在中国制造走向中国创造的过程中，人是起决定作用的因素之一^[1]。一方面要做到人尽其才，另一方面则需使工人与工作岗位志趣相投。其中，“人尽其才”并非仅针对个体而言，而更需针对整个团队的执行力与效能。

工程研发与实践的基本目标是追求团队与系统效能最大化，而同时兼顾个人兴趣才能让团队与人员保持良好的工作状态与协作性能。个体偏好与团队期望往往是冲突而难以取舍的，兼顾双方利益的平衡性指派方法及其优化成为了解决问题的关键^[2-3]。

个人偏好与团队执行力的平衡性指派方法，在国内外人力资源管理、决策支持领域早已受到重视。但人的兴趣存在多重性，而在具体工作中，则体现在对多个岗位与任务的志愿型偏好(如第一志愿、第二志愿)。针对志愿型偏好问题，解决平衡性指派问题成为了业界重点关注的问题之一^[3-4]。

基于此，本文结合“基于角色的协作”(role-based collaboration，RBC)工程理论与方法及其E-CARGO模型^[5-12]，提出了一种兼顾个人志愿型偏好与团队执行力的平衡性指派方法，以直观有效的工程方法寻找兼顾团队与个人利益的指派平衡点，使团队效能在考虑个人偏好的情况下尽可能最大化。

1 相关工作

匈牙利算法是最经典的指派算法，该算法主要解决将m项工作分配给n个工人，每个工人只能完成一项工作，每项工作只能由一个工人来完成的团队执行力最大化问题。该算法是一种在多项式时间内求解任务分配问题的组合优化算法。1957年在Kuhn的工作基础上，Munkres对匈牙利算法进行了加速改进，将其时空复杂度由O(m⁴)降为O(m³)，其算法誉为Kuhn-Munkres算法(简称KM算法)^[13]。

传统的KM算法，可高效解决一对一的指派最优化问题。在后人研究中，朱海滨和刘冬宁等^[14]在KM算法中引入了回溯，提出了KM_B算法(Kuhn-Munkres algorithm with backtracking)，在不影响时间复杂度量级的情况下，使用KM_B算法处理了多对多指派最优化问题。Hajri-Gabou^[15]在服装产业上基于多层次的广义指派问题提出了一种模糊遗传多目标算法；Kim和Moon^[16]在个性化市场的背景下为使目标准确性和顾客满意度最大化提出了多活动指派问题。Salterio^[17]提出了一种面向经理人激励与偏好机制的客观评估方法。Mohammadi等^[18]提出了一种基于多目标偏好演化的度量化评估与指派方法。Olaverri-Monreal等^[19]调查研究了土耳其司机在驾驶偏好对驾驶能力的影响，以用于移动驾驶信息的推送与指派优化。

考虑到个人偏好与团队期望冲突，Martello等^[4]提出了平衡性指派问题；Yue等^[3]将工人偏好作排序组合，将指派问题转化为瓶颈指派问题进行了处理。然而，在生活和实际问题当中，技术工人偏好一般更为具象化，往往对个别(不超过3个)岗位更为青睐，即不需序列式排序，只需以志愿性(第1志愿、第2志愿类推)方式体现。针对相关问题，本文提出了具志愿特性的个人偏好平衡性指派解决方法。

相关解决方法是基于E-CARGO模型的。这是因为岗位和任务的高层抽象即为角色，团队效能的一个重要体现，即为各角色间协作(RBC)的结果。基于角色的协同(role-based collaboration，简称RBC)及其E-CARGO模型已被广泛应用于管理领域和工业领域。其主要使用角色作为核心来抽象、分类、分离问题，提供有序的系统行为分析。RBC与E-CARGO能帮助人们对复杂系统做有效理解与分解，有着明确和严格的规范作用，便于权责的分解。在E-CARGO模型中以角色取代任务成为指派核心，引入角色建模与面向对象方法形成的。E-CARGO 模型以 9元组 $\sum :: = $ 〈C,O,A,M,R,E, G,S₀,H〉抽象并描述了协作系统的各个组成部分。其中C表示类，O表示对象，使模型能引入面向对象方法做有效分析；A表示agent集合，是对参与协同工作的实体的抽象，R表示角色集合，G表示由R与A构成的协同群组；而E则表示协同环境。同时，朱海滨提出了群组角色指派方法(group role assignm- ent，GRA)，以角色取代任务成为指派核心^[5-12]。该指派方法区别于传统任务指派而引入角色建模与面向对象方法，形成了E-CARGO模型。

RBC方法与E-CARGO模型以角色对岗位任务与团队协作进行了高度抽象，为协同计算提供了可行、可靠的模型与方法。而群组角色指派(GRA)则明确了以角色为核心的指派过程与计算方法。因此与KM算法一起，成为了本文借鉴与使用的主要理论工具。

2 真实案例

某X通信公司为IPO股份有限公司，多年来积极参与G省移动基站代维业务，为移动基站运营提供保障。由于基站的物理分布特性，基站代维工作量大、区域范围广，工作内容包括各类故障处理、投诉处理、应急保障、设备巡检、抢修发电等。代维区域面积达6 966 km²，代维基站数量约730个、铁塔约600座、直放站约470个、室外天线约3 930副、WLAN AP约1 300个，设置驻点团队6个，维护人员100多人。目前各代维人员的区域及任务分配，是由项目经理凭个人经验、人力资源部门技术统计与打分做主观安排。由于缺乏科学指派方法，缺乏对团队效能与个人偏好综合考虑，造成人员工作效率不高、缺乏工作热情等情况。

然而，由于通信技术的迅猛发展，以及我国移动通信运营市场竞争日益激烈，各大通信运营商对基站代维的技术和服务要求也越来越高，代维费用却因上下游市场的激烈竞争而逐年下滑，随之而来的却是代维人力成本越来越高。优化人员结构，使代维人员人尽其才，并志趣相投地完成多种维护任务，保证服务质量，已成为X公司的生存之道，也是下游市场由下至上反馈于移动通信和移动互联网健康成长的缩影之一。

目前，X公司某驻点收到了新一季度运维任务与人员需求(主要体现为人数需求)如表1所示

根据人力资源部门评估，每个技术工人对各岗位技能评分如表2所示。

为加强人性化管理，提供员工工作兴趣，人力资源部门允许每名员工各报名2个项目的维护工作，并列作第1志愿与第2志愿，每人报名情况分别如表2中*和**所示。现在项目经理需要考虑的是如何综合人员志愿及其岗位技能评分做出本季度指派任务，一方面需要考虑团队执行力(效能总分)；另一方面则需体现员工志愿型偏好的作用与选择，以加强员工工作兴趣。

一种可行的解决方法是将员工志愿与非志愿工作岗位分别形成系数(如第1志愿岗位系数为1.0，非志愿岗位系数为0.5)，乘入到岗位技能评分中，然后再进行指派。例如表2中第5行的段俊，其第1志愿工作岗位“集客家宽”乘入系数1.0后得分仍为0.98，由于得分偏高，因此易于被KM算法指派；非志愿工作岗位“传输线路”乘入系数0.5后得分改为0.2，由于得分变低，因此易于避免被KM算法指派。志愿岗位易被选中，非志愿岗位不易被选中，从而照顾了员工了偏好。

注意到，在第1志愿偏好参数为1.0的情况下，非志愿工作岗位系数不可为0或太低。这是因为总有一些工作虽然没有人愿意做或适合做，但依然需要安排人员负责。将非志愿工作岗位系数设置为0.5是一种工程上较为折中的做法，即“折半”处理^[20]。但即便如此，员工的第1志愿岗位也未必会被选中，例如表2中第9行的员工向青，其第1志愿岗位“铁塔天馈”技能评分仅为0.38，即便非志愿岗位“集客家宽”评分“折半”，也为0.91×0.5=0.455，比前者要高，易于被指派。此时，向青的第2志愿成为了关键。如果第2志愿系数较高，则可能高于非志愿岗位评分，易于被指派，反之则反之。

注意到，这并非是一个个体问题。一般而言，第2志愿系数应低于第1志愿(1.0)，而高于非志愿(0.5)。但第2志愿系数的具体大小，将对整个指派产生重要影响。

这是因为对于全局而言，第2志愿系数若太高，则易于指派了第2志愿岗位，而没指派第1志愿，降低了员工岗位偏好期望(也可能造成没有将员工指派到他较为高分的非志愿岗位的结果，影响团队执行力)。第2志愿系数若太低，则反之。这样被指派的人员一旦较多，将影响团队执行力与总体效能，各种可能性都将造成指派失衡。因此必须有一种可行的平衡性指派方法，确定第2志愿系数，以更好地做平衡性指派，也即本文所需解决的问题所在。下文中，将对相关问题运用RBC方法及其E-CARGO模型进行建模，并做平衡性指派处理。

3 数学建模 3.1 问题建模

E-CARGO模型以9元组 $\sum :: = $ 〈C,O,A,M,R,E, G,S₀,H 〉抽象并描述了协作系统的组成部分^[5-12]。其中，A(Agent)表示协作个体单元集合；R(Role)表示角色集合(即任务与需求抽象)；G(Group)表示群组集合，可用于表示团队；E用于抽象协作环境；而C和O作为类与对象，使E-CARGO建模得以引入面向对象方法。

设以群组G表示协作全团队(Group)、角色集R表示岗位角色集(Role)，代理集A表示候选工人集(Agent)，则对角色、角色需求数、代理能力表(直观上如表2)、指派方案等均可用向量和矩阵形式化表示。

其中，用非负整数m(=|A|，指集合A的基数)代表集合A的大小；n(|R|，指集合R的基数)代表集合R的大小。用i₀、i₁、i₂、i₃...代表Agent的下标，具体指每一个Agent；j₀、j₁、j₂...代表Role的下标，具体指每一个Role。而角色需求书、代理能力表、分配矩阵、群组执行力、角色可执行判定与群组可执行判定定义如下。

定义1　角色需求向量L 　每一角色的需求数的向量L表示。

根据表1项目职位需求表。可得群组角色需求向量为L=[6, 4, 4, 3, 3]。

定义2　资格矩阵Q 　是一个m×n矩阵。其中Q[i, j]∈{0, 1}，代表agent_i $(0 {\text{≤}} i < m)$ 担当role_j $(0 {\text{≤}} j < n)$ 的执行力评分。

资格矩阵Q形如表2中的岗位技能评分部分，如李峰在执行“基站设备”岗位的执行力(岗位技能)评分为：0.97。Q[i, j]=0代表执行力评分最低分，Q[i, j]=1代表执行力评分最高分。

定义3　分配矩阵T 　是一个m×n的矩阵。其中T[i, j]∈{0，1} $(0 {\text{≤}} i < m,0 {\text{≤}} j < n)$ 代表agent_i是否被分配执行role_j。T[i, j]=1代表执行；T[i, j]=0代表不执行。

定义4　群组执行力σ 　指派成功后，所有agent的执行力评分总和。 $\sigma = \displaystyle\sum\limits_{i = 0}^{m - 1} {\displaystyle\sum\limits_{j = 0}^{n - 1} {{{Q}}[i,j] \times {{T}}[i,j]} } $ 。

群组执行力σ的求解过程是将资格矩阵Q与分配矩阵T进行矩阵点乘。

定义5　角色j的可执行判定 　如果角色j被足够的agent担任，即 $\displaystyle\sum\limits_{i = 0}^{m - 1} {{{T}}[i,j] {\text{≥}} L[j]} $ ，则角色j是可执行的。

定义6　分配矩阵T的可执行判定 　如果每一个角色j是可行的，即 $\forall (0 {\text{≤}} j < n)\displaystyle\sum\limits_{i = 0}^{m - 1} {{{T}}[i,j]} {\text{≥}} L[j]$ ，则分配矩阵T是可执行的。

定义7　群组角色指派的线性求解　即寻找一个可行的分配矩阵T，其中，

目标函数： $\max \;\sigma = \displaystyle\sum\limits_{i = 0}^{m - 1} {\displaystyle\sum\limits_{j = 0}^{n - 1} {{{Q}}[i,j] \times {{T}}[i,j]} } $ 。

限制于：

$\quad\quad {{T}}[i,j] \in {0, 1}, \; 0 {\text{≤}} i < m,0 {\text{≤}} j < n;$

(1)

$\quad\quad\sum\limits_{i = 0}^{m - 1} {{{T}}[i,j]} = L[j], \; 0 {\text{≤}} j < n;$

(2)

$\quad\quad \sum\limits_{j = 0}^{n - 1} {{{T}}[i,j]} {\text{≤}} 1, \; 0 {\text{≤}} i < m\text{。}$

(3)

约束条件(1)表示角色分配矩阵T的值只能取0或1，表示分配和不分配；约束条件(2)表示角色分配矩阵T每一列1的个数总和分别等于向量L的每个值；约束条件(3)表示角色分配矩阵T的每一行1的个数总和小于等于1，即一个代理只能分配到一个角色。目标函数就是分配结果最优总分值。

但由于在当前问题中，需要处理志愿型偏好，因此以下对志愿系数矩阵进行定义。

定义8　志愿型偏好矩阵P 　是一个m×n矩阵，其中，P[i, j]∈{w₀, w₁, w₂}∈(0, 1], i, j∈N, $0 {\text{≤}} i < m,0 {\text{≤}} j {\text{＜}} n$ 。表示每个代理对每个角色的志愿系数值。

特殊地，在文中将w₀设为非志愿角色系数值，值为0.5；将w₁设为第1志愿角色系数值，值为1.0；w₂设为第2志愿角色系数值，数值待定，也为本文需重点解决的问题。

由此可进一步定义志愿型偏好矩阵P影响下的，指派效能最大化问题。

定义9　志愿型偏好群组角色指派的线性求解即寻找一个可行的分配矩阵T，其中，

目标函数： $\max \;{\sigma _p} \!=\!\! \displaystyle\sum\limits_{i = 0}^{m - 1} {\displaystyle\sum\limits_{j = 0}^{n - 1} {(Q[i,j] \cdot P[i,j])} } $ $ \!\times T[i,j] $ 。

限制于：约束条件(1)、(2)、(3)。

从上述可以看出志愿型偏好指派问题其实就是在约束条件下找到目标函数最大值。但问题是对于志愿型偏好P矩阵而言，w₂是未知的。它的求解将影响指派结果，也体现志愿型偏好的尊重与否(如第三部分末尾所述)。

3.2 偏好及其归一化

为体现志愿型偏好的尊重与否，特定义偏好如下。

定义10　志愿型偏好函数　为一正小数，形如

${P_g}\! =\! \displaystyle\frac{{\displaystyle\sum\nolimits_{w_{\rm{1}}} {\rm{Agent}} \!+\! {2^{ - 1}}\!\displaystyle\sum\nolimits_{w_{\rm{2}}} {\rm{Agent}} + {2^{ - 2}}\!\displaystyle\sum\nolimits_{w_{\rm{0}}} {\rm{Agent}} }}{{\displaystyle\sum\limits_{j = 0}^{n - 1} {L[j]} }} \! \in \!(0,1){\text{。}}$

其中， $\displaystyle\sum\nolimits_{w_{\rm{1}}} {\rm{Agent}} $ 、 $\displaystyle\sum\nolimits_{w_{\rm{2}}} {\rm{Agent}} $ 、 $\displaystyle\sum\nolimits_{w_{\rm{0}}} {\rm{Agent}} $ 分别表示在T矩阵中代理第1志愿偏好、第2志愿偏好和非志愿偏好被指派选中的个数总数。

在这里，偏好函数的设置，采用了常用的折半法来进行处理^[20]，为保证其[0, 1]空间均匀化，还需做归一化处理(详见定义11)。

显然，对于给定第1志愿角色系数w₁=1.0与非志愿角色系数w₂=0.5而言，当第2志愿角色系数若高，则易于指派了第2志愿岗位，而没指派第1志愿，降低了员工岗位偏好期望；也易于没将员工指派到较为高分的非志愿岗位，而使其工作于不熟练岗位，反之则反之。因此，求解第2志愿角色参数w₂，成为了解决问题的关键。

另一方面，给定一个w₂，可以根据定义7~9，计算出相关的σ、P、σ_p、T和P_g。基于此，可以对w₂做离散采样处理。即使w₂以0.01为步长，从0.5增加至1.0。由此可以得到一个基于w₂的函数链，形如σ(w₂)、P(w₂)、σ_p(w₂)、T(w₂)和P_g(w₂)。

为使体现团队执行力的σ_p(w₂)与体现志愿型偏好P_g(w₂)的平衡化处理，使它们[0, 1]空间均匀化，还需做归一化处理如下。

志愿型偏好的归一化处理：为一正小数，形如

$\quad\quad P_g^{{{{w}}_{\rm{2}}}} = \frac{{{P_g}({{{w}}_{\rm{2}}}) - \min \{ {P_g}\} }}{{\max \{ {P_g}\} - \min \{ {P_g}\} }} \in (0,1){\text{。}}$

其中， $\quad\quad\min \{ {P_g}\} $ 表示系列P_g(w₂)的最小值，而 $\max \{ {P_g}\} $ 表示最大值。

志愿型偏好群组执行力的归一化处理：为一正小数，形如

$\quad\quad{\sigma ^{{{w}_{\rm{2}}}}} = \frac{{\sigma ({{w}_{\rm{2}}}) - \min \{ \sigma \} }}{{\max \{ \sigma \} - \min \{ \sigma \} }} \in (0,1)$

其中 $\min \{ \sigma \} $ 表示系列σ_p(w₂)的最小值，而 $\max \{ \sigma \} $ 表示最大值。

至此，将偏好与群组执行力均归一化到[0, 1]空间，由此可对其做平衡化处理。

4 算法与实验分析 4.1 算法描述

本文模型采用的指派算法为Kuhn-Munkres算法(KM算法)，其时间复杂度是O(m³)。经实验对比，KM算法速度比IBM CPLEX所作线性规划运算更快。文献[8]对此已作出阐述，本文并未对指派算法的核心进行修改，故算法复杂性与效率得到保持。

针对相关求解归一化偏好与执行力平衡点的组合算法做伪码描述如下。

算法伪码

输入：

　　代理列表A;

　　角色需求向量L;

　　资格矩阵Q。

Output:

　　系列归一化志愿型偏好 $P_g^{{{w_2}}}$

　　系列归一化群组执行力 ${\sigma^{w_2}} $

CPP σ^β ( ${\cal{A}}$ , L, Q) //计算 $P_g^{w_2}$ 与 ${\sigma^{w_2}} $

{初始化：w₁=1 and w₂=w₀=0.5;计算志愿型偏好矩阵P

while (!(w₁=w₂)) {

w₂+=0.01;

更新志愿型偏好矩阵P;

　　for (i=0; i＜m; i++)

　　　　for (j=0; j＜n; j++) {

计算P(w₂)、σ_p(w₂)、T(w₂)和P_g(w₂);

计算σ(w₂)= $\displaystyle\sum\limits_{i = 0}^{m - 1} {\displaystyle\sum\limits_{j = 0}^{n - 1} {Q[i,j] \times T({{\rm{w}}_{\rm{2}}})[i,j]} } $ ;

　　　　保存max{σ}与min{σ};

　　　　保存max{P_g} and min{P_g};

　　　　}

　　 w₂=0.5;

　　　　 while (!(w₁=w₂)) {

w₂+=0.01;

　　　　 $P_g^{{{{w}}_{\rm{2}}}} = \displaystyle\frac{{{P_g}({{{w}}_{\rm{2}}}) - \min \{ {P_g}\} }}{{\max \{ {P_g}\} - \min \{ {P_g}\} }}$ ;

　　　　 ${\sigma ^{{{w_2}}}} = \displaystyle\frac{{\sigma ({{{w}}_{\rm{2}}}) - \min \{ \sigma \} }}{{\max \{ \sigma \} - \min \{ \sigma \} }}$ ;

　　　　}

}

图1描述了该算法运行后的结果，即归一化后的志愿型偏好 $P_g^{{\rm{w_2}}}$ 与群组执行力 ${\sigma^{w_2}} $ 曲线。据此，在第2步，将两曲线的交点视作平衡点，在本例中平衡点为(0.76,0.635)，其中，w₂=0.76 ， $P_g^{{{w}_{\rm{2}}}} = $ ${\sigma ^{{w_2}}} = $ 0.635。

注意到，在这里曲线的交点可能不止一个，即存在多个平衡点，此时选择平衡点的原则为：1)选择执行力与偏好值最高的点(纵坐标最高)；2)如果多点间执行力与偏好值相等，则选择w₂最大的点(横坐标最大)。

据此w₂，可得乘入志愿型偏好矩阵P后的资格矩阵Q与分配矩阵T如图2所示。在当前结果下，σ_p为15.21，虽然并非团队的最大执行力σ=16.61(不考虑偏好的最优指派结果)，但达到了最大执行力91.57%，同时兼顾了志愿性偏好的指派结果。同时，由于归一化后的偏好为0.635，可以认为其满足了员工63.5%的志愿。注意到全部满足员工第1志愿指派的归一化偏好为1.0，全部满足员工第2志愿指派的归一化偏好为0.5。而0.5＜0.635＜1.0，这表示本文解决方法已至少能满足员工2个志愿中至少一个，而团队执行力达到了91.57%。

4.2 实验及结果分析

为测试本解决方案的有效性与可靠性，做了随机实验，对志愿型人员指派进行仿真模拟。其中m(人员数)和人员需求总数 $\displaystyle\sum\limits_{j = 0}^{n - 1} {L[i,j]} $ 取值范围为20~200，以步长20作跳变；n取值为m/4；Q矩阵规模据m、n变化，具体行列值在[0, 1]范围内随机取值。实验仪器配置如表3所示。

针对每组m、n，各做了100次随机实验。其中效率测试实验结果如图3所示。实验证明，单次指派耗时随m增加呈线性增长，最大时间值不超过2 s，可满足日常实际运行所需。

在1 000次随机实验中，偏好取值范围如图4所示。实验结果表明，1 000次指派结果均能满足员工至少一个志愿，有助于提高员工工作热情。

团队执行力百分占比变化如图5所示。实验结果表明，在兼顾了个人偏好情况下，团队执行力仍能达到最高团队执行力的90%左右(取值范围在88%~93%之间)，较好地满足了团队总体执行力需求。

5 结论

本文结合“基于角色的协作”(role-based colla- boration，RBC)工程理论与方法及其E-CARGO模型，提出了一种兼顾个人志愿型偏好与团队执行力的指派方法。实验仿真结果表明，该方法有效与可靠，能在考虑个人偏好的情况下做快速指派，使团队效能尽可能最大化，优化人员生产与管理，支撑行业决策。在下一步工作中，将进一步研究偏好细化与平衡性指派的多维空间分析方法，以求满足更多更灵活的行业应用。