我国经济建设和工业化进程取得了举世瞩目的成就，但也带来了资源短缺和环境污染等严重问题。再制造是以废旧机电产品为毛坯，运用高新再制造技术对其加工，使再制造产品性能恢复甚至超过新品的过程。它具有节约资源、降低能耗、减少污染物排放的显著功效(可节能60%、节材料70%、减少污染物排放80%以上)^[1-2]。因此，它已被各国政府列为节能环保类战略新兴产业，并成为发展循环经济和实现可持续发展的重要战略手段之一^[3-4]。

再制造闭环供应链定价问题是目前研究的热点^[5]。王玉燕等^[6]和Maiti 等^[7]采用Stackelberg博弈和Nash均衡探讨了包含制造商、零售商与第三方回收商的闭环供应链定价策略；王文宾等^[8]和Gao等^[9]采用Stackelberg博弈和Nash均衡探讨集中式和分散式决策情形的二级闭环供应链定价问题，并运用二部定价契约分析制造商主导、零售商主导和垂直Nash均衡等不同渠道权力结构下各主体利益协调问题；郭亚军等^[10]、葛静燕等^[11]分别研究了第三方回收和零售商回收情况下的二级闭环供应链定价策略；孙浩等^[12]、郭军华等^[13]和刘家国等^[14]则分别单独考虑新产品与再制造品价格差异或质量差异，探讨了制造商与零售商的二级再制造闭环供应链最优差别定价问题。此外，洪宪培等^[15] 研究了闭环供应链定价与回收渠道选择问题。国内外学者在再制造闭环供应链定价研究方面取得了丰富成果，然而现有研究仍未成熟，尚未探讨不同渠道权力结构下考虑回收产品质量差异和新产品与再制造品价格差异这一复杂情境的最优定价问题。而该问题是目前各成员企业最为关注的难点。

针对上述情况，本研究拟构建综合考虑不同渠道权力结构和产品双重差异(回收产品拆解质量差异和新产品、再制造产品价格差异)的三级再制造闭环供应链最优定价决策模型，综合运用Stackelberg主从博弈与微分极值法进行模型求解，从而获得各成员企业的单位新产品、再制造品的最优批发价与零售价、单位废旧产品最优回收价及其相关利润。在此基础上，着重分析废旧产品回收率和产品替代系数等关键参数对各成员企业的最优定价及其利润的影响，从而为再制造闭环供应链各成员企业的科学决策提供参考。

1 问题描述及模型基本假设 1.1 问题描述

本文所研究的三级再制造闭环供应链RCLSC(remanufacturing closed-loop supply chain)的结构及其运作流程如图1所示。该闭环供应链具有不同的渠道权力结构j( $j \in \{ {\rm{M}},{\rm{R}},{\rm{T}}\} $ )，分别表示以制造/再制造商M、零售商R和回收拆解商T为渠道权力主导。在该再制造闭环供应链中，制造/再制造商M包含制造与再制造两个分部，分别负责新产品和再制造产品生产，并通过零售商R销售来满足消费者对两种产品的需求。其中，单位新产品与再制造产品的批发价 $w_{\rm{n}}^{{j}}$ 与 $w_{\rm{r}}^{{j}}$ 、零售价 $p_{\rm{n}}^{{j}}$ 与 $p_{\rm{r}}^{{j}}$ 之间均存在价格差异。而回收拆解商 ${\rm{T}}$ 以一定回收价格 $c_{\rm{t}}^{{j}}$ 从消费者处回收废旧产品并对其进行拆解，形成质量等级为i( $i = 1,2,3$ )的拆解产品，3种质量等级拆解产品的比率为 ${l_1},{l_2},{l_3}$ 。之后，制造/再制造商M以单位拆解产品回收价格 $m_{\rm{t}}^{{i}}$ 从回收拆解商T处回收质量等级为 $i$ 的拆解产品，并用于再制造分部开展再制造。这样就形成了一个完整的再制造闭环供应链。

1.2 模型符号定义及基本假设 1.2.1 模型的符号定义

研究所涉及的符号及其具体含义如表1所示。

在表1中，单位新产品与再制造产品的批发价 $w_{\rm{n}}^j$ , $w_{\rm{r}}^j$ 、零售价 $p_{\rm{n}}^j$ , $p_{\rm{r}}^j$ 以及单位废旧产品回收价格 $c_{\rm{t}}^j$ 为决策变量，废旧产品回收率 $\tau $ 、产品替代系数 $\delta $ 以及质量等级比率 ${l_1},{l_2},{l_3}$ 为该再制造闭环供应链的关键参数。

1.2.2 模型基本假设

为了确保研究的科学性和针对性，本文结合现实情况提出如下基本假设。

1) 新产品与再制造产品的需求量函数 ${D_{\rm{n}}},{D_{\rm{r}}}$ 是线性的。设 $D_{\rm{n}}^{} = {d_{\rm{n}}} - \varphi p_{\rm{n}}^j + \delta p_{\rm{r}}^j$ , $D_{\rm{r}}^{} = {d_{\rm{r}}} - \varphi p_{\rm{r}}^j + \delta p_{\rm{n}}^j$ , 其中 $D_{\rm{n}}^{} {\text{＞}} D_{\rm{r}}^{} {\text{＞}} 0$ , ${d_{\rm{n}}}{\text{＞}} {d_{\rm{r}}} {\text{＞}} 0$ , $\varphi {\text{＞}} \delta {\text{＞}} 0$ 。它们表示需求量函数 ${D_{\rm{n}}}, {D_{\rm{r}}}$ 分别以新产品市场容量 ${d_{\rm{n}}}$ 和再制造产品容量 ${d_{\rm{r}}}$ 为基数，其变化幅度受单位新产品零售价 $p_{\rm{n}}^j$ 和单位再制造零售价 $p_{\rm{r}}^j$ 高低的影响。而 $\varphi {\text{＞}} \delta {\text{＞}} 0$ 表示单位产品零售价对其自身需求量的影响要大于单位替代产品零售价对该产品需求量的影响。

2) 废旧产品回收量函数 ${D_{\rm{t}}}$ 是线性的。设 ${D_{\rm{t}}} = \tau ({D_{\rm{n}}} + {D_{\rm{r}}}){\rm{ + }}\alpha c_{\rm{t}}^j$ ，表示回收量函数 ${D_{\rm{t}}}$ 以 $\tau ({D_{\rm{n}}} + {D_{\rm{r}}})$ 为废旧产品回收的基数，其变化幅度受单位废旧产品回收价格 $c_{\rm{t}}^j$ 大小的影响。

3) 单位废旧产品拆解后分为3个质量等级(采用 $i = 1,2,3$ 表示)，其比率分别为 ${l_1},{l_2},{l_3}$ 。不同质量等级的单位拆解产品回购价格 $m_{\rm{t}}^i$ 与单位拆解产品再制造成本 $c_{\rm{r}}^i$ 各不相同，其满足如下关系： $m_{\rm{t}}^1{\text{＞}} m_{\rm{t}}^2 {\text{＞}} m_{\rm{t}}^3$ ， $c_{\rm{r}}^1 {\text{＜}} c_{\rm{r}}^2 {\text{＜}} c_{\rm{r}}^3$ 。而单位拆解产品平均回购价格为 ${m_{\rm{t}}} = $ $ \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^3 {{l_i}m_{\rm{t}}^i} $ ，单位再制造产品平均生产成本为 ${c_{\rm{r}}} = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^3 {{l_i}c_{\rm{r}}^i} $ 。

4) 为了确保制造与再制造生产能够获得利润，单位产品的批发价、零售价以及生产、再制造成本存在如下关系： $p_{\rm{r}}^j {\text{＞}} w_{\rm{r}}^j {\text{＞}} {c_{\rm{r}}} + {m_{\rm{t}}},p_{\rm{n}}^j {\text{＞}} w_{\rm{n}}^j {\text{＞}} {c_{\rm{n}}} + {m_{\rm{t}}}$ 。同时为了全面实施再制造，单位新产品生产成本 ${c_{\rm{n}}}$ 与单位再制造产品平均生产成本 ${c_{\rm{r}}}$ 之间存在如下关系： ${c_{\rm{n}}} {\text{＞}} {c_{\rm{r}}}{\rm{ + }}{m_{\rm{t}}}$ 。

5) RCLSC各成员企业均按照自身利益最大化原则开展决策，且成员企业之间信息透明

2 不同渠道权力结构下RCLSC最优定价策略 2.1 制造/再制造商M为渠道权力主导的RCLSC最优定价策略

在以制造/再制造商M为主导的再制造闭环供应链中，制造/再制造商M是Stackelberg博弈的领导者，而零售商R和回收拆解商T为跟随者。前者首先决定单位新产品与再制造产品的批发价 $w_{\rm{n}}^{\rm{M}},w_{\rm{r}}^{\rm{M}}$ ，后者则根据前者的定价决策确定单位新产品与再制造产品的零售价 $p_{\rm{n}}^{\rm{M}},p_{\rm{r}}^{\rm{M}}$ 以及单位废旧产品回收价格 $c_{\rm{t}}^{\rm{M}}$ 。此时，该闭环供应链各成员企业的利润函数如下。

1) 制造/再制造商M的利润 $\pi _{\rm{M}}^{\rm{M}}$ 为

$\begin{split} &\quad\quad {\text{π}} _{\rm{M}}^{\rm{M}} = {D_{\rm{n}}}(w_{\rm{n}}^{\rm{M}} - {c_{\rm{n}}}) + {D_{\rm{r}}}(w_{\rm{r}}^{\rm{M}} - {c_{\rm{r}}}) - {D_{\rm{t}}}{m_{\rm{t}}} =\\ &({d_{\rm{n}}} - \varphi p_{\rm{n}}^{\rm{M}} + \delta p_{\rm{r}}^{\rm{M}})(w_{\rm{n}}^{\rm{M}} - {c_{\rm{n}}}) + ({d_{\rm{r}}} - \varphi p_{\rm{r}}^{\rm{M}} + \delta p_{\rm{n}}^{\rm{M}})(w_{\rm{r}}^{\rm{M}} - {c_{\rm{r}}}) -\\ &[\tau ({d_{\rm{n}}} - \varphi p_{\rm{n}}^{\rm{M}} + \delta p_{\rm{r}}^{\rm{M}} + {d_{\rm{r}}} - \varphi p_{\rm{r}}^{\rm{M}} + \delta p_{\rm{n}}^{\rm{M}}){\rm{ + }}\alpha c_{\rm{t}}^{\rm{M}}]{m_{\rm{t}}}{\text{。}}\end{split}$

2) 零售商R的利润 ${\text{π}} _{\rm{R}}^{\rm{M}}$ 为

$\begin{split} &\quad\quad{\text{π}} _{\rm{R}}^{\rm{M}} = {D_{\rm{n}}}(p_{\rm{n}}^{\rm{M}} - w_{\rm{n}}^{\rm{M}}) + {D_{\rm{r}}}(p_{\rm{r}}^{\rm{M}} - w_{\rm{r}}^{\rm{M}}){\rm{ = }}\\&({d_{\rm{n}}} - \varphi p_{\rm{n}}^{\rm{M}} + \delta p_{\rm{r}}^{\rm{M}})(p_{\rm{n}}^{\rm{M}} - w_{\rm{n}}^{\rm{M}}) + ({d_{\rm{r}}} - \varphi p_{\rm{r}}^{\rm{M}} + \delta p_{\rm{n}}^{\rm{M}})(p_{\rm{r}}^{\rm{M}} - w_{\rm{r}}^{\rm{M}}){\text{。}}\end{split}$

3) 回收拆解商T的利润 ${\text{π}} _{\rm{T}}^{\rm{M}}$ 为

$\begin{split}&\quad\quad{\text{π}} _{\rm{T}}^{\rm{M}} = {D_{\rm{t}}}({m_{\rm{t}}} - c_{\rm{t}}^{\rm{M}} - {s_{\rm{t}}}){\rm{ = }}\\&[\tau ({d_{\rm{n}}} - \varphi p_{\rm{n}}^{\rm{M}} + \delta p_{\rm{r}}^{\rm{M}} + {d_{\rm{r}}} - \varphi p_{\rm{r}}^{\rm{M}} + \delta p_{\rm{n}}^{\rm{M}}){\rm{ + }}\alpha c_{\rm{t}}^{\rm{M}}]({m_{\rm{t}}} - c_{\rm{t}}^{\rm{M}} - {s_{\rm{t}}}){\text{。}}\end{split}$

在上述利润函数中， ${\text{π}} _{\rm{M}}^{\rm{M}}$ 函数在 $w_{\rm{n}}^{\rm{M}}$ 和 $w_{\rm{r}}^{\rm{M}}$ 处的海赛矩阵为负定的，因此 ${\text{π}} _{\rm{M}}^{\rm{M}}$ 是关于变量 $w_{\rm{n}}^{\rm{M}}$ 和 $w_{\rm{r}}^{\rm{M}}$ 的严格联合凹函数。同理， ${\text{π}} _{\rm{R}}^{\rm{M}}$ 是关于变量 $p_{\rm{n}}^{\rm{M}}$ 和 $p_{\rm{r}}^{\rm{M}}$ 的严格联合凹函数。与此同时 $\displaystyle\frac{{\text{∂} {\text{π}}_{\rm{T}}^{\rm{M}}}}{{\text{∂} c_{\rm{t}}^{\rm{M}}}} {\text{＜}} 0$ ，因此 ${\text{π}} _{\rm{T}}^{\rm{M}}$ 是关于变量 $c_{\rm{t}}^{\rm{M}}$ 的严格凹函数，它们均存在唯一解(由于篇幅限制，此处不加以详细证明。此外，2.2和2.3节对应部分情况采用类似处理)。利用逆向归纳法进行求解，可以获得各成员企业的最优定价策略和最优利润，具体决策问题如下：

$\quad\quad\mathop {\max }\limits_{w_{\rm{n}}^{\rm{M}},w_{\rm{r}}^{\rm{M}}} ({\text{π}}_{\rm{M}}^{\rm{M}}),\;\;\;{\rm{s}}.{\rm{t}}.\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_{p_{\rm{n}}^{\rm{M}},p_{\rm{r}}^{\rm{M}}} ({\text{π}} _{\rm{R}}^{\rm{M}}),\\\mathop {\max }\limits_{c_{\rm{t}}^{\rm{M}}} ({\text{π}} _{\rm{T}}^{\rm{M}}){\text{。}}\end{array} \right.$

2.2 零售商R为渠道权力主导的RCLSC最优定价策略

在以零售商R为主导的再制造闭环供应链中，零售商R作为Stackelberg博弈的领导者，此时回收拆解商T和制造/再制造商M为跟随者。零售商R首先根据回收拆解商T和制造/再制造商M的反应函数决定单位新产品与再制造品的零售价 $p_{\rm{n}}^{\rm{R}}\text{与}p_{\rm{r}}^{\rm{R}}$ ，后者随后根据零售商R的定价决策确定单位新产品与再制造品的批发价 $w_{\rm{n}}^{\rm{R}}、w_{\rm{r}}^{\rm{R}}$ 以及单位废旧产品的回收价 $c_{\rm{t}}^{\rm{R}}$ 。此时，该再制造闭环供应链的各成员企业利润如下。

1) 零售商R的利润 ${\text{π}} _{\rm{R}}^{\rm{R}}$ 为

$\begin{split}&\quad\quad{\text{π}} _{\rm{R}}^{\rm{R}} = {D_{\rm{n}}}(p_{\rm{n}}^{\rm{R}} - w_{\rm{n}}^{\rm{R}}) + {D_{\rm{r}}}(p_{\rm{r}}^{\rm{R}} - w_{\rm{r}}^{\rm{R}}) =\\&\left( {{d_{\rm{n}}} - \varphi p_{\rm{n}}^{\rm{R}} + \delta p_{\rm{r}}^{\rm{R}}} \right)(p_{\rm{n}}^{\rm{R}} - w_{\rm{n}}^{\rm{R}}) + \left( {{d_{\rm{r}}} - \varphi p_{\rm{r}}^{\rm{R}} + \delta p_{\rm{n}}^{\rm{R}}} \right)(p_{\rm{r}}^{\rm{R}} - w_{\rm{r}}^{\rm{R}}){\text{。}}\end{split}$

2) 回收拆解商T的利润 ${\text{π}} _{\rm{T}}^{\rm{R}}$ 为

$\begin{split}&\quad\quad{\text{π}} _{\rm{T}}^{\rm{R}} = {D_{\rm{t}}}({m_{\rm{t}}} - c_{\rm{t}}^{\rm{R}} - {s_{\rm{t}}}) =\\& [\tau ({d_{\rm{n}}} -\varphi p_{\rm{n}}^{\rm{R}} + \delta p_{\rm{r}}^{\rm{R}} + {d_{\rm{r}}} - \varphi p_{\rm{r}}^{\rm{R}} + \delta p_{\rm{n}}^{\rm{R}}){\rm{ + }}\alpha c_{\rm{t}}^{\rm{R}}]({m_{\rm{t}}} - c_{\rm{t}}^{\rm{R}} - {s_{\rm{t}}}){\text{。}}\end{split}$

3) 制造/再制造商M的利润 ${\text{π}} _{\rm{M}}^{\rm{R}}$ 为

$\begin{split}& \quad\quad {\text{π}} _{\rm{M}}^{\rm{R}} = {D_{\rm{n}}}(w_{\rm{n}}^{\rm{R}} - {c_{\rm{n}}}) + {D_{\rm{r}}}(w_{\rm{r}}^{\rm{R}} - {c_{\rm{r}}}) - {D_{\rm{t}}}{m_{\rm{t}}} = \\&({d_{\rm{n}}} - \varphi p_{\rm{n}}^{\rm{R}} + \delta p_{\rm{r}}^{\rm{R}})(w_{\rm{n}}^{\rm{R}} - {c_{\rm{n}}}) + ({d_{\rm{r}}} - \varphi p_{\rm{r}}^{\rm{R}} + \delta p_{\rm{n}}^{\rm{R}})(w_{\rm{r}}^{\rm{R}} - {c_{\rm{r}}})-\\&[\tau ({d_{\rm{n}}} - \varphi p_{\rm{n}}^{\rm{R}} + \delta p_{\rm{r}}^{\rm{R}} + {d_{\rm{r}}} - \varphi p_{\rm{r}}^{\rm{R}} + \delta p_{\rm{n}}^{\rm{R}}){\rm{ + }}\alpha c_{\rm{t}}^{\rm{R}}]{m_{\rm{t}}}{\text{。}} \end{split}$

在上述利润函数中，由于 ${\text{π}} _{\rm{R}}^{\rm{R}}$ 函数在 $p_{\rm{n}}^{\rm{R}}$ 和 $p_{\rm{r}}^{\rm{R}}$ 处的海赛矩阵为负定的，因此 ${\text{π}} _{\rm{R}}^{\rm{R}}$ 是关于变量 $p_{\rm{n}}^{\rm{R}}$ 和 $p_{\rm{r}}^{\rm{R}}$ 的严格联合凹函数。与此同时， ${\text{π}} _{\rm{M}}^{\rm{R}}$ 是关于变量 $w_{\rm{n}}^{\rm{R}}$ 和 $w_{\rm{r}}^{\rm{R}}$ 的严格联合凹函数。而计算获得 $\displaystyle\frac{{\text{∂} {\text{π}} _{\rm{T}}^{\rm{R}}}}{{\text{∂} c_{\rm{t}}^{\rm{R}}}}{\text{＜}}0$ ，因此 ${\text{π}} _{\rm{T}}^{\rm{R}}$ 是关于变量 $c_{\rm{t}}^{\rm{R}}$ 的严格凹函数,它们均存在唯一解。采用逆向归纳求解获得各成员企业的最优定价策略和最优利润，具体决策问题如下：

$\quad\quad\mathop {\max }\limits_{p_{\rm{n}}^{\rm{R}},p_{\rm{r}}^{\rm{R}}} ({\text{π}} _{\rm{R}}^{\rm{R}}),\;\;\;{\rm{s}}.{\rm{t}}.\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_{w_{\rm{n}}^{\rm{R}},w_{\rm{r}}^{\rm{R}}} ({\text{π}} _{\rm{M}}^{\rm{R}}),\\\mathop {\max }\limits_{c_{\rm{t}}^{\rm{R}}} ({\text{π}} _{\rm{T}}^{\rm{R}}){\text{。}}\end{array} \right.$

2.3 回收拆解商T为渠道权力主导的RCLSC最优定价策略

在以回收拆解商T为主导的RCLSC中，作为Stackelberg博弈领导者，回收拆解商T首先根据制造/再制造商M和零售商R的反应函数决定单位废旧产品的回收价格 $c_{\rm{t}}^{\rm{T}}$ 。作为Stackelberg博弈跟随者，制造/再制造商M和零售商R则根据回收拆解商T的定价决策来确定单位新产品与再制造品的批发价 $ w_{\rm{n}}^{\rm{T}},$ $w_{\rm{r}}^{\rm{T}}$ 以及零售价 $p_{\rm{n}}^{\rm{T}},p_{\rm{r}}^{\rm{T}}$ 。此时，各成员企业利润如下。

1) 回收拆解商T的利润 ${\text{π}} _{\rm{T}}^{\rm{R}}$ 为

$\begin{split}&\quad\quad{\text{π}} _{\rm{T}}^{\rm{T}} = {D_{\rm{t}}}({m_{\rm{t}}} - c_{\rm{t}}^{\rm{T}} - {s_{\rm{t}}}) = \\&[\tau ({d_{\rm{n}}} - \varphi p_{\rm{n}}^{\rm{T}} + \delta p_{\rm{r}}^{\rm{T}} + {d_{\rm{r}}} - \varphi p_{\rm{r}}^{\rm{T}} + \delta p_{\rm{n}}^{\rm{T}}){\rm{ + }}\alpha c_{\rm{t}}^{\rm{T}}]({m_{\rm{t}}} - c_{\rm{t}}^{\rm{T}} - {s_{\rm{t}}}){\text{。}}\end{split}$

2) 制造/再制造商M的利润 ${\text{π}} _{\rm{M}}^{\rm{M}}$ 为

$\begin{split}&\quad\quad {\text{π}} _{\rm{M}}^{\rm{T}} = {D_{\rm{n}}}(w_{\rm{n}}^{\rm{T}} - {c_{\rm{n}}}) + {D_{\rm{r}}}(w_{\rm{r}}^{\rm{T}} - {c_{\rm{r}}}) - {D_{\rm{t}}}{m_{\rm{t}}} = \\ &({d_{\rm{n}}} - \varphi p_{\rm{n}}^{\rm{T}} + \delta p_{\rm{r}}^{\rm{T}})(w_{\rm{n}}^{\rm{T}} - {c_{\rm{n}}}) + ({d_{\rm{r}}} - \varphi p_{\rm{r}}^{\rm{T}} + \delta p_{\rm{n}}^{\rm{T}})(w_{\rm{r}}^{\rm{T}} - {c_{\rm{r}}}) -\\ & [\tau ({d_{\rm{n}}} - \varphi p_{\rm{n}}^{\rm{T}} + \delta p_{\rm{r}}^{\rm{T}} + {d_{\rm{r}}} - \varphi p_{\rm{r}}^{\rm{T}} + \delta p_{\rm{n}}^{\rm{T}}){\rm{ + }}\alpha c_{\rm{t}}^{\rm{T}}]{m_{\rm{t}}}{\text{。}}\end{split}$

3) 零售商R的利润 ${\text{π}} _{\rm{R}}^{\rm{R}}$ 为

${\text{π}}_{\rm{R}}^{\rm{T}} = ( {{d_{\rm{n}}} - \varphi p_{\rm{n}}^{\rm{T}} + \delta p_{\rm{r}}^{\rm{T}}} )(p_{\rm{n}}^{\rm{T}} - w_{\rm{n}}^{\rm{T}}) + ( {{d_{\rm{r}}} - \varphi p_{\rm{r}}^{\rm{T}} + \delta p_{\rm{n}}^{\rm{T}}} )(p_{\rm{r}}^{\rm{T}} - w_{\rm{r}}^{\rm{T}})$

在上述利润函数中，由于 ${\text{π}}_{\rm{R}}^{\rm{T}}$ 函数在 $p_{\rm{n}}^{\rm{T}}$ 和 $p_{\rm{r}}^{\rm{T}}$ 处的海赛矩阵为负定的，因此 ${\text{π}} _{\rm{R}}^{\rm{T}}$ 是关于变量 $p_{\rm{n}}^{\rm{T}}$ 和 $p_{\rm{r}}^{\rm{T}}$ 的严格联合凹函数。采用上述同样判断方法，获知 ${\text{π}} _{\rm{M}}^{\rm{T}}$ 是关于变量 $w_{\rm{n}}^{\rm{T}}$ 和 $w_{\rm{r}}^{\rm{T}}$ 的严格联合凹函数。与此同时，由于 $\displaystyle\frac{{\text{∂} {\text{π}} _{\rm{T}}^{\rm{T}}}}{{\text{∂} c_{\rm{t}}^{\rm{T}}}} {\text{＜}} 0$ ，因此 ${\text{π}} _{\rm{T}}^{\rm{T}}$ 是关于变量 $c_{\rm{t}}^{\rm{T}}$ 的严格凹函数，它们同样存在唯一解。同样采用逆向归纳求解获得各成员企业的最优定价策略和最优利润，具体决策问题如下：

$\quad\quad\mathop {\max }\limits_{c_{\rm{t}}^{\rm{T}}} (\pi _{\rm{T}}^{\rm{T}}){\text{。}}\;\;\;\;\;{\rm{s}}.{\rm{t}}.\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_{w_{\rm{n}}^{\rm{T}},w_{\rm{r}}^{\rm{T}}} (\pi _{\rm{M}}^{\rm{T}}),\\\mathop {\max }\limits_{p_{\rm{n}}^{\rm{T}},p_{\rm{r}}^{\rm{T}}} (\pi _{\rm{R}}^{\rm{T}}){\text{。}}\end{array} \right.$

不同渠道权力结构下的制造/再制造商M、零售商R和回收拆解商T的最优定价及其利润的均衡解如表2所示。

3 3种渠道权力结构下RCLSC的成员企业利润比较

命题1 　1) 当制造/再制造商M和零售商R为渠道权力主导时，其对应的成员企业利润 ${\text{π}} _{\rm{M}}^{\rm{M}}$ 和 ${\text{π}} _{\rm{R}}^{\rm{R}}$ 最大，即 ${\text{π}} _{\rm{M}}^{\rm{M}} {\text{＞}} {\text{π}} _{\rm{M}}^{\rm{R}}$ 且 ${\text{π}} _{\rm{M}}^{\rm{M}} {\text{＞}} {\text{π}} _{\rm{M}}^{\rm{T}}$ ， ${\text{π}} _{\rm{R}}^{\rm{R}} {\text{＞}} {\text{π}} _{\rm{R}}^{\rm{M}} {\text{＞}} {\text{π}} _{\rm{R}}^{\rm{T}}$ ；而当回收拆解商T为渠道权力主导时，其利润 ${\text{π}} _{\rm{T}}^{\rm{T}}$ 却最小，即 ${\text{π}} _{\rm{T}}^{\rm{T}} {\text{＜}} $ ${\text{π}} _{\rm{T}}^{\rm{M}} = {\text{π}} _{\rm{T}}^{\rm{R}}$ 。2) 以制造/再制造商M和零售商R为渠道权力主导的RCLSC总利润 ${{\text{π}} ^{\rm{M}}},{{\text{π}} ^{\rm{R}}}$ 相等，且优于回收拆解商为渠道权力主导的总利润 ${{\text{π}} ^{\rm{T}}}$ ，即 ${{\text{π}} ^{\rm{M}}}{\rm{ = }}{{\text{π}} ^{\rm{R}}} {\text{＞}} {{\text{π}} ^{\rm{T}}}$ 。

证明 　1)由表2可知， ${\text{π}} _{\rm{M}}^{\rm{M}} - {\text{π}} _{\rm{M}}^{\rm{T}} = \displaystyle\frac{{{\tau ^2}m_{\rm{t}}^2(\varphi - \delta )}}{{16}}$ 。根据假设1)中的 $\varphi {\text{＞}} \delta $ ，可知 ${\text{π}} _{\rm{M}}^{\rm{M}} {\text{＞}} {\text{π}} _{\rm{M}}^{\rm{T}}$ 。同时，依据表2可以获得如下等式：

$\begin{split}&\quad\quad{\text{π}} _{\rm{M}}^{\rm{M}}{\rm{ - }}{\text{π}} _{\rm{M}}^{\rm{R}} = A\displaystyle\frac{{\varphi [{d_{\rm{n}}}{\rm{ - }}\varphi ({c_{\rm{n}}} + \displaystyle\frac{{\tau {m_{\rm{t}}}}}{2})] + \delta [{d_{\rm{r}}} + \delta ({c_{\rm{n}}} + \displaystyle\frac{{\tau {m_{\rm{t}}}}}{2})]}}{{4({\varphi ^2} - {\delta ^2})}} +\\&B\displaystyle\frac{{\varphi [{d_{\rm{r}}}{\rm{ - }}\varphi ({c_{\rm{r}}} + \displaystyle\frac{{\tau {m_{\rm{t}}}}}{2})] + \delta [{d_{\rm{n}}} + \delta ({c_{\rm{r}}} + \displaystyle\frac{{\tau {m_{\rm{t}}}}}{2})]}}{{4({\varphi ^2}{\rm{ - }}{\delta ^2})}}{\text{。}}\end{split}$

结合假设1)中的 ${d_{\rm{n}}} {\text{＞}} \varphi p_{\rm{n}}^j{\rm{ - }}\delta p_{\rm{r}}^j$ ， ${d_{\rm{r}}} {\text{＞}} \varphi p_{\rm{r}}^j{\rm{ - }}\delta p_{\rm{n}}^j$ 以及假设4)中的 $p_{\rm{n}}^j {\text{＞}} \omega _{\rm{n}}^j {\text{＞}} {c_{\rm{n}}} + {m_{\rm{t}}},p_{\rm{r}}^j {\text{＞}} \omega _{\rm{r}}^j {\text{＞}} {c_{\rm{r}}} + {m_{\rm{t}}}$ ，可以获得以下不等式：

$\begin{split}&\quad\quad{\text{π}} _{\rm{M}}^{\rm{M}}{\rm{ - }}{\text{π}} _{\rm{M}}^{\rm{R}} {\text{＞}} A\displaystyle\frac{{\varphi [{d_{\rm{n}}}{\rm{ - }}\varphi p_{\rm{n}}^j] + \delta [{d_{\rm{r}}} + \delta ({c_{\rm{n}}} + \displaystyle\frac{{\tau {m_{\rm{t}}}}}{2})]}}{{4({\varphi ^2}{\rm{ - }}{\delta ^2})}} +\\&B\displaystyle\frac{{\varphi ({d_{\rm{r}}}{\rm{ - }}\varphi p_{\rm{r}}^j) + \delta [{d_{\rm{n}}} + \delta ({c_{\rm{r}}} + \displaystyle\frac{{\tau {m_{\rm{t}}}}}{2})]}}{{4({\varphi ^2}{\rm{ - }}{\delta ^2})}} {\text{＞}} 0{\text{。}}\end{split}$

由此可得 ${\text{π}} _{\rm{M}}^{\rm{M}} {\text{＞}} {\text{π}} _{\rm{M}}^{\rm{R}}$ 。综合上述分析，可以获得 ${\text{π}} _{\rm{M}}^{\rm{M}} {\text{＞}} {\text{π}} _{\rm{M}}^{\rm{R}}$ 且 ${\text{π}} _{\rm{M}}^{\rm{M}} {\text{＞}} {\text{π}} _{\rm{M}}^{\rm{T}}$ 。

2) 根据表2容易获知 ${\text{π}} _{\rm{R}}^{\rm{R}}{\rm{ = 2}}{\text{π}} _{\rm{R}}^{\rm{M}}$ ，由此可得 ${\text{π}} _{\rm{R}}^{\rm{R}} {\text{＞}} $ $ {\text{π}} _{\rm{R}}^{\rm{M}}$ 。同样，依据表2可得如下等式：

$\begin{split}& {\text{π}} _{\rm{R}}^{\rm{M}}{\rm{ - }}{\text{π}} _{\rm{R}}^{\rm{T}} \!=\! \left[\frac{{\varphi {d_{\rm{n}}} \!+\! \delta {d_{\rm{r}}}}}{{4({\varphi ^2}{\rm{ - }}{\delta ^2})}}{\rm{ - }}\frac{{2{c_{\rm{n}}} \!+\! \tau {m_{\rm{t}}}}}{8}\right]A+\left[\frac{{\varphi {d_{\rm{r}}} \!+\! \delta {d_{\rm{n}}}}}{{4({\varphi ^2}{\rm{ - }}{\delta ^2})}}{\rm{ - }}\frac{{2{c_{\rm{r}}} \!+\! \tau {m_{\rm{t}}}}}{8}\right]B{\rm{ - }}\left[\frac{{\varphi {d_{\rm{n}}} \!+\! \delta {d_{\rm{r}}}}}{{4({\varphi ^2}{\rm{ - }}{\delta ^2})}}{\rm{ - }}\frac{{2{c_{\rm{n}}} \!+\! \tau {m_{\rm{t}}}}}{8}{\rm{ - }}\frac{{\tau {m_{\rm{t}}}}}{8}\right]C\!{\rm{ - }}\left[\frac{{\varphi {d_{\rm{r}}} + \delta {d_{\rm{n}}}}}{{4({\varphi ^2}{\rm{ - }}{\delta ^2})}}{\rm{ - }}\frac{{2{c_{\rm{r}}} \!+\! \tau {m_{\rm{t}}}}}{8}{\rm{ - }}\frac{{\tau {m_{\rm{t}}}}}{8}\right]D{\text{。}}\end{split}$

由于

$\quad\quad\left\{ \begin{gathered} \frac{{\varphi {d_{\rm{n}}} + \delta {d_{\rm{r}}}}}{{4({\varphi ^2}{\rm{ - }}{\delta ^2})}}{\rm{ - }}\frac{{2{c_{\rm{n}}} \!+\! \tau {m_{\rm{t}}}}}{8} \!{\text{＞}}\! \frac{{\varphi {d_{\rm{n}}} + \delta {d_{\rm{r}}}}}{{4({\varphi ^2}{\rm{ - }}{\delta ^2})}}{\rm{ - }}\frac{{2{c_{\rm{n}}} + \tau {m_{\rm{t}}}}}{8}{\rm{ - }}\frac{{\tau {m_{\rm{t}}}}}{8}, \\ \frac{{\varphi {d_{\rm{r}}} + \delta {d_{\rm{n}}}}}{{4({\varphi ^2}{\rm{ - }}{\delta ^2})}}{\rm{ - }}\frac{{2{c_{\rm{r}}}\! +\! \tau {m_{\rm{t}}}}}{8}\!{\text{＞}} \!\frac{{\varphi {d_{\rm{r}}} + \delta {d_{\rm{n}}}}}{{4({\varphi ^2}{\rm{ - }}{\delta ^2})}}{\rm{ - }}\frac{{2{c_{\rm{r}}} + \tau {m_{\rm{t}}}}}{8}{\rm{ - }}\frac{{\tau {m_{\rm{t}}}}}{8}{\text{。}} \\ \end{gathered} \right.$

同时 $\left\{ \begin{gathered} A - C = (\varphi - \delta )\displaystyle\frac{{\tau {m_{\rm{t}}}}}{8} {\text{＞}} 0, \\ B - D = (\varphi - \delta )\displaystyle\frac{{\tau {m_{\rm{t}}}}}{8} {\text{＞}} 0{\text{。}} \\ \end{gathered} \right.$

依据上述等式可以获得如下不等式 ${\text{π}} _{\rm{R}}^{\rm{M}}{\rm{ - }}{\text{π}} _{\rm{R}}^{\rm{T}} {\text{＞}} 0$ 。根据上述分析结果，可以获得 ${\text{π}} _{\rm{R}}^{\rm{R}} {\text{＞}} {\text{π}} _{\rm{R}}^{\rm{M}} {\text{＞}} {\text{π}} _{\rm{R}}^{\rm{T}}$ 。

3) 根据表2可知， ${\text{π}} _{\rm{T}}^{\rm{M}}{\rm{ = }}{\text{π}} _{\rm{T}}^{\rm{R}}$ 。同时，可以获得如下等式：

$\begin{split}&\quad\quad{\text{π}} _{\rm{T}}^{\rm{M}}{\rm{ - }}{\text{π}} _{\rm{T}}^{\rm{T}}{\rm{ = }}(\displaystyle\frac{G}{8} + \tau A + \tau B)({m_{\rm{t}}} - {s_{\rm{t}}} - \displaystyle\frac{G}{{8\alpha }}) - \\&[(\displaystyle\frac{G}{8} + \tau A + \tau B - \displaystyle\frac{{(\varphi - \delta ){\tau ^2}{m_{\rm{t}}}}}{8})({m_{\rm{t}}} - {s_{\rm{t}}} - \displaystyle\frac{G}{{8\alpha }} - \displaystyle\frac{{(\varphi - \delta ){\tau ^2}{m_{\rm{t}}}}}{8})]{\text{。}}\end{split}$

由于 $\displaystyle\frac{G}{8} + \tau A + \tau B {\text{＞}} \displaystyle\frac{G}{8} + \tau A + \tau B - \displaystyle\frac{{(\varphi - \delta ){\tau ^2}{m_{\rm{t}}}}}{8}$ ， ${m_{\rm{t}}} - {s_{\rm{t}}} - $ $ \displaystyle\frac{G}{{8\alpha }} {\text{＞}} {m_{\rm{t}}} - {s_{\rm{t}}} - \displaystyle\frac{G}{{8\alpha }} - \displaystyle\frac{{(\varphi - \delta ){\tau ^2}{m_{\rm{t}}}}}{8}$ ，因此根据上述等式可以获得如下不等式 ${\text{π}} _{\rm{T}}^{\rm{M}}{\rm{ - }}{\text{π}} _{\rm{T}}^{\rm{T}} {\text{＞}} 0$ 。综合上述结果，可以获知 ${\text{π}} _{\rm{T}}^{\rm{M}}{\rm{ = }}{\text{π}} _{\rm{T}}^{\rm{R}} {\text{＞}} {\text{π}} _{\rm{T}}^{\rm{T}}$ 。

4) 依据表2可知，以制造/再制造商M和零售商R为渠道权力主导的RCLSC总利润 ${{\text{π}} ^{\rm{M}}},{{\text{π}} ^{\rm{R}}}$ 相等，即 ${\text{π}} _{}^{\rm{R}} = {{\text{π}} ^{\rm{M}}}$ 。同时，根据上述证明可知， ${\text{π}} _{\rm{M}}^{\rm{M}} {\text{＞}} {\text{π}} _{\rm{M}}^{\rm{T}}, {\text{π}} _{\rm{R}}^{\rm{M}} {\text{＞}}$ $ {\text{π}} _{\rm{R}}^{\rm{T}},{\text{π}} _{\rm{T}}^{\rm{M}} {\text{＞}} {\text{π}} _{\rm{T}}^{\rm{T}}$ ，因此可以获得 ${{\text{π}} ^{\rm{M}}} = {\text{π}} _{\rm{M}}^{\rm{M}} + {\text{π}} _{\rm{R}}^{\rm{M}} + {\text{π}} _{\rm{T}}^{\rm{M}} {\text{＞}} {\text{π}} _{\rm{M}}^{\rm{T}} +$ $ {\text{π}} _{\rm{R}}^{\rm{T}} + {\text{π}} _{\rm{T}}^{\rm{T}} = {{\text{π}} ^{\rm{T}}}$ ，由此可得 ${\text{π}} _{}^{\rm{M}} = {\text{π}} _{}^{\rm{R}} {\text{＞}} {\text{π}} _{}^{\rm{T}}$ 。

综合上述分析结果，可知1) ${\text{π}} _{\rm{M}}^{\rm{M}} {\text{＞}} {\text{π}} _{\rm{M}}^{\rm{R}}$ 且 ${\text{π}} _{\rm{M}}^{\rm{M}} {\text{＞}} {\text{π}} _{\rm{M}}^{\rm{T}}$ ；2) ${\text{π}} _{\rm{R}}^{\rm{R}} {\text{＞}} {\text{π}} _{\rm{R}}^{\rm{M}} {\text{＞}} {\text{π}} _{\rm{R}}^{\rm{T}}$ ；3) ${\text{π}} _{\rm{T}}^{\rm{M}} = {\text{π}} _{\rm{T}}^{\rm{R}} {\text{＞}} {\text{π}} _{\rm{T}}^{\rm{T}}$ ；4) ${{\text{π}} ^{\rm{M}}}{\rm{ = }}{{\text{π}} ^{\rm{R}}} {\text{＞}} {{\text{π}} ^{\rm{T}}}$ 。命题1证毕。

命题1说明，在RCLSC运行过程中，制造/再制造商M和零售商R为了获得更多利润，必须力争成为再制造闭环供应链的渠道权力主导，此时能够同时实现RCLSC总利润的最大化。而回收拆解商T成为渠道权力主导，则会最小化其自身利润以及RCLSC总利润。

命题2 　 对于制造/再制造商M和零售商R为渠道权力主导的两种情形，其单位新产品最优零售价 $p_{\rm{n}}^{\rm{M}},p_{\rm{n}}^{\rm{R}}$ 、单位再制造产品最优零售价 $p_{\rm{r}}^{\rm{M}},p_{\rm{r}}^{\rm{R}}$ 以及单位废旧产品最优回收价格 $c_{\rm{t}}^{\rm{M}},c_{\rm{t}}^{\rm{R}}$ 均相等，且均小于回收拆解商T为渠道权力主导情形下的最优定价，即 $p_{\rm{n}}^{\rm{T}} {\text{＞}} p_{\rm{n}}^{\rm{M}} = p_{\rm{n}}^{\rm{R}}$ ， $p_{\rm{r}}^{\rm{T}} {\text{＞}} p_{\rm{r}}^{\rm{M}} = p_{\rm{r}}^{\rm{R}}$ ， $c_{\rm{t}}^{\rm{T}} {\text{＞}} c_{\rm{t}}^{\rm{M}} = c_{\rm{t}}^{\rm{R}}$ 。

证明 　由表2可知如下关系式：

$\quad\quad\left\{ \begin{array}{l}p_{\rm{n}}^{\rm{M}} = p_{\rm{n}}^{\rm{R}},p_{\rm{n}}^{\rm{T}}{\rm{ - }}p_{\rm{n}}^{\rm{M}} = \displaystyle\frac{{{m_{\rm{t}}}\tau }}{8},\\p_{\rm{r}}^{\rm{M}} = p_{\rm{r}}^{\rm{R}},p_{\rm{r}}^{\rm{T}}{\rm{ - }}p_{\rm{r}}^{\rm{M}} = \displaystyle\frac{{{m_{\rm{t}}}\tau }}{8},\\c_{\rm{t}}^{\rm{M}} = c_{\rm{t}}^{\rm{R}},c_{\rm{t}}^{\rm{T}}{\rm{ - }}c_{\rm{t}}^{\rm{M}} = \displaystyle\frac{{(\varphi - \delta ){m_{\rm{t}}}{\tau ^2}}}{{8\alpha }}{\text{。}}\end{array} \right.$

根据假设1)中的 $\varphi {\text{＞}} \delta $ ，可以获得 $p_{\rm{n}}^{\rm{T}}{\rm{ - }}p_{\rm{n}}^{\rm{M}} {\text{＞}} 0$ , $p_{\rm{r}}^{\rm{T}}{\rm{ - }}p_{\rm{r}}^{\rm{M}} {\text{＞}} 0$ , $c_{\rm{t}}^{\rm{T}}{\rm{ - }}c_{\rm{t}}^{\rm{M}} {\text{＞}} 0$ 。因此，可以获得 $p_{\rm{n}}^{\rm{T}} {\text{＞}} p_{\rm{n}}^{\rm{R}} = p_{\rm{n}}^{\rm{M}}$ , $p_{\rm{r}}^{\rm{T}} {\text{＞}} p_{\rm{r}}^{\rm{M}} = p_{\rm{r}}^{\rm{R}}$ ， $c_{\rm{t}}^{\rm{T}} {\text{＞}} c_{\rm{t}}^{\rm{M}} = c_{\rm{t}}^{\rm{R}}$ 。命题2证毕。

命题2说明：当回收拆解商T为渠道权力主导时，单位新产品与再制造产品的最优批发价 $w_{\rm{n}}^{\rm{T}},w_{\rm{r}}^{\rm{T}}$ 、最优零售价 $p_{\rm{n}}^{\rm{T}},p_{\rm{r}}^{\rm{T}}$ 以及单位废旧产品最优回收价 $c_{\rm{t}}^{\rm{T}}$ 均为3种不同渠道权力结构情形下的最大值。

命题3 　在3种渠道权力结构情形下，单位新产品与再制造产品的最优批发价 $w_{\rm{n}}^j,w_{\rm{r}}^j$ 和最优零售价 $p_{\rm{n}}^j,P_{\rm{r}}^j$ 均随废旧产品回收率 $\tau $ 和产品替代系数 $\delta $ 的提高而增加，而单位废旧产品最优回收价格 $c_{\rm{t}}^j$ 则相反。

证明 　研究以制造/再制造商M为渠道权力主导的情形加以证明，其他情况证明类似。依据表2中的最优定价，并结合假设1)中的 $\varphi {\text{＞}} \delta {\text{＞}} 0$ 和假设4)中的 $p_{\rm{n}}^j {\text{＞}} \omega _{\rm{n}}^j {\text{＞}} {c_{\rm{n}}} + {m_{\rm{t}}},p_{\rm{r}}^j {\text{＞}} \omega _{\rm{r}}^j {\text{＞}} {c_{\rm{r}}} + {m_{\rm{t}}}$ ，可以获得如下不等式。

$\begin{split}\quad\quad&\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\frac{{\text{∂} w_{\rm{n}}^{\rm{M}}}}{{\text{∂} \tau }} = \displaystyle\frac{{\text{∂} w_{\rm{r}}^{\rm{M}}}}{{\text{∂} \tau }} = \displaystyle\frac{{{m_{\rm{t}}}}}{4} {\text{＞}} 0, \\ \displaystyle\frac{{\text{∂} w_{\rm{n}}^{\rm{M}}}}{{\text{∂} \delta }} = \displaystyle\frac{{3({\phi ^2} + {\delta ^2}){d_{\rm{r}}} + 2\phi \delta {d_{\rm{r}}}}}{{2{{({\phi ^2} - {\delta ^2})}^2}}} {\text{＞}} 0, \\ \displaystyle\frac{{\text{∂} w_{\rm{r}}^{\rm{M}}}}{{\text{∂} \delta }} = \displaystyle\frac{{({\phi ^2} + {\delta ^2}){d_{\rm{n}}} + 2\phi \delta {d_{\rm{r}}}}}{{2{{({\phi ^2} - {\delta ^2})}^2}}} {\text{＞}} 0{\text{。}}\end{array} \right.\\&\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\frac{{\text{∂} p_{\rm{n}}^{\rm{M}}}}{{\text{∂} \tau }} = \displaystyle\frac{{\text{∂} p_{\rm{r}}^{\rm{M}}}}{{\text{∂} \tau }} = \displaystyle\frac{{{m_{\rm{t}}}}}{8} {\text{＞}} 0, \\ \displaystyle\frac{{\text{∂} p_{\rm{n}}^{\rm{M}}}}{{\text{∂} \delta }} = \displaystyle\frac{{3({\phi ^2} + {\delta ^2}){d_{\rm{r}}} + 6\phi \delta {d_{\rm{n}}}}}{{4{{({\phi ^2} - {\delta ^2})}^2}}} {\text{＞}} 0, \\ \displaystyle\frac{{\text{∂} p_{\rm{r}}^{\rm{M}}}}{{\text{∂} \delta }} = \displaystyle\frac{{3({\phi ^2} + {\delta ^2}){d_{\rm{n}}} + 6\phi \delta {d_{\rm{r}}}}}{{4{{({\phi ^2} - {\delta ^2})}^2}}} {\text{＞}} 0{\text{。}}\end{array} \right.\end{split}$

$\quad\quad\left\{ \begin{array}{l}\displaystyle\frac{{\text{∂} c_{\rm{t}}^{\rm{M}}}}{{\text{∂} \tau }} = {\rm{ - }}\displaystyle\frac{{[({d_{\rm{n}}} + {d_{\rm{r}}}){\rm{ - }}(\varphi {\rm{ - }}\delta )({c_{\rm{n}}} + {c_{\rm{r}}} + 2{m_{\rm{t}}}\tau )]}}{{8\alpha }} {\text{＜}} \\ {\rm{ - }}\displaystyle\frac{{[({d_{\rm{n}}} + {d_{\rm{r}}}){\rm{ - }}(\varphi {\rm{ - }}\delta )(p_{\rm{n}}^{\rm{M}} + p_{\rm{r}}^{\rm{M}})]}}{{8\alpha }}{\rm{ = - }}\displaystyle\frac{{{D_{\rm{n}}} + {D_{\rm{r}}}}}{{8\alpha }} {\text{＜}} 0, \\\displaystyle\frac{{\text{∂} c_{\rm{t}}^{\rm{M}}}}{{\text{∂} \delta }} = {\rm{ - }}\displaystyle\frac{{\tau ({c_{\rm{n}}} + {c_{\rm{r}}} + {m_{\rm{t}}}\tau )}}{{8\alpha }} {\text{＜}} 0{\text{。}}\end{array} \right.$

因此，单位产品与再制造产品的最优批发价 $w_{\rm{n}}^j,w_{\rm{r}}^j$ 和最优零售价 $p_{\rm{n}}^j,P_{\rm{r}}^j$ 均随着 $\tau $ 和 $\delta $ 的提高而增加。而单位废旧产品最优回收价格 $c_{\rm{t}}^{\rm{M}}$ 则随着 $\tau $ 和 $\delta $ 的提高而降低。

其他渠道权力结构下的证明与之类似，故略。命题3证毕。

4 案例分析：以汽车发电机再制造闭环供应链为例

为了验证上述模型的科学性与有效性，本文以我国汽车发电机再制造闭环供应链为案例加以研究。通过深入调研国内最大的两家汽车发电机再制造企业和访谈再制造领域专家学者，获得了如表3所示的汽车发电机再制造闭环供应链模型各项参数数值。

根据表3的模型参数数值，计算获得其他的相关模型参数：

1) 新产品需求量 ${D_{\rm{n}}} = {d_{\rm{n}}}{\rm{ - }}\varphi p_{\rm{n}}^j + \delta p_{\rm{r}}^j =25\;000{\rm{ - }} $ $60p_{\rm{n}}^j + 25p_{\rm{r}}^j $ ；

2) 再制造产品需求量 ${D_{\rm{r}}} = {d_{\rm{r}}}{\rm{ - }}\varphi p_{\rm{r}}^j + \delta p_{\rm{n}}^j = 5\;000{\rm{ - }}$ $ 60p_{\rm{r}}^j + 25p_{\rm{n}}^j $ ；

3)废旧产品回收量 ${D_{\rm{t}}} = \tau ({D_{\rm{n}}} + {D_{\rm{r}}}){\rm{ + }}\alpha c_{\rm{t}}^j = 0.3 \times $ $ [30\;000 - 35(p_{\rm{n}}^j + p_{\rm{r}}^j)] + 50c_{\rm{t}}^j$ ；

4) 单位拆解产品综合回购价格 ${m_{\rm{t}}} = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^3 {{l_i}m_{\rm{t}}^i} = $ $ 0.1m_{\rm{t}}^1 + 0.8m_{\rm{t}}^2 + 0.1m_{\rm{t}}^3$ ；

5) 单位再制造产品综合生产成本 ${c_{\rm{r}}} = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^3 {{l_i}c_{\rm{r}}^i} = $ $ 0.1c_{\rm{r}}^1 + 0.8c_{\rm{r}}^2 + 0.1c_{\rm{r}}^3$ 。

利用获得的上述模型参数，本文将寻求3种渠道权力结构下RCLSC的最优定价及其成员企业的利润。在此基础上，研究将通过仿真分析重点讨论废旧产品回收率 $\tau $ 、质量等级比率 ${l_1},{l_2},{l_3}$ 和产品替代系数 $\delta $ 等关键模型参数对于其的影响。

4.1 不同渠道权力结构下RCLSC的最优定价及其成员企业利润

根据第2节的RCLSC最优定价策略分析，计算并获得3种渠道权力结构下的各成员企业最佳定价及其利润的均衡解，如表4所示。

依据表4所示最优定价及成员企业利润均衡解，可以验证本文第3节命题的正确性。

4.2 关键参数对RCLSC最优定价及其利润的影响

考虑到目前汽车发电机再制造闭环供应链以制造/再制造商M为渠道权力主导的情形最为常见，因此本文主要依托该渠道权力结构，进一步讨论废旧产品回收率 $\tau $ 和产品替代系数 $\delta $ 对于RCLSC最优定价及其利润的影响。

4.2.1 废旧产品回收率 $\tau $ 对RCLSC最优定价及其利润的影响

1) 废旧产品回收率 $\tau $ 对RCLSC最优定价的影响。

废旧产品回收率 $\tau $ 对RCLSC最优定价的影响如图2所示。从图中可以获得如下结论。

① 单位新产品与再制造产品的最优批发价 $w_{\rm{n}}^{\rm{M}}$ 、 $w_{\rm{r}}^{\rm{M}}$ 和最优零售价 $p_{\rm{n}}^{\rm{M}}$ 、 $P_{\rm{r}}^{\rm{M}}$ 随着废旧产品回收率 $\tau $ 提高而增加，但增加幅度偏小。当 $\tau $ 从0提升到100%时，最优批发价 $w_{\rm{n}}^{\rm{M}}$ 、 $w_{\rm{r}}^{\rm{M}}$ 和最优零售价 $p_{\rm{n}}^{\rm{M}}$ 、 $P_{\rm{r}}^{\rm{M}}$ 的增加幅度不超过7%。

② 单位废旧产品的最优回收价 $c_{\rm{t}}^{\rm{M}}$ 随着废旧产品回收率 $\tau $ 提高而降低，且降低幅度相对偏大。当 $\tau $ 从0提升到100%时，最优定价 $c_{\rm{t}}^{\rm{M}}$ 降低幅度达到99%。

2) 废旧产品回收率 $\tau $ 对RCLSC利润的影响。

废旧产品回收率 $\tau $ 对RCLSC总利润以及成员企业利润的影响如图3所示，从图中可以获得如下结论。

① RCLSC总利润 $\pi _{}^{\rm{M}}$ 随着废旧产品回收率 $\tau $ 增大而近似呈现U形，且当 $\tau $ =44.9%时RCLSP总利润最小值。

② 制造/再制造商M和零售商R的利润 $\pi _{\rm{M}}^{\rm{M}}\text{、}\pi _{\rm{R}}^{\rm{M}}$ 随着废旧产品回收率 $\tau $ 的增大而减小，而回收拆解商T的利润 $\pi _{\rm{T}}^{\rm{M}}$ 情况则相反。

③ 现行再制造产业政策设定的废旧产品回收利用率目标对于汽车发电机再制造不尽合理。2016年12月我国国务院办公厅印发了《生产者责任延伸制度推行方案》，其主要工作目标是将电器电子产品、汽车等重点推行产品的回收利用率提升到40%~50%。而从本文研究可知，当废旧产品回收率 $\tau $ =44.9%时，RCLSC总利润却最小。这说明现行再制造产业政策的部分工作目标可能存在一定的不合理之处，针对这一问题，本文建议我国政府以及再制造企业可以充分利用国家大力发展“互联网+”的有利时机，通过开发废旧产品回收手机APP、网上回收等信息化手段，从而能够实现废旧品回收率 的跨越式提升。

4.2.2 产品替代系数 $\delta $ 对RCLSC最优定价的影响

产品替代系数 $\delta $ 对RCLSC最优定价的影响如图4所示，从图中可以获得如下结论。

1) 单位新产品与再制造产品的最优批发价 $w_{\rm{n}}^{\rm{M}}$ 、 $w_{\rm{r}}^{\rm{M}}$ 和最优零售价 $p_{\rm{n}}^{\rm{M}}$ 、 $P_{\rm{r}}^{\rm{M}}$ 随产品替代系数 $\delta $ 提高而增加，且增加幅度逐渐增大。当产品替代系数 $\delta $ 提高时，最优批发价 $w_{\rm{n}}^{\rm{M}}$ 、 $w_{\rm{r}}^{\rm{M}}$ 和最优零售价 $p_{\rm{n}}^{\rm{M}}$ 、 $P_{\rm{r}}^{\rm{M}}$ 增加。特别是当 $\delta $ =36时，其增加幅度显著。

2) 单位废旧产品最优回收价 $c_{\rm{t}}^{\rm{M}}$ 随产品替代系数 $\delta $ 提高而降低，但降低幅度相对偏小。

5 结论

本文在考虑不同渠道权力结构和产品双重差异的情形下，研究了以制造/再制造商M、零售商R和回收拆解商T为渠道权力主导的RCLSP最优定价策略问题，获得了单位新产品与再制造品的最优批发价、最优零售价以及单位废旧产品的最优回收价，以及RCLSP总利润和各成员企业的利润。在此基础上，进一步分析了废旧产品回收率 $\tau $ 、产品替代系数 $\delta $ 对于RCLSP各成员企业最优定价及其利润的影响。研究获得如下结论。

1) 在3种渠道权力结构情形下，当制造/再制造商M和零售商R为主导时，其对应的成员企业利润 $\pi _{\rm{M}}^{\rm{M}}$ 和 $\pi _{\rm{R}}^{\rm{R}}$ 最大；而当回收拆解商T为主导时，其自身利润 $\pi _{\rm{T}}^{\rm{T}}$ 却最小。

2) 以制造/再制造商M和零售商R为渠道权力主导的RCLSC总利润 ${\pi ^{\rm{M}}},{\pi ^{\rm{R}}}$ 相等，且优于回收拆解商为渠道权力主导的总利润 ${\pi ^{\rm{T}}}$ 。

3) 伴随废旧产品回收率 $\tau $ 和产品替代系数 $\delta $ 提升，单位新产品与再制造产品的最优批发价 $w_{\rm{n}}^j,w_{\rm{r}}^j$ 和最优零售价 $p_{\rm{n}}^j,P_{\rm{r}}^j$ 增加，而单位废旧产品的最优回收价 $c_{\rm{t}}^j$ 则降低。同时，伴随 $\tau $ 的增加，RCLSC总利润近似呈现U形且当 $\tau $ =44.9%时最小，而制造/再制造商M和零售商R的利润则逐渐减小，回收拆解商T的利润则逐渐增加。

研究尚存在需要进一步完善之处，譬如研究认为成员企业之间决策信息完全透明，尚未考虑信息不完全透明的情况；研究只考虑单周期RCLSC的最优定价问题，尚未探讨多周期RCLSC的最优定价问题。上述问题有待未来开展研究。