1988年，Stalk^[1]提出了时间竞争的观点，表明了时间在一个复杂市场环境中的优势；随着传统的、相对稳定的市场变成动态的、多变的市场时，速度已成为知识经济时代市场竞争的焦点^[2]。现在，时间已成为当今企业在激烈的市场竞争中获得优势的关键，构建快速反应能力是企业应对不确定需求环境下新的战略管理思想^[3]。一些学者利用贝叶斯方法来研究零售商订货决策问题。宋华明^[4]等建立了在贝叶斯需求预测更新情形下制造商为主方、零售商为从方的Stackelberg博弈模型，其中制造商在低价多量与高价少量之间权衡，零售商在低成本低预测精度与高成本高预测精度之间进行权衡。Zheng等^[5]研究了在低成本但是预测需求不准确以及高成本和需求不确定性较低的情况下的零售商订货策略研究；He等^[6]研究了在多级供应链下，需求与供应都不确定的情况下的订货问题；Liu等^[7]研究了存在两次订购机会的物流公司订购服务能力的过程；Zheng等^[8]考虑了在需求更新的情况下，有供应限制的订货问题研究；而在考虑双渠道订货的文献中，郭金森等^[9]考虑了存在资金约束条件下研究制造商贸易信贷与提前订货折扣契约选择下的双渠道订货问题；董志刚等^[10]针对中小型制造企业在电子商务环境下的网络分销渠道选择问题，考虑了两种双渠道供应链，一是网络直接分销渠道和传统零售渠道，二是网络间接分销渠道和传统零售渠道，并以Stackalberg博弈为基础，分别建立了双渠道供应链中以制造商为主的主从博弈定价策略模型和以电商分销商为主的主从博弈定价策略模型。高洁等^[11]研究由一个制造商和一个零售商组成的供应链系统，在此系统中制造商通过网络直销渠道和传统零售渠道销售其生产的产品，两个渠道的需求都会受到订货提前期和价格的影响，以此来分析订货提前期对网络直销渠道的影响。经有国等^[12]考虑由一个零售商经营的具有独立随机需求的双渠道，在销售季节末一渠道缺货时可分享另一渠道的剩余库存，研究了两个渠道各自的订货决策问题，分别建立了不共享剩余库存和共享剩余库存时的双渠道订货模型。刘峥等^[13]针对双渠道供应链间合作与非合作情形，建立了双渠道优化合作转运模型以及最优订货模型。在此基础上，考虑市场需求变化情况，通过仿真研究，分别分析了需求为均匀分布、正态分布和泊松分布时非合作与合作情形下的基础库存、订货量和渠道利润及供应链系统利润等。王虹等^[14]在考虑市场竞争环境中需求转移为非线性的情况下，探讨供应商增加直销渠道的条件，并研究双渠道供应链中供应商在直销渠道上的最优定价，总的最优生产量及零售商的最优订货量。徐兵等^[15]研究了双渠道供应链中生产商负责的网上直销渠道对零售商负责的传统零售渠道的信息服务搭便车行为。与之不同的是，本文在考虑需求更新的前提下，通过考虑不同的运输成本建立了零售商的两种订货方式，线上订货方式周期慢但是运输费用低，线下订货周期快但是运输价格高，以成本的方式来区分零售商的两种订货方式，并通过需求更新条件来确定零售商的订货方式选择获得利润的最大化。

1 问题描述

本文假设零售商存在2种订货方式，即线上订货和线下订货。其中，线上订货的周期较长，线下订货的周期较短。零售商在卖季开始前进行订货，在卖季开始后，通过贝叶斯需求更新修正市场需求函数并重新制定订货策略。符号定义如下所示。

p 为零售商单位产品的销售价格；

v 为零售商未销售出去的商品的单位残值；

c 为制造商单位产品的批发价格；

c_t 为单位产品的成本系数；

a 为制造商单位产品的价格增量；

q 为零售商的订货量；

C^F(q) 表示零售商的成本函数；

π^* 表示零售商双渠道订货模式下的利润；

π⁰ 表示零售商单渠道订货模式下的利润；

π¹ 表示零售商需求更新后双渠道订货模式下的利润。

1.1 模型建立

报童模型下，零售商的利润函数为

π = p d + v ( q − d ) + − c q − ( c + a ) ( d − q ) + 。

(1)

用e₁表示线上订购产品的单位运输费用；e₂表示产品的单位存储费用；e₃表示线下订购产品的单位运输费用。不失一般性，本文假设e₁＜e₃。零售商的单位运输成本为

C = e 1 q + e 2 ( q − d ) + + e 3 ( d − q ) + 。

(2)

其中， ( q − d ) + = q − d + ( d − q ) + ，所以

C F ( q ) = ( e 1 + e 2 ) q − e 2 μ + ( e 2 + e 3 ) E ( d − q ) + 。

(3)

所以，零售商的目标利润函数为

π = p d + v ( q − d ) + − c q − ( c + a ) ( d − q ) + − c t [ e 1 q + e 2 ( q − d ) + + e 3 ( d − q ) + ] 。

(4)

根据Gallegoand Moon推论：　　 E ( d − q ) + ≤ [ σ 2 + ( q − μ ) 2 ] 1 2 − ( q − μ ) 2 ，将此公式代入式(4)有

π * = ( p − v + c t e 2 ) μ − [ c + a − v + c t ( e 2 + e 3 ) ] × [ ​ σ 2 ​ + ( q − μ ) 2 ] 1 2 ​ − ( q − μ ) 2 − [ c − c t ( e 2 + e 1 ) − v ] q 。

(5)

对式(5)进行求导，有

∂ π ∂ q = v − c − c t ( e 1 + e 2 ) − 1 2 [ c + a − v + c t ( e 2 + e 3 ) ] × { [ σ 2 + ( q − μ ) 2 ] − 1 2 ( q − μ ) − 1 } ,

(6)

∂ 2 π ∂ q 2 = − 1 2 [ c + a − v + c t ( e 2 + e 3 ) ] σ 2 × [ σ 2 + ( q − μ ) 2 ] − 3 2 ＜ 0 。

(7)

所以π是关于q的凹函数。

令 ∂ π ∂ q = 0 ，有

q − μ [ σ 2 + ( q − μ ) 2 ] 1 2 = v − c + a + c t ( e 3 − 2 e 1 − e 2 ) c + a − v + c t ( e 2 + e 3 ) ,

(8)

q * = μ + σ 2 [ ( A 1 B 1 ) 1 2 − ( B 1 A 1 ) 1 2 ] 。

(9)

其中， A 1 ​ = a − c t e 1 ​ + c t e 3 ， B 1 ​ = c − v − c t e 1 ​ + c t e 2 。

将A₁、B₁分别代入式(9)，有

q * ​ − ​ μ = ​ σ ２ [ ( a − c t e 1 ​ + c t e 3 c − ​ v ​ − c t e 1 ​ + c t e 2 ) 1 2 ​ − ( c ​ − v ​ − c t e 1 ​ + c t e 2 a − c t e 1 ​ + c t e 3 ) 1 2 ] = σ [ a − c + v + c t ( e 3 − 2 e 1 − e 2 ) ] 2 [ c − v + c t ( e 1 + e 2 ) ] 1 2 [ a − c t ( e 1 − e 3 ) ] 1 2 。

(10)

可以推导出

[ σ 2 + ( q − μ ) 2 ] 1 2 − ( q − μ ) = 2 [ c ​ − ​ v ​ + c t ( e 1 ​ + e 2 ) ] ( q ​ − ​ μ ) v ​ − ​ c ​ + ​ a ​ + ​ c t ( e 3 ​ − ​ 2 e 1 ​ − ​ e 2 ) ​ = σ [ c ​ − ​ v ​ + ​ c t ( e 1 ​ + e 2 ) a ​ − c t ( e 1 ​ − e 3 ) ] 1 2 。

(11)

通过化简可以得到

π * = ( p − c − c t e 1 ) μ − σ [ a − c t ( e 1 − e 3 ) ] 1 2 × [ c − v + c t ( e 1 + e 2 ) ] 1 2 = ( p − c − c t e 1 ) μ − σ A 1 B 1 。

(12)

推论1 　当零售商存在2种订货方式时，零售商订货量会增加但是利润都会降低。

当零售商只存在一种订货方式时，e₃=e₁。零售商此时的订货数量为

q 0 = μ + σ 2 [ ( A 2 B 2 ) 1 2 − ( B 2 A 2 ) 1 2 ] 。

(13)

零售商的利润函数为 π 0 ​ = ( p ​ − c ​ − c t e 1 ) μ ​ − σ A 2 B 2 。

其中，A₂=a， B 2 = c − v − c t e 1 + c t e 2 。

首先，定义一个函数 f ( x ) = x − 1 x ，从 d f d x = 1 + 1 x 2 ，可以知道f (x)是关于x的增函数。

因为e₁＜e₃，所以A₁＜A₂，即q^*＞q⁰。

再定义一个函数 g ( x ) = x ，由于 d g d x = 1 2 x ，所以g(x)是关于x的增函数。此时有 π 0 ＞ π * 。

对于零售商而言，采取双渠道订货模式可以最大化地满足市场需求，但是会使自身的利润降低。

推论2 　零售商总成本函数C^F(q)是关于q的凹函数。

零售商总成本函数C^F(q)的一阶导数和二阶导数分别为

d C F ​ ( q ) dq ​ = e 1 ​ + e 2 ​ + ( e 2 ​ + e 3 ) [ μ ​ − q ​ − ​ ∫ 0 q f ( x ) d x ] ​ ,

(14)

d 2 C F ( q ) d q 2 = − ( e 2 + e 3 ) [ 1 + f ( q ) ] ＜ 0 。

(15)

所以，C^F(q)是关于q的凹函数。

1.2 零售商考虑线上线下订货模式下的决策

考虑零售商在进行需求更新时的订货策略时假设零售商的产品的预测需求为X，其中X服从均值为θ，方差为δ的正态分布。即

X ∼ ( θ , δ ) 。

(16)

θ也是不确定的，它服从均值为μ₀，方差为d₀的正态分布。

θ ∼ ( μ 0 , d 0 ) 。

(17)

所以，在时刻1市场的需求分布为

X 1 ∼ ( μ 0 , d 0 + δ ) 。

(18)

δ表示内部需求的不确定性，δ的涵义是零售商对θ的预测已经非常精确，实际市场需求仍然是一个随机变量，零售商预测的市场需求与实际市场需求总会存在一定的偏差。

零售商通过不断收集市场信息获得观察信号 x ˜ 0 ， x ˜ 0 可以是一些相似产品的销售情况。关于θ分布的更新如式(19)。

θ ∼ ( μ 1 , d 1 ) 。

(19)

其中， μ 1 = ( d 0 d 0 + δ ) x ˜ 0 + ( δ d 0 + δ ) μ 0 ， d 1 = δ d 0 ( d 0 + δ ) 。

假设时刻2的市场需求为X₂，能推导出X₂的分布函数为

X 2 ∼ ( μ 1 , d 1 + δ ) 。

(20)

需求更新前后，市场需求函数变化，则

μ 1 − μ 0 = ( d 0 d 0 + δ ) ( x ˜ 0 − μ 0 ) ,

(21)

d 1 − d 0 = − d 0 2 d 0 + δ ＜ 0 。

(22)

推论3 　零售商的期望利润与市场均值是正相关，与市场方差是负相关关系。而且零售商的期望利润随着碳税价格上升而减少。

π * = ( p − c − c t e 1 ) μ − σ [ a − c t ( e 1 ​ − e 3 ) ] 1 2 × [ c − v + c t ( e 1 ​ + e 2 ) ] 1 2 = ( p − c − c t e 1 ) μ − σ A 1 B 1 。

(23)

零售商的期望利润与市场均值、方差以及碳税价格的一阶导数分别为

∂ π ∂ μ = ( p − c − c t e 1 ) ＞ 0 ， ∂ π ∂ σ = − A 1 B 1 ＜ 0 。

(24)

∂ π ∂ c t = − e 1 μ − σ 2 { ( e 1 + e 2 ) [ a − c t ( e 1 − e 3 ) c − v + c t ( e 1 + e 2 ) ] 1 2 − ( e 1 − e 3 ) [ c − v + c t ( e 1 + e 2 ) a − c t ( e 1 − e 3 ) ] 1 2 } = − e 1 q * − σ 2 [ e 2 ( A 1 B 1 ) 1 2 + e 3 ( B 1 A 1 ) 1 2 ] ＜ 0 。

(25)

推论4 　需求更新前后，零售商的利润变化与市场观察值 x ˜ 0 有关， x ˜ 0 ​ ≥ ​ ​ A 1 B 1 d 0 ​ + ​ c μ 0 ​ − ​ p μ 0 ​ + c t e 1 μ 0 c − p + c t e 1 ，零售商的利润会增加。

零售商进行需求更新的目的是为了获得更高的利润，零售商需求更新结束后，其利润函数为

π 1 = ( p − c − c t e 1 ) μ − σ A 1 B 1 。

(26)

零售商此时的利润差额为

π 1 − π 0 = ( p − c − c t e 1 ) ( μ 1 − μ 0 ) − σ 1 A 1 B 1 + σ A 2 B 2 ＞ ( p − c − c t e 1 ) ( μ 1 − μ 0 ) − σ 1 A 1 B 1 + σ A 1 B 1 = ( p − c − c t e 1 ) ( μ 1 − μ 0 ) − A 1 B 1 ( σ 1 − σ ) 。

将式(21)、(22)代入上式得

π 1 − π 0 = ( p − c − c t e 1 ) ( d 0 d 0 + δ ) ( x ˜ 0 − μ 0 ) + A 1 B 1 d 0 2 d 0 + δ 。

(27)

求解可得 x ˜ 0 ≥ A 1 B 1 d 0 + c μ 0 − p μ 0 + c t e 1 μ 0 c − p + c t e 1 ，零售商的利润会增加。

所以，对零售商而言需求更新完毕后，是否采取线上线下2种订货策略与市场观察信号 x ˜ 0 有关， x ˜ 0 ≥ A 1 B 1 d 0 + c μ 0 − p μ 0 + c t e 1 μ 0 c − p + c t e 1 ，零售商采取线上线下2种订货策略会更加有利，如果不满足这个条件，零售商可以选择线下订货方式。

推论5 　当 x ˜ 0 ＞ δ μ 0 d 0 ​ + δ 时，零售商需要提高订货量；当 x ˜ 0 = δ μ 0 d 0 ​ + δ 时，零售商维持订货量；当 x ˜ 0 ＜ δ μ 0 d 0 + δ 时，零售商进行退货。

零售商的最优订货数量为　　 q * = μ + σ 2 [ ( A 1 B 1 ) 1 2 − ( B 1 A 1 ) 1 2 ] = μ [ 1 − σ ( B 1 − A 1 ) 2 μ A 1 B 1 ] 。

令 σ μ = x ，所以 μ = σ x 。原式为　　 q * = σ x [ 1 − x ( B 1 − A 1 ) 2 A 1 B 1 ] = σ x − σ ( B 1 − A 1 ) 2 A 1 B 1 。

d q * d x = − σ x 2 ＜ 0 ，所以，零售商订货量随着x的增加而减小。

x = σ μ = δ d 0 d 0 + δ + δ ( d 0 d 0 + δ ) x ˜ 0 + ( δ d 0 + δ ) μ 0 = δ ( δ + 2 d 0 ) x ˜ 0 d 0 + δ μ 0 。

(28)

所以， d q * d x = − δ d 0 ( δ + 2 d 0 ) ( x ˜ 0 d 0 + δ μ 0 ) 2 ＜ 0 ，说明 σ μ 的值随着 x ˜ 0 的增大而减小。所以零售商订货量随着 x ˜ 0 的增加而增大。

未进行需求更新前， σ μ = d 0 + δ μ 0 。需求更新后， σ μ = 2 d 0 δ + δ 2 d 0 x ˜ 0 + δ μ 0 。

需求更新后，如果零售商需要提高订货量，此时有 d 0 + δ μ 0 ＞ 2 d 0 δ + δ 2 d 0 x ˜ 0 + δ μ 0 ，当 x ˜ 0 ＞ δ μ 0 d 0 + δ 时，零售商需要提高订货量；当 x ˜ 0 = δ μ 0 d 0 + δ 时，零售商维持订货量；当 x ˜ 0 ＜ δ μ 0 d 0 + δ 时，零售商进行退货。

对于零售商而言，如果市场观察信号满足推论4，通过比较 x ˜ 0 与 δ μ 0 d 0 + δ 的大小可以对接下来的订货方式进行决策。如果市场观察信号满足推论4且 x ˜ 0 ＞ δ μ 0 d 0 + δ 时，零售商可以通过线上订货来满足市场需求并获得利润最大化。否则，零售商采取单渠道订货方式可以获得最优的利润。

2 数值分析

假设p=60，c=10，v=5，a=18，c_t=3.2，e₁=1，e₂=3，e₃=5。零售商市场需求满足X~N(800，196+20)的正态分布。

由图1可以看出，在双渠道订货模式下，零售商的利润始终低于单渠道订货模式下的利润。图2反映了零售商的期望利润与市场均值是正相关，与市场方差是负相关关系。由推论4得出 x ˜ 0 = A 1 B 1 d 0 + c μ 0 − p μ 0 + c t e 1 μ 0 c − p + c t e 1 是零售商采取哪种订货方式的一个参考点，代入数据后， x ˜ 0 = 799.597 ，零售商在不同观察信号下的市场需求经过贝叶斯更新如表1所示。

由表1可以得出，市场观察信号只影响市场需求函数的期望值大小而不会影响市场需求方差，经过贝叶斯需求更新后，零售商的市场需求方差会降低，零售商对市场的预测更加准确。

对应的零售商在不同市场需求下，单渠道订货和双渠道订货模式下的订货量和期望利润如表2所示。

由表2可以得出，需求更新前后，零售商的利润变化确实与市场观察值 x ˜ 0 有关， x ˜ 0 ≥ A 1 B 1 d 0 ​ + ​ c μ 0 ​ − ​ p μ 0 ​ + c t e 1 μ 0 c − p + c t e 1 ，零售商的利润会增加。

3　结论

贝叶斯需求更新在一定程度上能使零售商获得更准确的市场需求信息，在降低市场风险的同时也实现了利润的增加。当零售商存在2种订货方式时，可以最大化地满足市场需求。但是运输成本的增加会导致零售商利润的降低。通过需求更新以及对市场观察信号的分析，零售商可以获得更高的利润并合理安排订货方式，以实现对市场的快速反应。然而，本文只考虑了零售商的单方面决策问题而没有实现供应链利润的最大化，同时，双渠道订货模式能更好地满足市场需求但是却会降低零售商的利润，如何进行供应链的协调使得零售商在最大化满足市场需求时也能使自身利润提高是笔者今后的研究方向。