近年来在我国高铁现代化快速发展的背景下，高铁客运专线的修建以及“四纵四横”快速客运通道的建成使得旅客对高速铁路的需求与服务质量不断提高。这要求我国铁路运营部门充分利用有限的资源，增强与航空等运输方式的竞争力，提高客运量并保证客票收益。

由于目前中央统一管理运价占高铁运价的主要部分，其客票定价体系不能有效适应市场竞争的要求，因此建立反应灵敏、信号准确、运转健康的高铁票价动态调整策略，是目前铁路改革的核心工作之一。

在铁路动态票价调整策略方面，国外研究起步较早，并形成了灵活多样的票价体系。Miller^[1]分析了与动态票价相关的马尔科夫决策过程并证明了单位时间内的运输票价存在稳态解等重要的基础性定理。Bharill等^[2]通过分析铁路票价和客流间的关系，预测未来的订票需求量及退票数，从而达到提高铁路部门收益的目的。Sidbari等^[3]将预售期以天为单位进行离散化，讨论了客票的随机动态启发式算法，利用动态规划的方法对订票需求进行预测，但其短期策略只能保证当前日期受益最大。Feng等^[4]研究了一次变更价格问题，通过对价格从较低增加至较高或较高减少至较低的分析，研究了票价的动态变化情况。国内，史峰等^[5]结合马氏决策过程和最优化理论研究了我国高铁动态票价理论，并在理论模型的基础上充分考虑了算法复杂度与售票方案的实用性，但该模型只能用于单区段的城际客运专线。朱颖婷^[6]基于差别定价的经济学原理，通过理论分析和仿真实验，研究了高铁客运的差别票价和竞争环境下确定高铁客票折扣率的方法，得出票价档数越多获得期望收益越大的结论。钱丙益等^[7]根据Bellman原理建立动态规划模型，验证了两个区段客运专线的最优动态票价调整策略的阈值特性。孙熙庆等^[8]通过分析铁路运营初期和稳定期进行动态票价控制的方法和步骤，提出了一种动态票价控制及销售策略的二分法方法。整体来看，以往的研究多侧重于从高铁票价与客运需求的角度来研究高铁动态票价问题，缺乏对市场竞争因素的考虑，即使涉及到市场竞争或市场细分的客票定价也没有对席位存量与动态票价的相互影响等问题进行分析。本文将采用动态规划的基本方法，综合考虑旅客购票选择行为、高铁席位存量控制、票价动态变化过程3个方面，确定高铁和航空两者竞争环境下的高铁票价与席位存量的定量关系，最终获得合理实用的高铁票价动态调整策略。

1 票价策略的市场影响因素

高铁客运票价的制定是一个复杂过程，需要综合考虑的因素非常多。除了运输成本和政府管制之外，本文基于市场竞争，在动态票价模型的构建过程中主要考虑竞争者因素和旅客购票行为因素^[6]。

1.1 竞争者因素

由于运输通道内各种运输方式均具有替代性，高铁客运票价必然受到竞争状况的影响。在800~1 500 km的长距离运输市场，高速高铁的主要竞争对手是民航客运。因此了解长距离运输市场，以更加灵活的票价应对市场竞争是本文制定票价策略考虑的因素之一。

1.2 购票行为因素

高铁的票价同时还受到旅客选择及购票行为的影响。高铁票价动态调整的目标就是在稳定既有忠诚旅客的同时尽量多地吸引没有出行偏好的旅客。因此，根据历史售票数据准确把握预售期内旅客购票请求到达的规律，有效刻画旅客的购票过程，能为客票精细化配置提供依据。

2 非同质旅客购票效益的表达

高铁票价动态调整过程需要考虑的主要竞争者为民航客运。本文假设高铁、航空运营方和出行旅客均为完全理性，运营方完全有能力采取最优定价策略，旅客完全有能力根据运输市场状况作出最优反应，且对于相同OD间的直达客流，其二者运输市场的客运需求为稳定需求。

2.1 旅客购票到达行为的过程描述

考虑高铁与相同OD间的航空两种运输方式在预售期 $ \left[ {0,T} \right] $ 内销售客票(不考虑票价等级)。采用离散时间模型，将预售区间划分为 $ L $ 个周期，周期长度 $ \Delta {{t_0}} = T/L $ ，每个周期最多只能到达一个旅客。预售期以逆序计， $ {\lambda _t} $ 表示周期 $ t = L,L - 1,...,3,2,1,0 $ 内旅客购票到达强度。可以证明，每个周期内顾客到达强度稳定，且不同周期间到达强度可能不同^[3]。故旅客在预售期内购票到达过程服从非齐次泊松分布，其强度参数 $ \lambda $ 按下式定量刻画：

$ \quad\quad{{\lambda}} = f({\lambda _L},{\lambda _{L - 1}},...,{\lambda _2},{\lambda _1},{\lambda _0}){\text{。}} $

(1)

式中， $ f(\cdot) $ 根据仿真数据以参数拟合方法得到^[9]。

2.2 非同质旅客的购票概率

根据运输市场的市场细分结果，将客运市场潜在购票需求分为3类：高铁忠诚旅客、航空忠诚旅客与带概率选择性旅客。由复合泊松分布的性质可得在周期 $ t $ 内旅客购到达强度

$ \quad\quad\begin{array}{l}{\lambda _t} = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^3 {{\lambda _{it}}} ,\quad t = L,L - 1,...,3,2,1,0 {\text{。}}\end{array} $

(2)

式中， $ {\lambda _{it}} $ 表示第 $ i $ 类旅客在周期 $ t $ 购票行为到达的强度； $ i = 1 $ 为高铁忠诚， $ i = 2 $ 为航空忠诚， $ i = 3 $ 为带概率选择。

设高铁与航空的票价在周期 $ t $ 时的票价为 $ {p_1}(t),{p_2}(t) $ ，第 $ i $ 类旅客在周期 $ t $ 内有 $ n $ 个旅客购票行为到达概率为

$\quad\quad \begin{array}{l} {P_i}\left( {{p_1}(t),{p_2}(t)} \right){\rm{ = }}\displaystyle\frac{{{\lambda _{it}}^n}}{{n!}}{{\rm{e}}^{ - {\lambda _{it}}}} ; \quad i = 1,2,3,\quad n {\text{≤}} 1 {\text{。}}\end{array} $

(3)

带概率选择性旅客除购票行为到达概率外，还存在选择何种客票的选择概率。设该类旅客选择第 $ j $ 种(铁路 $ j = 1 $ ；航空 $ j = 2 $ ；不购买 $ j = 0 $ )客票的到达概率 $ {P_{3j}}\left( {{p_1}(t),{p_2}(t)} \right) $ 。采用MNL模型描述带概率选择性旅客的购票行为^[3]，在第 $ j $ 种客票价格为 $ {p_j}\left( t \right) $ 时量化此类型旅客出行效用为

$\quad\quad {U_j} = {\alpha _j} - {\beta _j}{p_j} + {\varepsilon _j},\quad j = 1,2,0{\text{。}} $

(4)

式中， $ {\alpha _j} $ 为运输方式j的快速性、舒适性、方便性等非集计量化指标； $ \beta $ 为价格弹性参数； $ {\varepsilon _j} $ 为随机变量服从Gumbel分布。当旅客选择不购买任意种客票，其效用 $ {U_0} = {\varepsilon _0} $ 。故该类旅客的选择购买第 $ j $ 种客票的概率为

$\quad\quad {P_{3j}}\left( {{p_1}(t),{p_2}(t)} \right) = \frac{{{{\rm{e}}^{{\alpha _j} - \beta {p_j}}}}}{{1 + \sum\limits_{j = 0}^2 {{{\rm{e}}^{{\alpha _j} - \beta {p_j}}}} }}{\text{。}} $

(5)

旅客不购买任何一种运输方式客票的概率为

$\quad\quad {P_{30}}\left( {{p_1}(t),{p_2}(t)} \right) = \frac{1}{{1 + \sum\limits_{j = 0}^2 {{{\rm{e}}^{{\alpha _j} - \beta {p_j}}}} }}{\text{。}} $

(6)

因此，该类型旅客购票行为由购票到达与客票选择的联合概率刻画,如下式所示：

$ \begin{split}&\quad\quad {P'_{3j}}\left( {{p_1}(t),{p_2}(t)} \right) = {P_3}\left( {{p_1}(t),{p_2}(t)} \right) \times{P_3}_j\left( {{p_1}(t),}\right. \\&\left.{{p_2}(t)} \right),\quad j = 1,2,0{\text{。}} \end{split}$

(7)

2.3 旅客购票产生的效益

在周期 $ t $ 内有 $ n $ 个旅客购票行为到达，产生的效益为购票概率与对应票价乘积^[5]。对于高铁运营方而言，根据式(3)、式(7)可得旅客购票产生的效益 $ {R_t}\left( p \right) $ 如下：

$ \begin{gathered} \quad\quad{R_t} = \left[ {{P_1}\left( {{p_1}(t),{p_2}(t)} \right) + {{P'}_3}\left( {{p_1}(t),{p_2}(t)} \right)} \right] \times {p_1}(t) = \\ \!\!\!\!{\Bigg{(}} {\frac{{{\lambda _{1t}}^n}}{{n!}}{{\rm{e}}^{ - {\lambda _{1t}}}} + \frac{{{\lambda _{3t}}^n}}{{n!}}{{\rm{e}}^{ - {\lambda _{3t}}}} \times \frac{{{{\rm{e}}^{{\alpha _1} - \beta {p_1}}}}}{{1 + \sum\limits_{j = 0}^2 {{{\rm{e}}^{{\alpha _j} - \beta {p_j}}}} }}} {\Bigg{)}} \times {p_1}(t)\quad , \\ \quad n {\text{≤}} 1,\quad t = L,L - 1,...,2,1,0 {\text{。}}\end{gathered} $

(8)

3 高铁动态定价模型的构建

考虑高铁席位存量对票价的动态影响。设 $ c = ({c_1},{c_2}) $ 表示高铁与同OD下航空的初始席位能力， $ z = \left( {{z_1},{z_2}} \right) $ 则表示周期 $ t $ 内高铁与民航的可用席位能力。设 $ d = (\left( {{d_1}} \right)_{\min }^{\max },\left( {{d_2}} \right)_{\min }^{\max }) $ 表示高铁与航空的票价界限， $ p = \left( {{p_1},{p_2}} \right) $ 表示周期 $ t $ 内高铁与民航的当前票价。显然

$ \quad\quad\left\{ \begin{array}{l} {z_1} {\text{≤}} {c_1},\quad {z_2} {\text{≤}} {c_2} ;\\ {\left( {{d_1}} \right)_{\min }} {\text{≤}} {p_1} {\text{≤}} {\left( {{d_1}} \right)_{\max }}; \\ {\left( {{d_2}} \right)_{\min }}{\text{≤}} {p_2}{\text{≤}} {\left( {{d_2}} \right)_{\max }} {\text{。}}\end{array} \right. $

(9)

当没有旅客购票行为到达时，相邻周期的高铁或航空席位存量关系与期望效益关系为

$ \quad\quad\left\{ \begin{array}{l} {z_j}(t) = {z_j}(t - 1); \\ {R_t}( {{z_j}} ) = {R_{t - 1}}( {{z_j}}); \\ j = 1,2{\text{。}} \end{array} \right.$

(10)

在第 $ t - 1 $ 周期内有 $ n $ 个旅客购票行为到达，产生的效益为购票概率乘以票价与第 $ t $ 周期效益之和。因此任意周期 $ t - 1 $ 内，高铁忠诚旅客购票行为到达导致高铁运营方收益可按式(8)递推得到 $ {P_1}( {{p_1}(t),}$ ${{p_2}(t)})\left[ {{p_1}\left( t \right) + {R_t}\left( {{z_1} - 1,{z_2}} \right)} \right] $ 。同理，带概率选择性旅客到达并购买高铁客票期望收益为 $ {P'_{31}}( {{p_1}(t),{p_2}(t)} )\left[ {{p_1}\left( t \right) +}\right.$ $ \left.{ {R_t}\left( {{z_1} - 1,{z_2}} \right)} \right] $ 。若该类旅客购买航空客票，期望收益为 $ {P'_{32}}\left( {{p_1}(t),{p_2}(t)} \right) \times {R_t}\left( {{z_1},{z_2} - 1} \right) $ ；若该类旅客不购买任意一种客票，期望收益为 $ {P'_{30}}\left( {{p_1}(t),{p_2}(t)} \right) \times$ $ {R_t}\left( {{z_1},{z_2}} \right) $ ；若该周期内没有旅客购票行为到达，则期望收益为0。综上所述，根据Bellman动态规划原理，高铁运行方的期望收益 $ {R_{t - 1}}\left( {p,z} \right) $ 与目标函数约束条件如下。

$\left\{ \begin{array}{l}\quad\quad{{R_{t - 1}}\left( {p,z} \right) = \max }\;\;{\left[ {{P_1}\left( {{p_1}(t),{p_2}(t)} \right)\left[ {{p_1}\left( t \right) + {R_t}\left( {{z_1} - 1,}\right.}\right.} \right.}\\\left.{\left.{{z_2}} \right)} \right] + {{{P'}_{31}}\left( {{p_1}(t),{p_2}(t)} \right)\left[ {{p_1}\left( t \right) + {R_t}\left( {{z_1} - 1,{z_2}} \right)} \right] + }\\{{{P'}_{32}}\left( {{p_1}(t),{p_2}(t)} \right){R_t}\left( {{z_1},{z_2} - 1} \right) + }{\left. {{{P'}_{30}}\left( {{p_1}(t),}\right.}\right.}\\{\left.{\left.{{p_2}(t)} \right){R_t}\left( {{z_1},{z_2}} \right)} \right]}{\text{。}}\\{\rm{s}}.{\rm{t}.}\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\;\;\quad\quad\quad(11)\\\quad\quad 0 {\text{≤}} {z_1} {\text{≤}} {c_1};\quad 0 {\text{≤}} {z_2} {\text{≤}} {c_2};\quad {z_1},{z_2} \in {\rm{N}};\\{({d_1})_{\min }} {\text{≤}} {p_1} {\text{≤}} {({d_1})_{\max }};\quad {({d_2})_{\min }} {\text{≤}} {p_2} {\text{≤}} {({d_2})_{\max }};\\ t = L,L - 1,...,2,1,0{\text{。}} \end{array}\right.$

对目标函数求导可得

$ \begin{array}{l} \quad\;\;\displaystyle\frac{{{\rm{d}}{R_{t - 1}}\left( {p,z} \right)}}{{{\rm{d}}t}} = \max {\Bigg{[}} {\lambda _{1t}} \left( {\frac{{{\rm{d}}{p_1}\left( t \right)}}{{{\rm{d}}t}} + {R_{t - 1}}\left( {p,z} \right) - {R_t}\left( {p,z} \right)} \right) + \\ \left. {\lambda _{3t}} \beta \left( {\displaystyle\sum\limits_{j = 0}^2 {\displaystyle\frac{{{\rm{d}}{P_{3j}}\left( {{p_1}(t),{p_2}(t)} \right)}}{{{\rm{d}}t}} \frac{{{\rm{d}}{p_1}\left( t \right)}}{{{\rm{d}}t}}} + {R_{t - 1}}\left( {p,z} \right) - {R_t}\left( {p,z} \right)} \right){\rm{ + }} \right. \\ {\gamma _\lambda } {\Bigg{]}}{\text{。}}\\\end{array} $

(12)

其中， $ {{\gamma _\lambda }}$ 为单位时间 $\Delta t_0$ 内关于强度参数 $ \lambda$ 的概率密度函数，满足 $\int_0^{\Delta{t_0}} {{\gamma _\lambda }{\rm{d}}t = 0} $ 。

由单位时间 $ \Delta {{t_0}} \to 0 $ 时的运输票价存在稳态解,在第 $ t - 1 $ 周期内满足 $ {\rm{d}}{p_1}\left( t \right)/{\rm{d}}t = 0 $ ^[1]，因此式(12)可进一步化简为

$ \frac{{{\rm{d}}{R_{t - 1}}\left( {p,z} \right)}}{{{\rm{d}}t}} = \max \;\; \left\{ {\left( {{\lambda _{1t}} + {\lambda _{3t}}\beta } \right) \left[ {{R_{t - 1}}\left( {p,z} \right) - {R_t}\left( {p,z} \right)} \right] + {\gamma _\lambda }} \right\}{\text{。}} $

(13)

由Miller的结论：当 $ \Delta {{t_0}} \to 0 $ 时，非齐次泊松分布的到达强度在时间段 $ \Delta {t_0} $ 内为常数^[1]，可令 $ k = {\lambda _{1t}} + {\lambda _{3t}}\beta $ ，则 ${{\gamma _\lambda }}$ 转化为 ${{\gamma _k }} $ 。故，将式(13)改写成

$\quad\quad \frac{{{\rm{d}}{R_{t - 1}}\left( {p,z} \right)}}{{{\rm{d}}s}} = k \left[ {{R_{t - 1}}\left( {p,z} \right) - {R_t}\left( {p,z} \right)} \right] + {\gamma _k}{\text{。}} $

(14)

解此线性微分方程得^[5]

$ {R_{t - 1}}\left( {p,z} \right) = \int_0^{\Delta {{t}}_0} {\left[ {k{R_t}\left( {p,z} \right) + {\gamma _k}} \right]{{\rm{e}}^{ - \beta \Delta {{s}}_0}}{\rm{d}}s + {{\rm{e}}^{ - \beta \Delta {{t}}_0}}{R_{t - 1}}\left( {p,z} \right)}{\text{。}} $

(15)

当 $ \Delta {{t}}_0 \to 0 $ 时，

$ \quad\quad \frac{{{\rm{d}}{R_{t - 1}}\left( {p,z} \right)}}{{{\rm{d}}s}} = \frac{{{R_{t - 1}}\left( {p,z} \right) - {R_t}\left( {p,z} \right)}}{{\Delta {t_0}}} {\text{。}} $

(16)

得到高铁期望收益 $ {R_{t - 1}}\left( {p,z} \right) $ 的递推公式

$ \quad\quad {R_{t - 1}}\left( {p,z} \right) - {R_t}\left( {p,z} \right) = \frac{{{\rm{d}}{R_{t - 1}}\left( {p,z} \right)}}{{{\rm{d}}s}}\Delta {t_0} {\text{。}} $

(17)

结合式(15)并对式(17)移项可得

$ \left( {1 \!-\! {{\rm{e}}^{ - \beta \Delta {t_0}}}\Delta {t_0}} \right){R_{t - 1}}\left( {p,z} \right) \!-\! \left( {1 \!+\! k{{\rm{e}}^{ - \beta \Delta {t_0}}}\Delta {t_0}} \right){R_t}\left( {p,z} \right) \!=\! {{\rm{e}}^{ - \beta \Delta {t_0}}}\Delta {t_0}{\text{。}} $

(19)

在 $ \Delta {t_0} = 0 $ 的边界上， $ \Delta {t_0} = 0 $ 表示预售期结束开车时间已到，此时认为不再产生新的效益； $ z = 0 $ 表示票已售完，也不会产生任何收益。所以边界条件为

$ \quad\quad{R_{j0}}(z) = 0, $

(18)

表示预售期结束，运输产品的残值为0； ${R_t}(0,{z_2}) = $ $ {R_t}({z_1},0) = 0 $ ，表示如果竞争对手的运输产品卖完，则己方将垄断整个运输市场。

利用递推公式(17)和边界条件式(18)，选择适当的 $ \Delta {t_0} $ 值可递推地求解动态票价和相应的票额存量。

4 计算分析与实用策略

本文对某预售期为60 d的京广高铁旅客与相同OD下的航空旅客购票行为进行仿真研究，设高铁初始席位能力为 $ {c_1} = 500 $ ，周期数 $ L = 500 $ ,周期长度 $ \Delta {t_0} = 0.12 $ ，保证单位周期内最多售出一张客票。现利用Matlab 2012a对预售期内500个周期的京广铁路旅客购票量进行仿真并利用式(1)对各周期内的旅客购票行为到达强度进行参数 $ {\lambda _t} $ 拟合^[10]，如图1、图2所示。

根据图1、图2的仿真结果，本文将京广高铁预售期按参数 $ {\lambda _t} $ 的平稳分布特征分为4个阶段，分别统计各阶段票额存量、剩余周期数、剩余天数、阶段购票比例与 $ {\lambda _t} $ 值如表1所示。

根据阶段购票比例和式(2)对预售期内高铁忠诚旅客与带选择概率旅客的购票到达强度 $ {\lambda _{1t}} $ 、 $ {\lambda _{3t}} $ 联立方程组并求解得出近似数值解如表2所示。

将表2参数与 $ \Delta {t_0} $ 代入目标函数式(11)并将带选择概率旅客效用函数式(5)、(6)按MNL模型进行非集计处理^[6]，其计算所得参数如表3所示。

分别设定高铁动卧、航空的票价 $ {p_1}(t) $ 、 $ {p_2}(t) $ 界限 $ {({d_1})_{\min }} = 900 $ ， $ {({d_1})_{\max }} = 1\;200 $ ， $ {({d_2})_{\min }} = 1\;000 $ ， $ {({d_2})_{\max }} = 1\;500 $ ，按式(9)可得目标函数的实际约束条件：

$\quad\quad \left\{ \begin{gathered} 900 {\text{≤}}{p_1}(t) {\text{≤}} 1\;200, \\ 1\;000 {\text{≤}} {p_2}(t) {\text{≤}} 1\;500{\text{。}} \end{gathered} \right. $

故按照各阶段参数值 $ {\lambda _{1t}} $ 、 $ {\lambda _{3t}} $ 的不同，通过边界条件(18)与递推公式(17)计算高铁期望收益，各阶段期望收益随票价变动情况如图3所示。

计算得到各阶段最大期望收益分别为112 500元、99 750元、63 000元、161 000元，共计最大期望收益436 250元。对应的高铁最优票价分别为900元、950元、1 000元、920元。

按照上述的求解结果，按各阶段票额起始存量，旅客购票到达强度和持续周期数不同，构建实用的动态票价策略如图4所示。

其直观解释为：在预售期开始时，京广高铁按900元/张的价格发售125张客票，当到达预售期30 d前进入下一个调整状态，发售950元/张的客票105张，同理在到达预售期14 d前调整客票价格为1 000元/张并发放车票63张，最后当到达预售期8 d前再次调整价格为920元/张并将余票全部放出。注意：1) 当到达预售期价格调整点但还存在票额剩余时，则剩余客票与下一阶段发放的客票同时采用下阶段票价；2) 当在到达预售期价格调整点前客票提前售完，则进入下一阶段价格调整状态并采用该阶段的票额发售量，以此类推直到放空全部客票存量。

5 结论

随着我国铁路运营的市场化，高速铁路的动态票价策略对于国家综合运输市场的作用日益凸显。本文在高铁与航空运输的竞争环境下，利用数学方法与仿真手段求解给定票价范围下的最优客票调整策略。较之以往的票价需求弹性分析和静态定价策略，本文考虑了基于旅客概率选择行为的动态票价、席位容量控制策略，更能体现目前高铁在我国综合运输体系下的市场特征。通过仿真京广高铁的旅客购票行为表明，在高铁预售期内分阶段调整相应的票额存量与票价可以保证高铁运营者获得最优期望收益。

本文对旅客购票到达的非齐次泊松过程采用极限条件下的理想假设，对时变非增到达强度以及不同等级客票的差异性特征没有作定量描述。研究到达强度的“时变函数”和制定不同等级票价策略，将是本文进一步的研究方向。