95%，最佳订货量增加112.78%。而与价格随机的基准弹性契约相比，双向模式下零售商的收益降低56.91%，供应商的收益降低17.70%，供应链整体收益增加21.95%，最佳订货量增加了55.73%。

4) 根据表1可知，当突发事件引起批发价随机并导致市场需求减小时，与无突发事件下相比，若采用双向期权弹性契约，零售商的收益增加38.6%，供应商的收益增加3.52%，供应链整体收益增加19.10%。与价格随机的基准弹性契约相比，双向模式下零售商的收益增加132.47%，供应商的收益增加339.00%，供应链整体收益增加216.46%，最佳订货量增加了223.21%。

5) 根据表2可知，当突发事件引起批发价随机，采用双向期权弹性契约协调供应链。在下行弹性系数 $\beta $ 不变时，对于不同的上行弹性系数 $\alpha $ ，零售商的最大订货量 $(1 + \alpha )(q + m)$ 相等，且为一个定值。根据表3可知，在上行弹性系数 $\alpha $ 不变时，无论 $\beta $ 如何变化，最佳订货量和最佳期权购买量均不发生变化。

5 结论

本文以最简单的二级供应链为基础，在突发事件导致市场价格随机和市场批发价波动的前提下，将基准数量弹性契约和双向期权相融合，对供应链协调问题展开了理论研究。具体结论如下。

1) 当突发事件造成批发价格波动时，与无突发事件情况下相比，使用双向期权弹性契约协调供应链不仅可以协调供应链，而且还可以提高供应链整体效益。

2) 当突发事件造成批发价格波动且当批发价上涨时，采用基准数量弹性契约模式比双向模式下的期权弹性契约协调供应链的效果更好。说明批发价格上涨时，采用双向期权模式可以协调供应链并可以提高供应链整体的收益，但零售商将承担额外的期权购买费用，使得供应链整体的利润并没有基准的数量弹性契约模式下的利润高；当突发事件造成批发价格下降时，采用双向期权模式协调供应链比基准数量弹性契约更优，说明批发价格下降时，零售商可以根据实际市场需求，在稳定批发价的基础上灵活执行期权获得差价补偿，可以提高整体收益，这一点是传统的数量弹性契约所不及的。

3) 不管突发事件造成批发价格上涨还是下降，双向期权模式下均可以提高供应链的最佳订货量，说明期权弹性契约除稳定批发价的作用外，在数量弹性契约的基础上进一步增加了整个供应链的弹性，即增加了最大生产量和最小订货量上下浮动的比例。这说明无论市场需求和批发价如何变化，选取双向期权弹性契约模式能够稳定波动的批发价格，并且很好地增加供应链整体的弹性，降低因市场价格和批发价的波动引起的风险。

4) 当期权数量弹性契约的上行和下行弹性系数为变量时，存在最优的上升弹性系数，但不存最优的下行弹性系数。当下行弹性系数固定时，随着上行弹性系数的增大，最优订货量呈下降趋势，最佳期权购买量呈不规则变化，但最优供应量为一固定值，这也说明零售商最后的提货量存在一个最优值。当上行弹性系数固定时，最优订货量、最佳期权购买量和最优供货量均为固定值，不会随下行系数的变化而变化。

以上表明在面对批发价波动时，通过双向期权可稳定批发价格；而在面对市场需求波动时可通过购买期权进行追加订货和差价补偿的方式增加整体供应链的弹性。但对较为复杂的三级供应链和供应链网络并未涉及，对信息不对称和供应链参与者风险厌恶，信息需求更新等多因素扰动的情况也没有展开研究，这些也是未来重要的研究方向。