无论是发达国家，还是发展中国家，凡是受市场经济支配的农业，农业合作社都是一种重要的制度安排。农业合作社是指农户以自愿、平等为原则，以互利互助和自治为基础设立的，按交易量分享利润和分担风险的组织。农民是合作社的拥有者、控制者和收益者^[1]。合作社对外参与市场竞争，追求利润最大化，对内遵循合作原则，农民有剩余索取权^[2]。通过营销合作社，农户的价格谈判地位更高^[3-4]，可以进入不能单独进入的市场^[5]，有效面对农产品市场价格的不确定性^[6]。

目前，关于合作社的研究主要集中在合作社内部，包括合作社治理、功能绩效等。合作社治理主要从利益导向和信任导向两个方面展开^[7]，影响合作社绩效的因素包括社会经济因素、交易成本、管理模式和合作社规模^[8]。现有研究中以农产品供应链为整体研究的较少。现有的合作社运作模式基本可以描述为“农户+合作社+企业”的供应链模式，其中企业占主导地位。Agbo等^[9]研究了农户既可以通过合作社将农产品销往外地市场，又可以在当地市场直接售卖农产品时农户的决策行为，以及这两种分销渠道的相互关系。Palsule-Desai^[10]认为农户通过合作社销售农产品形成合作网络，网络具有外部性，分析了农户分散决策和不合作行为对网络稳定性的影响。郑少红等^[11]分析了“公司+合作社+农户”的契约关系，指出“公司+合作社+农户”经营模式的契约关系比“公司+农户”经营模式的契约关系更稳定。浦徐进等^[12]考虑生产和销售努力，对比分析不同契约模式下的运作效率，发现“公司+合作社+农户”模式能实现公司与农户的“双赢”，生产和销售努力水平能达到社会最优。苑鹏^[13]探讨了“公司+合作社+农户”的4种不同农业产业化经营模式下农户福利改善情况，发现“农户自办合作社，合作社自办加工企业”模式下农户福利增加的空间最大。

上述研究以实证研究为主，少有的定量研究只考虑了由农户、一个合作社组成的两级供应链，或者由农户、一个合作社和一个社会企业组成的三级供应链，没有考虑合作社和社会企业之间的水平竞争。此外，农户可以加入一个合作社，也可以加入多个合作社，也要考虑合作社共享或者独占供货农户。因此，本文针对由农户、合作社、社会企业组成的三级农产品供应链，以最简单的模型 $\left( {S, 1, 1} \right)$ 为基础，利用博弈论方法，分析供应链中各级成员最优决策和各级成员的利润。然后增加合作社和社会企业的数量建立 $\left( {S, I, R} \right)$ 模型，考虑合作社和社会企业之间不同水平竞争程度对供应链的影响。随后，分析合作社共享和独占供货农户对供应链的影响。最终设计出对农户最有利的农产品供应链结构。

1 基本模型(S, 1, 1)

首先，考虑由 $S$ 个非对称农户(考虑不同农户的生产技术不同，体现在生产成本函数中)，1个合作社和1个社会企业组成的三级供应链，社会企业占主导地位，农户之间存在水平竞争，合作社、社会企业之间不存在水平竞争。所有农户将农产品卖给合作社，合作社将农产品卖给社会企业，本文假设合作社和社会企业不对农产品进行加工，直接卖出^[14]。

农户：给定合作社的收购价格 ${p_ {\rm{c}}}$ ，对于第 $i$ 个农户来说，其成本 $c\left( {{q_i}} \right) = {A_i}q_i^2\forall {A_i} {\text{＞}}0$ ^[15]( ${A_i}$ 表示农户 $i$ 的生产成本系数， ${A_i}$ 越小，其单位生产成本越低)，b_c是合作社利润返还比例^[9]， $0 {\text{＜}} {b_ {\rm{c}}} {\text{＜}} 1$ (根据我国农业专业合作社法规定，合作社利润返还比例不得低于60%，并且按照成员与合作社的交易量返还)。农户决定其产量 ${q_i}$ ，使其利润 ${\pi _i}$ 最大化：

$\quad\quad\mathop {\max \;}\limits_{{q_i}} {\pi _i} = {p_ {\rm{c}}}{q_i} - {A_i}q_i^2 + {b_ {\rm{c}}}\left( {{p_ {\rm{r}}} - {p_ {\rm{c}}}} \right){q_i}{\text{。}}$

(1)

其中， ${p_ {\rm{c}}}$ 表示合作社的收购价格， ${p_ {\rm{r}}}$ 表示社会企业收购价格。

对式(1)求 ${q_i}$ 的一阶导数，可得农户的最优生产量为

$\quad\quad{q_i} = \frac{{{b_ {\rm{c}}}{p_ {\rm{r}}} + {p_ {\rm{c}}}\left( {1 - {b_ {\rm{c}}}} \right)}}{{2{A_i}}}{\text{。}}$

(2)

合作社：给定社会企业收购价格 ${p_ {\rm{r}}}$ ，合作社确定收购价格 ${p_ {\rm{c}}}$ 使其利润 ${\pi _ {\rm{c}}}$ 最大化：

$\quad\quad\left\{\begin{array}{l} \mathop {\max }\limits_{{p_ {\rm{c}}}} \;{\pi _ {\rm{c}}} = \left( {1 - {b_ {\rm{c}}}} \right)\left( {{p_ {\rm{r}}} - {p_ {\rm{c}}}} \right){q_ {\rm{c}}} {\text{。}}\\ {\rm{s.t}}.\;\;\;{q_ {\rm{c}}} = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {{q_i}}{\text{。}} \end{array} \right.$

(3)

其中系数 $1 - {b_ {\rm{c}}}$ 表示合作社返还给农户后剩余的利润比例(下同)。

由式(2)可得

$\quad\quad{q_ {\rm{c}}} = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {{q_i}} = \left( {{b_ {\rm{c}}}{p_ {\rm{r}}} + {p_ {\rm{c}}}\left( {1 - {b_ {\rm{c}}}} \right)} \right)\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\dfrac{1}{{2{A_i}}}}, $

将其代入式(3)，并对其求 ${p_ {\rm{c}}}$ 的一阶导数，可得合作社的最优价格为

$\quad\quad{p_ {\rm{c}}} = \frac{{{p_ {\rm{r}}}\left( {1 - 2{b_ {\rm{c}}}} \right)}}{{2\left( {1 - {b_ {\rm{c}}}} \right)}}{\text{。}}$

(4)

由此推出的最优产量为

$\quad\quad{q_ {\rm{c}}} = \frac{{{p_ {\rm{r}}}}}{2}\sum\limits_{i = 1}^S {\frac{1}{{2{A_i}}}} = Q{\text{。}}$

(5)

社会企业：假定市场需求遵循线性逆需求函数 $p = \alpha - \beta Q$ ，其中 $\alpha $ 是市场能接受的价格上限， $\beta $ 是敏感系数，并且 $\alpha {\text{＞}} \beta $ (下同)。社会企业决定订货价格 ${p_ {\rm{r}}}$ 使其利润 ${\pi _ {\rm{r}}}$ 最大化：

$\quad\quad \left\{ \begin{array}{l} \mathop {\max }\limits_{{p_ {\rm{r}}}} \;{\pi _ {\rm{r}}} = (\alpha - \beta Q - {p_ {\rm{r}}})Q{\text{。}} \\ {\rm{s.t}}.\;\;Q = {q_ {\rm{c}}} {\text{。}} \end{array} \right. $

(6)

将式(5)代入式(6)，并对其求 ${p_ {\rm{r}}}$ 的一阶导数，可得社会企业最优订货价格为

$\quad\quad{p_ {\rm{r}}} = \dfrac{\alpha }{{\beta\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\dfrac{1}{{2{A_i}}}} + 2}}{\text{。}}$

(7)

由此可得定理1。

定理1 　在由 $S$ 个非对称农户、1个合作社和1个社会企业组成的三级农产品供应链中，各级最优决策及各级利润如下。

数量： $Q = {q_ {\rm{c}}} = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {{q_i}} = \dfrac{\alpha }{2}\dfrac{{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\dfrac{1}{{2{A_i}}}} }}{{\beta\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\dfrac{1}{{2{A_i}}}} + 2}}$ 。

价格：

$ \quad\quad{p_ {\rm{c}}} = \dfrac{{\left( {1 - 2{b_ {\rm{c}}}} \right)}}{{\left( {1 - {b_ {\rm{c}}}} \right)}}\dfrac{Q}{{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\dfrac{1}{{2{A_i}}}} }},{p_ {\rm{r}}} = \dfrac{{2Q}}{{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\dfrac{1}{{2{A_i}}}} }},p = \alpha - \beta Q{\text{。}} $

利润：

$ \quad\quad\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {{\pi _i}} = \dfrac{1}{{2\left( {\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\dfrac{1}{{2{A_i}}}} } \right)}}{Q^2},{\pi _ {\rm{c}}} = \dfrac{1}{{\left( {\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\dfrac{1}{{2{A_i}}}} } \right)}}{Q^2},{\pi _ {\rm{r}}} = \dfrac{\alpha }{2}Q{\text{。}} $

由定理1可知如下结果。

1) 农户总产量与合作社利润返还比例无关，与 $\alpha $ 成正比，与 $\beta $ 成反比。

2) 合作社利润返还并不能增加农户收入，因为 ${\rm{d}}{p_ {\rm{c}}}/{\rm{d}}{b_ {\rm{c}}} {\text{＜}} 0$ ，说明合作社的收购价格与返还比例成反比，也就是说合作社的返还比例越高，其收购价格就会越低，合作社会在利润返还比例与收购价格之间进行平衡。

3) 供应链中各级成员利润之比为

$ \quad\quad{\pi _ {\rm{r}}}:{\pi _ {\rm{c}}}:\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {{\pi _i}} = 2\left( {\beta \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\dfrac{1}{{2{A_i}}}} + 2} \right): 2: 1{\text{。}} $

可以看出，农户在整个供应链中处于弱势地位，并且农户数量越多，农户利润在整条供应链中的利润比值越低。

定理2 　合作社对外参与市场竞争，追求利润最大化。合作社利润最大时，对合作社的利润求 $\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\dfrac{1}{{{A_i}}}} $ 的一阶导数，可得最优农户规模表达式为

$ \quad\quad\sum\limits_{i = 1}^{{S^ * }} {\frac{1}{{{A_i}}}} = \frac{4}{\beta }{\text{。}} $

(8)

由此可见，并不是农户数量越多(即合作社规模越大)，合作社利润越大，而是农户数量为某一个特定值时，合作社利润最大。这是因为，在社会企业领导的供应链中，如果农户数量足够多，农户的弱势会变成合作社的弱势，社会企业可以利用其领导地位增加其市场权利，从而获得更多的利润。为了更好地解释这种现象，可以考虑一种特殊情况，假设农户数量无限多，社会企业可以以农户的边际成本为收购价格，收购无限多的农产品，此时社会企业获得了供应链的全部利润，而合作社和农户的利润均为零。

此外，最优农户规模 ${S^ * }$ 与 ${A_i}$ 成正比，即农户成本系数越高，农户规模越大，反之则相反。这是因为农户的最优产量 ${q_i} = {{\left( {{b_ {\rm{c}}}{p_ {\rm{r}}} + {p_ {\rm{c}}}\left( {1 - {b_ {\rm{c}}}} \right)} \right)} / {\left( {2{A_i}} \right)}}$ ，农户成本系数越高，其最优产量越低，因此，需要更多的农户才能满足合作社的收购需求。 ${S^ * }$ 与敏感系数 $\beta $ 成反比，因为最优农户规模 ${S^ * }$ 与总产量是正相关的， $\beta $ 越大，说明总产量增加一个单位，价格下降得比较多，总产量太多，价格会格外低，所以总产量应该降低，与此对应的农户规模也应该减小。

2 水平竞争的影响

现实社会中，在社会企业主导的农产品供应链中，合作社和社会企业都会面临不同程度的水平竞争。因此，本节将讨论合作社和社会企业之间的水平竞争对供应链的影响。分析由 $S$ 个非对称农户、 $I$ 个对称合作社、 $R$ 个对称社会企业组成的供应链。为了与已有的研究多级供应链竞争的文献(如Corbett等^[16])相一致，本文假设不同层级成员之间进行Stackelberg博弈，同一层级成员之间进行Cournot竞争。

首先，考虑一个农户可以向所有合作社提供任意数量的农产品，即合作社共享所有供货农户。

在这种情况下，农户的利润依然如式(1)所示。

第 $l$ 个合作社：在社会企业给出收购价格 $p_ {\rm{r}}^{\rm{s}}$ 下，决定对农户的收购价格 $p_ {\rm{c}}^{\rm{s}}$ 和收购量 $q_{{\rm{c}}, l}^{\rm{s}}$ 使其利润 $\pi _{{\rm{c}},l}^{\rm{s}}$ 最大化：

$\quad\quad \left\{ \begin{array}{l} \mathop {\max }\limits_{p_ {\rm{c}}^{\rm{s}}, q_{{\rm{c}},l}^{\rm{s}}} \;\pi _{{\rm{c}},l}^{\rm{s}} = \left( {1 - {b_ {\rm{c}}}} \right)\left( {p_ {\rm{r}}^{\rm{s}} - p_ {\rm{c}}^{\rm{s}}} \right)q_{{\rm{c}},l}^{\rm{s}} {\text{。}} \\ \;\;{\rm{s.t}}.\;\;\;\;\;q_{{\rm{c}},l}^{\rm{s}} + Q_{{\rm{c}}, - l}^{\rm{s}}\; = {Q^{\rm{s}}} {\text{。}} \end{array} \right. $

(9)

其中， $Q_{{\rm{c}}, - l}^{\rm{s}}$ 表示其他合作社的总收购量， ${Q^{\rm{s}}}$ 表示农户在合作社收购价格 $p_ {\rm{c}}^{\rm{s}}$ 下的总生产量。

由式(2)可得：

$ \quad\quad\left\{ \begin{array}{l} {Q^{\rm{s}}} = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {q_i^{\rm{s}}} = \left( {{b_ {\rm{c}}}p_ {\rm{r}}^{\rm{s}} + p_ {\rm{c}}^{\rm{s}}\left( {1 - {b_ {\rm{c}}}} \right)} \right)\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\dfrac{1}{{2{A_i}}}},\\ p_ {\rm{c}}^{\rm{s}} = \dfrac{{Q - {b_ {\rm{c}}}p_ {\rm{r}}^{\rm{s}}\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\dfrac{1}{{2{A_i}}}} }}{{\left( {1 - {b_ {\rm{c}}}} \right)\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\dfrac{1}{{2{A_i}}}} }}{\text{。}} \end{array} \right.$

(10)

将式(10)代入式(9)可得第 $l$ 个合作社的利润函数为

$\quad\quad\pi _{{\rm{c}},l}^{\rm{s}} \!=\! \left( {1 \!-\! {b_ {\rm{c}}}} \right)\left( {p_ {\rm{r}}^{\rm{s}} - \dfrac{{q_{{\rm{c}}, l}^{\rm{s}} \!+\! Q_{{\rm{c}}, - l}^{\rm{s}} \!-\! {b_ {\rm{c}}}p_ {\rm{r}}^{\rm{s}}\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\dfrac{1}{{2{A_i}}}} }}{{\left( {1 - {b_ {\rm{c}}}} \right)\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\dfrac{1}{{2{A_i}}}} }}} \right)q_{{\rm{c}}, l}^{\rm{s}}{\text{。}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!$

(11)

对式(11)求 $q_{{\rm{c}},l}^{\rm{s}}$ 的一阶导数，可得合作社 $l$ 的最优收购量为

$\quad\quad q_{{\rm{c}}, l}^{\rm{s}} = p_ {\rm{r}}^{\rm{s}}\sum\limits_{i = 1}^S {\frac{1}{{2{A_i}}}} - {Q^{\rm{s}}} = \frac{{{Q^{\rm{s}}}}}{I}{\text{。}}$

(12)

由式(12)可以发现，这 $I$ 个对称合作社的收购量相等，推出：

$\quad\quad p_ {\rm{r}}^{\rm{s}} = \dfrac{{{Q^{\rm{s}}}(I + 1)}}{{I\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\dfrac{1}{{2{A_i}}}} }},$

(13)

$\quad\quad p_ {\rm{c}}^{\rm{s}} = \dfrac{{{Q^{\rm{s}}}(I - {b_ {\rm{c}}}(I + 1))}}{{(1 - {b_ {\rm{c}}})I\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\dfrac{1}{{2{A_i}}}} }}{\text{。}}$

(14)

第 $k$ 个社会企业：决定合作社的订货价格 $p_ {\rm{r}}^{\rm{s}}$ 和订购量 $q_{{\rm{r}}, k}^{\rm{s}}$ 使其利润 $\pi _{{\rm{r}}, k}^{\rm{s}}$ 最大化：

$ \quad\quad\left\{ \begin{array}{l} \mathop {\max }\limits_{p_ {\rm{r}}^{\rm{s}}, q_{{\rm{r}}, k}^{\rm{s}}} \;\pi _{{\rm{r}}, k}^{\rm{s}} = \left( {\left( {\alpha - \beta \left( {q_{{\rm{r}}, k}^{\rm{s}} + Q_{{\rm{r}}, - k}^{\rm{s}}} \right)\;\;} \right) - p_ {\rm{r}}^{\rm{s}}} \right)q_{{\rm{r}}, k}^{\rm{s}} {\text{。}} \!\!\!\!\!\!\\ \;\;{\rm{s.t}}.\;\;\;q_{{\rm{r}}, k}^{\rm{s}} + Q_{{\rm{r}}, - k}^{\rm{s}} = {Q^{\rm{s}}}{\text{。}} \end{array} \right. $

(15)

其中， $Q_{{\rm{r}}, - k}^{\rm{s}}$ 表示其他社会企业的总收购量。

将式(13)代入式(15)，可得社会企业利润函数：

$\pi _{{\rm{r}}, k}^{\rm{s}} = \left( {\left( {\alpha - \beta \left( {q_{{\rm{r}}, k}^{\rm{s}} + Q_{{\rm{r}}, - k}^{\rm{s}}} \right)\;\;} \right) - \frac{{\left( {q_{{\rm{r}}, k}^{\rm{s}} + Q_{{\rm{r}}, - k}^{\rm{s}}} \right)(I + 1)}}{{I\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\frac{1}{{2{A_i}}}} }}} \right)q_{{\rm{r}}, k}^{\rm{s}}{\text{。}}$

(16)

对式(16)求 $q_{{\rm{r}}, k}^{\rm{s}}$ 的一阶导数，可得：

$\quad\quad q_{{\rm{r}}, k}^{\rm{s}} = \frac{{\alpha I\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\frac{1}{{2{A_i}}} - (\beta I\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\frac{1}{{2{A_i}}}} + (I + 1)){Q^{\rm{s}}}} }}{{\beta I\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\frac{1}{{2{A_i}}}} + I + 1}}, $

推出：

$\quad\quad{Q^{\rm{s}}} = \frac{{R\alpha I\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\frac{1}{{2{A_i}}}} }}{{\left( {1 + R} \right)\left( {\beta I\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\frac{1}{{2{A_i}}}} + \left( {I + 1} \right)} \right)}}{\text{。}}$

(17)

将式(13)、(14)代入式(1)、(9)、(15)可得各级利润，由此得到定理3。

定理3 　合作社、社会企业存在水平竞争时，各级最优决策及各级利润如下。

数量：

$\quad\quad{Q^{\rm{s}}} = Rq_ {\rm{r}}^{\rm{s}} = Iq_ {\rm{c}}^{\rm{s}} = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {q_i^{\rm{s}}} = \dfrac{{R\alpha I\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\dfrac{1}{{2{A_i}}}} }}{{\left( {1 + R} \right)\left( {\beta I\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\dfrac{1}{{2{A_i}}}} + \left( {I + 1} \right)} \right)}}{\text{。}}$

价格：

$p_ {\rm{c}}^{\rm{s}} = \dfrac{{\left( {I - {b_ {\rm{c}}}\left( {I + 1} \right)} \right)}}{{\left( {1 - {b_ {\rm{c}}}} \right)I\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\dfrac{1}{{2{A_i}}}} }}{Q^{\rm{s}}},p_ {\rm{r}}^{\rm{s}} = \dfrac{{\left( {I + 1} \right)}}{{I\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\dfrac{1}{{2{A_i}}}} }}{Q^{\rm{s}}}, p = \alpha - \beta {Q^{\rm{s}}}{\text{。}} $

总利润：

$\quad\quad\begin{split}&\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\pi _i^{\rm{s}}} = \dfrac{1}{{2\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\dfrac{1}{{2{A_i}}}} }}{Q^{\rm{s}}}^2, I\pi _{{\rm{c}},l}^{\rm{s}} = \dfrac{1}{{I\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\dfrac{1}{{2{A_i}}}} }}{Q^{\rm{s}}}^2,\\ &R\pi _{{\rm{r}}, k}^{\rm{s}} = \dfrac{\alpha }{{\left( {1 + R} \right)}}{Q^{\rm{s}}}{\text{。}}\end{split} $

由定理3可知如下结果。

1) 因为 ${\rm{d}}{Q^{\rm{s}}}/{\rm{d}}I {\text{＞}} 0$ ， ${\rm{d}}{Q^{\rm{s}}}/{\rm{d}}R {\text{＞}} 0$ ，所以农户总产量随着合作社数量和社会企业数量的增加而增加。

2) 供应链中各级成员利润之比为

$\quad\quad R\pi _{{\rm{r}}, k}^{\rm{s}}:I\pi _{{\rm{c}}, l}^{\rm{s}}:\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\pi _i^{\rm{s}}} = 2\left( {\beta I\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\dfrac{1}{{2{A_i}}}} + I + 1} \right): 2R:RI{\text{。}} $

可以看出农户总利润占整个供应链的总利润的比值与合作社的数量和社会企业的数量成正比。

3) 由于 ${{\partial \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\pi _i^{\rm{s}}} } / {\partial I}} {\text{＞}} 0$ ， ${{\partial \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\pi _i^{\rm{s}}} } / {\partial R}} {\text{＞}} 0$ ，农户总利润随着社会企业和合作社数量的增加而增加。

定理4 　合作社利润最大时，最优农户规模表达式为

$\quad\quad\sum\limits_{i = 1}^{{S^ * }} {\frac{1}{{{A_i}}}} = \frac{{2\left( {I + 1} \right)}}{{\beta I}}{\text{。}}$

(18)

由此可知农户的最优规模 ${S^ * }$ 除了与 ${A_i}$ 和敏感系数 $\beta $ 有关之外，还与合作社数量 $I$ 负相关，即合作社数量越多(水平竞争越激烈)，合作社的最优农户规模越小。

下面分析不同水平竞争程度对供应链的影响，用不同的合作社数量、社会企业数量来表示不同的水平竞争程度。

定理5 　对比本节的水平竞争与上节的基本模型，有如下发现。

1) 合作社、社会企业之间的水平竞争会使农户总产量和总利润增加。竞争越激烈，农户总产量越多，农户总利润越大。这是因为，随着合作社、社会企业数量的增加，农户的谈判能力提高，其弱势地位得到改善。

2) 对于合作社、社会企业来说，自身层级之间的水平竞争会降低该层级的总利润，其他层级之间的水平竞争会增加该层级的总利润。

3) 合作社之间的水平竞争会使农户最优规模减小，竞争越激烈，农户最优规模越小。这是因为合作社之间的水平竞争提高了社会企业和农户的谈判力，合作社更愿意从少数农户处收购农产品。

4) 当合作社的数量 $ I {\text{＞}} 2 $ 时，农户总利润会超过合作社总利润。

3 共享和独占的影响

上一节假设所有合作社共享所有农户。本节假设一个农户只能向某一个特定的合作社供货，即合作社独占某些供货农户。

农户：由于农户与合作社之间是唯一供货，假设农户 $ i $ 向第 $ l $ 个合作社供货。农户 $ i $ 在第 $ l $ 个合作社给定的收购价格 $p_{{\rm{c}}, l}^{\rm{e}}$ 的基础上，决定其产量 $q_i^{\rm{e}}$ ，使其利润 $\pi _i^ {\rm{e}}$ 最大化：

$\quad\quad\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\max }\limits_{q_i^{\rm{e}}}}\;{\pi _i^{\rm{e}} = p_{{\rm{c}}, l}^{\rm{e}}q_i^{\rm{e}} - {A_i}q{{_i^{\rm{e}}}^2} + {b_ {\rm{c}}}\left( {p_ {\rm{r}}^{\rm{e}} - p_{{\rm{c}}, l}^{\rm{e}}} \right)q_i^{\rm{e}}} \end{array}{\text{。}}$

(19)

对式(19)求 $q_i^{\rm{e}}$ 的一阶导数，可得农户最优生产量为

$\quad\quad q_i^{\rm{e}} = \frac{{{b_ {\rm{c}}}p_ {\rm{r}}^{\rm{e}} + \left( {1 - {b_ {\rm{c}}}} \right)p_{{\rm{c}}, l}^{\rm{e}}}}{{2{A_i}}}, $

(20)

推出：

$\quad\quad p_{{\rm{c}}, l}^{\rm{e}} = \frac{{2{A_i}{q_i^{\rm e}} - {b_ {\rm{c}}}p_ {\rm{r}}^{\rm{e}}}}{{1 - {b_ {\rm{c}}}}}{\text{。}}$

(21)

第 $ l $ 个合作社：在社会企业给出订货价格 $p_ {\rm{r}}^{\rm{e}}$ 下，决定对农户的收购价格 $p_{{\rm{c}}, l}^{\rm{e}}$ 和收购量使其利润 $\pi _{{\rm{c}}, l}^{\rm{e}}$ 最大化。假设合作社 $ l $ 独占 ${S^l}$ 个农户，并且 $\displaystyle\sum\limits_l {{S^l}} = S$ 。

$\quad\quad\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\max }\limits_{p_{{\rm{c}}, l}^{\rm{e}}, \sum\limits_{j \in {S^l}} {q_j^{\rm{e}}} } }\;{\pi _{{\rm{c}}, l}^{\rm{e}} = \left( {1 - {b_ {\rm{c}}}} \right)\displaystyle\sum\limits_{j \in {S^l}} {\left( {p_ {\rm{r}}^{\rm{e}} - p_{{\rm{c}}, l}^{\rm{e}}} \right)q_j^{\rm{e}}} } \end{array}{\text{。}}$

(22)

在这种情况下，合作社的最优收购量取决于与其合作的农户的数量。由于各个农户独立决策，所以合作社向某个农户的收购量与其他农户无关。所以，为了方便计算，先计算合作社 $ l $ 从农户 $ i $ 处获得的利润。

$\quad\quad\pi _{{\rm{c}}, l}^{{\rm{e}}, i} = \left( {1 - {b_ {\rm{c}}}} \right)\left( {p_ {\rm{r}}^{\rm{e}} - p_{{\rm{c}}, l}^{\rm{e}}} \right)q_i^{\rm{e}}{\text{。}}$

(23)

将式(20)代入式(23)，并且求 $p_{c, l}^{\rm{e}}$ 的一阶导数，可得合作社对农户 $ i $ 的最优收购价格为

$\quad\quad p_{{\rm{c}}, l}^{\rm{e}} = \frac{{p_ {\rm{r}}^{\rm{e}}\left( {1 - 2{b_ {\rm{c}}}} \right)}}{{2\left( {1 - {b_ {\rm{c}}}} \right)}}{\text{。}}$

(24)

将式(24)代入式(20)，可得农户 $ i $ 的最优产量： $q_i^{\rm{e}} = \dfrac{{p_ {\rm{r}}^{\rm{e}}}}{{4{A_i}}}$ 。由此推出所有农户总产量为

$\quad\quad{Q^{\rm{e}}} = \sum\limits_{i = 1}^S {q_i^{\rm{e}}} = p_ {\rm{r}}^{\rm{e}}\sum\limits_{i = 1}^S {\frac{1}{{4{A_i}}}} , $

(25)

由此推出：

$\quad\quad p_ {\rm{r}}^{\rm{e}} = \dfrac{{{Q^{\rm{e}}}}}{{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\dfrac{1}{{4{A_i}}}} }}{\text{。}}$

(26)

第 $k$ 个社会企业：决定订货量 $q_{{\rm{r}}, k}^{\rm{e}}$ 和收购价格 $p_ {\rm{r}}^{\rm{e}}$ 使其利润 $\pi _{{\rm{r}}, k}^{\rm{e}}$ 最大化：

$ \quad\quad \left\{ \begin{array}{l} {\mathop {\max }\limits_{p_ {\rm{r}}^{\rm{e}}, q_{{\rm{r}}, k}^{\rm{e}}} }\;\; {\pi _{{\rm{r}}, k}^{\rm{e}} = \left( {\alpha - \beta {Q^{\rm{e}}} - p_ {\rm{r}}^{\rm{e}}} \right)q_{{\rm{r}}, k}^{\rm{e}}} {\text{。}} \\ \;\;{\rm{s.t}}.\;\;\;{Q^{\rm{e}}} = q_{{\rm{r}}, k}^{\rm{e}} + Q_{{\rm{r}}, - k}^{\rm{e}} {\text{。}} \end{array} \right. $

(27)

将式(26)代入式(27)，可得社会企业利润函数为

$\quad\quad\pi _{{\rm{r}}, k}^{\rm{e}} = \Bigg( {\alpha - \beta \left( {q_{{\rm{r}}, k}^{\rm{e}} + Q_{{\rm{r}}, - k}^{\rm{e}}} \right) - \dfrac{{q_{{\rm{r}}, k}^{\rm{e}} + Q_{{\rm{r}}, - k}^{\rm{e}}}}{{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\dfrac{1}{{4{A_i}}}} }}} \Bigg)q_{{\rm{r}}, k}^{\rm{e}}{\text{。}}$

(28)

对式(28)求 $q_{{\rm{r}}, k}^{\rm{e}}$ 的一阶导数，得到社会企业的最优订货量为

$\quad\quad q_{{\rm{r}}, k}^{\rm{e}} = \dfrac{\alpha }{{R + 1}}\dfrac{{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\dfrac{1}{{2{A_i}}}} }}{{\beta \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\dfrac{1}{{2{A_i}}}} + 2}}, $

(29)

$\quad\quad{Q^{\rm{e}}} = \dfrac{{R\alpha }}{{R + 1}}\dfrac{{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\dfrac{1}{{2{A_i}}}} }}{{\beta \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\dfrac{1}{{2{A_i}}}} + 2}}{\text{。}}$

(30)

将式(26)代入式(24)得到

$\quad\quad p_{{\rm{c}}, l}^{\rm{e}} = \frac{{1 - 2{b_ {\rm{c}}}}}{{1 - {b_ {\rm{c}}}}}\frac{{{Q^{\rm{e}}}}}{{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\frac{1}{{2{A_i}}}} }}{\text{。}}$

(31)

将式(26)、(31)代入式(19)、(22)、(27)可得各级利润函数，由此得到定理6。

定理6 　在合作社独占某些供货农户的情况下，各级最优决策及各级成员的利润如下。

数量： ${Q^{\rm{e}}} = \dfrac{{R\alpha }}{{R + 1}}\dfrac{{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\frac{1}{{2{A_i}}}} }}{{\beta \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\frac{1}{{2{A_i}}}} + 2}}$ 。

价格：

$\quad\quad p_{{\rm{c}}, l}^{\rm{e}} = \dfrac{{1 - 2{b_ {\rm{c}}}}}{{1 - {b_ {\rm{c}}}}}\dfrac{{{Q^{\rm{e}}}}}{{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\dfrac{1}{{2{A_i}}}} }},p_ {\rm{r}}^{\rm{e}} = \dfrac{{2{Q^{\rm{e}}}}}{{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\dfrac{1}{{2{A_i}}}} }},p = \alpha - \beta {Q^{\rm{e}}}{\text{。}}$

利润：

$\begin{split}\quad\quad &\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {{\pi _i^{\rm{e}}}} = \dfrac{1}{{2\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\dfrac{1}{{2{A_i}}}} }}{Q^{\rm{e}}}^2,\displaystyle\sum\limits_l {\pi _ {{c},l}^{\rm{e}}} = \dfrac{1}{{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\dfrac{1}{{2{A_i}}}} }}{Q^{\rm{e}}}^2,\\ &R{\pi _{{\rm{r}}, k}^{\rm{e}}} = \dfrac{\alpha }{{R + 1}}{Q^{\rm{e}}}{\text{。}}\end{split}$

由定理6可知如下结果。

1) 在这种情况下，合作社的数量对总产量、各级价格以及各级利润均无影响。

2) 农户总产量与 $\alpha $ 和 $ R $ 正相关。随着社会企业数量的增加，总产量以及供应链上各级成员的利润都在增大。

3) 供应链上各级成员利润之比为

$\quad\quad R\pi _{{\rm{r}}, k}^{\rm{e}}:\displaystyle\sum\limits_l {\pi _{{\rm{c}}, l}^{\rm{e}}} :\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\pi _i^{\rm{e}}} = 2\left( {\beta \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^S {\dfrac{1}{{2{A_i}}}} + 2} \right): 2R:R{\text{。}}$

农户和合作社的利润之比仍为1∶2，但是农户和合作社的利润占整条供应链总利润的比值增大，农户的弱势地位相对得到了改善。

定理7 　合作社对外参与市场竞争，追求利润最大化，合作社利润最大时，最优农户规模为

$\quad\quad\sum\limits_{i = 1}^{{S^ * }} {\frac{1}{{{A_i}}}} = \frac{4}{\beta }{\text{。}}$

(32)

可以看出，在合作社独占某些供货农户的情况下，最优农户规模 ${S^ * }$ 与 ${A_i}$ 和敏感系数 $\beta $ 有关，与合作社数量和社会企业数量均无关。

定理8 　通过对比本节合作社独占某些供货农户和上节中合作社共享所有供货农户，有如下发现。

1) 在合作社独占某些农户的情况下，各级最优决策相当于 $S$ 个非对称农户、1个合作社、 $R$ 个社会企业组成的供应链的最优决策。这是因为合作社相对于社会企业来说，是价格接受者，在农户只能给某一个特定合作社供货时，合作社的最优收购量和合作社总利润仅仅取决于与其合作的农户数量，而不论每个农户与合作社一对一合作，还是所有农户都与一个合作社合作。

2) 合作社独占某些农户，抑制了合作社之间的水平竞争程度，降低了农户总产量，降低了农户总利润和社会企业总利润，增加了合作社的利润。

前文中考虑了合作社独占某些农户，以及合作社共享所有农户这两种极端情况。现在，考虑合作社独占某些农户，同时共享一部分农户的情况。根据前面合作社共享和独占农户的结果及分析，有理由作出如下推论：

推论1 　在合作社既独占一部分农户，又共享某些农户的情况下，推测各级最优决策如下：

1) 农户总产量、总利润介于合作社完全共享和完全独占农户两种情况下产生的最优结果之间；

2) 合作社的最优农户规模介于合作社完全共享和完全独占农户两种情况下的最优规模之间。

4 结论

本文建立了由农户、合作社和社会企业组成的三级农产品供应链，分析了水平竞争对供应链中各级成员的利润的影响。同时，还分析了合作社共享供货农户和独占供货农户对供应链的影响。以改善农户弱势地位，提高农户收入为目标，建立对农户最有利的农产品供应链。主要结论如下。

1) 合作社和社会企业之间存在水平竞争时，农户总产量和总利润均增加，农户总利润占供应链的总利润的比值增大，农户的弱势地位得到了改善，竞争程度越大，越明显。水平竞争更能体现合作社的益贫性。

2) 合作社利润返还政策并不能提高农户的利润。

3) 定量计算出农户非对称时， $\left( {S, 1, 1} \right)$ 模型和 $\left( {S, I, R} \right)$ 模型中合作社利润最大化时的最优农户规模的表达式，对合作社的规模设计有一定的指导作用，这是现有文献没有研究过的。合作社之间的水平竞争会缩小合作社的最优农户规模，合作社之间水平竞争越激烈，最优农户规模越小。

4) 相对于合作社共享供货农户来说，合作社独占某些供货农户会抑制合作社之间的水平竞争，对农户不利。

因此，对农户最有利的“农户+合作社+社会企业”三级农产品供应链的结构应该为：适当规模的农户，多个合作社和多个社会企业，并且合作社共享所有供货农户。