在经济全球化的影响下，产业链的各环节之间的联系越来越紧密，为提升企业竞争力，制造企业的业务日趋“核心化”，即将设备管理维护等非核心业务外包。同时，企业设备购置、维护及更新成本的增加，导致了设备租赁行业的逐渐兴起。租赁业务从工程机械行业开始逐渐发展到各个行业，制造企业租赁生产设备进行生产活动已经比较普遍。

根据租赁双方对设备租赁产生的经济性要求，国内外学者对于租赁设备的维护策略优化进行了广泛的研究。在现有研究中，租赁设备的维护方式一般分为2种：状态维护，即根据设备的状态，在其可靠性达到预定的可靠性阈值时执行相应的维护措施；周期性预防维护，即按照固定的时间周期对设备进行预防性维护^[1-2]。在设备租赁活动中，一般由出租方提供设备维护服务，运用状态维护方式对租赁设备进行维护。根据设备当前状态进行相对应的维护操作，能够使每次维护的“性价比”更高，但是对维护工作人员的响应速度和工作效率都提出较高的要求，且维护时间安排的不确定性较大，对承租方的生产经营活动造成的影响难以控制，难以满足承租方的经济性需求。在承租方利用惩罚成本对维护策略进行约束时，规定时间外的维护活动将会产生高昂的惩罚成本和纠正性成本^[3-5]。对租赁设备进行定周期维护，有利于承租方生产计划的制定和执行，是目前研究中运用较多的一种维护方式。国内外学者也尝试从不同的角度来优化定周期预防性维护的维护策略。例如，利用虚拟年龄来衡量修复标准，随着役龄的增加抑制故障次数^[6]和设置年龄、使用限制的二维租赁合同^[7]；通过对设备内部衰退故障和外部冲击造成的故障加以区分，更加准确地优化维护周期^[8]；结合准更新理论对周期性预防维护的维护周期进行优化以寻求更优维护成本^[9]等等。但是对设备进行预防性维护并不能使设备恢复如新，而由于设备故障率随役龄的增加而上升，租赁前期可能会出现维护过剩，而后期则出现维护不足的情况。针对上述问题，Wang等^[10]在两阶段维护的基础上，提出了多阶段预防性维护策略，将等周期和变周期维护策略进行结合。相比定周期进行预防性维护策略有了一定程度的改善，但是其最优阶段数的确定尚不具备普适性。现有的研究中，对租赁设备进行状态维护难以满足承租方的经济性要求；对租赁设备进行周期性预防性维护则会出现对设备维护过剩或维护不足的情况，影响出租方的经济效益。

本文根据设备租赁活动双方的实际需求，在对租赁设备进行周期检测的情况下，根据设备的状态，按照固定周期对设备进行多维护策略，并且考虑了租期结束后的租赁延迟成本，建立了综合考虑设备维护需求、生产需求以及续租可能性的成本优化模型。利用Matlab进行仿真计算，得到成本最低时的最佳检测周期。

1 问题描述

在租赁期L内，由出租方对租赁设备进行定周期检测维护，根据检测结果做出相应的维护决策，如图1所示。

在图1中，到检测维护周期T时，对设备状态进行检测，根据故障率h(T)所属的区间采取相应的维护策略。若h(T)＜ε₁，则无需对其进行维护，故障率变化状态仍遵循前一周期的特征，如线段①所示；若ε₁≤h(T)＜ε₂，则对其进行预防性维护(PM)，对设备进行预防性维护后，设备状态恢复到0.5周期前的状态，记故障率在PM后恢复值为∆h，如线段②所示；若ε₂≤h(T)，则对其进行更换，其故障率恢复到上一周期状态，即h₁(t)=h(t-T)，如线段③所示。在租赁期内一共对设备进行N( $N=\left\lfloor {\frac{L}{T}} \right\rfloor $ )次检测维护。若租赁设备在生产周期内产生故障，立即采取小修。租期L结束时设备状态会影响承租方的续约意愿。假设租赁设备L时刻的故障率低于续租阈值，则承租方愿意继续租赁；否则，承租方拒绝继续租赁。在设备出租给下一个承租方前，出租方会产生租赁延迟成本^[11]。

因此，从出租方角度来说，总的维护成本包括：每个检测周期的维护成本，生产周期内小修成本，每周期的惩罚成本和小修惩罚成本，租期结束后可能产生的租赁延迟成本。本文以出租方总成本最小为优化目标，以维护周期为决策变量，通过优化检测维护周期T和每个周期的维护决策，使得出租方成本最低。

2 符号说明与假设 2.1 符号说明

h(t)：故障率；

T：检测维护周期；

N：租赁期内设备进行检测维护的次数；

L：租赁期限；

C_p：单次预防性维护成本；

C_r：单次预防性更换成本；

C_m：单次故障小修成本；

C_mf：单次小修惩罚成本；

C_mp：单次预防性维护惩罚成本；

C_mr：单次预防性更换惩罚成本；

γ：续租阈值；

${{{T}}_{{C}}}_{_{{ i}}}$ ：总的检测维护费用；

${{{T}}_{{C}}}_{_{{\rm m}}}$ ：总的小修费用；

${{{T}}_{{C}}}_{_{{\rm f}}}$ ：总的惩罚成本；

${{{T}}_{{C}}}_{{\rm c}}$ ：租赁延迟成本。

2.2 假设

1) 假定生产周期内租赁设备出现故障时，出租方的维护人员立即反应，小修时间和每周期维护动作时间忽略不计。

2) 维护操作是非破坏性的，小修不改变设备故障率。

3 模型建立 3.1 维护成本

在检测维护周期i×T(i=1, 2, 3, …, N, N为租赁期内设备进行检测维护的总次数)内，对设备的故障率进行检测，则每个检测周期的维护成本由设备在当前检测周期的故障率h(i×T)所属的区间决定，则第i个检测周期的维护成本C_i可表示为

$\quad\quad{C_i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0,}&0 {\text{＜}} h\left( {i T} \right) {\text{＜}} {\varepsilon _1};\\{{C_ {\rm{p}}},}&{\varepsilon _1} {\text{≤}}h\left( {i T} \right) {\text{＜}} {\varepsilon _2};\\{{C_ {\rm{r}}},}&{\varepsilon _2} {\text{≤}} h\left( {i T} \right) {\text{＜}} 1{\text{。}}\end{array}} \right.$

(1)

租赁期中设备总的检测维护费用 ${{{T}}_{{{{C}}_{{ i}}}}}$ 为

$\quad\quad{T_{{C_i}}} = \mathop \sum \limits_{i = 1}^N {C_i}{\text{。}}$

(2)

每个周期进行检测后，执行相应的维护策略，则其下一个周期的故障率变化为

$\quad\quad h\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{h\left( t \right),}&0 {\text{＜}} h\left( {i T} \right) {\text{＜}} {\varepsilon _1};\\{h\left( {t - 0.5T} \right),}&{\varepsilon _1} {\text{≤}} h\left( {i T} \right) {\text{＜}} {\varepsilon _2};\\{h\left( {t - T} \right),}&{\varepsilon _2} {\text{≤}} h\left( {i T} \right) {\text{＜}} 1{\text{。}}\end{array}} \right.$

(3)

3.2 小修成本

在租赁期内，如果设备产生故障，则对其进行小修。小修后设备恢复至故障前状态。单次小修的维护成本为C_m，设E(L)为整个租赁期内总的故障次数，则租赁期内总的小修费用 ${{{T}}_{{{{C}}_{{\rm m}}}}}$ 为

$\quad\quad{T_{{C_ {\rm{m}}}}} = {C_ {\rm{m}}}E {\left( L \right)} {\text{。}}$

(4)

E(L)可表示为

$\quad\quad{E\left( L \right)} = \sum \limits_{i = 1}^N \smallint \nolimits _{\left( {i - 1} \right)T}^{iT} h\left( t \right) {\rm{d}}t + \smallint \nolimits_{NT}^L h\left( t \right) {\rm{d}}t{\text{。}}$

(5)

式中， $ \int_{\left( {i - 1} \right)T}^{iT} h\left( t \right) {\rm{d}}t $ 为第i个检测维护周期设备的故障次数； $\int_{NT}^L h\left( t \right) {\rm{d}}t$ 为第N个周期至周期结束时设备的故障次数。

3.3 惩罚成本

在租赁活动中，设备的使用权属于承租方，而设备的维护活动主要由设备的出租方承担。相对于传统企业自主对设备进行维护的积极响应，租赁设备的维护人员和资源调配反应较慢，通常会使租赁设备的维护需要更长的时间。鉴于租赁设备的维护对承租方造成的经济损失，承租方通常利用惩罚成本对出租方的设备维护进行约束。

由于出租方对设备进行小修、预防性维护、更换对承租方生产活动造成的影响不同，不同的维护策略会产生不同的维护成本。假定，每次小修、预防性维护、更换所产生的惩罚成本分别为C_mf、C_pf、C_rf，且C_mf＜C_pf＜C_rf。其中由于设备状态差导致的更换租赁设备对承租企业造成影响非常大，引起较大的经济损失，所以更换设备惩罚成本C_rf将非常高，以尽量避免频繁的更换维护。第i个检测周期的惩罚成本C_f可表示为

$\quad\quad{C_ {\rm{f}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0,}&0 {\text{＜}} h\left( {iT} \right) {\text{＜}} {\varepsilon _1};\\{{C_ {\rm{pf}}},}&{\varepsilon _1} {\text{≤}} h\left( {iT} \right) {\text{＜}} {\varepsilon _2};\\{{C_ {\rm{rf}}},}&{\varepsilon _2} {\text{≤}} h\left( {iT} \right) {\text{＜}} 1{\text{。}}\end{array}} \right.$

(6)

则租赁期中设备总的惩罚成本 ${{{T}}_{{{{C}}_{{\rm f}}}}}$ 为

$\quad\quad{T_{{C_{\rm f}}}} = E\left( L \right){C_ {\rm{mf}}} + \sum \limits_{i = 1}^N {C_ {\rm{f}}}{\text{。}}$

(7)

3.4 租赁延迟成本

在设备租期结束后，出租方面临着寻找下一家租赁方的问题。在此期间，设备将会被闲置，即产生租赁延迟。在租赁延迟期间，设备与出租时期所处的环境相似。所以，在休眠期同样会发生故障。设备处于休眠期时，其故障率比设备运行状态要低^[11-12]。若租赁期结束时，承租方直接与出租方续租，则不会产生租赁延迟成本；若租期结束时，设备故障率较高，承租方不愿意续租，则出租方需要承担一定的租赁延迟成本。当设备处于休眠期时，假定其故障率函数为

$\quad\quad{h_ {\rm{c}}}\left( t \right) = \mu \cdot h\left( {\mu \left( t \right)} \right),\;\;\;\;\mu \in \left( {0,1} \right){\text{。}}$

(8)

假定租期结束时，设备的故障率水平低于或等于γ时，承租方愿意续租；设备故障率水平超过γ时，承租方将拒绝续租。若租赁延迟时间为t₀，租赁延迟期间对设备故障进行小修，则设备产生的租赁延迟成本 ${{\rm{T}}_{{{\rm{C}}_{\rm{c}}}}}$ 为

$\quad\quad{T_{{C_ {\rm{c}}}}} = \left\lceil {\frac{{h\left( L \right) - \gamma }}{{h\left( L \right)}}} \right\rceil {C_ {\rm{m}}} \smallint \nolimits_0^{{t_0}} {h_{\rm{c}}}\left( t \right) {\rm{d}}t{\text{。}}$

(9)

基于式(1)、(4)、(7)、(9)，出租方总的维护成本为

$\begin{array}{l}\quad\quad{T_ {\rm{c}}} \!=\! {T_{{C_i}}} \!+\! {T_{{C_ {\rm{m}}}}} \!+\! {T_{{C_ {\rm{f}}}}} \!+\! {T_{{C_ {\rm{c}}}}} \!=\! \displaystyle\sum \limits_{i = 1}^N {C_i} + {C_ {\rm{m}}}E\left( L \right) +\\ \displaystyle\sum \limits_{i = 1}^N {C_ {\rm{f}}} + E\left( L \right){C_ {\rm{mf}}} + \left\lceil {\displaystyle\frac{{h\left( L \right) - \gamma }}{{h\left( L \right)}}} \right\rceil {C_ {\rm{m}}} \smallint \nolimits _0^{{t_0}} {h_ {\rm{c}}}\left( t \right){\rm{d}}t{\text{。}}\end{array}$

(10)

4 算例分析

Weibull分布是广泛应用于可靠性中的连续型分布，主要用于描述疲劳失效、轴承失效等寿命分布，假定设备的寿命服从二参数的Weibull分布，其故障率函数为

$\quad\quad h\left( t \right) = \displaystyle\frac{\beta }{\alpha }{\left( {\displaystyle\frac{t}{\alpha }} \right)^{\beta - 1}},\quad t {\text{＞}} 0{\text{。}}$

(11)

其中，α为尺度参数；β为形状参数。参数α主要影响故障发生的时间；参数β主要影响故障率函数的增减性。基于历史数据，利用最大似然估计法对故障率函数的参数进行估计。本例中取α=10，β=3^[13]。

算例中，设备小修费用、预防性维护费用及更换费用根据出租方的维护数据得到；各类小修、预防性维护和更换的惩罚成本由承租方对维护活动造成的损失进行评估，并与出租方协商确定。预防性维护阈值ε₁、更换阈值ε₂根据同类型设备数据整理确定。租赁延迟参数通过阅读相关研究成果确定^[11]，企业续租阈值γ通过研究承租方续租历史数据确定。上述参数的具体取值如表1所示

运用Matlab进行数值仿真运算，由于设备的第1次检测维护应在设备故障率低于设备更换阈值(h(t)=1)前进行，即设备的第1次检测维护至少在t=18.26之前。所以，本例在区间(0,19)对检测周期T进行优化。得到维护成本最低时的检测维护周期T^*和以最优检测维护周期T^*对租赁设备制定检测维护时的设备维护策略M^*。检测维护周期T对应的相关维护费用如表2所示。

由表2可知，T=16时，总维护费用最低，则N=7，即将检测维护周期设置为16，在整个租赁期内，一共对租赁设备进行7次检测维护。若用0表示该检测周期未对设备进行维护操作，1表示该检测周期对设备进行预防性维护操作，2表示该检测周期对设备进行预防性更换。则与最优检测周期T^*对应的最优维护策略M^*可表示为M^*=[1 2 2 2 2 2 2]。即在第1个检测周期未，对设备进行预防性维护，此后的6个检测维护周期都对设备进行更换。

若在相同的参数条件下，不在每个周期进行故障状态检测，采取相应的维护策略，而是在每个周期对设备采取预防性维护策略，则其对应的设备维护费用如表3所示。

周期检测多维护方式策略下的维护费用和单一预防性维护策略下的维护费用的折现图如图2所示。

由图2可看出，定周期预防维护相对于单一预防性维护，成本明显优化。下面可根据2种不同维护方式的具体费用对比进行分析。

由图3~图5的分析可知，定周期检测多维护方式策略的 ${{{T}}_{{C}}}_{_{{ i}}}$ 较单一预防性维护更高，即每周期维护费用之和更高。这是由于根据设备故障状态选择预防性更换操作较多所致。相应的，预防性更换和预防性维护对设备状态的恢复能够控制设备租赁期内的故障停机数，从而降低了整个租赁期内的小修费用以及惩罚成本。综合预防性维护费用、小修费用、惩罚成本和租赁延迟成本进行考虑，定周期地基于设备故障状态检测进行多维护决策能够给出租方带来经济效益的改善。

此前的研究中，有学者针对维护的精准性问题提出了多阶段定周期维护策略。但是由于在这种维护策略下，每一阶段的最后一次维护并不恰好在该阶段的预设结束点，若每阶段最后一次维护后距预设结束点不到一个周期，则此阶段最后一次维护后的剩余时间将会并入下一个维护阶段进行考虑。即在实际操作中，多阶段维护策略的阶段划分点会产生浮动。同时，随着阶段数的增多，周期变化越来越频繁，维护工作的复杂性越来越大，降低了设备的可用性，对设备承租方生产活动的影响也越来越大。因此，采用降低成本效果最明显的两阶段能够带来的改善效益最大^[10]。下面将两阶段维护策略与本文提出的多维护策略进行简单的对比。

通过利用Matlab计算得到两阶段维护策略中阶段的划分与维护费用的关系，如图6，其中，D表示第一阶段的长度；T_c表示总维护费用。

计算结果显示，采用两阶段维护策略时，最优维护策略为：阶段划分点为83，第1阶段维护周期为17，第2阶段维护周期为5，此时最优维护成本为215 140.9。两阶段维护策略相对于单一预防性维护已经有了较大的优化，与多维护策略的结果接近但略差，因此当前条件下仍是多维护策略最优。若设备可用性要求较低，维护复杂性可接受度高，可视情况增加设备维护的阶段数，与多维护策略对比寻求更优方案。

为考量参数取值对维护策略的影响，采用因子变化法对模型进行灵敏性分析，分别将C_m、C_p、C_r的值上下浮动10%，模型求解结果如表4所示。

由上述分析结果看出，当市场上维护费用上下浮动范围在10%以内时，最优维护周期T仍为16，但总的维护费用会跟随成本上下浮动。其中小修费用的浮动对总的维护费用影响最大，预防性维护成本的变化对总的维护费用影响最小。因此，在市场上小修维护费用波动较大时，需要提前对维护策略进行重新评估和调整。

4 结论

针对状态维护对承租方生产计划的影响较大，周期性维护在租赁前期和后期分别存在的过度维护和维护不足的情况，本文提出了基于故障状态演化的租赁设备定周期多维护策略，对设备状态进行周期性检测，根据其故障率所属区间选择相应维护方式。以出租方的维护成本最低为优化目标，确定最优维护周期和最优维护策略。通过实例分析呈现了决策过程，并说明了本文的周期性状态维护模型较周期性单一预防性维护模型更优。

本文所提出的模型能够在减小维护活动对承租方生产活动的影响下，对出租方的设备维护的总费用进行优化。但是，对承租方的设备使用需求考虑并不具体，在下一步的研究计划中，将结合设备承租方的生产活动中对设备可用性的具体要求和设备出租方经济效益需求，对租赁设备的维护策略进行优化。