电子商务的快速发展不断驱动零售端消费格局的重建，用户网络购物的消费习惯也已逐步形成。截至2016年底，我国网络购物用户规模已经达到4.67亿，较2015年底增加5 345万，同比增长12.9%。从市场规模来看，截至2016年底，我国网络购物市场的年交易规模达到4.7万亿元，同比增24.7%。随着网络购物行业和电子信息发展的日益成熟，商家利用大数据向不同的消费者提供相同的商品或服务时，实行差异化定价，通过价格歧视来获得更多的消费者剩余。制造商利用自身优势、市场信息不对称，以及部分消费者的价格不敏感性，在市场细分上进行突破，利用“以旧换新”、“内部优惠券”等名义在二级市场以较低价格销售一级市场的正价产品。例如，天猫商家可以根据自己需要在后台设置链接并通过平台推广(比如淘宝联盟APP、淘宝达人、直播网红等)。消费者只有点击链接获得渠道优惠券才能享受特殊价格，而通过主流渠道进入的消费者只能以正价购买。在实践中，特步官方旗舰店在天猫平台向消费者提供一定数量限制的优惠券；消费者加入NikePlus会员即可在Nike官网以折扣价购买商品。

陈军等^[1]研究了零售商在一级市场的基础上开辟二级市场的双渠道供应链定价决策，发现开辟二级市场后提升了双渠道供应链的绩效。洪定军等^[2]根据消费者效用函数建立了灰色市场定价决策模型，给出了消费者对灰市产品的价值认可程度与制造商最优策略之间的关系。王亮^[3]探讨了单个供应商和多个零售商面临二级市场下的单个产品的库存管理问题。研究表明，二级市场可以帮助增加产品的总批发量，提升了整个销售利润，但零售商需要设计产品回购契约和销售回扣契约来协调供应链的库存水平。

与本文相关的另一类研究是需求扰动对供应链决策的影响。随着全球化的不断发展，各类突发事件会对运行良好的供应链系统造成如需求波动、成本变化等各方面不同程度的影响，这些影响可能扰乱供应链的协调有序，或者导致原本的销售计划失效。扰动的发生通常会产生偏离成本，供应链扰动管理的目标是在考虑扰动导致的成本波动的条件下实现供应链总利润最大化，Qi等^[4]运用数量折扣契约协调了需求扰动下的供应链；吴晓志等^[5]研究了多因素同时扰动下的双渠道供应链协调，发现多因素扰动下的供应链存在一定的鲁棒区域；曹二保等^[6]提出用改进的收益共享契约协调突发事件下的分散化双渠道供应链；Huang等^[7]研究了需求扰动下需求函数为指数函数形式时的供应链协调问题；Lei等^[8]研究了信息不对称下扰动发生时供应链的契约设计问题；徐浩等^[9]考虑了成本和需求同时扰动时的双渠道供应链情形，证明了两部定价法能够协调双渠道供应链。

扰动情形下的双渠道供应链的研究较少，并且这些文献一般不考虑存在市场细分的情形，随着网络技术的发展及直销渠道和传统渠道的博弈，制造商与零售商都难以占据更多的市场份额。在已有的双渠道供应链研究当中，较少有学者关注市场结构。鉴于此，本文将渠道结构与市场结构相结合，研究细分市场下由于突发事件导致双渠道供应链发生需求扰动的情形，分析需求扰动对双渠道供应链决策及其协调的影响，并采用改进的收益共享契约协调双渠道供应链。

1 问题描述及基本供应链模型 1.1 问题描述

制造商在一级市场和二级市场同时销售相同的商品，零售商仅在一级市场出售商品。制造商从一级市场拓展到二级市场后形成的双渠道供应链如图1所示。

假设消费者具有价格敏感性，一旦选择在二级市场购买折价商品，就不会在一级市场购买正价商品。也就是说消费者的消费转移行为仅发生在零售商的一级市场和制造商的一级市场之间。

参数说明如下。

$\theta $ 表示制造商的市场份额， $\theta \in (0,1)$ ; $a$ 表示潜在市场需求； $b$ 表示消费者价格敏感系数； $\eta $ 表示消费者渠道价格差敏感系数； $\omega $ 表示制造商的批发价； $c$ 表示制造商单位产品的生产成本； ${D_{{\rm{d}}i}}$ 表示制造商的需求( $i = 1,2$ ，分别表示一级市场和二级市场)； ${D_{\rm{r}}}$ 表示零售商的需求； ${D_{\rm{d}}}$ 表示制造商的需求； ${p_{\rm{r}}}$ 表示零售商的零售价； ${p_{\rm{d}1}}$ 表示制造商在一级市场的零售价； ${p_{\rm{d}2}}$ 表示制造商在二级市场的零售价； $\pi $ 表示利润。在消费者实际购买情形中，信息搜集的成本通常高于价格差产生的成本。因此，消费者更看重目标购买渠道的价格，价格敏感性高于渠道价格敏感性，即 $0 {\text{＜}} \eta {\text{＜}} b$ 。

制造商开辟二级市场后的市场总需求为

$\quad\quad {D_{\rm{d}}} = \theta a - b{p_{\rm{d}2}} + \eta ({p_{\rm{r}}} - {p_{\rm{d}1}}){\text{。}}$

其中，一级市场的需求为

$\quad\quad{D_{\rm{d}1}} = \theta a - b{p_{\rm{d}1}} + \eta ({p_{\rm{r}}} - {p_{\rm{d}1}});$

(1)

二级市场的需求为

$\quad\quad{D_{\rm{d}2}} = {D_{\rm{d}}} - {D_{\rm{d}1}} = b({p_{\rm{d}1}} - {p_{\rm{d}2}}){\text{。}}$

(2)

零售商的需求为

$\quad\quad{D_{\rm{r}}} = (1 - \theta )a - b{p_{\rm{r}}} + \eta ({p_{\rm{d}1}} - {p_{\rm{r}}}){\text{。}}$

(3)

1.2 基本供应链模型

分析不存在需求扰动时细分市场下双渠道供应链的最优定价决策，为后续分析需求扰动下的供应链最优决策进行比较。

1.2.1 集中式双渠道供应链情形的最优定价

根据式(1)~式(3)，得到制造商利润为

$\quad\quad{\pi _{\rm{d}}}{\rm{ = }}({p_{\rm{d}1}} - c){D_{\rm{d}1}} + ({p_{\rm{d}2}} - c){D_{\rm{d}2}} + (\omega - c){D_{\rm{r}}}{\text{。}}$

零售商利润为

$\quad\quad{\pi _{\rm{r}}} = ({p_{\rm{r}}} - \omega ){D_{\rm{r}}}{\text{。}}$

系统总利润为

${\pi _{\rm{s}}} = {\pi _{\rm{d}}} + {\pi _{\rm{r}}} = ({p_{\rm{d}1}} - c){D_{\rm{d}1}} + ({p_{\rm{d}2}} - c){D_{\rm{d}2}} + ({p_{\rm{r}}} - c){D_{\rm{r}}}{\text{。}}$

(4)

将式(1)、式(2)和式(3)代入式(4)得

$\begin{split}&\quad\quad {\pi _{\rm{s}}} = \theta a{p_{\rm{d}1}} + [bc + (1 - \theta )a]{p_{\rm{r}}} + bc{p_{\rm{d}2}} + 2\eta {p_{\rm{r}}}{p_{\rm{d}1}} + \\ &b{p_{\rm{d}1}}{p_{\rm{d}2}} + ( - b - \eta )({p^2}_{\rm{d}1} + {p^2}_{\rm{r}}) - b{p^2}_{\rm{d}2} - ac{\text{。}}\end{split}$

(5)

对式(5)中 ${p_{\rm{d}1}}$ 、 ${p_{\rm{d}2}}$ 、 ${p_{\rm{r}}}$ 求一阶偏导得

$\quad\quad\frac{{\partial {\pi _{\rm{s}}}}}{{\partial {p_{\rm{d}1}}}} = \theta a - 2(b + \eta ){p_{\rm{d}1}} + b{p_{\rm{d}2}} + 2\eta {p_{\rm{r}}},$

(6)

$\quad\quad\frac{{\partial {\pi _{\rm{s}}}}}{{\partial {p_{\rm{d}2}}}} = bc + b{p_{\rm{d}1}} - 2b{p_{\rm{d}2}},$

(7)

$\quad\quad\frac{{\partial {\pi _{\rm{s}}}}}{{\partial {p_{\rm{r}}}}} = bc + (1 - \theta )a + 2\eta {p_{\rm{d}1}} - 2(b + \eta ){p_{\rm{r}}}{\text{。}}$

(8)

求得 ${\pi _{\rm{s}}}$ 关于 ${p_{\rm{d}1}}$ 、 ${p_{\rm{d}2}}$ 、 ${p_{\rm{r}}}$ 的Hessian矩阵为

$\quad\quad{H} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2(b + \eta )}&b&2\eta \\ b&{ - 2b}&0 \\ {2\eta }&0&{ - 2(b + \eta )} \end{array}} \right]{\text{。}}$

因为顺序主子式 ${A_1} = - 2(b + \eta ) {\text{＜}} 0$ ， $ {A_2} = 3{b^2} +$ $ 4b\eta {\text{＞}} 0$ ， ${A_3} = - 2{b^2}\left( {3b + 7\eta } \right) {\text{＜}} 0$ , Hessian矩阵负定，存在极大值。

将式(6)、式(7)、式(8)联立求解得 $p_{\rm{d}1}^*$ 、 $p_{\rm{d}2}^*$ 、 $p_{\rm{r}}^*$ 的最优解为：

$\quad\quad p_{\rm{d}1}^* = \frac{{(3\eta + b)bc + 2(\eta + b\theta )a}}{{b(3b + 7\eta )}},$

$\quad\quad p_{\rm{d}2}^* = \frac{{{\rm{(5}}\eta {\rm{ + 2}}b)bc + (\eta + b\theta )a}}{{b(3b + 7\eta )}},$

$\quad\quad p_{\rm{r}}^* = \frac{{3(2\eta + b)bc + [4\eta + 3b(1 - \theta )]a}}{{2b(3b + 7\eta )}}{\text{。}}$

最优产量为

${Q^*} = {D_{\rm{r}}}^* + {D_{\rm{d}1}}^* + {D_{\rm{d}2}}^* = \frac{{ - 7{b^2}c + (3 + \theta )ab + 8a\eta - 16bc\eta }}{{2(3b + 7\eta )}}{\text{。}}$

1.2.2 分散式双渠道情形的最优定价

以下用dec标示分散供应链(decentralized supply chain)。考虑制造商为领导者，零售商为追随者的情况，由零售商利润 ${\pi _{\rm{r}}} = ({p_{\rm{r}}} - \omega ){D_{\rm{r}}}$ 对 ${p_{\rm{r}}}$ 求一阶偏导得零售商的价格反应函数为

$\quad\quad {p_{\rm{r}}} = \frac{{\eta {p_{\rm{d}1}} + \omega (b + \eta ) + (1 - \theta )a}}{{2(b + \eta )}}{\text{。}}$

(9)

将式(9)代入 ${\pi _{\rm{d}}}$ 并对 ${p_{\rm{d}1}}$ 、 ${p_{\rm{d}2}}$ 、 $\omega $ 求一阶偏导得

$\begin{split}&\quad\quad\dfrac{{\partial {\pi _{\rm{d}}}}}{{\partial {p_{\rm{d}1}}}} = - \dfrac{{2{b^2} + 4b\eta + {\eta ^2}}}{{b + \eta }}{p_{\rm{d}1}}{\rm{ + }}b{p_{\rm{d}2}}{\rm{ + }}\eta \omega +\\ &\dfrac{{(2b\theta + \eta + \theta \eta )a + b\eta c}}{{2(b + \eta )}},\end{split}$

(10)

$\quad\quad\frac{{\partial {\pi _{\rm{d}}}}}{{\partial {p_{\rm{d}2}}}} = b{p_{\rm{d}1}} - 2b{p_{\rm{d}2}} + bc,$

(11)

$\quad\quad\frac{{\partial {\pi _{\rm{d}}}}}{{\partial \omega }} = \eta {p_{\rm{d}1}} - (b + \eta )\omega + \frac{{(1 - \theta )a + bc}}{2}{\text{。}}$

(12)

求得 ${\pi _{\rm{d}}}$ 关于 ${p_{\rm{d}1}}$ 、 ${p_{\rm{d}2}}$ 、 $\omega $ 的Hessian矩阵为

$\quad\quad{H} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \dfrac{{2{b^2} + 4b\eta + {\eta ^2}}}{{(b + \eta )}}}&b&\eta \\ b&{ - 2b}&0 \\ \eta &0&{ - (b + \eta )} \end{array}} \right]{\text{。}}$

因为顺序主子式

$\quad\quad{A_1} = - \frac{{2{b^2} + 4b\eta + {\eta ^2}}}{{(b + \eta )}}{\text{＜}} 0,$

$\quad\quad{A_2} = \frac{{3{b^3} + 7{b^2}\eta + 2b{\eta ^2}}}{{b + \eta }} {\text{＞}} 0,$

$\quad\quad{A_3} = - {b^2}(3b + 7\eta ) {\text{＜}} 0,$

Hessian矩阵负定，存在极大值。令式(10)、式(11)、式(12)为0，联立求解得

$\quad\quad{p^*}_{\rm{dec - d}1} = \frac{{(2b\theta + 2\eta )a + ({b^2} + 3b\eta )c}}{{3{b^2} + 7b\eta }},$

$\quad\quad{p^*}_{\rm{dec - d}2} = \frac{{(b\theta + \eta )a + (2{b^2} + 5b\eta )c}}{{3{b^2} + 7b\eta }},$

$\begin{split}&\quad\quad{p^*}_{{\rm{dec - r}}} = \frac{{\left( { - 13b\theta \eta + 8{\eta ^2} + 9{b^2} - 9{b^2}\theta + 21b\eta } \right)a }}{{4(b + \eta )(3{b^2} + 7b\eta )}}+\\ &{\frac{(11b\eta + 12{\eta ^2} + 3{b^2})bc}{{4(b + \eta )(3{b^2} + 7b\eta )}}} ,\end{split}$

$\begin{split} &\quad\quad{\omega ^*}_{\rm{dec}} = \frac{{( - 3b\eta \theta + 4{\eta ^2} + 7b\eta + 3{b^2} - 3{b^2}\theta )a }}{{2(b + \eta )(3{b^2} + 7b\eta )}}+\\ & \frac{(9{b^2}\eta + 6b{\eta ^2} + 3{b^3})c}{{2(b + \eta )(3{b^2} + 7b\eta )}}{\text{。}} \end{split} $

分散决策最优产量

$\begin{split}&\quad\quad{Q^*}_{\rm{dec}} = {D^*}_{\rm{dec - d}1} + {D^*}_{\rm{dec - d}2} + {D^*}_{\rm{dec - r}} =\\ &\dfrac{{(3{b^2} \!+\! 15b\eta \!+\! 16{\eta ^2} \!+\! 5{b^2}\theta \!+\! 9b\theta \eta )ab \!-\! (11{b^2} \!+\! 32{\eta ^2} \!+\! 39b\eta ){b^2}c}}{{4(b + \eta )(3{b^2} + 7b\eta )}}{\text{。}}\end{split}$

定理1 　批发价格契约下，双渠道供应链无法实现协调。运用收益共享契约 $(\omega ,\phi ),\;\omega = (1 - \phi )\times$ $\dfrac{{3{b^3}c + 8{b^2}c\eta + 3bc{\eta ^2} + 2a{\eta ^2} + 2ab\eta \theta }}{{b(b + \eta )(3b + 7\eta )}}$ 时可以实现协调。

证明 　在双渠道供应链中，当分散决策与集中决策下的最优决策一致时，能够实现双渠道供应链协调。采用收益共享契约协调供应链，设定双方事先商定零售商返给制造商的销售收入比例为 $\phi (0 {\text{≤}} \phi {\text{＜}} 1)$ ，制造商以批发价格 $\omega $ 将商品销售给零售商，零售商将销售利润的比例 $\phi $ 返还给制造商。分散决策下，采用改进的收益共享契约时，制造商利润函数为 ${\pi _{\rm{dec - d}}} \!=\! ({p_{\rm{dec - d}1}} \!-\! c){D_{\rm{dec - d}1}} \!+\! ({p_{\rm{dec - d}2}} \!-\! c){D_{\rm{dec - d}2}} + $ $ (\omega - c +\phi {p_{\rm{dec - r}}}){D_{\rm{dec - r}}} $ ，零售商的价格反应函数为 ${p_{\rm{dec - r}}} = \dfrac{{(1 - \phi )\eta {p_{\rm{dec - d}1}} + \omega (b + \eta ) + (1 - \phi )(a + \Delta a)}}{{2(1 - \phi )(b + \eta )}}$ 。由于最优决策 ${p^*}_{{\rm{d1}}} = {p^*}_{{\rm{dec - d}}1},{p^*}_{{\rm{d2}}} = {p^*}_{{\rm{dec - d2}}}$ ，将 ${p^*}_{\rm{dec - d}1}$ 代入反应函数，并令 ${p^*}_{\rm{r}} = {p_{\rm{dec - r}}}$ ，计算可得

$\quad\quad\omega = (1 - \phi )\frac{{3{b^3}c + 8{b^2}c\eta + 3bc{\eta ^2} + 2a{\eta ^2} + 2ab\eta \theta }}{{b(b + \eta )(3b + 7\eta )}}{\text{。}}$

2 需求扰动下的双渠道供应链决策模型 2.1 需求扰动下双渠道供应链的集中决策

设需求扰动为 $\Delta a$ ，制造商开辟二级市场后的市场总需求为

$\quad\quad D{' _{\rm{d}}} = \theta (a + \Delta a) - b{p_{\rm{d}2}} + \eta ({p_{\rm{r}}} - {p_{\rm{d}1}}){\text{。}}$

其中，一级市场的需求为

$\quad\quad D{' _{\rm{d}1}} = \theta (a + \Delta a) - b{p_{\rm{d}1}} + \eta ({p_{\rm{r}}} - {p_{\rm{d}1}});$

二级市场的需求为

$\quad\quad D{' _{\rm{d}2}} = D{' _{\rm{d}}} - D{' _{\rm{d}1}} = b({p_{\rm{d}1}} - {p_{\rm{d}2}}){\text{。}}$

零售商的需求为

$\quad\quad D{' _{\rm{r}}} = (1 - \theta )(a + \Delta a) - b{p_{\rm{r}}} + \eta ({p_{\rm{d}1}} - {p_{\rm{r}}}){\text{。}}$

系统总利润为

$\begin{split}&\quad\quad{\pi _{\rm{s}}} = {\pi _{\rm{d}}} + {\pi _{\rm{r}}} = ({p_{\rm{d}1}} - c)D{' _{\rm{d}1}} + ({p_{\rm{d}2}} - c)D{' _{\rm{d}2}} + \\ &({p_{\rm{r}}} - c)D{' _{\rm{r}}} - {k_1}{(Q' - {Q^*})^ + } - {k_2}{(Q' - {Q^*})^ + }{\text{。}}\end{split}$

(13)

其中， ${(Q'-Q^* )^ + } = \max \;(Q'-Q^*,0)$ ， ${k_1}$ =单位处理成本， ${k_2}$ =单位缺货成本，最优产量为 $Q^* = D{^*_{\rm{d}1}} + $ $ D{^*_{\rm{d}2}} + D{^*_{\rm{r}}}$ 。

当 $D{' _{\rm{d}1}} + D{' _{\rm{d}2}} + D{' _{\rm{r}}}{\text{＞}} {D_{\rm{d}1}} + {D_{\rm{d}2}} + {D_{\rm{r}}}$ ，供应链利润函数可表示为

$\begin{split}&\quad\quad {\pi _1} = ({p_{\rm{d}1}} - c)D{' _{\rm{d}1}} + ({p_{\rm{d}2}} - c)D{' _{\rm{d}2}} + ({p_{\rm{r}}} - c)D{' _{\rm{r}}} - \\ & {k_1}{(Q' - {Q^*})^ + }= ({p_{\rm{d}1}} - c)D{' _{\rm{d}1}} + ({p_{\rm{d}2}} - c)D{' _{\rm{d}2}} + ({p_{\rm{r}}} - c)D{' _{\rm{r}}} -\\ & {k_1}(D{' _{\rm{d}1}} + D{' _{\rm{d}2}} + D{' _{\rm{r}}} - {D^*}_{\rm{d}1} - {D^*}_{\rm{d}2} - {D^*}_{\rm{r}}) {\text{。}}\end{split}$

当 $D{' _{\rm{d}1}} + D{' _{\rm{d}2}} + D{' _{\rm{r}}} {\text{≤}} {D_{\rm{d}1}} + {D_{\rm{d}2}} + {D_{\rm{r}}}$ ，供应链利润函数可表示为

$\begin{split} &\quad\quad {\pi _2} = ({p_{\rm{d}1}} - c)D{' _{\rm{d}1}} + ({p_{\rm{d}2}} - c)D{' _{\rm{d}2}} + ({p_{\rm{r}}} - c)D{' _{\rm{r}}} -\\ & {k_2}{(Q' - {Q^*})^ + }= ({p_{\rm{d}1}} - c)D{' _{\rm{d}1}} + ({p_{\rm{d}2}} - c)D{' _{\rm{d}2}} + ({p_{\rm{r}}} - c)D{' _{\rm{r}}} - \\ &{k_2}({D^*}_{\rm{d}1} + {D^*}_{\rm{d}2} + {D^*}_{\rm{r}} - D{' _{\rm{d}1}} - D{' _{\rm{d}2}} - D{' _{\rm{r}}}) {\text{。}}\end{split}$

1) 当 $D{' _{\rm{d}1}} + D{' _{\rm{d}2}} + D{' _{\rm{r}}} {\text{≥}} {D^*}_{\rm{d}1} + {D^*}_{\rm{d}2} + {D^*}_{\rm{r}}$ ，求解以下数学模型。

$\quad\quad \max\; {\pi _1}({p_{\rm{d}1}},{p_{\rm{d}2}},{p_{\rm{r}}}){\text{。}}$

根据Karush-Kuhn-Tucker条件求解。

$\quad\quad{\rm{s}}.{\rm{t}}.\quad D{' _{\rm{d}1}} + D{' _{\rm{d}2}} + D{' _{\rm{r}}} {\text{≥}} {D^*}_{\rm{d}1} + {D^*}_{\rm{d}2} + {D^*}_{\rm{r}}{\text{。}}$

$\quad\quad\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{\partial \pi {' _1}}}{{\partial p{' _{\rm{d}1}}}} + \lambda (0) = 0}, \\ {\dfrac{{\partial \pi {' _1}}}{{\partial p{' _{\rm{d}2}}}} + \lambda ( - b) = 0}, \\ {\dfrac{{\partial \pi {' _1}}}{{\partial p{' _{\rm{r}}}}} + \lambda ( - b) = 0}, \\ {D{' _{\rm{d}1}} + D{' _{\rm{d}2}} + D{' _{\rm{r}}} - {D^*}_{\rm{d}1} - {D^*}_{\rm{d}2} - {D^*}_{\rm{r}} \geqslant 0}, \\ {\lambda (D{' _{\rm{d}1}} + D{' _{\rm{d}2}} + D{' _{\rm{r}}} - {D^*}_{\rm{d}1} - {D^*}_{\rm{d}2} - {D^*}_{\rm{r}}) = 0}, \\ {\lambda {\text{≥}} 0}{\text{。}} \end{array}} \right.$

式中 $ \lambda$ 表示KKT乘子(库恩-塔克乘子)。

存在以下2个情形。

情形1 　若 $\lambda = 0$ ，则当 $\Delta a \geqslant \dfrac{{16b\eta {k_1} + 7{b^2}{k_1}}}{{3b + 8\eta - b\theta }}$ 时，市场销售价格为

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {p{' _{\rm{d}1 - 1}} = \dfrac{{b(3\eta + b)(c{\rm{ + }}{k_2}) + 2(\eta + b\theta )(a + \Delta a)}}{{b(3b + 7\eta )}}}, \\ {p{' _{\rm{d}2 - 1}} = \dfrac{{b(5\eta + 2b)(c{\rm{ + }}{k_2}) + (\eta + b\theta )(a + \Delta a)}}{{b(3b + 7\eta )}}}, \\ {p{' _{\rm{r} - 1}} = \dfrac{{3b(2\eta + b)(c{\rm{ + }}{k_2}) + [4\eta + 3b(1 - \theta )](a + \Delta a)}}{{2b(3b + 7\eta )}}}{\text{。}} \!\!\!\!\! \end{array}} \right.\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!$

(14)

需求量为

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\left\{{\begin{array}{l} {D{' _{\rm{d}1 - 1}}} = {\dfrac{{ - {b^2}(5\eta + 2b)(c + {k_1}) + (7b\eta \theta + 2{b^2}\theta - b\eta )(a + \Delta a)}}{{2b(3b + 7\eta )}}}, \\ {D{' _{\rm{d}2 - 1}} =} { \dfrac{{ - {b^2}(2\eta + 2b)(c + {k_1}) + b(\eta + b\theta )(a + \Delta a)}}{{b(3b + 7\eta )}}}, \\ {D{' _{\rm{r} - 1}} =} { \dfrac{{ - {b^2}(3b + 7\eta )(c + {k_1}) + b(7\eta - 3b\theta - 7\eta \theta + 3b)(a + \Delta a)}}{{2b(3b + 7\eta )}}}{\text{。}} \end{array}} \right.$

(15)

生产数量为

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad Q{' _1} = D{' _{\rm{d}1 - 1}} + D{' _{\rm{d}2 - 1}} + D{' _{\rm{r} - 1}} =\dfrac{{ - {b^2}(7b + 16\eta )(c + {k_1}) + b(8\eta + b\theta + 3b)(a + \Delta a)}}{{2b(3b + 7\eta )}}{\text{。}}$

(16)

情形2 　若 $\lambda > 0$ ，则市场销售价格为

$\quad\quad\quad\quad\quad\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {p{' _{\rm{d}1 - 2}}} = \quad {\dfrac{{(b + 3\eta )[\Delta a(b\theta + 3b + 8\eta ) + 7{b^2}c + 16bc\eta ] + 2(b\theta + \eta )(a + \Delta a)(7b + 16\eta )}}{{(3b + 7\eta )(7{b^2} + 16b\eta )}}}, \\ {p{' _{\rm{d}2 - 2}}} = \quad {\dfrac{{(2b + 5\eta )[\Delta a(b\theta + 3b + 8\eta ) + 7{b^2}c + 16bc\eta ] + (b\theta + \eta )(a + \Delta a)(7b + 16\eta )}}{{(3b + 7\eta )(7{b^2} + 16b\eta )}}}, \\ {p{' _{\rm{r} - 2}}} = \quad{\dfrac{{(3b + 6\eta )[\Delta a(b\theta + 3b + 8\eta ) + 7{b^2}c + 16bc\eta ] + (3b - 3b\theta + 4\eta )(a + \Delta a)(7b + 16\eta )}}{{2(3b + 7\eta )(7{b^2} + 16b\eta )}}}, \\ {\lambda = c + {k_1} - \dfrac{{(3b + 8\eta + b\theta )\Delta a + 7{b^2}c + 16bc\eta }}{{7{b^2} + 16b\eta }}}{\text{。}} \end{array}} \right.$

(17)

需求量为

$\left\{\!\!\! {\begin{array}{*{20}{l}} {D{' _{\rm{d}1 - 2}} = \theta (a + \Delta a) - bp{' _{\rm{d}1 - 2}} + \eta (p{' _{\rm{r} - 2}} - p{' _{\rm{d}1 - 2}})}, \\ {D{' _{\rm{d}2 - 2}} = D{' _{\rm{d}}} - D{' _{\rm{d}1}} = b(p{' _{\rm{d}1 - 2}} - p{' _{\rm{d}2 - 2}})}, \\ {D{' _{\rm{r} - 2}} = (1 - \theta )(a + \Delta a) - bp{' _{\rm{r} - 2}} + \eta (p{' _{\rm{d}1 - 2}} - p{' _{\rm{r} - 2}})}{\text{。}} \end{array}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\right.$

(18)

生产数量为

$\quad\quad Q{' _2} = D{' _{\rm{d}1 - 2}} + D{' _{\rm{d}2 - 2}} + D{' _{\rm{r} - 2}} = {Q^*}{\text{。}}$

(19)

2) 当 $D{' _{\rm{d}1}} + D{' _{\rm{d}2}} + D{' _{\rm{r}}} {\text{≤}} {D^*}_{\rm{d}1} + {D^*}_{\rm{d}2} + {D^*}_{\rm{r}}$ ，求解以下数学模型。

$\quad\quad\max \;{\pi _2}({p_{\rm{d}1}},{p_{\rm{d}2}},{p_{\rm{r}}}){\text{。}}$

根据Karush-Kuhn-Tucker条件求解。

$\quad\quad{\rm{s}}.{\rm{t}}.\quad D{' _{\rm{d}1}} + D{' _{\rm{d}2}} + D{' _{\rm{r}}} {\text{≤}} {D^*}_{\rm{d}1} + {D^*}_{\rm{d}2} + {D^*}_{\rm{r}}{\text{。}}$

$\quad\quad\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{\partial \pi {' _2}}}{{\partial p{' _{\rm{d}1}}}} + \lambda (0) = 0}, \\ {\dfrac{{\partial \pi {' _2}}}{{\partial p{' _{\rm{d}2}}}} + \lambda (b) = 0}, \\ {\dfrac{{\partial \pi {' _2}}}{{\partial p{' _{\rm{r}}}}} + \lambda (b) = 0}, \\ {D{' _{\rm{d}1}} + D{' _{\rm{d}2}} + D{' _{\rm{r}}} - {D^*}_{\rm{d}1} - {D^*}_{\rm{d}2} - {D^*}_{\rm{r}} {\text{≥}} 0}, \\ {\lambda ({D^*}_{\rm{d}1} + {D^*}_{\rm{d}2} + {D^*}_{\rm{r}} - D{' _{\rm{d}1}} - D{' _{\rm{d}2}} - D{' _{\rm{r}}}) = 0}, \\ {\lambda {\text{≥}} 0}{\text{。}} \end{array}} \right.$

同样也存在以下2种情形。

情形3 　若 $\lambda > 0$ ，计算同情形2，市场销售价格为

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {p{' _{\rm{d}1 - {\rm{3}}}} = \dfrac{{(b + 3\eta )[\Delta a(b\theta + 3b + 8\eta ) + 7{b^2}c + 16bc\eta ] + 2(b\theta + \eta )(a + \Delta a)(7b + 16\eta )}}{{(3b + 7\eta )(7{b^2} + 16b\eta )}}}, \\ {p{' _{\rm{d}2 - {\rm{3}}}} = \dfrac{{(2b + 5\eta )[\Delta a(b\theta + 3b + 8\eta ) + 7{b^2}c + 16bc\eta ] + (b\theta + \eta )(a + \Delta a)(7b + 16\eta )}}{{(3b + 7\eta )(7{b^2} + 16b\eta )}}}, \\ {p{' _{\rm{r} - {\rm{3}}}} = \dfrac{{(3b + 6\eta )[\Delta a(b\theta + 3b + 8\eta ) + 7{b^2}c + 16bc\eta ] + (3b - 3b\theta + 4\eta )(a + \Delta a)(7b + 16\eta )}}{{2(3b + 7\eta )(7{b^2} + 16b\eta )}}}, \\ {\lambda = c + {k_2} - \dfrac{{(3b + 8\eta + b\theta )\Delta a + 7{b^2}c + 16bc\eta }}{{7{b^2} + 16b\eta }}}{\text{。}} \end{array}} \right.$

(20)

此时，需求量 $D{' _{{\rm{d}}1 - 3}} = D{' _{{\rm{d}}1 - 2}}$ ， $D{' _{{\rm{d}}2 - 3}} = D{' _{{\rm{d}}2 - 2}} $ ， $D{' _{{\rm{r}} - 3}} = D{' _{{\rm{r}} - 2}} $ ，生产数量 $Q{' _3} \!=\! D{' _{\rm{d}1 - 3}} \!+\! D{' _{\rm{d}2 - 3}} \!+ $ $ D{' _{\rm{r} - 3}} \!=\! {Q^*}$ 。

情形4 　若 $\lambda = 0$ ，则当 $\Delta a {\text{≤}} \dfrac{{16b\eta {k_1} + 7{b^2}{k_1}}}{{3b + 8\eta - b\theta }}$ 时，市场销售价格为

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {p{' _{\rm{d}1 - 4}} = \dfrac{{b(3\eta + b)(c - {k_2}) + 2(\eta + b\theta )(a + \Delta a)}}{{b(3b + 7\eta )}}}, \\ {p{' _{\rm{d}2 - 4}} = \dfrac{{b(5\eta + 2b)(c - {k_2}) + (\eta + b\theta )(a + \Delta a)}}{{b(3b + 7\eta )}}}, \\ {p{' _{\rm{r} - 4}} = \dfrac{{3b(2\eta + b)(c - {k_2}) + [4\eta + 3b(1 - \theta )](a + \Delta a)}}{{2b(3b + 7\eta )}}}{\text{。}}\!\!\!\!\!\!\!\! \end{array}} \right.\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!$

(21)

需求量为

$\left\{\!\!{\begin{array}{*{20}{l}} \quad \quad {D{' _{\rm{d}1 - 4}}} = \\ {\dfrac{{ - {b^2}(5\eta + 2b)(c - {k_2}) + (7b\eta \theta + 2{b^2}\theta - b\eta )(a + \Delta a)}}{{2b(3b + 7\eta )}}}, \\ \quad \quad {D{' _{\rm{d}2 - 4}}} =\\ { \dfrac{{ - {b^2}(2\eta + 2b)(c - {k_2}) + b(\eta + b\theta )(a + \Delta a)}}{{b(3b + 7\eta )}}}, \\ \quad \quad {D{' _{\rm{r} - 4}}} =\\ {\dfrac{{ - {b^2}(3b + 7\eta )(c - {k_2}) + b(7\eta - 3b\theta - 7\eta \theta + 3b)(a + \Delta a)}}{{2b(3b + 7\eta )}}}{\text{。}} \end{array}} \right.$

(22)

生产数量为

$ \begin{split}&\quad\quad Q{' _4} = D{' _{\rm{d}1 - 4}} + D{' _{\rm{d}2 - 4}} + D{' _{\rm{r} - 4}} =\\ &\dfrac{{ - {b^2}(7b + 16\eta )(c - {k_1}) + b(8\eta + b\theta + 3b)(a + \Delta a)}}{{2b(3b + 7\eta )}}{\text{。}}\end{split}$

(23)

由上可知，当 $\Delta a {\text{≥}} \dfrac{{16b\eta {k_1} + 7{b^2}{k_1}}}{{3b + 8\eta - b\theta }}$ 时，最优决策由式(14)~式(16)给出；当 $\dfrac{{ - 16b\eta {k_1} - 7{b^2}{k_2}}}{{3b + 8\eta - b\theta }} {\text{＜}} \Delta a {\text{＜}} $ $ \dfrac{{16b\eta {k_1} + 7{b^2}{k_2}}}{{3b + 8\eta - b\theta }}$ 时，最优决策由式(17)~式(20)给出；当 $\Delta a {\text{≤}} \dfrac{{ - 16b\eta {k_1} - 7{b^2}{k_1}}}{{3b + 8\eta - b\theta }}$ 时，最优决策由式(21)~式(23)给出。

定理2 　对比无扰动情况，扰动下的制造商与零售商的最优决策随扰动变化。将式(14)、式(17)、式(20)、式(21)分别与无扰动时的最优决策对应相减，具体如下。

1) 当需求发生扰动且扰动为正。情形1时，制造商在一级市场的直销价增加 $ \dfrac{{b(3\eta + b){k_1} + 2(\eta + b\theta )\Delta a}}{{b(3b + 7\eta )}}$ ；在二级市场的抛售价增加 $\dfrac{{b({\rm{5}}\eta \!+\! 2b){k_1} \!+\! (\eta \!+\! b\theta )\Delta a}}{{b(3b + 7\eta )}} $ ；零售商在一级市场的零售价增加 $\dfrac{{{\rm{3}}b(2\eta \!+\! b){k_1} \!\!+\! [{\rm{4}}\eta \! +\! {\rm{3}}b(1 \!-\! \theta )]\Delta a}}{{2b(3b\!+ \!7\eta )}} $ 。情形2时，制造商在一级市场的直销价增加 $ \dfrac{{(b \!\!+\!\! 8\eta \!\!+\!\! 5b\theta )\Delta a}}{{b({\rm{7}}b \!+\! {\rm{16}}\eta )}};$ 制造商在二级市场的抛售价增加 $\dfrac{{(2b + 8\eta + 3b\theta )\Delta a}}{{b({\rm{7}}b + {\rm{16}}\eta )}} $ ；零售商在一级市场的零售价增加 $\dfrac{{[{\rm{10}}b + {\rm{16}}\eta - 6b\theta )]\Delta a}}{{2b({\rm{7}}b + {\rm{16}}\eta )}} $ 。

2) 当需求发生扰动且扰动为负。情形3时，制造商在一级市场的直销价减少 $ - \dfrac{{(b + 8\eta + 5b\theta )\Delta a}}{{b(3b + 7\eta )}}$ ；制造商在二级市场的抛售价减少 $ - \dfrac{{(2b + 8\eta + 3b\theta )\Delta a}}{{b({\rm{7}}b + {\rm{16}}\eta )}}$ ；零售商在一级市场的零售价减少 $ - \dfrac{{[{\rm{10}}b + {\rm{16}}\eta - 6b\theta )]\Delta a}}{{2b({\rm{7}}b + {\rm{16}}\eta )}}$ 。情形4时，制造商在一级市场的直销价减少 $\dfrac{{b(3\eta + b){k_2} - 2(\eta + b\theta )\Delta a}}{{b(3b + 7\eta )}}$ ；制造商在二级市场的抛售价减少 $\dfrac{{b({\rm{5}}\eta + 2b){k_2} - (\eta + b\theta )\Delta a}}{{b(3b + 7\eta )}}$ ；零售商在一级市场的零售价减少 $\dfrac{{{\rm{3}}b(2\eta + b){k_2} - [{\rm{4}}\eta + {\rm{3}}b(1 - \theta )]\Delta a}}{{2b(3b + 7\eta )}}$ 。

从定理2可以看出，无论零售商还是制造商，他们的最优定价都与需求扰动量 $\Delta a$ 成正相关。另外，无论需求扰动量 $\Delta a$ 增加或减少，制造商改变最优定价的依据与制造商的市场份额 $\theta $ 成正相关，零售商的最优定价与之相反。这说明，如果自身的市场份额增加，制造商会制定更高的销售价以赚取更多利润，这与现实情况相符。值得注意的是，随着需求的扰动，制造商与零售商均未将成本 $c$ 考虑在定价的变动中。

2.2 需求扰动下双渠道供应链的分散决策

假设在双渠道供应链中，在以制造商为主导的Stackelberg博弈情形下，制造商先分别给出一级市场、二级市场下的价格 ${p' _{\rm{d1}}}$ 、 ${p' _{\rm{d2}}}$ 和批发价格 $\omega '$ ，零售商再给出线下渠道的零售价格 ${p'_{\rm{r}}}$ ，制造商设定最优在线销售价格 $p_{{\rm{d1}}}^*$ 和 $p_{{\rm{d2}}}^*$ ，本文假定需求扰动带来的损失全部由制造商承担，则制造商利润为

$\begin{split}&\quad\quad{\pi _{\rm{d}}} = (p{' _{\rm{d}1}} - c)D{' _{\rm{d}1}} + (p{' _{\rm{d}2}} - c)D{' _{\rm{d}2}} + \\ &(\omega - c)D{' _{\rm{r}}} - {k_1}{(Q' - {Q^*})^ + } - {k_2}{(Q' - {Q^*})^ + }{\text{。}}\end{split}$

(24)

零售商的利润函数为

$\begin{split}&\quad\quad{\pi _{\rm{r}}} = (p{' _{\rm{r}}} - \omega )D{' _{\rm{r}}} = (p{' _{\rm{r}}} - \omega ' )[(1 - \theta )(a + \Delta a) - \\ &bp{' _{\rm{r}}} + \eta (p{' _{\rm{d}1}} - p{' _{\rm{r}}})]{\text{。}} \end{split}$

系统总利润为

$\begin{split} &\quad\quad {\pi _{\rm{s}}} = {\pi _{\rm{d}}} + {\pi _{\rm{r}}} = (p{' _{\rm{d}1}} - c)D{' _{\rm{d}1}} +(p{' _{\rm{d}2}} - c)D{' _{\rm{d}2}} +\\ & (p{' _{\rm{r}}} - c)D{' _{\rm{r}}} - {k_1}{(Q' - {Q^*})^ + } - {k_2}{(Q' - {Q^*})^ + }{\text{。}} \end{split}$

零售商的价格反应函数为

$\quad\quad p{' _{\rm{r}}} = \frac{{\eta p{' _{\rm{d}1}} + \omega ' (b + \eta ) + (1 - \theta )(a + \Delta a)}}{{2(b + \eta )}}{\text{。}}$

(25)

将式(25)代入式(24)并对 $p{' _{\rm{d}1}}$ 、 $p{' _{\rm{d}2}}$ 、 $\omega ' $ 求一阶偏导，可得分散决策下最优决策为：

$\quad\quad {p'} ^* _{\rm{d}1} = \frac{{(2b\theta + 2\eta )(a + \Delta a) + ({b^2} + 3b\eta )c}}{{3{b^2} + 7b\eta }},$

(26)

$\quad\quad {p'} ^* _{\rm{d}2} = \frac{{(b\theta + \eta )(a + \Delta a) + (2{b^2} + 5b\eta )c}}{{3{b^2} + 7b\eta }},$

$\begin{split}&\quad\quad {p'} ^*_{\rm{r}} = \frac{{( - 13b\theta \eta + 8{\eta ^2} + 9{b^2} - 9{b^2}\theta + 21b\eta )(a + \Delta a) }}{{4(b + \eta )(3{b^2} + 7b\eta )}}+\\ &\frac{(11b\eta + 12{\eta ^2} + 3{b^2})bc}{4(b + \eta )(3{b^2} + 7b\eta )}, \end{split} $

$\begin{split}&\quad\quad{\omega '} ^* = \frac{{( - 3b\eta \theta + 4{\eta ^2} + 7b\eta + 3{b^2} - 3{b^2}\theta )(a + \Delta a) }}{{2(b + \eta )(3{b^2} + 7b\eta )}}+\\ &\frac{(9{b^2}\eta + 6b{\eta ^2} + 3{b^3})c}{2(b + \eta )(3{b^2} + 7b\eta )}{\text{。}} \end{split} $

在双渠道供应链中，当分散决策与集中决策的最优决策一致时，双渠道供应链可实现协调。由式(14)、式(17)与式(26)可推出 $p{' _{{\rm{d1 - 1}}}} {\text{＞}} p_{{\rm{d1}}}^{'*}$ ， $p{' _{{\rm{d1 - 2}}}} {\text{＞}} p_{{\rm{d1}}}^{'*}$ ，即需求扰动为正时，集中决策下制造商在一级市场的最优直销价格大于分散决策下的最优直销价格；由式(20)、式(21)与式(26)可推出 $p{' _{{\rm{d1 - 3}}}} {\text{＜}} p_{{\rm{d1}}}^{'*}$ ， $p{' _{{\rm{d1 - 4}}}} {\text{＜}} p_{{\rm{d1}}}^{'*}$ ，即需求扰动为负时，集中决策下制造商在一级市场的最优直销价格小于分散决策下的最优直销价格。故在分散决策下双渠道供应链未能实现协调。因此，在制造商主导的双渠道市场下，制造商如何激励零售商继续参与传统渠道的销售，并有效协调双渠道供应链实现利润最大化将成为一个重要命题。

3 分散决策的供应链协调

由于双渠道供应链存在双重边际问题，协调难度大，因此定义分散决策下的供应链利润函数与集中决策下的利润相等即实现供应链协调。以供应链利润最大化为目标来设定批发价格收益共享组合契约的参数 $\left( {\omega ,\phi } \right)$ 。利用收益共享契约协调，通过签订保密协议，采用信息系统技术核实交易记录情况，以保证收益共享信息的准确性与安全性。制造商与零售商通过建立契约，达成战略合作关系，同时，由于理性人的驱动作用，零售商有意愿共享信息，故采取收益共享契约协调具有可行性。在该契约协调下，双方事先商定零售商返给制造商的销售收入比例为 $\phi $ 。则制造商利润函数为

$\begin{split}&\quad\quad{\pi _{\rm{d}}} = (p{' _{\rm{d}1}} - c)D' + (p{' _{\rm{d}2}} - c)D{' _{\rm{d}2}} + (\omega - c + \phi p{' _{\rm{r}}})D{' _{\rm{r}}} - \\ &{k_1}{(Q' - {Q^*})^ + } - {k_2}{(Q' - {Q^*})^ + }{\text{。}}\end{split}$

零售商的利润函数为

$\begin{split}&\quad\quad{\pi _{\rm{r}}} = [(1 - \phi )p{' _{\rm{r}}} - \omega ' ]D{' _{\rm{r}}} = [(1 - \phi )p{' _{\rm{r}}} - \omega ' ]\cdot\\ &[(1 - \theta )(a + \Delta a) - bp{' _{\rm{r}}} + \eta (p{' _{\rm{d}1}} - p{' _{\rm{r}}})]{\text{。}}\end{split}$

系统总利润为

$\begin{split} &\quad\quad {\pi _{\rm{s}}} = {\pi _{\rm{d}}} + {\pi _{\rm{r}}}= (p{' _{\rm{d}1}} - c)D{' _{\rm{d}1}} + (p{' _{\rm{d}2}} - c)D{' _{\rm{d}2}} +\\ &(p{' _{\rm{r}}} - c)D{' _{\rm{r}}} - {k_1}{(Q' - {Q^*})^ + } - {k_2}{(Q' - {Q^*})^ + } {\text{。}}\end{split} $

零售商的价格反应函数为

$\quad\quad p{' _{\rm{r}}} = \frac{{(1 - \phi )\eta p{' _{\rm{d}1}} + \omega ' (b + \eta ) + (1 - \phi )(a + \Delta a)}}{{2(1 - \phi )(b + \eta )}}{\text{。}}$

定理3

1) 当 $\Delta a {\text{≥}} \dfrac{{16bg{k_1} + 7{b^2}{k_1}}}{{3b + 8\eta - b\theta }}$ ，且批发价格收益共享组合契约 $(\omega ,\phi )$ 满足

$\omega = (1 - \phi )\dfrac{{(3b{\eta ^2} + 8{b^2}\eta + 3{b^3})(c + {k_1}) + (2{\eta ^2} + 2b\eta \theta )(a + \Delta a)}}{{b(b + \eta )(3b + 7\eta )}}$

时，可实现双渠道供应链协调。

2) 当 $\dfrac{{ - 16b\eta {k_1} - 7{b^2}{k_2}}}{{3b + 8\eta - b\theta }} {\text{＜}} \Delta a {\text{＜}} \dfrac{{16b\eta {k_1} + 7{b^2}{k_1}}}{{3b + 8\eta - b\theta }}$ ，且批发价格收益共享组合契约 $(\omega ,\phi )$ ，满足

$\quad\quad\quad\quad\omega = (1 - \phi )\dfrac{{(3{b^2} + 8b\eta + 3{\eta ^2})[\Delta a(b\theta + 3b + 8\eta ) + 7{b^2}c + 16bc\eta ] + (2{\eta ^2} + 2b\eta \theta )(7{b^2} + 16b\eta )(a + \Delta a)}}{{(b + \eta )(3b + 7\eta )(7{b^2} + 16b\eta )}}$

时，可实现双渠道供应链协调。

3) 当 $\Delta a {\text{≤}} \dfrac{{ - 16b\eta {k_1} - 7{b^2}{k_2}}}{{3b + 8\eta - b\theta }}$ ，且批发价格收益共享组合契约 $(\omega ,\phi )$ ，满足

$\omega = (1 - \phi )\dfrac{{(3b{\eta ^2} \!+\! 8{b^2}\eta \!+\! 3{b^3})(c - {k_1}) \!+\! (2{\eta ^2} + 2b\eta \theta )(a + \Delta a)}}{{b(b + \eta )(3b + 7\eta )}}$

时，可实现双渠道供应链协调。

证明 　情形1时， $\Delta a {\text{≥}} \dfrac{{16b\eta {k_2} + 7{b^2}{k_1}}}{{3b + 8\eta - b\theta }}$ 。联立 $p{' _{\rm{d}1 - 1}} = {p^*}_{\rm{d}1}$ ， $p{' _{\rm{d}2 - 1}} = {p^*}_{\rm{d}2}$ ， $p{' _{\rm{r} - 1}} = {p^*}_{\rm{r}}$ ，求解上述关于 $\omega $ 的方程。可得

$\omega = (1 - \phi )\frac{{(3b{\eta ^2} \!+\! 8{b^2}\eta + 3{b^3})(c \!+\! {k_1}) + (2{\eta ^2} + 2b\eta \theta )(a + \Delta a)}}{{b(b + \eta )(3b \!+\! 7\eta )}}。$

类似可以证明2)、3)成立。

同时可以看出，当 $\Delta a = 0$ 时，供应链处于无扰动状态，此时 $p{' _{\rm{d}1}} = {p^*}_{\rm{d}1}$ ， $p{' _{\rm{d}2}} = {p^*}_{\rm{d}2}$ ， $p{' _{\rm{r}}} = {p^*}_{\rm{r}}$ ，采用 $\omega = (1 - \phi )\dfrac{{3{b^3}c + 8{b^2}c\eta + 3bc{\eta ^2} + 2a{\eta ^2} + 2ab\eta \theta }}{{b(b + \eta )(3b + 7\eta )}}$ ，可以使批发价格收益共享组合契约协调。

4 数值分析

假设某商品的市场规模 $a = 100$ ，制造商市场份额 $\theta = 0.6$ ，稳定状态下制造商的单位成本 $c = 10$ ，偏离计划的单位成本 ${k_1} = {k_2} = 3$ ，消费者价格敏感系数 $b = 0.8$ ，消费者渠道价格差敏感系数 $\eta = {\rm{ }}0.3$ 。通过不同情形的需求扰动下的数值算例可验证推导结果。

细分市场下双渠道供应链发生需求扰动时，集中决策下的供应链利润、销售价格和需求见表1。假设事先商定的收益共享系数 $\phi = 0.1$ ，制造商采用改进的收益共享契约协调下的批发价格，则分散决策下的供应链利润、销售价格和需求见表2。

由表1可以看出：当需求扰动增加时，在每种情形下，制造商和零售商的销售量均相应增加，反之减少。当扰动范围为情形1时，制造商应增加产量；当扰动范围为情形4时，制造商应减少产量；当扰动范围为情形2和情形3时，供应链不需要改变生产计划。当需求变化较小，即情形2和情形3时，总销量和总利润不变，说明渠道之间有一定的可替代性。此外，随着需求扰动的增加，批发价格也随之上涨。

在无契约协调且扰动为0的情形下，计算可得制造商给予零售商的批发价格为34.67，高于制造商在二级市场上抛售产品的销售价格28.56，这在现实交易中可能发生，并可能导致零售商放弃从制造商处提货而从制造商开辟的二级市场串货。且无契约协调扰动为0时，系统总利润为1 301.35。而在改进的收益共享契约下，即表2中，制造商给出的批发价格均低于其在一级市场或二级市场的销售价格，且系统总利润高于无契约协调时的总利润。说明该契约可以实现供应链的协调，降低渠道间的矛盾，实现供应链结构相对稳定，并实现利润最大化。

尽管契约协调下总利润大于无契约下的总利润，但由表2中可发现，在无契约协调时制造商单方的利润反而更多，这可能导致制造商拒绝接受契约。下面进一步分析在不同需求扰动程度下，如何通过调整收益共享契约参数 $\phi $ 实现零售商和供应商的利润分配和帕累托改进，如表3所示(以 $\Delta a = $ $ - 10,0,5,10$ 为例)。

结合表2和表3可以看出，供应链分散决策下，各情形的总利润均低于集中决策时对应情形的利润。如表3所示，当 $\Delta a = 10$ 时，分散决策下，零售商利润 ${\pi _{\rm{r}}} = 73.62$ ，制造商利润 ${\pi _{\rm{d}}} = 1\;537.28$ ，总利润 ${\pi _{\rm{s}}} = 1\;610.9$ ；收益共享契约下，总利润 ${\pi _{\rm{s}}} = 1\;686.36$ ，实现了系统整体利润最优。当 $\phi \in [0.5,0.7]$ 时，零售商利润和制造商利润都大于分散决策下各自的利润，实现了双方利润的帕累托改进。类似地，当 $\Delta a = - 10$ 、 $\Delta a = 0$ 和 $\Delta a = 5$ 时，满足帕累托改进的契约参数区间分别为 $\phi \in [0.6,0.7]$ 、 $\phi \in [0.5,0.7]$ 和 $\phi \in [0.5,0.7]$ ，当收益共享契约参数的取值在指定区间内，供应链总利润可提高约4.5%。

基于收益共享与成本共担的契约有利于激励制造商降低批发价格，零售商提高订货量。制造商愿意以较低的批发价格向零售商供货，原因是零售商将一部分收益分享给制造商使之利润与分散决策相比得到提高。调整契约参数 $\phi $ 可以实现系统利润的任意分配和帕累托改进，即实现供应链完美协调。

5 结束语

本文以一个拥有细分市场的制造商以及一个拥有传统渠道的零售商为研究对象，研究市场需求发生扰动时双渠道供应链的决策与协调。首先提出无扰动情形下的最优决策及收益共享契约协调。当市场需求发生扰动时，通过求解KKT条件分别得出了集中决策下和分散决策下双渠道供应链的最优定价策略以及最优生产量。当细分市场下的双渠道供应链面临分散决策时，通过引入收益共享契约参数 $\phi $ 使得改进的收益共享契约能够有效协调供应链，并给出了改进后的解析解，实现双渠道供应链成员的双赢。然而，本文仅研究了细分市场下收益共享契约下的双渠道供应链协调，且仅考虑了需求扰动这一因素。后续的研究中，可以考虑其他契约下的双渠道供应链的协调，以及多因素扰动下的双渠道供应链的定价决策及协调。