智能制造时代的到来，推动了制造业向基于大数据分析与应用基础上的智能转型^[1]。如何在满足市场需求的同时，又能有效控制生产成本，提高生产效率是转型的主要目的之一。多产品、多计划期综合生产计划(multi-period and multi-product aggregate production planning, MPMP-APP) 是为完成某项生产任务而制定的中长期生产计划，其编制过程建立在对大数据的分析与应用的基础之上，以总成本最小为目标，实现生产、劳动力和库存水平等变量的最优组合。编制过程中往往涉及的决策变量和相关参数种类多，数量庞大，仅依靠经验排程是很难实现目标最优的。此外，在实际的经营决策中，MPMP-APP往往是多目标决策问题，且某些参数是不确定的。因此，如何统筹兼顾多种目标，在不确定环境下制订出综合最优的计划方案一直受到企业和学术界的重视，也是工业大数据应用的重要课题之一。

在传统的生产计划模型中，以研究确定性的生产计划问题居多，且主要集中在单一目标的优化上。然而在现实世界中，不确定性广泛存在于生产经营活动中，不确定环境下的多目标生产计划问题已成为当前的研究热点^[2-6]。依据优化问题中对所出现不确定变量描述方法的不同，不确定APP问题的研究方法主要可分为随机规划和模糊规划两类方法^[7]，2种方法的主要区别是对不确定性的描述方法不同，随机规划是将随机变量包含在数学规划模型中的理论和方法,而模糊规划则采用模糊集的方法来建立和求解不确定模型。两种方法在解决不确定APP问题中都有广泛的应用。如在随机规划方法中，文献[8]以产品需求、废品数和每班每台机床的可用时间为随机变量，建立了柔性自动化车间随机生产计划与控制的数学模型，并给出了求解该问题的算法；文献[9]提出了一种具有需求为随机变量、多产品多计划期多生产厂址的生产计划问题的随机规划方法，并考虑了订购数量的折扣、提前期和运输成本的关系、缺货惩罚和废物排放等因素。提出的模型首先是一个非线性混合整数规划，通过应用一些理论和数值方法，将其转化为线性混合整数规划实现模型的求解。文献[10]考虑了多产品多计划期生产计划中需求、生产能力、材料供应、加工时间、返工和报废等的不确定性，研究了柔性自动化车间的分层随机生产规划问题，建立了包含需求约束和分段线性目标函数的随机非线性规划模型。为便于求解，首先将模型近似转化为确定性非线性规划模型，并进一步转化为线性规划模型，并采用Karmarkar算法和交互/预测算法实现模型的求解。在模糊规划方法中，文献[11]建立了以单位利润、生产能力以及产品需求为模糊参数的批量生产计划的可信性规划模型，将模糊参数描述为梯形模糊数，并转化为清晰等价形式以进行求解；文献[12]提出了具有模糊需求量和模糊能力约束以及资本水平约束的多产品综合生产计划问题的模糊优化模型及模糊解方法；文献[13]以产品的市场需求和库存成本为模糊变量，提出了一种两阶段多产品多计划期模糊优化方法；文献[14]提出了包含模糊需求与随机生产能力的跨国供应链计划模型，采用等价理论，将模型转化为模糊机会约束规划模型，并利用遗传算法与模糊模拟技术相结合的混合算法进行求解。

虽然上述两类方法能够较好地处理生产系统中的不确定性,但是随机规划建立在不确定参数的概率分布基础上,而模糊规划则需要获取不确定参数的模糊隶属度函数。构造精确的概率分布和模糊隶属度函数需要大量的信息支持，对于很多生产实际问题，由于信息采集技术、人员操作水平的差异或实际条件所限，往往无法获得足够的样本信息。因此，上述两类方法的适用性均存在一定的局限性。区间数优化是一种相对较新的不确定性优化方法^[15]，它利用区间的上下界来描述参数的不确定性，故在不确定性建模方面体现了很好的方便性和经济性，具有更强的工程应用潜力。

为此，针对传统不确定规划方法在解决多目标、多产品、多计划期、参数不确定APP问题存在的问题，本文提出一种基于区间数的目标规划优化方法，建立了多目标、多产品、多计划期、参数不确定APP问题的区间数目标规划模型，通过引入区间可能度和置信水平，实现将不确定区间模型转化为等价确定模型，在此基础上采用Lingo软件，并编写相应的程序完成对模型的求解。

1 问题描述

多目标、多产品、多计划期、参数不确定生产计划问题可描述为：在计划期T内要生产N种不同类型的产品i以满足市场需求，假设计划期t对产品i的需求量是 ${\tilde D_{it}}$ ，各计划期可分配资源有设备最大工时 ${M_{t\max }}$ (h)和劳动力水平 ${W_t}$ (人)。生产成本包括正常上班、加班、外包、库存和劳动力等成本因素。模型中使用的符号及模型描述说明如下。

1.1 符号说明

决策变量如下：

${Q_{it}}$ ：第i个产品在第t计划期内正常上班时的产量(件)；

${O_{it}}$ ：第i个产品在第t计划期内加班上班时的产量(件)；

${S_{it}}$ ：第i个产品在第t计划期内的外包数量(件)；

${I_{it}}$ ：第i个产品在第t计划期内的库存数量(件)；

${W_t}$ ：第t计划期内可用的劳动力人数(人)；

${H_t}$ ：第t计划期内新雇佣的劳动力人数(人)；

${L_t}$ ：第t计划期内解雇的劳动力人数(人)。

相关参数如下：

$N$ ：产品种类；

$T$ ：计划期数；

${\tilde D_{it}}$ ：第i个产品在第t计划期的市场需求数量(件)；

${\tilde q_i}$ ：第i个产品正常上班时的单位生产费用(元/件)；

${\tilde o_i}$ ：第i个产品加班时的单位生产费用(元/件)；

${\tilde s_i}$ ：第i个产品外包的单位费用(元/件)；

${\tilde h_i}$ ：第i个产品库存的单位费用(元/件)；

$\tilde {\rm{h}}{{\rm{r}}_t}$ ：第t计划期单位劳动力雇佣费用(元/人)；

${\rm{l}}{\tilde {\rm{o}}_t}$ ：第t计划期单位劳动力解雇费用(元/人)；

${\tilde w_t}$ ：第t计划期单位劳动力工时费用(元/人)；

${W_t}$ ：第t计划期可用劳动力数量(人)；

${M_{t\max }}$ ：第t计划期的最大生产能力(h)；

${e_i}$ ：生产第i产品的单位劳动力工时(h/件)；

${\tilde r_i}$ ：生产第i个产品的单位机器工时(h/件)；

$\rho $ ：每计划期的有效工作时间(h/人·期)；

${\lambda _t}$ ：第t计划期的加班系数。

上述参数中，上方带“~”字母在本文中假设为区间型不确定参数，其余为确定参数。

1.2 多目标MPMP-APP模型建立

以总生产成本最小为目标1，同时为避免开工不足，确保设备充分利用，将目标2设定为最大化机器的累计利用时间，具体模型如下。

$\begin{split}&\displaystyle\quad\quad\min \;{{\tilde f}_1} = \sum\limits_{i = 1}^N {\sum\limits_{t = 1}^T {\left( {{{\tilde q}_{it}}{Q_{it}} + {{\tilde o}_{it}}{O_{it}} + {{\tilde s}_{it}}{S_{it}}} \right)} }+ \\&\displaystyle \sum\limits_{t = 1}^T {\sum\limits_{i = 1}^N {{{\tilde h}_{it}}{I_{it}}} } + \sum\limits_{t = 1}^T {\left( {\tilde {\rm{h}}{{\rm{r}}_t}{H_t} + {\rm{l}}{{\tilde {\rm{o}}}_t}{L_t} + {{\tilde w}_t}{W_t}} \right)} ,\end{split}$

(1)

$\quad\quad{\max \;{{\tilde f}_2} = \sum\limits_{i = 1}^N {\sum\limits_{t = 1}^T {{{\tilde r}_i}({Q_{it}} + {O_{it}})} } }{\text{。}}$

(2)

s.t.

$\quad\quad{{Q_{it}} + {O_{it}} + {S_{it}} + {I_{i(t - 1)}} - {I_{it}} {\text{≥}} {{\tilde D}_{it}},\;\;\forall i,\forall t;}$

(3)

$\quad\quad{\sum\limits_{i = 1}^N {{{\tilde r}_i}({Q_{it}} + {O_{it}}) {\text{≤}} {{\tilde M}_{t\max }},\;\;\forall t;} }$

(4)

$\quad\quad{\sum\limits_{i = 1}^N {{e_i}} {Q_{it}} {\text{≤}} \rho {W_t},\;\;\forall t;}$

(5)

$\quad\quad{\sum\limits_{i = 1}^N {{e_i}} {O_{it}} {\text{≤}} {\lambda _t}\rho {W_t},\;\;\forall t;}$

(6)

$\quad\quad{{W_t} = {W_{t - 1}} + {H_t} - {L_t},\;\;\forall t;}$

(7)

$\quad\quad{{Q_{it}},{O_{it}},{S_{it}},{I_{it}},{H_t},{L_t},{W_t} {\text{≥}} 0,\;\;\forall i,\forall t}{\text{。}}$

(8)

式(1)为目标函数1，表示总生产成本，其中， $\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^N {\sum\limits_{t = 1}^T {( {{{\tilde q}_{it}}{Q_{it}} + {{\tilde o}_{it}}{O_{it}} + {{\tilde s}_{it}}{S_{it}}} )} } $ 为N个产品、T计划期内的正常生产、加班和外包成本之和， $\displaystyle\sum\limits_{t = 1}^T {\sum\limits_{i = 1}^N {{{\tilde h}_{it}}{I_{it}}} } $ 为N个产品、T计划期的库存成本， $\displaystyle\sum\limits_{t = 1}^T {( {\tilde {\rm{h}}{{\rm{r}}_t}{H_t} + {\rm{l}}{{\tilde {\rm{o}}}_t}{L_t} + {{\tilde w}_t}{W_t}} )} $ 为T计划期的劳动力和雇佣/解雇成本；式(2)为目标函数2，表示最大化T计划期内生产N种产品的累计设备占用时间；式(3)为需求量与正常生产、加班生产、外包、库存在数量上的平衡；式(4)为各计划期生产能力约束；式(5)为正常上班时间约束；式(6)为加班时间约束；式(7)表示当期劳动力数量和前期劳动力数量及当期雇佣和解雇数量的平衡约束；式(8)为非负约束。

为便于对区间数约束进行分析和求解，模型中没有考虑库存和违约等约束，并假设区间数仅存在于式(1)~式(4)中，且式(4)两边均包含区间数。

2 基于区间可能度的目标规划方法 2.1 区间数和区间可能度

定义1　设R为实数域，对于任意 ${A^{\rm{L}}} \in {\rm{R}}, $ ${A^{\rm{R}}} \in {\rm{R}}$ ，且满足 ${A^{\rm{L}}} {\text{≤}} {A^{\rm{R}}}$ ，则称闭区间 $\tilde A = [{A^{\rm{L}}},{A^{\rm{R}}}]$ 为一个区间数，特别地，当 ${A^{\rm{L}}} = {A^{\rm{R}}}$ 时，则 $\tilde A$ 退化为一个确定的实数^[16]。

定义2　设计区间数 $\tilde A = [{A^{\rm{L}}},{A^{\rm{R}}}]$ 和 $\tilde B = [{B^{\rm{L}}},{B^{\rm{R}}}]$ ，定义 $P(\tilde A {\text{≤}} \tilde B)$ 为区间数 $\tilde A {\text{≤}} \tilde B$ 的可能度，其数值根据不同的可能度定义公式确定^[17]。

可能度反映了两区间数的大小(或优劣)关系，其值一般在0~1之间。对于区间数可能度的构造，国内外学者提出了多种不同的构造方法^[18-20]。文献[15, 21]在上述方法的基础上，将区间数 $\tilde A$ 和 $\tilde B$ 的所有可能位置关系归纳为6种不同情况，提出一种改进的区间可能度构造方法，即区间数 $\tilde A$ 小于等于区间数 $\tilde B$ 的可能度 $P(\tilde A {\text{≤}} \tilde B)$ 表示如式(9)。更多的关于区间可能度的比较见文献[17]。

$\quad\quad\quad\quad\quad{P_{{\rm{(}}\tilde A {\text{≤}} \tilde B{\rm{)}}}}{\rm{ = }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0,} & {{A^{\rm{L}}} {\text{≥}} {B^{\rm{R}}};}\\{\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{{{B^{\rm{R}}} - {A^{\rm{L}}}}}{{{A^{\rm{R}}} - {A^{\rm{L}}}}} \cdot \displaystyle\frac{{{B^{\rm{R}}} - {A^{\rm{L}}}}}{{{B^{\rm{R}}} - {B^{\rm{L}}}}},} & {{B^{\rm{L}}} {\text{≤}} {A^{\rm{L}}} {\text{＜}} {B^{\rm{R}}} {\text{≤}} {A^{\rm{R}}};}\\{\displaystyle\frac{{{B^{\rm{L}}} - {A^{\rm{L}}}}}{{{A^{\rm{R}}} - {A^{\rm{L}}}}} + \displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{{{B^{\rm{R}}} - {B^{\rm{L}}}}}{{{A^{\rm{R}}} - {A^{\rm{L}}}}},} & {{A^{\rm{L}}} {\text{＜}} {B^{\rm{L}}} {\text{＜}} {B^{\rm{R}}} {\text{≤}} {A^{\rm{R}}};}\\\!\!\!\begin{array}{l}\displaystyle\frac{{{B^{\rm{L}}} - {A^{\rm{L}}}}}{{{A^{\rm{R}}} - {A^{\rm{L}}}}} + \displaystyle\frac{{{A^{\rm{R}}} - {B^{\rm{L}}}}}{{{A^{\rm{R}}} - {A^{\rm{L}}}}} \cdot \displaystyle\frac{{{B^{\rm{R}}} - {A^{\rm{R}}}}}{{{B^{\rm{R}}} - {B^{\rm{L}}}}} + \displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{{{A^{\rm{R}}} - {B^{\rm{L}}}}}{{{A^{\rm{R}}} - {A^{\rm{L}}}}} \cdot \displaystyle\frac{{{A^{\rm{R}}} - {B^{\rm{L}}}}}{{{B^{\rm{R}}} - {B^{\rm{L}}}}},\end{array} & {{A^{\rm{L}}} {\text{＜}} {B^{\rm{L}}} {\text{≤}} {A^{\rm{R}}} {\text{＜}} {B^{\rm{R}}};}\\{\displaystyle\frac{{{B^{\rm{R}}} - {A^{\rm{R}}}}}{{{B^{\rm{R}}} - {B^{\rm{L}}}}} + \displaystyle\frac{1}{2}\cdot \displaystyle\frac{{{A^{\rm{R}}} - {A^{\rm{L}}}}}{{{B^{\rm{R}}} - {B^{\rm{L}}}}},} & {{B^{\rm{L}}} {\text{≤}} {A^{\rm{L}}} {\text{＜}} {A^{\rm{R}}} {\text{＜}} {B^{\rm{R}}};}\\{1,} & {{A^{\rm{R}}} {\text{＜}} {B^{\rm{L}}}{\text{。}}}\end{array}} \right.$

(9)

其中， $P(\tilde A \leqslant \tilde B)$ 表示区间数 $\tilde A$ 小于等于区间数 $\tilde B$ 的可能度。如区间数 $\tilde B$ 退化为实数b时，相应的区间可能度 $P(\tilde A \leqslant b)$ 表示为

$\quad\quad P(\tilde A {\text{≤}} b) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0,}&{b {\text{≤}} {A^{\rm{L}}};} \\ {\displaystyle\frac{{b - {A^{\rm{L}}}}}{{{A^{\rm{R}}} - {A^{\rm{L}}}}},}&{{A^{\rm{L}}} {\text{＜}} b {\text{≤}} {A^{\rm{R}}};} \\ {1,}&{b {\text{＞}} {A^{\rm{R}}}{\text{。}}} \end{array}} \right.$

(10)

2.2 区间数MPMP-APP问题的目标规划模型

目标规划可视为多目标优化问题的一种特殊的妥协模型，广泛应用于经济建设的各个领域。其目的是最小化目标函数与理想目标的偏差(正偏差或负偏差)。在实际问题中，多个目标之间往往是不相容的。如在MPMP-APP问题中，一个目标是总生产成本最小，另一个目标则要求各个计划期内设备的工作和空闲时间安排合理，即设备的利用率要最大化。因此，目标之间具有不同的优先系数。此外，在目标规划中，约束有两类，一类是对资源有严格约束的，用严格的等式或不等式处理，这类约束称为刚性约束(hard constraint)，另一类约束是可以不严格限制的，称为柔性约束(soft constraint)。为便于分析，本文将目标函数(1)、(2)，以及约束(3)和约束(4)作为柔性约束，其他约束作为刚性约束。依据区间可能度的定义，MPMP-APP模型可修改为基于区间可能度的MPMP-APP目标规划模型，如下所示。

$\quad\quad{{\rm{lex}}\min (d_1^ + ,d_2^ - ){\text{。}}}$

(11)

s.t.

$\quad\quad{{P_1}[({f_1}({{x}},{{\xi }}) - d_1^ + ) {\text{≤}} {\rm{Goa}}{{\rm{l}}_1}] {\text{≥}} {\alpha _1}};$

(12)

$\quad\quad{{P_2}[({f_2}({{x}},{{\xi }}) + d_2^ - ) {\text{≥}} {\rm{Goa}}{{\rm{l}}_2}]{\text{≥}} {\alpha _2};}$

(13)

$\quad\quad{{P_{3it}}[{Q_{it}} \!+\! {O_{it}} \!+\! {S_{it}} \!+\! {I_{i(t \!-\! 1)}} \!-\! {I_{it}} {\text{≥}} {{\tilde D}_{it}}] {\text{≥}} {\alpha _{3it}},\forall i,\forall t;}$

(14)

$\quad\quad{{P_{4t}}(\sum\limits_{i = 1}^N {{{\tilde r}_i}({Q_{it}} + {O_{it}}) {\text{≤}} {{\tilde M}_{t\max }}) {\text{≥}} {\alpha _{4t}}} ,\;\;\;\;\forall t;}$

(15)

$\quad\quad{d_1^ + ,d_2^ - {\text{≥}} 0;}$

(16)

$\quad\quad{\text{式}}{\left( {5} \right) {\text{～}} {\text{式}}\left( {8} \right){\text{。}}}$

(17)

式中，lexmin表示字典序最小化目标向量； $d_1^ + $ 为偏离目标1期望值的正偏差量； $d_2^ - $ 为偏离目标2期望值的负偏差量； ${f_1}({{x}},{{\xi }})$ 和 ${f_2}({{x}},{{\xi }})$ 分别表示目标函数(1)和(2)； ${{x}}$ 为决策向量； ${{\xi }}$ 为区间型不确定参数向量。 ${{\rm{Goa}}{{\rm{l}}_1}}$ 和 ${{\rm{Goa}}{{\rm{l}}_2}}$ 分别为目标函数(1)和(2)的理想目标值。P表示区间可能度， ${\alpha _1}$ 、 ${\alpha _2}$ 、 ${\alpha _{3t}}$ 、 ${\alpha _{4t}}$ 为决策者给定的区间可能度置信水平，且 $0 {\text{≤}} {\alpha _1},{\alpha _2},{\alpha _{3t}},{\alpha _{4t}} {\text{≤}} 1$ 。例如，约束(15)表示各计划期机器占用时间 $\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^N {{{\tilde r}_i}({Q_{it}} + {O_{it}})} $ 小于等于当期设备最大能力 ${\tilde M_{t\max }}$ 的可能度应满足 ${P_{4t}} {\text{≥}} {\alpha _{4t}} (t = 1,2, \cdots ,T)$ 。为便于分析，本文假设MPMP-APP模型中的区间参数存在于目标函数(1)和(2)，以及约束(3)和(4)中，其他约束视为确定性约束。

2.3 区间可能度的等价清晰转换

因为区间目标规划模型中的目标函数和约束函数中含有区间型参数，因此该模型不能直接求解，需要先将模型中不确定约束转换为等价的确定形式。为此，需引入下述定理。

定理1　假设函数

$\quad\quad f({{x}},{{\xi }} ) = \sum\limits_{k = 1}^m {{h_k}({x_k}){\xi _k}} + {h_0}(x){\text{。}}$

(18)

其中， ${h_k}({x_k})$ 为x_k的函数， ${{\xi }} $ 是区间型向量，记 ${\xi _k} = [\xi _k^{\rm{L}},\xi _k^{\rm{R}}]$ ， $k = 1,2, \cdots ,m$ ，对给定的任意实数r和置信水平 $\alpha $ ( $0 {\text{＜}} \alpha {\text{＜}} 1$ )，区间可能度 $P(f({{x}},{{\xi }}) {\text{≤}} r) {\text{≥}} \alpha $ 可转换为如下的清晰形式：

$\quad\quad\alpha f{({{x}},{{\xi }})^{\rm{R}}} + (1 - \alpha )f{({{x}},{{\xi }})^{\rm{L}}} {\text{≤}} r{\text{。}}$

(19)

其中， $f{({{x}},{{\xi }})^{\rm{L}}} \!=\!\mathop {\min }\limits_\xi ,f{({{x}},}{{\xi }})$ ， $f{({{x}},{{\xi }})^{\rm{R}}} = \mathop {\max }\limits_\xi f({{x}},{{\xi }})$ 。

证明：因为 ${h_k}({x_k})$ 为x_k的函数， ${\xi _k} = [\xi _k^{\rm{L}},\xi _k^{\rm{R}}]$ ，则函数 $f({{x}},{{\xi }})$ 也是一个区间数，同样可记为 $ f({{x}},{{\xi }}) =$ $ [f{({{x}},{{\xi }})^{\rm{L}}},f{({{x}},{{\xi }})^{\rm{R}}}]$ 。由区间可能度定义式(9)和式(10)知，式(19)成立，证毕。

同理，区间可能度 $P(f({{x}},{{\xi }}) {\text{≥}} r) {\text{≥}} \alpha $ 可转换为式(20)的等价清晰形式：

$\quad\quad(1 - \alpha )f{({{x}},{{\xi }})^{\rm{R}}} + \alpha f{({{x}},{{\xi }})^{\rm{L}}} \geqslant r{\text{。}}$

(20)

图1和图2给出了 $P(f({{x}},{{\xi }}) {\text{≤}} r) {\text{≥}} \alpha $ 和 $P(f({{x}},{{\xi }}) {\text{≥}} r) {\text{≥}} $ $ \alpha $ 的几何分布关系。

根据定理1和式(19)，约束(12)可转换为

$\begin{split} &\quad\quad{P_1}[({f_1}({{x}},{{\xi }}) - d_1^ + ) {\text{≤}} {\rm{Goa}}{{\rm{l}}_1}] {\text{≥}} {\alpha _1} \Rightarrow \\ &{\alpha _1}[{f_1}{({{x}},{{\xi }})^{\rm{R}}} \!-\! d_1^ + ] \!+\! (1 \!-\! {\alpha _1})[({f_1}{({{x}},{{\xi }})^{\rm{L}}} \!-\! d_1^ + )] \!\leqslant\! {\rm{Goa}}{{\rm{l}}_1}{\text{。}}\\ \end{split} $

(21)

同理，由定理1和式(20)，约束(13)可转换为

$\begin{split} &\quad\quad{P_2}[({f_2}({{x}},{{\xi }}) + d_2^ - ) {\text{≥}} {\rm{Goa}}{{\rm{l}}_2}] {\text{≥}} {\alpha _2} \Rightarrow \\ &(1 \!-\! {\alpha _2})[{f_2}{({{x}},{{\xi }})^{\rm{R}}} \!+\! d_2^ - ] \!+\! {\alpha _2}[{f_2}{({{x}},{{\xi }})^{\rm{L}}} \!+\! d_2^ - ] {\text{≥}} {\rm{Goa}}{{\rm{l}}_2} {\text{。}}\end{split} $

(22)

由定理1和式(19)，约束(14)可转换为

$\begin{split}&\quad\quad{P_{3it}}[{Q_{it}} +\! {O_{it}} +\! {S_{it}} \!+\! {I_{i(t - 1)}} - {I_{it}} {\text{≥}} {{\tilde D}_{it}}] {\text{≥}} {\alpha _{3it}} \Rightarrow \\ &{\alpha _{3it}}D_{it}^{\rm{R}} + (1 - {\alpha _{3it}})D_{it}^{\rm{L}} {\text{≤}} {Q_{it}} + {O_{it}} + {S_{it}} + {I_{i(t - 1)}} - {I_{it}} {\text{。}} \end{split} $

(23)

此外，因约束(15)中 $\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^N {{{\tilde r}_i}({Q_{it}} + {O_{it}}) {\text{≤}} {{\tilde M}_{t\max }}} $ 的不等式两边均含区间参数，故不能直接用定理1转换为确定性约束。由区间可能度式(9)知，根据两侧的位置关系，该类约束可转换为6种确定形式。如当满足 $r_i^{\rm{L}}({Q_{it}} + {O_{it}}) {\text{＜}} M_{t\max }^{\rm{L}} {\text{＜}} M_{t\max }^{\rm{R}} {\text{≤}} r_i^{\rm{R}}({Q_{it}} + {O_{it}})$ 时，可转换为 ${\alpha _{4t}}(r_i^{\rm{L}} + r_i^{\rm{R}})({Q_{it}} + {O_{it}}) {\text{≤}} \displaystyle\frac{{M_{t\max }^{\rm{L}} + M_{t\max }^{\rm{R}}}}{2}$ 的等价确定形式，其他位置关系，可按式(9)转换为相应的等价形式。

经过上述转换，上述区间可能度目标规划模型已转换为等价的确定性模型，对该模型可采用Lingo软件编写程序进行求解。

3 算例分析

为便于说明，本文给出一个产品种类N=2、计划期T=4的MPMP-APP区间目标规划计算算例。相关参数见表1~表5。

其他相关参数说明如下。

1) 假设产品1的期初库存为40，产品2的期初库存为20；另外，要求产品1的期末库存为300，产品2的期末库存为200。

2) 设各计划期加班系数均为 ${\lambda _t} = 0.3$ ，每天工作时间 $\rho = 140$ h/(人·期)，期初可用劳动力数为20人。

3) 假设目标1的期望成本Goal₁=320 000，且可能度置信水平为80%，即 ${\alpha _1} = 0.8$ 。

4) 假设目标2的期望值为各计划期总生产能力均值的85%，即

$\quad\quad{\rm{Goa}}{{\rm{l}}_2} = \sum\limits_{t = 1}^T {(M_{t\max }^{\rm{L}} + M_{t\max }^{\rm{R}}) \times 85\% } = 1\;474.75{\text{。}}$

且可能度置信水平为80%，即 ${\alpha _2} = 0.80$ 。

5) 约束(14)和(15)各计划期的可能度置信水平均为 ${\alpha _{3it}} = {\alpha _{4t}} = 0.8,\;\forall i,\forall t$ 。

采用Lingo软件编制相应的程序对上述模型进行求解。优化结果如表6所示。

结果分析如下。

1) 因目标函数中有不确定的区间型参数存在，因此求解后得到的目标值仍为区间数。优化后总成本 ${\tilde f_1} = [{\rm{239\;093}}{\rm{.2}},{\rm{315\;308}}{\rm{.0}}]$ ，累计设备利用时间为 ${\tilde f_2} = [1\;352.950,{\rm{ }}1\;693.690]$ h。

2) 优化后总成本满足 ${f_1}({{x}},{{\xi }})) \leqslant {\rm{Goa}}{{\rm{l}}_1} = $ 320 000的可能度大于置信水平 ${\alpha _1} = 0.8$ 的约束要求，偏差 $d_1^ + = {\rm{0}}$ 。

3) 正常上班和加班的累计设备利用时间不能满足 $\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^N {\sum\limits_{t = 1}^T {} {{\tilde r}_i}({Q_{it}} + {O_{it}})} \geqslant {\rm{Goa}}{{\rm{l}}_2} = 1 \; 474.75$ 的可能度大于等于置信水平 ${\alpha _2} = 0.8$ 的约束要求，有偏差 $d_2^ - = $ 53.652。

4) 其他刚性约束均严格满足约束要求。

5) 如将目标1的成本期望值由320 000元调整为280 000元，即Goal₁=280 000元，其他参数不变，运行结果如表7所示。

从表7可以看出，当决策者将成本目标设置为280 000元时，优化后总成本为： ${\tilde f_1} = [{\rm{227 \; 780}}{\rm{.6}},$ ${\rm{300 \; 695}}{\rm{.7}}] $ ，比原来的优化结果有所降低，但不满足成本目标Goal₁=280 000和可能度置信水平大于等于0.8的约束要求，偏差为 $d_1^ + = {\rm{6 \; 112}}{\rm{.660}}$ ，而累计设备利用时间为 ${\tilde f_2} = [1 \; 318.000,1 \; 650.240]$ ，与目标Goal₂=1 474.75的偏差进一步增大，偏差值为 $d_2^ - = {\rm{90}}{\rm{.302 \; 00}}$ 。由此可以看出，目标1和目标2是不相容的，即若降低成本 ${\tilde f_1}$ ，则会导致设备利用不足；相反，若提高设备利用率，则成本会相应增加，二者相互制约，决策者需统筹考虑。

4 结论

针对多产品多计划期参数不确定的生产计划问题，本文将各计划期的市场需求量、生产成本参数、生产能力、人工工时和机器工时等视为区间数，并根据约束的实际意义和分析的方便，将成本和设备利用目标作为柔性区间约束处理，而数量平衡和生产能力约束作为刚性区间约束处理，建立了基于区间可能度的MPMP-APP问题的目标规划模型。根据区间可能度的序关系，将不确定的区间约束转换为确定约束，最终得到等价的清晰模型。最后采用Lingo软件编写相应程序进行模型求解。该方法能有效解决随机规划和模糊规划需要获取大量样本信息的不足，根据实际情况确定柔性约束和刚性约束，在不确定性生产计划目标规划建模方面体现了很好的方便性和经济性，因此具有较好的工程应用价值。