股权战略联盟是企业之间为了实现共同的目标而形成的合作伙伴关系^[1]，这在供应链管理中是一种非常普遍的现象。上游供应商与下游制造商的单向持股作为其主要表现形式之一，在各行各业均较常见。在汽车行业，如德国发动机供应商戴姆勒公司持有汽车生产商阿斯顿·马丁公司5%的股份^[2]；在新兴电动汽车领域，作为丰田与特斯拉的电池供应商，日本松下公司同样对丰田公司实施了持股策略；美国漆料供应商杜邦公司持有生产商通用公司25%的股份^[3]。长安汽车集团投资5亿元间接持有动力电池供应商宁德时代0.39%的股权^[4]。在食品行业，中粮包装公司(加多宝供应商)花费20亿元增资凉茶制造商清远加多宝公司，对其持股近31%^[5]。这种优势互补的合作一方面可以巩固供应商在所属行业中的领导地位，也缓解了制造商公司的资金紧张问题，扩大了生产，备受各大企业的青睐。

近些年来，供应链中企业的持股问题受到学者的广泛关注，持股形式主要包括上游供应商与下游制造商的单向持股^[6-7]以及企业之间的交叉持股^[8-11]两种类型，研究内容集中于持股比例对产品生产成本投资，供应链产量与消费者剩余以及供应链系统利润的影响。在企业单向持股情形下，Morita等^[12]认为制造商持股上游企业可以避免供应商定制投资产生的问题。着眼于消费者群体，Greenlee等^[6]认为在不对称成本下，同质产品可以增加生产者总剩余，而差异化产品可能会对消费者不利。企业交叉持股背景下，Güth等^[10]指出垂直交叉持股可以增加交易的可能性。Flath^[11]发现存在多个供应商与多个制造商时，交叉持股使得供应链产品产量得以增长。张汉江等^[8]研究了企业交叉持股之后市场行为与绩效的原始创新性，认为交叉持股虽然使得产品市场价格有所降低，但却增加了供应链总收益。Cai等^[13]基于一个多市场竞争的分析框架，认为在现有市场的某些条件下，相比于独立进入，企业更喜欢联盟进入市场。此外，还有部分学者致力于研究供应链持股模型的协调问题^{[2, 14]}。在市场需求不确定时，张楠等^[2]讨论供应商对制造商单向持股的供应链协调问题，分析认为该持股模型不能消除“双重边际效应”，进而设计出基于回购与补贴策略的契约使得供应链各方收益得到完美协调。在下游制造商持股上游供应商背景下，付红等^[14]通过引入回购策略实现了组装供应链协调。

关于产品定价问题的研究也较为丰富，学者考虑了不同因素对产品定价策略的影响。从碳配额交易体系出发，马秋卓等^[15]研究了低碳产品定价问题以及企业的最优碳排放策略。在供应链竞争环境下，Zhu等^[16]探讨绿色产品设计及最优定价问题。从消费者角度出发，基于消费者低碳偏好，赵道致等^[17]分析了企业产品线的定价问题。周木生等^[18]与王春萍等^[19]分别考虑消费者非线性边际支付意愿与寡头市场结构下信息产品的定价策略。基于产品数字化以及产品盗版问题，Dinah等^[20]研究企业的最优定价问题。

可以看出，虽然上述文献部分涉及到单向持股或交叉持股背景下企业产品的定价问题，然而大部分学者却忽视了在垄断供应商与竞争性制造商的供应链组成中，供应商的纵向持股对于市场地位不同的制造商竞争策略以及产品定价的影响。基于此，建立供应商单向持股制造商模型，细化市场结构，研究Nash静态博弈以及Stackelberg动态博弈下竞争性制造商的产品定价与竞争策略，分析供应商持股比例对产品需求量、各博弈方收益以及供应链整体利润的影响。本文所考虑的供应商持股模型与竞争制造商市场地位的差异情形更加符合现实情况，更能反映供应链各方之间的合作与竞争关系，希望所得结论可为相关企业的定价决策提供理论参考。

1 模型描述 1.1 模型假设

考虑市场上存在垄断供应商 $S$ 和双寡头制造商 ${M_i}{\rm{ }}(i = 1,2)$ 组成的二级供应链。供应商负责以 ${w_i}{\rm{ }}(i = 1,2)$ 的批发价将原材料批发给两个制造商，制造商生产同种类型的产品，并分别以零售价 ${p_i}{\rm{ }}(i = 1,2)$ 将产品销售给消费者，由于消费者对制造商品牌认知度与忠诚度存在差异，两制造商在市场中展开价格竞争。此外，不失一般性，假设供应商对制造商 ${M_1}$ 采取持股策略，持股比例为 $\lambda \in \left( {{\rm{0}},{\rm{1}}} \right)$ ，即当 $\lambda {\rm{ = 0}}$ 时，供应商对 ${M_1}$ 没有持股，当 $\lambda {\rm{ = 1}}$ 时，供应商对 ${M_1}$ 完全控股，这与聂佳佳等^[21]的假设类似。持股模型如图1所示。

1.2 需求函数

根据Yue等^[22]、陈忠等^[23]和艾兴政等^[24]对竞争渠道产品的研究，制造商 ${M_1}$ 与 ${M_2}$ 的需求函数分别为

$\quad\quad\begin{array}{l}{q_1} = ra - b{p_1} + d\left( {{p_2} - {p_1}} \right),\\{q_{\rm{2}}} = \left( {1 - r} \right)a - b{p_2} + d\left( {{p_1} - {p_2}} \right){\text{。}}\end{array}$

(1)

其中， ${q_i}$ 为两制造商的产品需求量， ${p_i}$ 表示产品零售价格； $a$ 代表市场潜在需求； $r$ 表示被持股制造商 ${M_1}$ 的潜在市场份额， $\left( {1 - r} \right)$ 为制造商 ${M_{\rm{2}}}$ 的潜在市场份额； $b$ 为产品自身价格敏感系数， $d$ 代表交叉价格敏感系数，并假定 $b {\text{＞}} d {\text{＞}} 0$ ^[23]。

其他假设：1) 供应商和制造商均按照订单生产(make-to-order)，各博弈方均没有库存^{[22, 25]}；2) 供应商的生产成本 ${c_1} = {c_2} = 0$ ，即使 ${c_1}$ 与 ${c_2}$ 不等于0，仅增加处理的复杂性，不会改变本文的结论^[25]；3) 为简化模型，假设 $b = 1$ , $d = 0.5$ ，艾兴政等^[24]也采取了类似的假设；4) 以 $\varPi _j^k$ ( $k = \rm{DN},\rm{LN},\rm{ON}$ ; $j = 1,2,{\rm{S}}$ )代表 $k$ 模型下博弈方 $j$ 的利润函数，其中 “ $\rm{DN},\rm{LN},\rm{ON}$ ”分别代表制造商双寡头领导者持股模型， ${M_1}$ 领导者持股模型以及 ${M_2}$ 领导者持股模型；下标“ $1,2,{\rm{S}}$ ”分别表示制造商 ${M_1}$ 、 ${M_2}$ 与供应商 ${\rm{S}}$ 。

2 模型求解 2.1 双寡头领导者(DN持股模型)

考虑双寡头制造商市场地位相同，在利润最大化的基础上，供应商以 $w_1^{\rm{DN}}$ 和 $w_2^{\rm{DN}}$ 的批发价将产品批发给两个制造商，制造商同时决策各自的最优零售价格 $p_1^{\rm{DN}}$ 和 $p_2^{\rm{DN}}$ 。此时两制造商的利润函数分别为

$\max \mathop {\varPi _1^{\rm{DN}}}\limits_{p_1^{\rm{DN}}} = \left( {1 - \lambda } \right)\left( {p_1^{\rm{DN}} - w_1^{\rm{DN}}} \right)\left( {ra - p_1^{\rm{DN}} + \frac{1}{2}\left( {p_2^{\rm{DN}} - p_1^{\rm{DN}}} \right)} \right),$

(2)

$\max \mathop {\varPi _2^{\rm{DN}}}\limits_{p_2^{\rm{DN}}} = \left( {p_2^{\rm{DN}} - w_2^{\rm{DN}}} \right)\left( {\left( {1 - r} \right)a - p_2^{\rm{DN}} + \frac{1}{2}\left( {p_1^{\rm{DN}} - p_2^{\rm{DN}}} \right)} \right){\text{。}}$

(3)

供应商的利润函数为

$\max \mathop {\varPi _{\rm{S}}^{\rm{DN}}}\limits_{w_1^{\rm{DN}}{\rm{ }}w_2^{\rm{DN}}} = w_1^{\rm{DN}}q_1^{\rm{DN}} + w_2^{\rm{DN}}q_2^{\rm{DN}} + \lambda \left( {p_1^{\rm{DN}} - w_1^{\rm{DN}}} \right)q_1^{\rm{DN}}{\text{。}}$

(4)

根据逆向归纳法，首先将式(2)、式(3)分别对 $p_1^{\rm{DN}}$ 、 $p_2^{\rm{DN}}$ 求一阶导函数，并令 $ \partial \varPi _1^{{\rm{DN}}}/\partial p_1^{{\rm{DN}}} = 0,$ $\partial \varPi _2^{{\rm{DN}}}/\partial p_2^{{\rm{DN}}} = 0$ ，联立方程组可得：

$\quad\quad p_1^{\rm{DN}} = \frac{{2\left( {5r + 1} \right)a + 3\left( {6w_1^{\rm{DN}} + w_2^{\rm{DN}}} \right)}}{{35}},$

(5)

$\quad\quad p_{\rm{2}}^{\rm{DN}} = \frac{{2\left( { - 5r + 6} \right)a + 3\left( {w_1^{\rm{DN}} + 6w_2^{\rm{DN}}} \right)}}{{35}}{\text{。}}$

(6)

将式(5)和式(6)代入式(4)，并联立方程组 $\partial \varPi _{\rm{S}}^{{\rm{DN}}}/\partial w_1^{{\rm{DN}}} = 0,\partial \varPi _{\rm{S}}^{{\rm{DN}}}/\partial w_2^{{\rm{DN}}} = 0$ ，供应商的批发价格分别为

$\quad\quad\begin{array}{l}w_1^{{\rm{DN}}*} = \displaystyle\frac{{\left( {74\lambda r + 25\lambda - 70r - 35} \right)a}}{{8\left( {17\lambda - 35} \right)}},\\w_2^{{\rm{DN}}*} = \displaystyle\frac{{\left( {3 - 2r} \right)a}}{8}{\text{。}}\end{array}$

(7)

经验证，式(4)的海塞矩阵(Hessian Matrix)负定，可保证供应商利润取得极大值。

将式(7)代入式(5)和式(6)，制造商的最优零售价格分别为

$\quad\quad p_1^{\rm{DN}*} = \frac{{\left( {74\lambda r + 25\lambda - 110r - 43} \right)a}}{{8\left( {17\lambda - 35} \right)}},$

(8)

$\quad\quad p_2^{\rm{DN}*} = \frac{{\left( {50\lambda r - 75\lambda - 110r + 153} \right)a}}{{8\left( {35 - 17\lambda } \right)}}{\text{。}}$

(9)

制造商和供应商的最优需求和利润分别为

$\quad\quad\begin{array}{l}q_1^{{\rm{DN}}*} = \displaystyle\frac{{3\left( {5r + 1} \right)a}}{{70 - 34\lambda }},\\q_2^{{\rm{DN}}*} = \displaystyle\frac{{3\left( {2\lambda r - 3\lambda - 5r + 6} \right)a}}{{70 - 34\lambda }},\end{array}$

(10)

$\quad\quad\varPi _1^{\rm{DN}*} = \frac{{3{{\left( {5r + 1} \right)}^2}\left( {1 - \lambda } \right){a^2}}}{{2{{\left( {17\lambda - 35} \right)}^2}}},$

(11)

$\quad\quad\varPi _2^{\rm{DN}*} = \frac{{3{{\left( {2\lambda r - 3\lambda - 5r + 6} \right)}^2}{a^2}}}{{2{{\left( {17\lambda - 35} \right)}^2}}},$

(12)

$\quad\quad \varPi _{\rm{S}}^{{\rm{DN}}*} = \frac{{3\left[ {4\left( {\lambda \! -\! 5} \right){r^2} + 4\left( {5 \!-\! 3\lambda } \right)r \!+\! 9\lambda \!-\! 19} \right]{a^2}}}{{16\left( {17\lambda - 35} \right)}}{\text{。}}$

(13)

2.2 被持股制造商为领导者( $\rm{LN}$ 持股模型)

在产品市场上，制造商 ${M_1}$ 较为强势，是Stackelberg博弈的领导者， ${M_2}$ 为追随者。首先，供应商以 $w_1^{\rm{LN}}$ 和 $w_2^{\rm{LN}}$ 的批发价将产品批发给两个制造商，然后， ${M_1}$ 率先决策最优零售价格 $p_1^{\rm{LN}}$ ，观察到上述博弈方的定价策略后， ${M_2}$ 以 $p_2^{\rm{LN}}$ 的价格将产品销售给消费者。该模型中两制造商和供应商的利润表达式分别为：

$\max \mathop {\varPi _1^{\rm{LN}}}\limits_{p_1^{\rm{LN}}} = \left( {1 - \lambda } \right)\left( {p_1^{\rm{LN}} - w_1^{\rm{LN}}} \right)\left( {ra - p_1^{\rm{LN}} + \frac{1}{2}\left( {p_2^{\rm{LN}} - p_1^{\rm{LN}}} \right)} \right),$

(14)

$\max \mathop {\varPi _2^{\rm{LN}}}\limits_{p_2^{\rm{LN}}} = \left( {p_2^{\rm{LN}} - w_2^{\rm{LN}}} \right)\left( {\left( {1 - r} \right)a - p_2^{\rm{LN}} + \frac{1}{2}\left( {p_1^{\rm{LN}} - p_2^{\rm{LN}}} \right)} \right),$

(15)

$\max \mathop {\varPi _{\rm{S}}^{\rm{LN}}}\limits_{w_1^{\rm{LN}}{\rm{ }}w_2^{\rm{LN}}} = w_1^{\rm{LN}}q_1^{\rm{LN}} + w_2^{\rm{LN}}q_2^{\rm{LN}} + \lambda \left( {p_1^{\rm{LN}} - w_1^{\rm{LN}}} \right)q_1^{\rm{LN}}{\text{。}}$

(16)

根据逆向归纳法，首先将式(15)对 $p_2^{\rm{LN}}$ 求一阶导函数，并令 ${{\partial \varPi _2^{\rm{LN}}}/{\partial p_2^{\rm{LN}}}} = 0$ ，解得

$\quad\quad p_2^{\rm{LN}} = \frac{{p_1^{\rm{LN}} + 3w_2^{\rm{LN}} + 2\left( {1 - r} \right)a}}{6}{\text{。}}$

(17)

将式(17)代入式(14)，对 $p_1^{\rm{LN}}$ 求一阶导函数，令 ${{\partial \varPi _1^{\rm{LN}}}/{\partial p_1^{\rm{LN}}}} = 0$ ，求解可得

$\quad\quad p_1^{\rm{LN}} = \frac{{17w_1^{\rm{LN}} + 3w_2^{\rm{LN}} + 2\left( {5r + 1} \right)a}}{{34}}{\text{。}}$

(18)

把式(17)与式(18)代入式(16)，同时对 $w_1^{\rm{LN}},w_2^{\rm{LN}}$ 求偏导，并联立方程组 $ \partial \varPi _{\rm{S}}^{{\rm{LN}}}/\partial w_1^{{\rm{LN}}} = 0,$ $\partial \varPi _{\rm{S}}^{{\rm{LN}}}/\partial w_2^{{\rm{LN}}} = 0$ 可解得供应商的最优批发价格分别为

$w_1^{\rm{LN}*} = \frac{{\left( {74\lambda r + 25\lambda - 68r - 34} \right)}}{{136\left( {2\lambda - 1} \right)}},\\w_2^{\rm{LN}*} = \frac{{\left( {3 - 2r} \right)a}}{8}{\text{。}}$

(19)

把式(19)代入式(17)和(18)可求得两制造商的最优零售价格：

$\quad\quad p_1^{\rm{LN}{\rm{*}}} = \frac{{\left( {74\lambda r + 25\lambda - 108r - 42} \right)a}}{{136\left( {\lambda - 2} \right)}},$

(20)

$\quad\quad p_2^{\rm{LN}{\rm{*}}} = \frac{{\left( {150\lambda r - 225\lambda - 320r + 446} \right)a}}{{408\left( {2 - \lambda } \right)}}{\text{。}}$

(21)

同理，也可求得制造商和供应商的最优需求和利润：

$q_1^{\rm{LN}*} = \frac{{\left( {5r + 1} \right)a}}{{12\left( {2 - \lambda } \right)}},\\q_2^{\rm{LN}*}\frac{{\left( {12\lambda r - 18\lambda - 29r + 35} \right)a}}{{68\left( {2 - \lambda } \right)}},$

(22)

$\quad\quad\begin{array}{l}\varPi _1^{\rm{LN}*} = \displaystyle\frac{{{{\left( {5r + 1} \right)}^2}\left( {1 - \lambda } \right){a^2}}}{{204{{\left( {\lambda - 2} \right)}^2}}},\\\varPi _2^{{\rm{DN}}*} = \displaystyle\frac{{{{\left( {12\lambda r - 18\lambda - 29r + 35} \right)}^2}{a^2}}}{{6\;936{{\left( {\lambda - 2} \right)}^2}}},\end{array}$

(23)

$\varPi _{\rm{S}}^{{\rm{DN}}*} \!=\! \frac{{\left[ {\left( {36\! -\! 172} \right){r^2} \!+\! \left( {176 \!-\! 108\lambda } \right)r \!+\! 81\lambda \!-\! 166} \right]{a^2}}}{{816\left( {\lambda - 2} \right)}}{\text{。}}$

(24)

2.3 未被持股制造商为领导者( $\rm{ON}$ 持股模型)

制造商 ${M_2}$ 较为强势，成为领导者， ${M_1}$ 则为追随者。该模型的博弈顺序为：供应商首先以 $w_1^{\rm{ON}}$ 和 $w_2^{\rm{ON}}$ 的批发价将产品批发给两个制造商，追随者 ${M_1}$ 在领导者 ${M_2}$ 制定的最优零售价格 $p_1^{\rm{ON}}$ 之后决策 $p_2^{\rm{ON}}$ ，消费者根据自己的品牌偏好作出购买决策。此时两制造商和供应商的利润表达式分别为：

$\max \mathop {\varPi _1^{\rm{ON}}}\limits_{p_1^{\rm{ON}}} = \left( {1 - \lambda } \right)\left( {p_1^{\rm{ON}} - w_1^{\rm{ON}}} \right)\left( {ra - p_1^{\rm{ON}} + \frac{1}{2}\left( {p_2^{\rm{ON}} - p_1^{\rm{ON}}} \right)} \right),$

(25)

$\max \mathop {\varPi _2^{\rm{ON}}}\limits_{p_2^{\rm{ON}}} = \left( {p_2^{\rm{ON}} - w_2^{\rm{ON}}} \right)\left( {\left( {1 - r} \right)a - p_2^{\rm{ON}} + \frac{1}{2}\left( {p_1^{\rm{ON}} - p_2^{\rm{ON}}} \right)} \right),$

(26)

$\max \mathop {\varPi _{\rm{S}}^{\rm{ON}}}\limits_{w_1^{\rm{ON}}{\rm{ }}w_2^{\rm{ON}}} \!=\! w_1^{\rm{ON}}q_1^{\rm{ON}} \!+\! w_2^{\rm{ON}}q_2^{\rm{ON}} \!+\! \lambda \left( {p_1^{\rm{ON}} \!-\! w_1^{\rm{ON}}} \right)q_1^{\rm{ON}}{\text{。}}$

(27)

求解过程与3.2节类似，整理 $\rm{DN}$ 、 $\rm{LN}$ 与 $\rm{ON}$ 模型的均衡解，可得表1。

3 模型对比分析

本部分通过对比 $\rm{DN}$ 、 $\rm{LN}$ 与 $\rm{ON}$ 3种持股模型，讨论不同市场结构下供应商对制造商 ${M_1}$ 持股比例 $\lambda $ 与市场份额 $r$ 对竞争性制造商产品定价策略以及上下游企业利润的影响。

命题1 　供应商持股比例 $\lambda $ 与市场份额 $r$ 对产品定价的影响：

1)被持股制造商 ${M_1}$ 的最优零售价格为 $p_1^{\rm{LN}{\rm{*}}} {\text{＞}} p_1^{\rm{ON}{\rm{*}}} {\text{＞}} p_1^{\rm{DN}{\rm{*}}}$ 。

2) (1) 当 $r \in \left( {{r_1},1} \right)$ 且 $\lambda \in \left( {{\lambda _1},{\lambda _2}} \right)$ 时，制造商 ${M_2}$ 的最优零售价格为 $p_2^{\rm{LN}{\rm{*}}} {\text{＞}} p_2^{\rm{ON}{\rm{*}}} {\text{＞}} p_2^{\rm{DN}{\rm{*}}}$ ；

(2) 当 $r \in \left( {{r_1},1} \right)$ ，若 $\lambda \in \left( {0,{\lambda _1}} \right)$ 或 $\lambda \in \left( {{\lambda _2},1} \right)$ 时，制造商 ${M_2}$ 的最优零售价格为 $p_2^{\rm{ON}{\rm{*}}} {\text{＞}} p_2^{\rm{LN}{\rm{*}}} {\text{＞}} p_2^{\rm{DN}{\rm{*}}}$ ；

(3) 当 $r \in \left( {0,{r_1}} \right)$ ，制造商 ${M_2}$ 的最优零售价格为 $p_2^{\rm{ON}{\rm{*}}} {\text{＞}} p_2^{\rm{LN}{\rm{*}}} {\text{＞}} p_2^{\rm{DN}{\rm{*}}}$ 。

证明 　将3种市场结构下的制造商 ${M_1}$ 的最优零售价格两两作差，可得：

$\quad\quad\begin{array}{l}p_1^{\rm{DN}*} - p_1^{\rm{ON}*} = \displaystyle\frac{{\left( {\lambda - 1} \right)\left( {2\lambda r - 3\lambda - 5r + 6} \right)a}}{{1\;683{\lambda ^2} - 6\;933\lambda + 7\;140}} {\text{＜}} 0,\\p_1^{\rm{LN}*} - p_1^{\rm{ON}*} = \displaystyle\frac{{\left( {\lambda - 1} \right)\left( {2\lambda r - 3\lambda - 34r} \right)a}}{{1\;683{\lambda ^2} - 6\;834\lambda + 6\;936}} {\text{＞}} 0{\text{。}}\end{array}$

即 $p_1^{\rm{DN}*} {\text{＜}} p_1^{\rm{ON}*}$ 且 $p_1^{\rm{LN}*} {\text{＞}} p_1^{\rm{ON}*}$ ，因此式(1)得证。

对于制造商2，

$\quad\quad\begin{array}{l}p_2^{\rm{DN}*} - p_2^{\rm{LN}*} = \displaystyle\frac{{\left( {\lambda - 1} \right)\left( {5r + 1} \right)a}}{{1\;734{\lambda ^2} - 7\;038\lambda + 7\;140}} {\text{＜}} 0,\\p_2^{\rm{DN}*} - p_2^{\rm{ON}*} = \displaystyle\frac{{\left( {\lambda - 2} \right)\left( {2\lambda r - 3\lambda - 5r + 6} \right)a}}{{561{\lambda ^2} - 2\;311\lambda + 2\;380}} {\text{＜}} 0{\text{。}}\end{array}$

下面只需比较 $p_2^{\rm{LN}*}$ 与 $p_2^{\rm{ON}*}$ 的大小。

$\quad\quad p_2^{{\rm{LN}}*} - p_2^{{\rm{ON}}*} = \frac{{{G_1}a}}{{3\;366{\lambda ^2} - 13\;668\lambda + 13\;872}}{\text{。}}$

(28)

其中 ${G_1} = \left( {12r - 18} \right){\lambda ^2} + \left( {69 - 63r} \right)\lambda + 68r - 68$ ， ${G_1}$ 是关于 $\lambda $ 的开口向下的二次函数，当 ${G_1} = 0$ 且其二次判别式 $\varDelta = 0$ 时，解得 ${r_1} \approx 0.96$ (舍去非正根)， ${\lambda _{1,2}} = $ $\displaystyle\frac{{63r - 69 \pm \sqrt 3 \sqrt {235{r^2} - 178r - 45} }}{{24r - 36}}$ 。由此，当 $r {\text{＞}} 0.96$ ， ${G_1} = 0$ 存在2个实数根 $0 {\text{＜}} {\lambda _1} {\text{＜}} {\lambda _2} {\text{＜}} 1$ ；当 $r {\text{＜}} 0.96$ 时， ${G_1}$ 恒小于0， $p_2^{\rm{LN}*} {\text{＜}} p_2^{\rm{ON}*}$ 。

命题1表明，在供应商对制造商 ${M_1}$ 持股的情况下，不论持股比例与两个制造商的市场份额占比多大，产品零售价格总是在制造商同等强势下达到最低。对于制造商 ${M_1}$ 而言，其最优零售价格在自身强势下达到最高，竞争对手强势下次之，两者同等强势下最低。这是因为在 $\rm{LN}$ 模型中，制造商 ${M_1}$ 率先决策价格，此时其不能掌握竞争对手的定价策略，进而会制定一个较高的价格，而在 $\rm{ON}$ 模型中，竞争对手 ${M_2}$ 首先决策零售价格，两制造商之间进行价格竞争。因此制造商 ${M_1}$ 会制定较低的零售价格，当同时决策零售价，激烈的“价格战”使得此时的产品零售价最低。对于制造商 ${M_2}$ ，当竞争对手 ${M_1}$ 市场份额占比较大且供应商对 ${M_1}$ 持股比例适中时，供应商会对 ${M_1}$ 制定适中的批发价，致使 ${M_1}$ 在市场中处于绝对优势地位，导致 ${M_2}$ 在竞争对手强势下的最优零售价高于自身强势下的零售价格。当供应商持股比例较大，对 ${M_1}$ 制定的批发价格较低；当供应商持股比例较小，则对 ${M_1}$ 制定的批发价格较高，或者当两制造商市场份额占比相当时，上述3种情况下两制造商的实力相当，进而使得 ${M_2}$ 的最优零售价格在自身强势下达到最高。

命题2 　不同市场结构对制造商最优产量的影响：

1) 被持股制造商 ${M_1}$ 的最优产量大小关系为 $q_1^{\rm{ON}{\rm{*}}} {\text{＞}} q_1^{\rm{DN}{\rm{*}}} {\text{＞}} q_1^{\rm{LN}{\rm{*}}}$ ；

2) 制造商 ${M_2}$ 的最优产量大小关系为 $ q_2^{\rm{LN}{\rm{*}}} {\text{＞}} $ $q_2^{\rm{DN}{\rm{*}}} {\text{＞}} q_2^{\rm{ON}{\rm{*}}}$ 。

证明 　传统制造商在3种市场结构下的需求函数满足：

$\quad\quad\begin{array}{l}q_1^{\rm{DN}*} - q_1^{\rm{LN}*} = \displaystyle\frac{{\left( {1 - \lambda } \right)\left( {5r + 1} \right)a}}{{204{\lambda ^2} - 828\lambda + 840}} {\text{＞}} 0,\\q_1^{\rm{DN}*} - q_1^{\rm{ON}*} = - \displaystyle\frac{{\left( {2\lambda r - 3\lambda - 5r + 6} \right)a}}{{1\;122{\lambda ^2} - 4\;622\lambda + 4\;760}} {\text{＜}} 0,\end{array}$

即 $q_1^{\rm{ON}{\rm{*}}} {\text{＞}} q_1^{\rm{DN}{\rm{*}}} {\text{＞}} q_1^{\rm{LN}{\rm{*}}}$ 。创新制造商的最优产量满足

$\quad\quad\begin{array}{l}q_2^{\rm{DN}*} - q_2^{\rm{LN}*} = \displaystyle\frac{{\left( {\lambda - 1} \right)\left( {5r + 1} \right)a}}{{1\;156{\lambda ^2} - 4\;692\lambda + 4\;760}} {\text{＜}} 0,\\q_2^{\rm{DN}*} - q_2^{\rm{ON}*} = - \displaystyle\frac{{\left( {8\lambda - 17} \right)\left( {2\lambda r - 3\lambda - 5r + 6} \right)a}}{{3\;366{\lambda ^2} - 13\;866\lambda + 14\;280}} {\text{＞}} 0,\end{array}$

即 $q_2^{\rm{LN}{\rm{*}}} {\text{＞}} q_2^{\rm{DN}{\rm{*}}} {\text{＞}} q_2^{\rm{ON}{\rm{*}}}$ 。命题2得证。

命题2表明无论是何种市场结构，产品制造商的最优生产量在竞争对手处于强势地位时高于两者处于同等地位时的生产量，在自身处于“领导者”地位时生产量最低，并且不受到两者市场份额占比以及供应商持股比例的影响。出现此现象的原因在于，处于“领导者”地位的制造商决策的价格要高于竞争对手处于“领导者”地位时的价格，而对于同种类型的产品，“价格优势”更能得到消费者的青睐。另外，由命题1可知，处于同等地位的两制造商的零售价格最低，但此时激烈的竞争迫使产品的需求量并不能达到最高。

命题3 　供应商持股比例 $\lambda $ 对制造商利润有以下影响。

1)当供应商对制造商 ${M_1}$ 持股比例较大，即 $\lambda \in \left( {{\lambda _3},1} \right)$ 时，制造商 ${M_1}$ 的最优利润关系为 $ \varPi _1^{\rm{LN}{\rm{*}}} {\text{＞}}$ $ \varPi _1^{\rm{ON}{\rm{*}}} {\text{＞}} \varPi _1^{\rm{DN}{\rm{*}}}$ ；当供应商对制造商1持股比例较小，即 $\lambda \in \left( {0,{\lambda _3}} \right)$ 时，制造商 ${M_1}$ 的最优利润关系为 $\varPi _1^{\rm{ON}{\rm{*}}} {\text{＞}} $ $\varPi _1^{\rm{LN}{\rm{*}}} {\text{＞}} \varPi _1^{\rm{DN}{\rm{*}}}$ 。

2)当供应商对制造商 ${M_1}$ 持股比例较大，即 $\lambda \in \left( {{\lambda _5},1} \right)$ 时，制造商 ${M_2}$ 的最优利润关系为 $ \varPi _2^{\rm{LN}{\rm{*}}} {\text{＞}}$ $ \varPi _2^{\rm{DN}{\rm{*}}} {\text{＞}} \varPi _2^{\rm{ON}{\rm{*}}}$ ；当供应商对制造商 ${M_1}$ 持股比例较小，即 $\lambda \in \left( {0,{\lambda _5}} \right)$ 时，制造商 ${M_2}$ 的最优利润关系为 $ \varPi _2^{\rm{LN}{\rm{*}}} {\text{＞}}$ $ \varPi _2^{\rm{ON}{\rm{*}}} {\text{＞}} \varPi _2^{\rm{DN}{\rm{*}}}$ 。

证明 　制造商 ${M_1}$ 在3种市场结构下的利润函数作差可得

$\varPi _1^{\rm{DN}*} - \varPi _1^{\rm{LN}*} = \frac{{\left( {1 - \lambda } \right){{\left( {5r + 1} \right)}^2}\left( {17{\lambda ^2} - 34\lambda - 1} \right){a^2}}}{{204{{\left( {17\lambda - 35} \right)}^2}{{\left( {\lambda - 2} \right)}^2}}} {\text{＜}} 0,$

(29)

$\!\!\begin{array}{l}\quad\quad\varPi _1^{\rm{DN}*} - \varPi _1^{\rm{ON}*} =\\\!\!\displaystyle\frac{{\left( {1 \!-\! \lambda } \right)\left( {988\lambda r \!+\! 201\lambda \!-\! 2\;035r \!-\! 414} \right)\left( {2\lambda r \!-\! 3\lambda \!-\! 5r \!+\! 6} \right){a^2}}}{{6{{\left( {17\lambda \!-\! 35} \right)}^2}{{\left( {33\lambda - 68} \right)}^2}}} {\text{＜}}\!0,\end{array}$

(30)

$\quad\quad\varPi _1^{{\rm{LN}}*} - \varPi _1^{{\rm{ON}}*} = \frac{{\left( {\lambda - 1} \right){G_2}{a^2}}}{{204{{\left( {\lambda - 2} \right)}^2}{{\left( {33\lambda - 68} \right)}^2}}}{\text{。}}$

(31)

其中 ${G_2} \!=\! ( {1\;369{r^2} \!+\! 942r \!+\! 135} ){\lambda ^2} \!-\! ( {2\;176{r^2} \!+\!2\;448r \!+\!} $ ${ 408} )\lambda - 1\;244{r^2} + 1\;088r + 272$ 。式(31)的正负由 ${G_2}$ 决定。 ${G_2}$ 是关于 $\lambda $ 开口向上的二次函数，当 ${G_2} = 0$ 可求得2个实数根：

${\lambda _{3,4}} = \displaystyle\frac{{1\;088{r^2} + 1\;224r + 204 \pm \left( {290{r^2} + 118r - 12} \right)\sqrt {34} }}{{1\;369{r^2} + 942r + 135}},$

其中 $0 {\text{＜}} {\lambda _3} {\text{＜}} 1$ ， ${\lambda _4} {\text{＞}} 1$ (舍去)。

制造商 ${M_2}$ 在3种市场结构下的利润函数作差可得

$\quad\quad\varPi _2^{{\rm{DN}}*} - \varPi _2^{{\rm{LN}}*} = \frac{{\left( {1 - \lambda } \right)\left( {5r + 1} \right){G_3}{a^2}}}{{6\;936{{\left( {17\lambda - 35} \right)}^2}{{\left( {\lambda - 2} \right)}^2}}}{\text{。}}$

(32)

其中 $ {G_3} = \left( {408r \!-\! 612} \right){\lambda ^2} + \left( {2\;449 \!-\! 1\;831} \right)\lambda \!+\!2\;035r -$ $ 2\;449$ ，其二次函数对称轴 ${{\left( { 2\;449\!-\!1\;831r} \right)}/{\left( {1\;224 \!- \!816r} \right)}} {\text{＞}} $ 1，并且 ${G_3}(0) \!=\! 2\;035r \!-\! 2\;449 \!\!{\text{＜}}\! 0$ ， ${G_3}(1) \!=\! 612\left( {r \!-\! 1} \right) \!{\text{＜}} $ 0，故 $\varPi _2^{\rm{DN}*} {\text{＜}} \varPi _2^{\rm{LN}*}$ 。

$\varPi _2^{\rm{DN}*} - \varPi _2^{\rm{ON}*} = - \frac{{\left( {25{\lambda ^2} - 68\lambda + 34} \right){{\left( {2\lambda r - 3\lambda - 5r + 6} \right)}^2}{a^2}}}{{6{{\left( {17\lambda - 35} \right)}^2}{{\left( {33\lambda - 68} \right)}^2}}}{\text{。}}$

(33)

当 $\varPi _2^{\rm{DN}*} - \varPi _2^{\rm{ON}*} = 0$ ， ${\lambda _5} \approx 0.66$ ， ${\lambda _6} \approx 2.01$ (舍去)。因此当 $\lambda {\text{＜}} {\lambda _5}$ 时， $\varPi _2^{\rm{DN}*} {\text{＜}} \varPi _2^{\rm{ON}*}$ ，反之亦然。

$\quad\quad\varPi _2^{\rm{LN}*} - \varPi _2^{\rm{ON}*} = - \frac{{50{a^2}{G_4}}}{{867{{\left( {\lambda - 2} \right)}^2}{{\left( {33\lambda - 68} \right)}^2}}}{\text{。}}$

(34)

其中， ${G_4} = {\left( {r - \displaystyle\frac{3}{2}} \right)^2}{\lambda ^4} - \left( {\displaystyle\frac{{1\;341}}{{50}}{r^2} - \displaystyle\frac{{4\;629}}{{100}}r + \displaystyle\frac{{909}}{{100}}} \right){\lambda ^3} + $ $ \left( {\displaystyle\frac{{50\;431}}{{400}}{r^2} - \displaystyle\frac{{35\;433}}{{200}}r \;+\; \displaystyle\frac{{2\;583}}{{400}}} \right){\lambda ^2} \;- \left( {\displaystyle\frac{{10\;251}}{{50}}{r^2} - \displaystyle\frac{{6\;273}}{{200}}r \;-}\right.$ $\left.{ \displaystyle\frac{{561}}{{50}}} \right)\lambda + \displaystyle\frac{{2\;601}}{{25}}{r^2} - \displaystyle\frac{{578}}{5}r - \displaystyle\frac{{289}}{{25}} $ ，通过对 ${G_4}$ 求关于 $\lambda $ 的一阶导函数以及二阶导函数可知， ${G_4}$ 在 $\lambda \in \left( {0,1} \right)$ 区间内为增函数，并有 ${G_4}(0) {\text{＜}} 0,{G_4}(1) {\text{＜}} 0$ ，因此 $\varPi _2^{\rm{LN}*} {\text{＞}} \varPi _2^{\rm{ON}*}$ 。

命题3指出供应商对制造商 ${M_1}$ 持股不仅对 ${M_1}$ 的利润造成了影响，而且同时影响了制造商 ${M_2}$ 。首先观察制造商 ${M_1}$ ，可以发现，无论供应商对其持股比例如何，制造商同时决策时 ${M_1}$ 的收益最低。这是因为此时产品零售价格最低，需求上升带来的利润无法将价格降低损失的利润抵消。当供应商对 ${M_1}$ 持股比例较大时，对应的批发价格较低，此时处于“领导者”地位的 ${M_1}$ 制定的较高零售价掩盖了需求降低的负面影响，即价格的“先行优势”。当供应商对 ${M_1}$ 持股比例较小时，此时对应的批发价格较高，处于“追随者”地位的 ${M_1}$ 通过降低价格来扩大产品需求量，进而获取更高的利润，即“薄利多销”的销售模式。接下来观察制造商 ${M_2}$ ，可以看到， ${M_2}$ 处于弱势地位时获得的利润最高，与供应商的持股比例无关。因为作为“追随者”的制造商 ${M_2}$ 产品需求量最高，为其赢得了高收益，表现为价格“后行优势”，此时作为“追随者”是 ${M_2}$ 的最优策略。当供应商对 ${M_1}$ 持股比例较大时， ${M_1}$ 支付的产品批发价格降低，其有更大的空间与 ${M_2}$ 展开价格战，为了保持优势， ${M_2}$ 在两者同时决策价格时降低产品零售价，促进了市场份额与产品需求的增加，进而增加了收益。当供应商对 ${M_1}$ 持股比例较小时，产品批发价较高， ${M_2}$ 运用其“先行优势”提高产品零售价格，虽在一定程度上造成了需求的减少，但总利润仍高于两者地位相同时的收益。

命题4 　供应商持股比例 $\lambda $ 与市场份额 $r$ 对供应商利润有以下影响。

1)当制造商 ${M_1}$ 的市场份额较大，即 $r \in \left( {{r_2},1} \right)$ 时，若供应商持股比例较小 $\lambda \in \left( {0,{\lambda _7}} \right)$ ，供应商最优利润关系为 $\varPi _{\rm{S}}^{\rm{DN}*} {\text{＞}} \varPi _{\rm{S}}^{\rm{ON}*} {\text{＞}} \varPi _{\rm{S}}^{\rm{LN}*}$ ；若供应商持股比例较大 $\lambda \in \left( {{\lambda _7},1} \right)$ ，供应商最优利润关系为 $\varPi _{\rm{S}}^{\rm{DN}*} {\text{＞}} \varPi _{\rm{S}}^{\rm{LN}*} {\text{＞}} \varPi _{\rm{S}}^{\rm{ON}*}$ 。

2)当制造商 ${M_1}$ 的市场份额较小，即 $r \in \left( {0,{r_2}} \right)$ 时，供应商最优利润关系为 $\varPi _{\rm{S}}^{\rm{DN}*} {\text{＞}} \varPi _{\rm{S}}^{\rm{LN}*} {\text{＞}} \varPi _{\rm{S}}^{\rm{ON}*}$ 。

证明 　将3种市场结构下供应商的最优利润两两作差可得：

$\quad\quad\varPi _{\rm{S}}^{\rm{DN}*} - \varPi _{\rm{S}}^{\rm{LN}*} = \frac{{\left( {1 - \lambda } \right){{\left( {5r + 1} \right)}^2}{a^2}}}{{204\left( {17\lambda - 35} \right)\left( {\lambda - 2} \right)}} {\text{＞}}0,$

(35)

$\quad\quad\varPi _{\rm{S}}^{\rm{DN}*} - \varPi _{\rm{S}}^{\rm{ON}*} = \frac{{{{\left( {2\lambda r - 3\lambda - 5r + 6} \right)}^2}{a^2}}}{{6\left( {17\lambda - 35} \right)\left( {33\lambda - 68} \right)}} > 0,$

(36)

$\begin{split}&\quad\quad\varPi _{\rm{S}}^{\rm{LN}*} - \varPi _{\rm{S}}^{\rm{ON}*} =\\&\displaystyle\frac{{\left[ {2{{\left( {2r - 3} \right)}^2}{\lambda ^2} + 3\left( {3{r^2} + 42r - 23} \right)\lambda - 68\left( {2r - 1} \right)} \right]{a^2}}}{{204\left( {\lambda - 2} \right)\left( {33\lambda - 68} \right)}}{\text{。}}\end{split}$

(37)

式(37)的正负由 ${G_5} = ( {2{{( {2r - 3} )}^2}{\lambda ^2} +} { 3( {3{r^2} +42r -}}$ ${{ 23} )\lambda - 68( {2r - 1} )} )$ 决定。令 ${G_5} = 0$ 且其二次判别式 $\varDelta = 0$ ，可得

${\lambda _{7,8}} = \displaystyle\frac{{ - 9{r^2} - 126r + 69 \pm \sqrt {\left( {81{r^2} - 22r - 9} \right)\left( {{r^2} + 82r + 15} \right)} }}{{4{{\left( {2r - 3} \right)}^2}}},$

${\lambda _8} {\text{＜}} 0 {\text{＜}} {\lambda _7} {\text{＜}} 1$ ， ${r_2} \approx 0.5$ 。当 $r {\text{＜}} {r_2}$ 时， $\varDelta {\text{＜}} 0$ ，此时 $\varPi _{\rm{S}}^{\rm{LN}*} {\text{＞}} \varPi _{\rm{S}}^{\rm{ON}*}$ ；当 $r {\text{＞}} {r_2}$ 时， $\varDelta {\text{＞}} 0$ ， ${G_5}$ 是关于 $\lambda $ 开口向上的二次函数，若 $\lambda {\text{＜}} {\lambda _7}$ ， ${G_5} {\text{＜}} 0$ ，即 $\varPi _{\rm{S}}^{\rm{LN}*} {\text{＜}} \varPi _{\rm{S}}^{\rm{ON}*}$ ，若 $\lambda {\text{＞}} {\lambda _7}$ ， $\varPi _{\rm{S}}^{\rm{LN}*} {\text{＞}} \varPi _{\rm{S}}^{\rm{ON}*}$ ，命题4得证。

命题4表明供应商的利润与制造商市场份额 $r$ 及持股比例 $\lambda $ 有关。观察供应商的最优利润可以发现，无论制造商的市场份额如何分配以及供应商持股比例如何变化，在制造商处于同等地位的情形下，供应商的利润总能达到最高，这是因为制造商之间激烈的价格战使得市场需求增加，供应商“坐收渔翁之利”。另外还可以发现，制造商 ${M_1}$ 的市场份额较大时，若持股比例较小，供应商在 ${M_2}$ 居于“领导者”地位时获得的利润高于其处于“追随者”地位的利润；反之，若持股比例较大，供应商在 ${M_1}$ 强势时获利更高。当 ${M_1}$ 的市场份额较小，制造商地位不同时，供应商更希望 ${M_2}$ 处于弱势地位。

4 算例分析

本节将通过数值算例分析供应商持股比例 $\lambda $ 与制造商市场份额 $r$ 以及产品潜在需求 $a$ 对供应链总利润( $\Sigma \varPi = {\varPi _1} + {\varPi _2} + {\varPi _{\rm S}}$ )以及社会福利( $\rm{SW} = \rm{CS} +$ $ \Sigma \varPi $ )的影响。假设产品潜在需求 $a = 100,$ 制造商 ${M_1}$ 的市场份额取 $r = 0.2,r = 0.6$ 两组数据，分别得到图2~图5。另外，为了凸显3种市场结构的差异性，并在不改变因变量参数值大小关系的前提下，假设2种产品交叉价格敏感系数可取得最大值 $d = 1$ 。图2和图3均表明，随着持股比例 $\lambda $ 的增大，3种市场结构下供应链总利润先增大后减小，范围适中的持股比例才能达到供应链的最优状态。因为较小的持股比例对制造商存在正向的激励作用，制造商之间激烈的竞争虽然导致产品价格略有下降，但同时大大提升了产品需求量，使得供应链总收益增加。若持股比例较大，则会对制造商产生消极影响，进而造成供应链总利润的下降。观察图2可以发现，当 ${M_1}$ 市场份额较小，相比另外2种市场结构， ${M_2}$ 作为市场领导者时供应链总收益最低。若持股比例较低，制造商同等强势对供应链更有利；若持股比例较高， ${M_1}$ 成为市场领导者才可为整个供应链带来更高的收益。图3表明 ${M_1}$ 市场份额较大时，3种市场结构的供应链总收益大小不确定。若持股比例较低，制造商同等强势的市场结构优于 ${M_{\rm{2}}}$ 强势的市场结构， ${M_{\rm{1}}}$ 强势时总收益最低；持股比例较高时， ${M_{\rm{1}}}$ 强势成为最优的市场结构， ${M_{\rm{2}}}$ 作为领导者的市场结构供应链收益最低。

由图4与图5的变化趋势可以看到，3种市场结构下社会福利与供应商持股比例均呈正相关。图4说明制造商 ${M_1}$ 市场份额较小时，两制造商同等强势时社会福利最大， ${M_1}$ 较为强势时次之， ${M_1}$ 为市场“追随者”时社会福利最小。因为制造商之间竞争较为激烈时，可能会对供应链总收益带来负面影响，但同时增加了消费者剩余，使得 $\rm{DN}$ 市场结构下的社会福利最大。观察图5， ${M_1}$ 市场份额较大时，社会福利的最优值对应的市场结构依然是 $\rm{DN}$ 持股模型，但随着持股比例的增大， $\rm{ON}$ 持股模型逐渐替代 $\rm{LN}$ 模型成为社会福利最小的市场结构。因为 $\lambda $ 的增大使得消费者剩余均有所增加，但 $\rm{LN}$ 模型中供应链总利润上升幅度更快，由此制造商 ${M_2}$ 领导的市场结构的社会总福利逐渐落后，其变化趋势如图5所示。

5 结论与展望

在垄断供应商持股双寡头制造商的背景下，研究供应商持股比例对产品定价、产品需求量以及各方企业利润的影响，根据不同的市场结构，建立双寡头领导者、被持股制造商为领导者与未被持股制造商为领导者3种持股模型，通过对比制造商静态博弈与动态博弈下的均衡结果发现：1) 被持股制造商 ${M_1}$ 的最优零售价格在自身强势时最高，在竞争对手强势时次之，而制造商 ${M_{\rm{2}}}$ 的产品价格不仅受到市场结构的影响，还与持股比例与市场份额有关；2) 在任何情况下，竞争性制造商的产品需求量在竞争对手强势时达到最高，对手弱势时最低；3) 持股比例较大时，制造商 ${M_1}$ 具有“先动优势”，持股比例较小时， ${M_1}$ 具有“后动优势”，而制造商 ${M_{\rm{2}}}$ 的“后动优势”与持股比例无关；4) 供应商在双寡头领导者模型中利润最优，若制造商 ${M_1}$ 市场份额较大且持股比例较小，未被持股制造商为市场领导者时对供应商更有利；5) 供应链整体利润随持股比例 $\lambda $ 的增加先升高后降低，社会福利与 $\lambda $ 呈正相关。上述结论对企业的指导意义在于，在对产品进行定价时，实力较强的制造商可以制定相对较高的零售价格，相应的产品需求量也会随之降低，同时，制造商在一定程度上必须考虑持股比例的高低对其利润造成的影响。对供应商来说，下游制造商实力相当，竞争较为激烈时对其更加有利。另外，当制造商的市场份额和持股比例达到一定条件时，供应商选择实力较强的制造商进行持股，才能获得最优收益。持股比例适中时才能实现供应链利润的最大化，但就社会福利而言，供应商完全控股为最优战略。

可以从以下几个方面进行扩展研究：1) 本文仅考虑了供应商与制造商的单向持股，研究企业之间的交叉持股对产品定价策略的影响；2) 产品需求函数中可以加入某些影响因子，如制造商服务水平等因素。